第1章 3 课时2 矩形的判定-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　矩形的判定 根据定义进行矩形的判定　　 如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(C) 1题图 A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠1＋∠2＝90° D．∠1＝∠2 (教材母题变式)如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，连接MA，MD，且∠MAD＝∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形． 2题图 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.∵M是BC边的中点，∴BM＝CM.∵∠MAD＝∠MDA，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM，∴∠B＝∠C. ∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 根据角进行矩形的判定　　 如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角两边的距离之和为6 cm，则图中四边形的周长为12cm. 　　　 (云南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB.连接AD，CD.记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长． (1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC. ∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形． (2)解：∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，∴l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2，l3＝2(AB＋BC)＝2(a＋b)＝28， ∴∴ ∴AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝10. 根据对角线进行矩形的判定　　 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(C) A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是不是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离 D．测量两组对边是否分别相等 (福建漳州期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD.若四边形AEBO是菱形．求证：四边形ABCD是矩形． 6题图 证明：∵四边形AEBO是菱形，∴OA＝OB. ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 矩形的性质与判定的综合运用　　 如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件AB＝BC时，四边形PEMF为矩形． 　　　 如图，在平行四边形ABCD中，四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H. (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)连接EG，若EF＝2，EH＝5，求EG的值． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC， ∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠FGH＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． (2)解：∵四边形EFGH是矩形，∴FG＝EH＝5. 在Rt△EFG中，由勾股定理，得EG＝＝＝. 要判定四边形是矩形，以下不可行的是(C) A．先判定它是平行四边形，再说明它有一个角是直角 B．说明它的两组对边分别平行且对角线相等 C．说明它的一组对边平行、一组对边相等、对角线相等 D．说明它的邻角都互补、且有一对邻角相等 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，DF＝1，AF＝BF，则四边形 BCDE的面积为(A) A．2 B．4 C．4 D．2 2题图 3题图 　 4题图 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在边AB上的点F处，则CE的长是(D) A．1 B． C． D． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12． 5题图 (山西晋中期中)如图，直线AB的函数表达式为y＝2x＋5，与y轴交于点A，与x轴交于点B，P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段 EF的最小值为． [核心素养]如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤5. (1)AE＝tcm，EF＝(5－2t)(0≤t≤2.5)或(2t－5)(2.5<t≤5)cm；(用含t的代数式表示) (2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形； (3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 6题图 (2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠GAF＝∠HCE. ∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝CH.∵AE＝CF，∴AF＝CE.在△AFG和△CEH中，∴△AFG≌△CEH(SAS)，∴GF＝HE.在△AGE和△CHF中，∴△AGE≌△CHF(SAS)，∴GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形． (3) 6题答图 解：如答图，连接GH.由(2)知四边形EGFH是平行四边形．∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，∴GH＝BC＝4 cm，∴当EF＝GH＝4 cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况： ①当0≤t≤2.5时，EF＝(5－2t) cm， 即5－2t＝4，解得t＝0.5； ②当2.5<t≤5时，EF＝(2t－5) cm，即2t－5＝4，解得t＝4.5， ∴当t＝0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形． 　含60°角的特殊平行四边形 【模型展示】 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上一动点(不与点A，B重合)，且∠EDF＝∠A，点F在边BC上．下列结论：①AE＝BF；②∠ADE＝∠BEF；③△DEF是等边三角形；④△BEF的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有(C) A.①②③④　　　　 B．①③④ C．①②③ D．①②④ 1题图 　　 2题图 如图，在矩形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，则∠BOE的度数是75°． 学科网（北京）股份有限公司 $