专题05 一元一次方程（期中真题汇编，广东专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·广东潮州潮安区·期中）下列方程为一元一次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的整式方程，据此进行判断即可． 【详解】 解：对于A：∵方程中左边的代数式不是整式，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； 对于B：∵方程中含有两个未知数， ∴不是一元一次方程； 对于C：∵方程中未知数的最高次数为2， ∴不是一元一次方程； 对于D：∵方程只含一个未知数，且次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； 故选：D． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·广东潮州潮安区·期中）下列等式变形中，结果不正确的是（       ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【分析】 根据等式的性质逐项判断即得答案． 【详解】 解：A、如果，那么，故本选项变形正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项变形正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项变形正确，不符合题意； D、如果，当时，不能得出，故本选项变形错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了等式的性质：等式的两边都加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·广东阳江阳东区·期中）如果与两个量成反比例关系，且与的两组对应值如有表，那么的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，反比例的意义，解题的关键是根据题意列出方程．根据与两个量成反比例关系，得出 ，然后解方程即可． 【详解】 解：根据题意得 ， 解得：． 故答案为：9． 2．（25-26学年七上·广东湛江坡头区·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示________； （3）探究：当时，求的值？ （4）求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】（1）；     （2）     （3）或     （4），      【分析】 本题主要考查了数轴，绝对值的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据几何意义进行求解即可； （4）根据几何意义进行化简求值即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示2和6两点之间的距离是； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； (2) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点之间的距离表示； (3) 小问详解： 解：当时， ， 解得或； (4) 小问详解： 解：表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 故当时，表示数的点到表示和的点的距离之和最小，此时距离为， 故可取的整数有． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·广东潮州潮安区·期中）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查数轴上的数的运算，乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点在线段上和线段上，以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，然后代入求值计算即可． 【详解】 解：点在线段上， ∴， ∵； ∴ 点在线段上， ∴， ∵； ∴ 综上： ∴点到三点的距离之和的最大值为，最小值为， ∴ 故选：D． 2．（25-26学年七·广东东莞·期中）某电路的电源电压（单位：），电阻（单位：），电流（单位：）三者之间的关系为，且电源电压恒定不变，根据下表，“”处应填　　　　　　． （单位：） （单位：） 【答案】 【分析】 本题考查了代数式，整式，方程的应用，由已知可得，即得，再把代入计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】 解：∵时， ， ∴， 又∵电压恒定不变， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 3．（25-26学年七上·广东江门恩平·期中）【阅读】如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    【应用】请用上面的知识解答下面的问题：    如图2，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为8．点P以1个单位/秒的速度从A点出发向数轴正方向运动，点Q以3个单位/秒的速度同时从B点出发向数轴负方向运动．设运动时间为t． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t为何值时，点P与点Q相遇，并求出相遇点在数轴上所对应的数． （3）点P与点Q在相遇后立即以原速度向相反方向运动，在整个过程中，请问当t为何值时，？ 【答案】（1）A、B两点之间的距离为20     （2）当t为5秒时，点P与点Q相遇，相遇点在数轴上所对应的数为     （3）当t为或4或6或秒时，      【分析】 本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，第3问注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用A、B两点之间的距离＝点B表示的数﹣点A表示的数，即可求出结论； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P与点Q相遇（相遇时两点表示的数相同），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的方程，解之即可得出t的值；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的方程，解之即可得出t的值． (1) 小问详解： 解：根据题意得，． 答：A、B两点之间的距离为20； (2) 小问详解： 解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：当t为5秒时，点P与点Q相遇，相遇点在数轴上所对应的数为； (3) 小问详解： 解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当t为或4或6或秒时，． 4．（25-26学年七上·广东湛江坡头区·期中）打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表： 每分打字个数（个） 所需时间（分钟） （1）每分打字个数和所需时间成 　　比例关系，可以表示为 　　． （2）如果每分打个字，打完这篇稿子需要多少分钟？ 【答案】（1）反，     （2）打完这篇稿子需要分钟      【分析】 本题考查了反比例关系，一元一次方程的应用．熟练掌握反比例关系，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，每分打字个数与所需的时间，是定值，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，每分打字个数与所需的时间，是定值， ∴每分打字个数和所需时间成反比例关系，可以表示为， 故答案为：反，． (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴如果每分打150个字，打完这篇稿子需要分钟． 5．（25-26学年七上·广东湛江坡头区·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）求a的值； （2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？ （3）已知卧室1的面积为16平方米，按市场价格，木地板的单价为500元/平方米，地砖的单价为20元/平方米，求铺设地面的总费用． 【答案】（1）     （2）铺设地面需要木地板和地砖分别是平方米和平方米     （3）铺设地面的总费用是31840      【分析】 （1）根据长方形的对边相等可得，即可求出的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）先根据卧室1的面积为16平方米求出，再求出所需的费用即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得， 解得：； (2) 小问详解： 解：三间卧室的面积： 平方米， 其他区域的面积： 平方米， 即铺设地面需要木地板和地砖分别是平方米和平方米． (3) 小问详解： 解：∵卧室1的面积为16平方米， ∴， 解得， ∴三间卧室的面积： （平方米）， 其他区域的面积： （平方米）， ∴铺设地面的总费用： （元）． 答：铺设地面的总费用是31840元． 【点睛】 本题考查了列代数式，整式加减运算，长方形的面积，一元一次方程的应用，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积是解题的关键． 6．（25-26学年七上·广东阳江阳东区·期中）【背景知识】 数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合． 如图，若数轴上A，B两点表示的数分别为，，则A，B两点之间的距离，例如，，，则． 【问题情境】 如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为，12，甲、乙分别从A，B处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． （1）___________． 【综合运用】 （2）如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，则点表示的数为___________，此时___________． （3）如果甲、乙都向左运动， ①当为何值时，乙恰好追上甲？ ②当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 【答案】（1）20     （2），5     （3）①，②或12.5      【分析】 （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）① 根据乙追上甲时比甲多走了20个单位列方程求解即可； ② 分两种情况求解：情况一，乙追上甲之前相距5个单位长度；情况二，乙追上甲之后相距5个单位长度． (1) 小问详解： 解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为，12， ∴． 故答案为：20． (2) 小问详解： 解：由题意得 ， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：，5． (3) 小问详解： 解：①依题意，有， 解得． ②分两种情况，情况一，乙追上甲之前相距5个单位长度， 此时有， 解得； 情况二，乙追上甲之后相距5个单位长度， 此时有， 解得， 综上所述，当或12.5时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． 7．（25-26学年七上·广东汕头潮南区·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【分析】 （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】 （1）解：由题意知，， 故答案为：5； （2）解：由题意知，或， 故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵， ∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ； 故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ， 由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键． 8．（25-26学年七上·广东深圳龙岗区·期中）为提倡节约用水，广州市中心城区居民生活用水收费标准调整如表： 月用水量立方米 不超过21立方米的部分 超过21立方米不超27立方米的部分 超过27立方米的部分 单价元/立方米 （1）某户居民6月用水量为26立方米，则该月应交多少水费？ （2）某户居民6月水费为元，则该户居民6月用水量为多少立方米？ 【答案】（1）该月应交元水费     （2）该户居民6月用水量为30立方米      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用该月应交水费超过立方米的部分，即可求出结论； （2）设该户居民6月用水量为x立方米，根据该户居民6月水费为元，先确定用水量范围，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得： 元 答：该月应交元水费； (2) 小问详解： 解：设该户居民6月用水量为x立方米， 元，， 根据题意得：， 解得：， 答：该户居民6月用水量为立方米． 9．（25-26学年七上·广东揭阳·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．                  图1                                                                                                                                备图 （1）求、的值； （2）情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为________个单位长度；应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点需要2秒，则火车的速度为每秒_________个单位长度； （3）在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在请说明理由． 【答案】（1）     （2）；     （3）存在；，定值为      【分析】 （1）根据得，计算即可． （2）① 设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ② 根据① 得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， ∵，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为3单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：3，． (3) 小问详解： 存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】 本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，一元一次方程的应用，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 10．（25-26学年七上·广东东莞南城区·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． （1）若，则____，____，若，则             （用含x的式子表示）； （2）在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； （3）若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 【答案】（1）9，16，     （2） 解：被框住的5个数字之和不可能为116，理由如下： 依题意， 则 ∵被框住的5个数字之和为116， ∴， ∴ ∴， 观察月历，26号是靠边， ∴被框住的5个数字之和不可能为116．     （3） 解：是定值，且为，理由如下： 由（2）得 同理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ． 故为定值，且为．      【分析】 本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分析即可得出当时，则，，以及当时，，即可作答． （2）先理解题意，分别表示再求出被框住的5个数字之和，再进行列出，解得，即可作答． （3）根据，得，则化简，得出，结果为定值，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，，， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 11．（25-26学年七·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 （1）①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 【答案】（1）①②或4     （2）①②E点表示的数为，F点表示的数为999③ 点G表示的数为或1011.5     （3），      【分析】 （1）① 求出折痕表示的数即可解答； ② 根据数轴上的两点距离可进行求解； （2）① 由点A与点C重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ② 由① 可知折叠点表示的数为，则可知到E、F的距离都为1000，进而问题可求解； ③ 根据列出方程，求解方程可得出x的值． （3）由题意可知表示数n的点到P、Q两点的距离都为，然后问题即可求解． (1) 小问详解： 解：∵表示数2的点与表示数的点重合， ∴折痕点表示的数为； ∵点表示的数为1， ∴点与表示数的点重合； ②这个数为或； (2) 小问详解： 解：① 由题意可得：折叠点对应的数为：， ∴与B点重合的点表示的数是：； ② 由① 得折叠点对应的数为：， ∴E点表示的数为：，F点表示的数为：． ③ ∵，设点G表示的数为x， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，点G表示的数为或1011.5． (3) 小问详解： 解：由题意可得：表示数n的点到P，Q两点的距离都为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． 12．（25-26学年七上·广东佛山南海区·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律．如数轴上点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为．如图1，数轴上点表示为，点表示为2． （1）线段的长度是___________． （2）数轴上表示2和的两点之间的距离是___________；表示和的两点之间的距离是___________． （3）表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： ①和在数轴上对应点的距离是6，那么___________； ②，则___________； ③的最小值是___________． （4）如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄、、、和某乡镇，四个村庄、、、分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个村庄的总路程最短？最短路程是多少？ 答：点建在___________，能使服务点到、、、总路程最短，最短路程是___________． 【答案】（1）5     （2）7；     （3）①或3；②或3；③5     （4）之间（包括点B和点C），      【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，动点问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据数轴得出、两点表示的数，再求出； （2）根据数轴上两点间的距离公式求解； （3）① 根据数轴上两点间的距离公式，列出关于的方程求解； ② 分、、三种情况讨论，分别得到关于的方程求解； ③ 当表示的点在与2之间时，的值最小，求出最小值； （4）先根据题意，得出A、B、C、D表示的有理数，设便民服务点P在数轴上表示x的点处，然后表示出便民服务点到四点的距离之和，再求出最小值． (1) 小问详解： 解：∵表示的数是，表示的数是2， ∴， 故答案为：5． (2) 小问详解： 数轴上表示2和的两点之间的距离是；表示和的两点之间的距离是． 故答案为：7；． (3) 小问详解： ① ∵和在数轴上对应点的距离是6， ∴， ∴，或 解得：或3， 故答案为：或3；； ② 当时，可化为， 解得：； 当时，可化为，无解； 当时，可化为， 解得：， 综上所停，或3， 故答案为：或3； ③表示到与2两点的距离和，显然当在与2两点之间时，的值最小值是， 故答案为：5； (4) 小问详解： 便民服务点P建在之间（包括点B和点C），能使P到四个村庄A、B、C、D总路程最短，最短距离是千米，理由如下： ∵四个村庄、、、分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧，∴O点表示的有理数为0，则A、B、C、D表示的有理数分别为，，，， 设便民服务点P在数轴上表示x的点处， ∴便民服务点到四点的距离之和为：， 由绝对值的意义可知， 当表示x的点在表示和2的点的线段上时有最小值， 此时， 答：便民服务点P建在之间（包括点B和点C），能使P到四个村庄A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 故答案为：之间（包括点B和点C），． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·广东潮州潮安区·期中）下列方程为一元一次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·广东潮州潮安区·期中）下列等式变形中，结果不正确的是（       ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·广东阳江阳东区·期中）如果与两个量成反比例关系，且与的两组对应值如有表，那么的值是　　　　　　． 2．（25-26学年七上·广东湛江坡头区·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示________； （3）探究：当时，求的值？ （4）求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·广东潮州潮安区·期中）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七·广东东莞·期中）某电路的电源电压（单位：），电阻（单位：），电流（单位：）三者之间的关系为，且电源电压恒定不变，根据下表，“”处应填　　　　　　． （单位：） （单位：） 3．（25-26学年七上·广东江门恩平·期中）【阅读】如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    【应用】请用上面的知识解答下面的问题：    如图2，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为8．点P以1个单位/秒的速度从A点出发向数轴正方向运动，点Q以3个单位/秒的速度同时从B点出发向数轴负方向运动．设运动时间为t． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t为何值时，点P与点Q相遇，并求出相遇点在数轴上所对应的数． （3）点P与点Q在相遇后立即以原速度向相反方向运动，在整个过程中，请问当t为何值时，？ 4．（25-26学年七上·广东湛江坡头区·期中）打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表： 每分打字个数（个） 所需时间（分钟） （1）每分打字个数和所需时间成 　　比例关系，可以表示为 　　． （2）如果每分打个字，打完这篇稿子需要多少分钟？ 5．（25-26学年七上·广东湛江坡头区·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）求a的值； （2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？ （3）已知卧室1的面积为16平方米，按市场价格，木地板的单价为500元/平方米，地砖的单价为20元/平方米，求铺设地面的总费用． 6．（25-26学年七上·广东阳江阳东区·期中）【背景知识】 数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合． 如图，若数轴上A，B两点表示的数分别为，，则A，B两点之间的距离，例如，，，则． 【问题情境】 如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为，12，甲、乙分别从A，B处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． （1）___________． 【综合运用】 （2）如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，则点表示的数为___________，此时___________． （3）如果甲、乙都向左运动， ①当为何值时，乙恰好追上甲？ ②当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 7．（25-26学年七上·广东汕头潮南区·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 8．（25-26学年七上·广东深圳龙岗区·期中）为提倡节约用水，广州市中心城区居民生活用水收费标准调整如表： 月用水量立方米 不超过21立方米的部分 超过21立方米不超27立方米的部分 超过27立方米的部分 单价元/立方米 （1）某户居民6月用水量为26立方米，则该月应交多少水费？ （2）某户居民6月水费为元，则该户居民6月用水量为多少立方米？ 9．（25-26学年七上·广东揭阳·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．                  图1                                                                                                                                备图 （1）求、的值； （2）情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为________个单位长度；应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点需要2秒，则火车的速度为每秒_________个单位长度； （3）在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在请说明理由． 10．（25-26学年七上·广东东莞南城区·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． （1）若，则____，____，若，则             （用含x的式子表示）； （2）在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； （3）若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 11．（25-26学年七·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 （1）①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 12．（25-26学年七上·广东佛山南海区·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律．如数轴上点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为．如图1，数轴上点表示为，点表示为2． （1）线段的长度是___________． （2）数轴上表示2和的两点之间的距离是___________；表示和的两点之间的距离是___________． （3）表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： ①和在数轴上对应点的距离是6，那么___________； ②，则___________； ③的最小值是___________． （4）如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄、、、和某乡镇，四个村庄、、、分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个村庄的总路程最短？最短路程是多少？ 答：点建在___________，能使服务点到、、、总路程最短，最短路程是___________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．D 考点02 等式的性质 1．D 考点03 解一元一次方程 1．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，反比例的意义，解题的关键是根据题意列出方程．根据与两个量成反比例关系，得出 ，然后解方程即可． 【详解】 解：根据题意得 ， 解得：． 故答案为：9． 2．【答案】（1）；     （2）     （3）或     （4），      【分析】 本题主要考查了数轴，绝对值的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据几何意义进行求解即可； （4）根据几何意义进行化简求值即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示2和6两点之间的距离是； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； (2) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点之间的距离表示； (3) 小问详解： 解：当时， ， 解得或； (4) 小问详解： 解：表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 故当时，表示数的点到表示和的点的距离之和最小，此时距离为， 故可取的整数有． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．D 2．【答案】 【分析】 本题考查了代数式，整式，方程的应用，由已知可得，即得，再把代入计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】 解：∵时， ， ∴， 又∵电压恒定不变， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 3．【答案】（1）A、B两点之间的距离为20     （2）当t为5秒时，点P与点Q相遇，相遇点在数轴上所对应的数为     （3）当t为或4或6或秒时，      【分析】 本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，第3问注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用A、B两点之间的距离＝点B表示的数﹣点A表示的数，即可求出结论； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P与点Q相遇（相遇时两点表示的数相同），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的方程，解之即可得出t的值；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的方程，解之即可得出t的值． (1) 小问详解： 解：根据题意得，． 答：A、B两点之间的距离为20； (2) 小问详解： 解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：当t为5秒时，点P与点Q相遇，相遇点在数轴上所对应的数为； (3) 小问详解： 解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当t为或4或6或秒时，． 4．【答案】（1）反，     （2）打完这篇稿子需要分钟      【分析】 本题考查了反比例关系，一元一次方程的应用．熟练掌握反比例关系，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，每分打字个数与所需的时间，是定值，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，每分打字个数与所需的时间，是定值， ∴每分打字个数和所需时间成反比例关系，可以表示为， 故答案为：反，． (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴如果每分打150个字，打完这篇稿子需要分钟． 5．【答案】（1）     （2）铺设地面需要木地板和地砖分别是平方米和平方米     （3）铺设地面的总费用是31840      【分析】 （1）根据长方形的对边相等可得，即可求出的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）先根据卧室1的面积为16平方米求出，再求出所需的费用即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得， 解得：； (2) 小问详解： 解：三间卧室的面积： 平方米， 其他区域的面积： 平方米， 即铺设地面需要木地板和地砖分别是平方米和平方米． (3) 小问详解： 解：∵卧室1的面积为16平方米， ∴， 解得， ∴三间卧室的面积： （平方米）， 其他区域的面积： （平方米）， ∴铺设地面的总费用： （元）． 答：铺设地面的总费用是31840元． 【点睛】 本题考查了列代数式，整式加减运算，长方形的面积，一元一次方程的应用，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积是解题的关键． 6．【答案】（1）20     （2），5     （3）①，②或12.5      【分析】 （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）① 根据乙追上甲时比甲多走了20个单位列方程求解即可； ② 分两种情况求解：情况一，乙追上甲之前相距5个单位长度；情况二，乙追上甲之后相距5个单位长度． (1) 小问详解： 解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为，12， ∴． 故答案为：20． (2) 小问详解： 解：由题意得 ， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：，5． (3) 小问详解： 解：①依题意，有， 解得． ②分两种情况，情况一，乙追上甲之前相距5个单位长度， 此时有， 解得； 情况二，乙追上甲之后相距5个单位长度， 此时有， 解得， 综上所述，当或12.5时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． 7．【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【分析】 （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】 （1）解：由题意知，， 故答案为：5； （2）解：由题意知，或， 故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵， ∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ； 故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ， 由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键． 8．【答案】（1）该月应交元水费     （2）该户居民6月用水量为30立方米      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用该月应交水费超过立方米的部分，即可求出结论； （2）设该户居民6月用水量为x立方米，根据该户居民6月水费为元，先确定用水量范围，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得： 元 答：该月应交元水费； (2) 小问详解： 解：设该户居民6月用水量为x立方米， 元，， 根据题意得：， 解得：， 答：该户居民6月用水量为立方米． 9．【答案】（1）     （2）；     （3）存在；，定值为      【分析】 （1）根据得，计算即可． （2）① 设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ② 根据① 得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， ∵，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为3单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：3，． (3) 小问详解： 存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】 本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，一元一次方程的应用，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 10．【答案】（1）9，16，     （2） 解：被框住的5个数字之和不可能为116，理由如下： 依题意， 则 ∵被框住的5个数字之和为116， ∴， ∴ ∴， 观察月历，26号是靠边， ∴被框住的5个数字之和不可能为116．     （3） 解：是定值，且为，理由如下： 由（2）得 同理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ． 故为定值，且为．      【分析】 本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分析即可得出当时，则，，以及当时，，即可作答． （2）先理解题意，分别表示再求出被框住的5个数字之和，再进行列出，解得，即可作答． （3）根据，得，则化简，得出，结果为定值，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，，， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 11．【答案】（1）①②或4     （2）①②E点表示的数为，F点表示的数为999③ 点G表示的数为或1011.5     （3），      【分析】 （1）① 求出折痕表示的数即可解答； ② 根据数轴上的两点距离可进行求解； （2）① 由点A与点C重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ② 由① 可知折叠点表示的数为，则可知到E、F的距离都为1000，进而问题可求解； ③ 根据列出方程，求解方程可得出x的值． （3）由题意可知表示数n的点到P、Q两点的距离都为，然后问题即可求解． (1) 小问详解： 解：∵表示数2的点与表示数的点重合， ∴折痕点表示的数为； ∵点表示的数为1， ∴点与表示数的点重合； ②这个数为或； (2) 小问详解： 解：① 由题意可得：折叠点对应的数为：， ∴与B点重合的点表示的数是：； ② 由① 得折叠点对应的数为：， ∴E点表示的数为：，F点表示的数为：． ③ ∵，设点G表示的数为x， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，点G表示的数为或1011.5． (3) 小问详解： 解：由题意可得：表示数n的点到P，Q两点的距离都为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． 12．【答案】（1）5     （2）7；     （3）①或3；②或3；③5     （4）之间（包括点B和点C），      【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，动点问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据数轴得出、两点表示的数，再求出； （2）根据数轴上两点间的距离公式求解； （3）① 根据数轴上两点间的距离公式，列出关于的方程求解； ② 分、、三种情况讨论，分别得到关于的方程求解； ③ 当表示的点在与2之间时，的值最小，求出最小值； （4）先根据题意，得出A、B、C、D表示的有理数，设便民服务点P在数轴上表示x的点处，然后表示出便民服务点到四点的距离之和，再求出最小值． (1) 小问详解： 解：∵表示的数是，表示的数是2， ∴， 故答案为：5． (2) 小问详解： 数轴上表示2和的两点之间的距离是；表示和的两点之间的距离是． 故答案为：7；． (3) 小问详解： ① ∵和在数轴上对应点的距离是6， ∴， ∴，或 解得：或3， 故答案为：或3；； ② 当时，可化为， 解得：； 当时，可化为，无解； 当时，可化为， 解得：， 综上所停，或3， 故答案为：或3； ③表示到与2两点的距离和，显然当在与2两点之间时，的值最小值是， 故答案为：5； (4) 小问详解： 便民服务点P建在之间（包括点B和点C），能使P到四个村庄A、B、C、D总路程最短，最短距离是千米，理由如下： ∵四个村庄、、、分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧，∴O点表示的有理数为0，则A、B、C、D表示的有理数分别为，，，， 设便民服务点P在数轴上表示x的点处， ∴便民服务点到四点的距离之和为：， 由绝对值的意义可知， 当表示x的点在表示和2的点的线段上时有最小值， 此时， 答：便民服务点P建在之间（包括点B和点C），能使P到四个村庄A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 故答案为：之间（包括点B和点C），． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $