3.2.2基本不等式的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖求最值及解决实际问题。通过养殖场围矩形牧场情境导入，衔接知识点梳理（和定积最大、积定和最小及实际问题步骤），自我诊断巩固基础，形成从情境到理论再到初步应用的学习支架。 其亮点在于情境化设计与题型分层，通过牧场围栏、海报空白等实例培养数学建模，分“和定”“积定”“1的代换”题型强化逻辑推理，通性通法总结提升数学运算能力。学生能学会用数学眼光分析问题，教师可直接利用例题和检测题高效教学。

3.2.2　基本不等式的应用 新课程标准解读 核心素养 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用 数学运算 2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 逻辑推理、数学 运算 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 数学建模、数学 运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为 a ， b 的矩形牧场，现在已有材料能做成 l km的栅栏. 【问题】　如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　用基本不等式求最值 　已知 x ， y 都是正数，则 （1）如果积 xy 等于定值 P ，那么当 时，和 x ＋ y 有最小 值 ⁠； （2）如果和 x ＋ y 等于定值 S ，那么当 时，积 xy 有最大 值 ⁠. x ＝ y 　 2 　 x ＝ y 　 S2　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　利用基本不等式解决实际问题的步骤 1. 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量 定为函数. 2. 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值 问题. 3. 在定义域内求出函数的最大值或最小值. 4. 正确写出答案. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是 ⁠. 解析：设直角边分别为 a ， b ，则 ab ＝50，即 ab ＝100.∴ a ＋ b ≥2 ＝20，当且仅当 a ＝ b ＝10时取等号.∴两直角边和的最小 值是20. 20　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 x 吨，运费为4万元/ 次，一年的总存储费用为4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费 用之和最小，则每次应都购买 吨. 解析：设总运费与总存储费用之和为 y ，则 y ＝4 x ＋ ×4＝4 x ＋ ≥2 ＝160，当且仅当4 x ＝ ，即 x ＝20时取等号. 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应都购买20吨. 20　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求“和为定值”模型的最值 【例1】　（链接教科书第59页例3）欲用一段长为30 m的篱笆围成一 个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽 分别为（　　） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x ＋2 y ＝30，所以 S ＝ xy ＝ x ·（2 y ）≤ （ ）2＝ ，当且仅当 x ＝2 y ，即 x ＝15， y ＝ 时取等号. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 两个正数和为定值，求它们积的最大值 （1）应满足基本不等式成立的条件； （2）若所给代数式具备和为定值的形式，可利用重要不等式 ab ≤ （ ）2，求出积的最大值； （3）若所给代数式不具备和为定值的形式，应配凑出和为定值的形 式后再求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 从等腰直角三角形纸片 ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中 BC ＝2，∠ A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ⁠. 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：设两个正方形边长分别为 a ， b ，则由∠ B ＝∠ C ＝45°，可得 a ＋ b ＝ BC ＝1，且 ≤ a ≤ ， ≤ b ≤ ， S ＝ a2＋ b2≥2× ＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时取等号. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 求“积为定值”模型的最值 【例2】　（链接教科书第60页例6）如图，有一张单栏的竖向张贴的 海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 56　 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：设阴影部分的高为 x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积 为 y dm2.由题意，得 y ＝（ x ＋4）· －72＝8＋2 ≥8 ＋2×2 ＝56.当且仅当 x ＝ ，即 x ＝12时等号成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 两个正数积为定值，求它们和的最小值 （1）应满足基本不等式成立的条件； （2）若所给代数式具备积为定值的形式，可利用基本不等式的变形 a ＋ b ≥2 ，求出和的最小值； （3）若所给代数式不具备积为定值的形式，应化简（或配凑）出积 为定值的形式后再求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底 面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低 总造价是（　　） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　设底面相邻两边的长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，则 xy ·1＝4⇒ xy ＝4. T ＝4×20＋（2 x ＋2 y ）×1×10＝80＋20（ x ＋ y ） ≥80＋20×2 ＝80＋20×4＝160（当且仅当 x ＝ y ＝2时取等号）. 故该容器的最低总造价是160元.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 利用基本不等式求代数式的最值 【例3】　（链接教科书第60页例5）（1）设 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝1，求 ab 的最小值； 解：因为 a ＞0， b ＞0， 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝4 . 因为 ＋ ＝1，所以1≥4 ，故 ab ≥16， 当且仅当 ＝ ，即 a ＝2， b ＝8时，等号成立， 所以 ab 的最小值是16. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）设 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，求 x ＋ y 的最小值. 解：因为 x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1， 所以 x ＋ y ＝ （ x ＋ y ）＝1＋ ＋ ＋9＝ ＋ ＋10≥6 ＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，且 ＋ ＝1，即 x ＝4， y ＝12时，等号成立. 故 x ＋ y 的最小值为16. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 “1的代换”问题的解题步骤 （1）构造值为“1”的表达式； （2）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商； （3）变形产生和式或积式为定值的式子，利用基本不等式求解最值. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知 x ， y 为正实数，且 ＋ ＝2，则 x ＋2 y 的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 解析：　依题意， x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＝ （ x ＋2 y ）（ ＋ ） ＝ （4＋ ＋ ）≥ （4＋2 ）＝4，当且仅当 ＝ ，即 x ＝2 y ＝2时，等号成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 设 x ＞0， y ＞0，且 xy ＝1，则 ＋ 的最小值是 ⁠. 解析：因为 x ＞0， y ＞0，且 xy ＝1，所以 ＞0， ＞0，所以 ＋ ≥2 ＝2 ＝2，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ y ＝1时取等号.所以 ＋ 的最小值是2. 2　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框 架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的 是（　　） A. 6.5 m B. 6.8 m C. 7 m D. 7.2 m 解析：　设两直角边分别为 a ， b ，直角三角形的框架的周长为 l ，则 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝ 4＋2 ≈6.828（m），当且仅当 a ＝ b ＝2时等号成立.故C既够 用，浪费也最少. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知正数 a ， b 满足 ＋ b ＝1，则 a ＋ 的最小值为 ⁠. 解析：由正数 a ， b 满足 ＋ b ＝1，则 a ＋ ＝（ a ＋ ）（ ＋ b ） ＝5＋ ab ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ab ＝ 时，即 a ＝ 6， b ＝ 时，等号成立，所以 a ＋ 的最小值为9. 9　 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖 蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造 价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该 为 米. 解析：设长方体蓄水池长为 y ，宽为 x ，高为 h ，每平方米池侧壁 造价为 a ，蓄水池总造价为 W ，则由题意可得∴ W ＝ 2 a （ xh ＋ yh ）＋2 axy ＝2 ah （ x ＋ y ）＋2 axy ＝40 ah ＋ ， ∴ W ≥2 ＝400 a ，当且仅当 h ＝5时， W 取最小值. 5　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $