专题01 菱形的性质与判定（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学菱形的性质与判定核心知识点，从定义（含平行四边形基础及邻边相等要素）出发，系统梳理边、对角线、对称性等特有性质及面积计算方法，再到三种判定方法（分普通四边形与平行四边形起点），构建完整知识支架。 资料通过7类典型题型（含典例与变式）覆盖性质应用、判定证明、角度线段计算等，结合易错提醒强化理解，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过巩固与强化训练查漏补缺，提升应用意识。

专题01 菱形的性质与判定 1、理解菱形定义，掌握菱形边、对角线特有性质，能结合性质开展线段、角度相关计算。 2、熟记菱形三种判定方法，分清判定的两类起点（普通四边形、平行四边形），避免条件混淆。 3、综合运用菱形性质与判定完成几何证明，结合面积公式解决题型，提升逻辑推理能力。 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 【注意】菱形的定义包含两个要素： ①是平行四边形； ②有一组邻边相等。即菱形是在平行四边形的基础上增加“一组邻边相等”这一特殊条件。 ⚠️ 易错提醒：定义本身既是菱形的性质（菱形一定是平行四边形且邻边相等），也是菱形的判定方法之一（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 2．菱形的性质： 菱形具有平行四边形的一切性质，此外还有以下特殊性质： 边：菱形的四条边都相等。 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 对称性：菱形是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心；菱形也是中心对称图形。 【注意】面积计算（两种方法）： 方法一：底 × 高（平行四边形面积公式） 方法二：两条对角线乘积的一半，即 S=ab（a、b为两条对角线的长度） 💡 拓展：实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。 3. 菱形的判定： 菱形的判定方法共有三种 方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在▱ABCD中，若AB = AD，则▱ABCD是菱形。 方法二（对角线法）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（也可表述为“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）。 几何语言：在▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形。 方法三（四边法）：四条边相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB = BC = CD = DA，则四边形ABCD是菱形。 【注意】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形；第三种方法是在四边形的基础上直接判定。 题型1：利用菱形的性质求面积 【典例】如图，是矩形的对角线． (1)请用圆规和无刻度的直尺，分别在上找点E，F，使得四边形为菱形； (2)在（1）条件下，若，，求菱形的面积． 【变式】如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 题型2：利用菱形的性质证明 【典例】如图，在菱形中，，点E、F、G分别在边、上，，平分，点H是线段上一动点（与点A不重合）． (1)求证：； (2)当，时，求周长的最小值． 【变式】如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型3：添一个条件使四边形是菱形 【典例】如图，点、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，添加一个条件，使四边形是菱形（不需要说明理由）． 【变式】如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 题型4：证明四边形是菱形 【典例】如图，在中，点，分别在，上，连接，交对角线于点，连接，．若，，求证：四边形是菱形． 【变式】如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，请你判断四边形的形状，并证明． 题型5：根据菱形的性质与判定求角度 【典例】在 中， 点 D在边上（不与点A， C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接． (1)若求证：与互余； (2)连接，若平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明． 【变式】菱形，点为对角线上一点，且，将关于作轴对称变换得到，连接并延长，射线交直线于点． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，连接，当，，三点在同一直线上时，求的度数； (3)当时，求的度数． 题型6：根据菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式】如图，在中，对角线与相交于点O，平分． (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点E，若，，求的长． 题型7：根据菱形的性质与判定求面积 【典例】如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在边上，连接交于点O，连接，．有以下条件：①，②． (1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形为菱形； (2)在（1）的结论下，若平分，，，求四边形的面积． 【变式】已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【巩固训练】 1．如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 5．如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．三角形 7．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．我们可以利用完全平方公式，得到．如图，四边形是菱形，，则四边形的最大面积是（     ） A．16 B．8 C．64 D．32 10．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为________． 12．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是_______． 13．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 14．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 15．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 16．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 17．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 18．如图，在菱形中，，，是中点． (1)求的长； (2)在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下求的面积． 19．已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． (1)若直线经过点求直线的解析式和直接写出点的坐标； (2)求面积的最小值； (3)若，点在内部且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当时，四边形是菱形． 21．如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． (1)如图1，猜想四边形的形状并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 22．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． (1)求证：是菱形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，，，直接写出四边形的面积． 【强化训练】 1．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将两张宽为2的矩形交叉放置，交点分别为，，，，，则重叠部分四边形的周长是（） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在中，，某同学按如下步骤尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长，交于点，过点作，交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为__________． 7．如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 8．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为______． 9．如图，已知的面积为3，且将沿方向平移长度得到 ，连结交于点．下列结论中正确的是_________．①四边形的面积为9；② ；③④若 ，则. 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，连结交于点，连结，．若，，则下列结论中正确的是__________．①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④． 11．在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①连接，则的形状为________，若，，则的长是________； ②连接，求证：； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接．求证：． 12．如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点（不与A、C重合），以为边向上构造等边三角形，线段与交于点G，连接、、，Q为线段的中点，连接． (1)求证：； (2)四边形是否可以是菱形？如果可能，求出此时的长度；如不可能，请说明理由； (3)判断与的数量关系，并证明你的结论． 13．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点， (1)如图1，在菱形中，，点是上的类费马点， ①为的中点，为的中点，则________． ②为上一动点，为上一动点，且，则________． (2)如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小）， ①当时， ________． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 14．如图，点为平面直角坐标系的原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于点． (1)请直接写出线段的长及点坐标； (2)求出直线的解析式； (3)若点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度/秒，连接，过点作，垂足为，设点的运动时间为秒． ①用含的式子表示； ②请直接写出当为等腰三角形时，的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 菱形的性质与判定 1、理解菱形定义，掌握菱形边、对角线特有性质，能结合性质开展线段、角度相关计算。 2、熟记菱形三种判定方法，分清判定的两类起点（普通四边形、平行四边形），避免条件混淆。 3、综合运用菱形性质与判定完成几何证明，结合面积公式解决题型，提升逻辑推理能力。 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 【注意】菱形的定义包含两个要素： ①是平行四边形； ②有一组邻边相等。即菱形是在平行四边形的基础上增加“一组邻边相等”这一特殊条件。 ⚠️ 易错提醒：定义本身既是菱形的性质（菱形一定是平行四边形且邻边相等），也是菱形的判定方法之一（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 2．菱形的性质： 菱形具有平行四边形的一切性质，此外还有以下特殊性质： 边：菱形的四条边都相等。 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 对称性：菱形是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心；菱形也是中心对称图形。 【注意】面积计算（两种方法）： 方法一：底 × 高（平行四边形面积公式） 方法二：两条对角线乘积的一半，即 S=ab（a、b为两条对角线的长度） 💡 拓展：实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。 3. 菱形的判定： 菱形的判定方法共有三种 方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在▱ABCD中，若AB = AD，则▱ABCD是菱形。 方法二（对角线法）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（也可表述为“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）。 几何语言：在▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形。 方法三（四边法）：四条边相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB = BC = CD = DA，则四边形ABCD是菱形。 【注意】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形；第三种方法是在四边形的基础上直接判定。 题型1：利用菱形的性质求面积 【典例】如图，是矩形的对角线． (1)请用圆规和无刻度的直尺，分别在上找点E，F，使得四边形为菱形； (2)在（1）条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)四边形即为所求作； (2)菱形的面积为20 【分析】（1）作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，通过菱形的判定定理证明是菱形即可； （2）设，则，根据勾股定理求出菱形边长，进而求出面积． 【详解】（1）解：作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接， 设与交点为点O，则， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：矩形中，，， ，，， 由（1）知，四边形为菱形， ， 设， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴菱形的面积． 【变式】如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等面积法等知识，掌握等面积法求高是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，再由菱形的面积直接计算即可； （2）连接交于点，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，再利用等面积法求的长即可． 【详解】（1）解：∵菱形对角线互相垂直且平分， ∴， ∴对角线， ∴面积； （2）解：如图2，连接交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形边长为8，且点为边中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型2：利用菱形的性质证明 【典例】如图，在菱形中，，点E、F、G分别在边、上，，平分，点H是线段上一动点（与点A不重合）． (1)求证：； (2)当，时，求周长的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和均为等边三角形， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 在和中，， ∴； (2) 【分析】（1）先根据证明得到，再结合角平分线，即可利用证明； （2）过点D作交的延长线于M，连接，根据题意可得点E和点G关于对称，由此可得，要使的周长最小，则最小，当、、三点共线时，最小，最小为，根据勾股定理求出的长即可； 【详解】（1）略 （2）解：如图， 过点D作交的延长线于M，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴点和点关于对称， ∴， 要使的周长最小，则最小， 当、、三点共线时，最小，最小为， 在中，，， ∴ ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，最短路径问题，知识点较多，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式】如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，，结合题意得出，从而可得四边形为平行四边形，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，则，由菱形的性质可得，从而即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴． 题型3：添一个条件使四边形是菱形 【典例】如图，点、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，添加一个条件，使四边形是菱形（不需要说明理由）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 【分析】（1）因为，所以，再利用证明； （2）由可得，则，又因为得四边形是平行四边形，又因为，则为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形． 【变式】如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型4：证明四边形是菱形 【典例】如图，在中，点，分别在，上，连接，交对角线于点，连接，．若，，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是菱形． 【分析】先证明，，再证明，结合，进一步可得结论． 【详解】略 【变式】如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，请你判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形为菱形，证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形性质以及全等三角形的判定和性质得出，即可证得四边形为平行四边形； （2）先利用全等三角形的判定得出，进一步由（1）知四边形为平行四边形，得出即可判断四边形的形状． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，且， 又点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ，， ， ， 同理， 四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形为菱形．证明如下： ，四边形是平行四边形， ， 又点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ，， ， ， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 题型5：根据菱形的性质与判定求角度 【典例】在 中， 点 D在边上（不与点A， C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接． (1)若求证：与互余； (2)连接，若平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明： ， ， ∵平移线段得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ， 中， ， ∵点 D在边上， ∴， ∴， ∴和互余． (2)； 证明：连接，交于点O，延长至F，使，连接， 由（1）可得，四边形为平行四边形，则． ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，即O为的中点， ∴是的中线， 由三线合一得 ∵连接，交于点O，， ∴ ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 在中， 在中，， ∴， ∴. 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得，，再根据三角形内角和定理和平行四边形的性质即可解答； （2）连接，交于点O，延长至F，使，连接，证明，结合平行四边形的性质得，再证明四边形为菱形，得继而求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式】菱形，点为对角线上一点，且，将关于作轴对称变换得到，连接并延长，射线交直线于点． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，连接，当，，三点在同一直线上时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得，结合轴对称变换得到、和，由菱形的性质得和，根据等腰三角形得，由即可解得； （2）根据题意可得，设，同理可得，，结合菱形的性质得，由解得，再由求解即可； （3）①设，同理可得，，由菱形的性质得和，结合已知得，由解得，结合求解即可；②设，同理可得，，，，由等腰得，则，列出，解得即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵关于作轴对称变换得到， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， 则， ∴； （2）解：∵，，三点在同一直线上，且关于作轴对称变换得到， ∴， ∴， 设，同理可得，， ∵菱形， ∴， ∵， ∴，解得， 则； （3）解：①如图， 设，同理可得，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 则; ②如图， 设，同理可得，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 则. 题型6：根据菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式】如图，在中，对角线与相交于点O，平分． (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴． 平分， ， ， ∴， 四边形是菱形， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，结合等边对等角可得，由此即可求解； （2）根据菱形的性质可得，继而得到，再利用勾股定理求边长即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ． ， ， ， ． 题型7：根据菱形的性质与判定求面积 【典例】如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在边上，连接交于点O，连接，．有以下条件：①，②． (1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形为菱形； (2)在（1）的结论下，若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：情况一：选条件①： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； 情况二：选条件②： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； (2)． 【分析】（1）情况一：根据平行四边形的性质得到，可知，根据角平分线的定义得到，即，根据等角对等边得到，证明，得到，即，证明四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形为菱形； 情况二：根据平行四边形的性质得到，可知，根据角平分线的定义得到，即，根据等角对等边得到，证明，得到，即，证明四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质及角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，则，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵菱形， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【变式】已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形 (2)①；② 【分析】（1）先由平行四边形性质得，推导出两组内错角相等，结合是中点得，通过证明，得到，结合，利用对角线互相平分即可证四边形是平行四边形； （2）①由得，在含角的中求出、的长度，即可计算四边形的周长；②由判定平行四边形是菱形，在中结合角性质与勾股定理求出，得到对角线长，用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形周长为； ②当时， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，，， 在中，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∴． 【巩固训练】 1．如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出是等边三角形即可． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 2．如图，在菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴． 3．在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，即可计算得到的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，. ∵，， ∴，. ∴． 4．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 5．如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质解题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．三角形 【答案】C 【分析】由矩形对折两次可得，折痕刚好为剪下的四边形的对角线，再根据菱形的判定解答即可． 【详解】解：∵折痕刚好为剪下的四边形的对角线，结合对折可得：两条对角线互相垂直平分， ∴根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形． 7．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，是等边三角形，求得，，再求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 8．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，证明是等边三角形，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：菱形的对角线交于点， ， 是等边三角形， ， 点为的中点， ． 9．我们可以利用完全平方公式，得到．如图，四边形是菱形，，则四边形的最大面积是（     ） A．16 B．8 C．64 D．32 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，，由勾股定理可求出，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的最大面积是64． 10．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为________． 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，根据菱形的性质得到的长，进而求出点坐标即可. 【详解】解：∵顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∵菱形的边在轴上， ∴，轴， ∴. 12．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，，运用勾股定理可得的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴， ， ． 13．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】14.4 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，则，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． 14．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则 ． 15．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】易得所作四边形是菱形，是等腰三角形，利用菱形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图知，， ∴四边形是菱形，且是菱形的对角线， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 16．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 17．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为． 18．如图，在菱形中，，，是中点． (1)求的长； (2)在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下求的面积． 【答案】(1) (2)解：点、如图所示； (3) 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得为等边三角形，则，，再利用勾股定理求解即可； （2）以为圆心，长为半径作圆，与直线交于点、，则，由等边可得等角； （3）设到的距离为，利用的面积求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，． ， 为等边三角形． 是中点， ，． ∴在中，． ， ， ∴在中，； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ， 设到的距离为， ， ， ，， 即的面积为． 19．已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． (1)若直线经过点求直线的解析式和直接写出点的坐标； (2)求面积的最小值； (3)若，点在内部且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)24 (3)存在， 【分析】（1）将代入即可求出的值；将解析式整理得出，得出直线过定点，与取值无关，令，求出的值，即可求出定点； （2）分别用含的代数式表示出点和点的坐标，根据三角形的面积公式求出，即可求解； （3）先求出解析式为，求出点和点的坐标，根据勾股定理求出的长，连接，，，设点的坐标为，根据得出，即可得出，分情况讨论，根据菱形的性质，列出方程求出的值，即可求出点的坐标，根据菱形的对角线互相平分，结合中点坐标即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：过点， ， ． ∴直线的解析式为：， 直线过定点，与取值无关， ， ， ． ∴直线过定点，即点的坐标为； （2）解：当定点为中点时，面积最小， 理由：对于，，如图： 令得， 令得， 即点的坐标为， 点的坐标为， ， 即面积的最小值为． （3）解：，直线解析式为， 令得，令得， 即点的坐标为，点的坐标为， 故，， 在中，； 连接，，，设点的坐标为， 则， 即， 整理得， 即， 故； ∵以、、、四点为顶点的四边形是菱形， 情况一：若为边，点在内部，这样的菱形不存在； 情况二：若为对角线，取中点， 则， 如图，四边形是菱形， 则，点是的中点， ，，， ， 解得， ． ∵点是的中点，， ． 20．如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形 平分，平分 ， 在和中 ， ， 、分别是、的中线 、分别是的中点 ， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)当时，四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到 ，根据角平分线，推导出 ，得到，继而推导出，得到，进而推导出，，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）设，则，，推导出当四边形是菱形时，，证明出是等边三角形，得到， ，继而推导出是等边三角形，求出，，得到当时，四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， 当四边形是菱形时， ，即， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴当时，四边形是菱形． 21．如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． (1)如图1，猜想四边形的形状并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【答案】(1)解：四边形为菱形，证明如下： 由折叠得，，，， 在中，， ． ， ∴四边形为菱形． (2)5 【分析】（1）根据折叠可得对应边相等，对应角相等，从而可证得四条边相等，即可判定四边形为菱形； （2）设，表示出、的长度，由四边形为菱形可得，，从而可得，，再结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， 由题意得，，设，则． ， 由（1）得，四边形为菱形． ，， ，， 在中，， ∴，解得，（舍去）， ． 22．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． (1)求证：是菱形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； (2)四边形是正方形，理由如下： 由（1）知， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是菱形， 四边形是正方形； (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线条件，推导，进而得到，从而得出结论； （2）由（1）已知是菱形，结合的条件，对使用勾股定理逆定理，判断的度数，再根据正方形判定定理即可确定四边形形状； （3）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质推导，进而求出长，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出长，再利用勾股定理求出长，最后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知，， ， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 【强化训练】 1．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点E作，可得，，再证明，可得是等边三角形，从而得，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点E作， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵在菱形中， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴是等边三角形， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 2．如图，将两张宽为2的矩形交叉放置，交点分别为，，，，，则重叠部分四边形的周长是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据矩形的性质判定四边形为平行四边形，再根据两张矩形宽度相等证明其为菱形；接着利用菱形的性质和勾股定理求出边长，最后计算周长． 【详解】解：两张纸条均为矩形， ，， 四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点． 矩形宽度为， ． ， ， 四边形是菱形． ，， ． 在中，，， ∴，， ∴由勾股定理得， ． 菱形的周长为． 3．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、含度角的直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积计算．先证明四边形是菱形，得出，从而判断①；利用勾股定理计算判断②；分别计算和的面积判断③；利用等腰三角形三线合一判断④． 【详解】解： ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在中，，， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，故③错误； ，， ， 平分， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 4．在中，，某同学按如下步骤尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长，交于点，过点作，交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，先证明四边形是菱形，勾股定理求得，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴ ∴四边形的面积为 5．如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质和判定为等边三角形，利用三角形内角和及平角定义求出，结合翻折性质求出，最后利用角的关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由翻折性质可知：， ∴， ∴． 6．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据菱形的性质，分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况讨论，设出点的坐标，利用勾股定理列方程求解，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解： ，， 设，分两种情况讨论： 1、当为菱形的边时，此时，即 解得或 点在轴正半轴上， ，即 2、 当为菱形的对角线时 此时满足，即 ，如图 在中，， 又 ， 解得，满足， 综上，点的坐标为或． 7．如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分求出，的长，取中点构造三角形中位线，将转化到直角三角形中，利用勾股定理求解. 【详解】解： 四边形是菱形 ， ，，， 点为的中点 ， ， 取的中点，连接，如图所示， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 点在线段上，， ， 在中，． 8．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为______． 【答案】 【分析】连接，根据中位线定理，可得，再根据“垂线段最短”，可得当时，有最小值，即有最小值，利用的直角三角形和勾股定理，可得，从而求出，最后根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， G、H分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，有最小值，即有最小值， ∵的最小值为， 的最小值为， ∵，， ， ， 在中，， ， ，， ∵四边形是菱形， ． 9．如图，已知的面积为3，且将沿方向平移长度得到 ，连结交于点．下列结论中正确的是_________．①四边形的面积为9；② ；③④若 ，则. 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质和判定等知识点的综合运用及推理计算能力 【详解】解：由平移的性质得到：，，，，， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴的面积 =的面积， ∴ 四边形的面积 =面积的3倍 =， 故①符合题意； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②符合题意； 由勾股定理得到：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③不符合题意； ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴的面积 =， ∴， 故④符合题意； ∴ 结论中正确的是①②④； 故答案为：①②④. 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，连结交于点，连结，．若，，则下列结论中正确的是__________．①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④． 【答案】①③④ 【分析】根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， 故①正确； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故③正确； 是等边三角形， ， ， ∴， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，即，故②错误； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 11．在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①连接，则的形状为________，若，，则的长是________； ②连接，求证：； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接．求证：． 【答案】(1)①直角三角形， ②证明：如图，延长交于， 是的中点， ， ∵在菱形和等边中，， ∴， ∴ ， ， 又，， ， ，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ， 又， ； (2)证明：延长交于，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵在菱形和等边中，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①证明，可知：是直角三角形；过作于，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，得的长，根据等边三角形的定义得，根据勾股定理可得的长； ②延长交于，先证，得到，，进而可得可得，然后可得； （2）延长交于点，连接，先证明，再证得，进而得到，则． 【详解】（1）解：①连接，过作于， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形； ，，于， ，， ， 中，， ， ， ， 由勾股定理得：； ②略 （2）略 12．如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点（不与A、C重合），以为边向上构造等边三角形，线段与交于点G，连接、、，Q为线段的中点，连接． (1)求证：； (2)四边形是否可以是菱形？如果可能，求出此时的长度；如不可能，请说明理由； (3)判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵菱形中，， ， 为等边三角形， ，， ， 又， ． (2)可以是， (3)． 证明如下：如图，延长至H，使，连接、， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ∴， ， 是的中点，Q是的中点， 是的中位线， ， ． 【分析】（1）由菱形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，求出，再结合等腰三角形的性质即可得证； （2）由（1）知，，  当G为中点时，四边形是菱形，此时，由等边三角形的性质可得，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）延长至H，使，连接、，证明是等边三角形，得出，，再证明，得出，由三角形中位线定理可得，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：四边形可以是菱形， 由（1）知，，   ∴当G为中点时，四边形是菱形．   ， ， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴； （3）略． 13．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点， (1)如图1，在菱形中，，点是上的类费马点， ①为的中点，为的中点，则________． ②为上一动点，为上一动点，且，则________． (2)如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小）， ①当时， ________． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 【答案】(1)①；② (2)①； ②如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的值最小，为的长，且点是的费马点， ，， ， 此时的最小值为． 【分析】（1）①取的中点，连接，根据菱形的定义和线段中点的定义可证明，得到，则，当、、三点共线时，有最小值，为，证明四边形是平行四边形，得到，即可求解；②由①知，，则的最小值为与之间的距离，过点作于，求出即可； （2）①将绕点顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质得到是等边三角形，推出，则，当、在线段上时，的值最小，为的长，连接，与的交点为点，与交于点，根据等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理得到，，，则，根据勾股定理以及三线合一求出，即可求解；②将绕点顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质得到得到是等边三角形，推出，则，当、在线段上时，的值最小，为的长，且点是的费马点，推出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，取的中点，连接， 四边形是菱形， ，， 为的中点，为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，为， ，， 四边形是平行四边形， ， ； ②由①知，， 、分别为、上的动点， 的最小值为与之间的距离， 如图，过点作于， ， ， ， ， 点是上的类费马点， ； （2）解：①如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的值最小，为的长， 连接，与的交点为点，与交于点， ，， ， ，， ，， ， ， 同理，， ； ②略 14．如图，点为平面直角坐标系的原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于点． (1)请直接写出线段的长及点坐标； (2)求出直线的解析式； (3)若点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度/秒，连接，过点作，垂足为，设点的运动时间为秒． ①用含的式子表示； ②请直接写出当为等腰三角形时，的最小值． 【答案】(1)，点坐标为； (2)直线的解析式为； (3)①；②的最小值为． 【分析】（）过作轴于点，通过勾股定理求得，则点； （2）通过待定系数法即可求解； （3）①过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以； ②由题意得点，由①得，又，，再分三种情况讨论，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴点坐标为； （2）解：点，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴； ②∵点，由①得，又，， ∴，， 当时，即，，解得； 当时，即，，解得（负值已舍）； 当时，即，，解得（舍去）或； ∵， ∴的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $