第1章 3 课时2 矩形的判定-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

 

课时2　矩形的判定

根据定义进行矩形的判定　　

如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(C)

1题图

A．AB＝BC

B．AC⊥BD

C．∠1＋∠2＝90°

D．∠1＝∠2

(教材母题变式)如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，连接MA，MD，且∠MAD＝∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形．

2题图

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.∵M是BC边的中点，∴BM＝CM.∵∠MAD＝∠MDA，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM，∴∠B＝∠C.

∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．

根据角进行矩形的判定　　

如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角两边的距离之和为6 cm，则图中四边形的周长为12cm.

　　　

(云南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB.连接AD，CD.记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长．

(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.

∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．

∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．

(2)解：∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，∴l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2，l3＝2(AB＋BC)＝2(a＋b)＝28，

∴∴

∴AB＝6，BC＝8，

∴AC＝＝10.

根据对角线进行矩形的判定　　

要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(C)

A．测量两条对角线是否相等

B．度量两个角是不是90°

C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离

D．测量两组对边是否分别相等

(福建漳州期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD.若四边形AEBO是菱形．求证：四边形ABCD是矩形．

6题图

证明：∵四边形AEBO是菱形，∴OA＝OB.

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

矩形的性质与判定的综合运用　　

如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件AB＝BC时，四边形PEMF为矩形．

　　　

如图，在平行四边形ABCD中，四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H.

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)连接EG，若EF＝2，EH＝5，求EG的值．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，

∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠FGH＝∠F＝90°，

∴四边形EFGH是矩形．

(2)解：∵四边形EFGH是矩形，∴FG＝EH＝5.

在Rt△EFG中，由勾股定理，得EG＝＝＝.

要判定四边形是矩形，以下不可行的是(C)

A．先判定它是平行四边形，再说明它有一个角是直角

B．说明它的两组对边分别平行且对角线相等

C．说明它的一组对边平行、一组对边相等、对角线相等

D．说明它的邻角都互补、且有一对邻角相等

如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，DF＝1，AF＝BF，则四边形 BCDE的面积为(A)

A．2    B．4    C．4     D．2

2题图

3题图