专题02 不等式与基本不等式讲义-2027届高考数学一轮复习（新高考版）

专题02　不等式与基本不等式 一、核心知识 1．一元二次不等式：先化二次项系数为正，再因式分解求根，“大于取两边、小于取中间”。 2．分式不等式：； 且 。切记分母不能为 。 3．高次不等式用“穿根法”：奇数重根穿过、偶数重根折返，从右上方起笔。 4．不等式性质：；可加性 ；， 时不等号反向。 5．基本不等式：，当且仅当 时取等号。核心是“一正、二定、三相等”。 6．常用变形：（和的最小值）；（积的最大值）。 7．配凑技巧：不满足“定值”时，通过拆项、添项、通分凑出积为定值，如 。 8．“”的代换：若 （），则 ，展开后用基本不等式。 9．恒成立： 对任意 恒成立 ； 恒成立 。 10．能成立（有解）： 在 上有解 ；与恒成立的取最值方向恰好相反。 二、题型精练 题型一　一元二次不等式与分式不等式的解法 【方法与技巧】 三步走：①二次项系数化为正；②因式分解求根（不能分解时算判别式）；③按“大于取两边、小于取中间”写解集。 分式不等式一律先移项、通分、判号变整式，切忌直接两边乘分母（分母正负未知）。 端点归属单独检查： 含分子零点、 不含零点、分母零点永远排除。 【例题精讲】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因式分解得 ，对应方程的根为 和 。“大于取两边”，故解集为 。故选 A。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于 且 ，解得 且 ，即 。要点：分母的零点 必须排除，而分子零点 因不等号含等号可以取到。故选 B。 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等价于 且 ，解得 或 。注意分母零点 不可取，分子零点 可以取到。故选 B。 【变式训练】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因式分解得 。“小于取中间”，故 ，解集为 。故选 B。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次项系数为正，因式分解得 。“小于取中间”，故 ，解集为 。故选 C。 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先移项通分：。等价于 且 ，解得 或 。注意分母零点 不可取。故选 D。 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】移项通分：。分子 恒定，故只需 ，即 ，解集为 。故选 B。 5．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等价于 且 ，解得 ，解集为 。故选 C。 6．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】移项通分：。分子 恒定，故只需 ，即 ，解集为 。故选 A。 【巩固练习】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因式分解得 ，根为 与 。“大于取两边”，故解集为 。故选 B。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原不等式等价于 且 ，解得 且 ，即 。要点：分母零点 必须排除，分子零点 因含等号可取。故选 A。 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得 ，“小于取中间”，故 ，解集为 。故选 C。 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先移项通分：。等价于 且 ，解得 或 （分母零点 排除，分子零点 可取）。故选 D。 5．不等式 的解集为　　　　． 【答案】 【详解】，“小于取中间”，得 ，即 （不含端点，因为不等号是严格小于）。 6．已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得 。当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时 无解。题目给出的解集是 （左端小、右端大），说明 。故选 C。 7．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先各化各的： 等价于 且 ，得 ； 得 。取公共部分（左端 归 的开口，取不到；右端 且 ，取到）得 。故选 A。 8．不等式 的解集为　　　　． 【答案】 【详解】移项通分：。分子 恒成立，故只需分母 ，即 ，解集为 。切忌直接两边乘 （其正负未知）。 题型二　基本不等式求最值 【方法与技巧】 用之前先过三关： ①“一正”——各项必须为正，遇负先提负号； ②“二定”——和或积中必须有一个是定值，不满足就配凑； ③“三相等”——回代检验等号能否取到，取不到要改用函数单调性。 求“积最大”用 ，求“和最小”用 ，方向千万别用反。 【例题精讲】 1．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由基本不等式 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故最小值为 。故选 B。 2．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】和是定值 ，求积的最大值：，当且仅当 时取等号。故最大值为 。故选 A。 3．若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】积为定值，求和小：，当且仅当 时取等号。故最小值为 。故选 C。 【变式训练】 1．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时先化正：，。由基本不等式 ，故 ，当且仅当 即 时取等号。故最大值为 。故选 A。 2．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当 即 时取等号。故最小值为 。故选 C。 3．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把 与 看成两个正数，其和 为定值，故 ，从而 ，当且仅当 即 ， 时取等号。故选 A。 4．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 与 的和为定值 ，故 ，从而 ，当且仅当 即 ， 时取等号。故选 C。 5．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】配凑出定值：，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故最小值为 。故选 B。 6．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，则 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故最大值为 。故选 A。 【巩固练习】 1．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由基本不等式 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 B。 2．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当 时取等号。故选 C。 3．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，由基本不等式 ，故 ，当且仅当 即 时取等号。故选 A。 4．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 D。 5．若 ，则 的最小值为　　　　． 【答案】 【详解】，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因 ，令 ，则 ，当且仅当 即 时取等号。故选 B。 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】恒成立即 对一切 成立，故 不大于 的最小值。由基本不等式 （ 时取等号），故 ，即 的最大值为 。故选 C。 8．已知 ，则 的最小值为　　　　． 【答案】 【详解】配方得 ，故 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号，最小值为 。 题型三　“1”的代换与配凑 【方法与技巧】 识别标志：条件是“”，所求是“”这类倒数和。 做法固定——“乘 法”：把所求式乘以 ，展开后两项为常数、两项互为倒数之积，再用基本不等式求最小值。 等号条件由互为倒数的那两项相等给出，最后务必回代检验 。 【例题精讲】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于 ，可用“”的代换：。由基本不等式 ，故原式 ，当且仅当 即 时取等号。故选 A。 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“”的代换：。由基本不等式 ，故原式 ，当且仅当 即 时取等号，此时 ，。故选 A。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“”的代换：，当且仅当 即 时取等号，结合 得 ，。故选 C。 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“”的代换：，当且仅当 即 时取等号，结合 得 ，。故选 B。 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“”的代换：，当且仅当 即 时取等号，结合 得 ，。故选 B。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先把条件化为倒数和：两边同除 得 。于是 ，当且仅当 即 时取等号，代入条件得 ，，满足 。故选 A。 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“”的代换：，当且仅当 时取等号。故选 C。 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件得 ，故 ，当且仅当 即 时取等号，代入条件得 ，。故选 D。 6．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件得 ，故 ，当且仅当 即 时取等号。故选 B。 【巩固练习】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“”的代换：，当且仅当 时取等号。故选 B。 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因 ，故 ，当且仅当 即 时取等号。故选 C。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（典例二同源，和改为 ）先乘 再除以 ：，而 ，故 ，当且仅当 即 ，结合 得 ， 时取等号。故选 A。 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两边同除 得 。于是 ，即 ，当且仅当 时取等号。故选 D。 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为　　　　． 【答案】 【详解】由条件得 ，故 ，当且仅当 即 ，结合条件得 ， 时取等号。 6．已知 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先用“”的代换求左边最小值：。要使不等式恒成立，只需 ，即 ，，故 ，即 的最小值为 。故选 B。 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因 ，有 ，故原式 。又 ，所以 ，当且仅当 时取等号。故选 C。 8．已知 ，，且 ，则 的最小值为　　　　． 【答案】 【详解】展开：。记 ，由 得 ，且 ，故原式 。函数 在 上单调递减，故 时取最小值 （此时 ）。 题型四　恒成立与能成立 【方法与技巧】 一张表记牢四个方向： 恒成立求最小值（ 恒成立 ），能成立求最大值（ 有解 ）——两者方向正好相反，这是最容易失分的地方。 二次型优先用判别式；区间上的一次函数只需看两端点；分离参数时注意除以负数要反号。 【例题精讲】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二次函数开口向上，对任意实数恒大于 等价于其图象与 轴无交点，即判别式 ，解得 。检验： 时 ，存在 使其等于 ，不满足“”，故等号不可取。故选 A。 2．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“有解”即能成立，要求 大于 在 上的最小值。函数 在 处取最小值 ，故只需 。检验： 时 无解，故等号不可取。故选 A。 3．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线开口向上，对任意实数恒成立需判别式 ，解得 。检验端点： 时 恒成立； 时 恒成立，故两端都能取。故选 B。 【变式训练】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，把参数分离出来：，两边同除正数 得 。因为 时 ，所以 ，其最大值为 （在 处取到）。要使 恒成立，需 。故选 B。 2．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】①当 时原式为 ，取 时不成立，舍去；②当 时必须开口向上即 ，且 ，解得 。综上 。故选 C。 3．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“有解”即能成立，由 ，只需 大于 在 上的最小值。因为 在 处取最小值 ，故 。检验 ：原式为 ，无解，等号不可取。故选 B。 4．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把参数分离：，两边同除正数 得 。在 上 单调递增，最小值在 处取得，为 。要使 恒成立，需 。检验 ：原式为 ，在 上恒成立，等号可取。故选 A。 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分离参数： 对一切 成立。因为 时 且当 趋近于 时趋近于 ，故 虽然取不到最大值，但其上确界为 。要使 恒大于它，只需 。检验 ： 对一切 成立。故选 C。 6．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对一切 成立。 在 处取最大值 ，故 。检验 ：原式为 ，恒成立，等号可取。故选 B。 【巩固练习】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开口向上，恒大于 等价于图象与 轴无交点，即 ，解得 。检验 ：原式为 ， 时不成立，等号不可取。故选 A。 2．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】开口向上且要求“ 恒成立”，等价于 ，解得 。检验 ：原式为 恒成立，等号可取。故选 C。 3．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“有解”即能成立，分离参数得 在某处成立，故 小于 在 上的最大值。因 ，在 处取最大值 ，故 。检验 ： 在 上无解，等号不可取。故选 A。 4．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因 ，分离参数：，两边同除正数 得 。由基本不等式 （ 取等号），故 ，最大值为 。要恒成立需 。检验 ：原式为 对 恒成立，等号可取。故选 D。 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是　　　　． 【答案】 【详解】开口向上，恒成立需 ，解得 。（等价看法： 要大于 的最小值 的相反数，即 。） 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 即 。要求对一切 成立，即 ，需 且 ，解得 （两端都不能取，否则端点落在外侧）。故选 B。 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因 ， 对一切 成立，即 不小于 的最大值。函数 在 上单调递增，最大值为 ，故最大值为 ，于是 ， 的最小值为 。故选 C。 8．若存在 使 成立，则实数 的取值范围是　　　　． 【答案】 【详解】因 均为正数，分离参数得 。要存在这样的 ，只需 不小于 在 上的最小值。而 （ 时取等号，且 ），最小值为 ，故 。 题型五　不等式性质与比较大小 【方法与技巧】 四个必查的“陷阱”： ①两边同乘一个数——必须讨论该数的正负，乘 直接归零； ②开方与乘方——仅对正数保号（）； ③取倒数——同号时不等号反向（）； ④特值验证——举反例永远是最快的排除法（常用 ，）。 【例题精讲】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】逐项判断：A 与 C 相互矛盾，由 两边同除正数 得 ，故 A 错、C 对；B 错， 时应为 ；D 错， 的符号未知， 时不成立。故选 C。 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取 ， 逐项检验：A 错，，，实际 ；B 错，；C 错，，，实际 ；D 对，立方函数在 上单调递增， 必有 。故选 D。 3．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】同向不等式可以相加： 与 相加得 ，B 正确。A 错，两个同向不等式不能相减（取 ，，， 得 ）；C 错，同向不等式不能相乘（取 ，，，）；D 错，、 含 或负数时不成立。故选 B。 【变式训练】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】逐项判断：A 错， 时应为 ；B 错，应为 ；C 对，立方函数在 上单调递增， 必有 ；D 错， 时不成立。故选 C。 2．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 时两边同乘 ，不等号反向，故 ，A 错；同除负数 也应反向，即 ，B 错；两边同加 方向不变，C 对； 时 ，D 错。故选 C。 3．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取 ， 检验：B 错，；C 错，；D 错，；A 对，（ 且 ），故 。故选 A。 4．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时不等式两边同乘 ，不等号方向不变，由 得 ，A 对、B 错；， 时同除正数 可得 ，C 错；两边同加 得 ，D 错。故选 A。 5．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 错， 时 ；B 对，由基本不等式 ，因 故等号不成立，取严格大于；C 错，应为 ；D 错，。故选 B。 6．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 错，同向不等式不能相减；B 对，由 与 得 ，又由 与 得 ，故 ；C 错，取 ，，， 得 ；D 错，取 ，，， 得 。故选 B。 【巩固练习】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A 对，两边同减同一个数，不等号方向不变；B 错，取 ， 得 ；C 错， 时不成立；D 错，取 ， 得 。故选 A。 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取 ， 检验：A 错，；B 错，立方函数单调递增， 必有 ；C 错，同号相乘为正，；D 对，两数同负且 ，取倒数后不等号反向。故选 D。 3．已知 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 时两边同乘正数 得 ，故 A 错、C 对；同理 ，B 错；，D 错。故选 C。 4．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 错，异号相乘为负，；C 错，如 ， 时 ；D 错，如 ， 时 ；B 对，正数减负数必为正， 恒成立。故选 B。 5．已知 ，则 ，，， 中最小的数是　　　　． 【答案】 【详解】由 得 ；同理 。又 （两个正数中较大者的平方较大），故四个数的大小顺序为 （ 与 的大小不定），但无论如何 最小。 6．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因 ，有 ，两边取倒数得 ，B 对。A 错， 时 ；C 错，应 ；D 错，如 ， 时 。故选 B。 7．已知 ，，则 “” 是 “” 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因 、 均为正数， 两边同乘正数 得 ，即 ，两者可互推，故为充要条件。故选 C。 8．已知 ，则 与 的大小关系是　　　　（用“”或“”填空）． 【答案】 【详解】两式均为非负数，比较平方：，。因为 ，，所以 ，故 。 题型六　不等式的实际应用 【方法与技巧】 建模三步： ①设自变量并写出定义域（这一步丢分最多，务必写出实际范围的限制）； ②把目标量表达成函数（通常整理成二次函数或“”形式）； ③用配方法或基本不等式求最值，并回答等号能否在实际范围内取到。 【例题精讲】 1．用长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，则菜地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，定义域 。面积 。由基本不等式 ，故 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 A。 2．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】月销售收入 ，定义域 。由基本不等式 ，故 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 C。 3．用长为 的篱笆围成一个矩形（不靠墙），则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设长 、宽 ，则 即 。面积 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 【变式训练】 1．用长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，则菜地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，定义域 。面积 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 B。 2．用长为 的篱笆围成一个矩形（不靠墙），则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设长 、宽 ，则 即 。面积 ，当且仅当 时取等号。故选 C。 3．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】月销售收入 ，定义域 。由基本不等式 ，故 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 B。 4．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】月销售收入 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 B。 5．用长为 的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设长 、宽 ，则 即 。面积 ，当且仅当 时取等号。故选 C。 6．某商品每件进价为 元，售价为 元时每天售出 件（），则每天利润的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】D 【详解】单件利润为 ，每天利润 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 D。 【巩固练习】 1．用长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，则菜地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设垂直于墙的一边长 ，则平行于墙的一边长为 ，定义域 。面积 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 B。 2．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】月销售收入 ，定义域 。由基本不等式 ，故 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 C。 3．用长为 的篱笆围成一个矩形（不靠墙），则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长 、宽 ，则 即 。面积 ，当且仅当 时取等号。故选 A。 4．某商品每件进价为 元，售价为 元时每天售出 件（），则每天利润的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】D 【详解】单件利润 ，每天利润 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 D。 5．用长为 的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值为　　　　． 【答案】 【详解】设长 、宽 ，则 即 。面积 ，当且仅当 时取等号，故最大值为 。 6．某商品每件进价为 元，售价定为 元（），日销售量为 件，则日利润的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】单件利润 ，日利润 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号。故选 C。 7．用长为 的篱笆围成一个矩形菜园，并在中间加一道平行于宽的篱笆（把菜园分成两个相等的矩形），则菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设菜园的长为 、宽为 。篱笆由两条长边和三条宽边组成，故 ，定义域 。面积 ，把 与 作为一组：，即 ，故 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号。故选 D。 8．某商品每件售价为 元时，年销售量为 万件（），若要求年销售收入不低于 万元，则售价 的取值范围是　　　　． 【答案】 【详解】年销售收入为 万元（单位：元·万件），题意即 ，整理得 ，即 ，“小于取中间”得 ，与 取交仍为 。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因式分解得 ，“小于取中间”，故 。故选 B。 2．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当且仅当 时取等号。故选 B。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】积为定值，求和小：，当且仅当 时取等号。故选 C。 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“”的代换：，当且仅当 时取等号。故选 A。 5．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等价于 且 ，解得 或 。故选 C。 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线开口向上，恒成立需判别式 ，解得 。故选 B。 7．下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【详解】A 错， 时等号成立，应为 ；B 错，、 异号时如 ，，；C 错，如 ， 时 ；D 对，不等式两边同加同一个数，不等号方向不变。故选 D。 8．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配凑：，当且仅当 即 时取等号。故选 A。 【多项选择题】 9．已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最大值为 【答案】ACD 【详解】A：，正确；B：，最小值是 而不是 ，错误；C：，正确；D：，故 ，正确。故选 ACD。 10．已知 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 【答案】ABD 【详解】A：两边同加 方向不变，正确；B： 说明 ，两边同除正数 得 ，正确；C：、 异号时不成立（如 ，），错误；D： 且 ，两边同除正数 方向不变，正确。故选 ABD。 11．已知命题 ，，则下列结论正确的是（　　） A．若 为真命题，则 B．若 为真命题，则 C．若 与 都为真命题，则 D．若 为假命题，则 【答案】ABC 【详解】 为真 ，A 正确； 为真 ，B 正确；两者都真即 与 取交，得 ，C 正确； 为假 或 ，D 少写了 ，错误。故选 ABC。 【填空题】 12．不等式 的整数解的个数为　　　　． 【答案】 【详解】 得 ，整数解为 ，共 个。 13．已知 ，，且 ，则 的最大值为　　　　． 【答案】 【详解】和为定值，积最大：，当且仅当 时取等号。 14．某商品每件进价为 元，售价为 元时每天卖出 件（），则每天利润的最大值为　　　　． 【答案】 元 【详解】单件利润为 ，每天利润 ，当且仅当 即 （满足 ）时取等号，故最大值为 元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02　不等式与基本不等式 一、核心知识 1．一元二次不等式：先化二次项系数为正，再因式分解求根，“大于取两边、小于取中间”。 2．分式不等式：； 且 。切记分母不能为 。 3．高次不等式用“穿根法”：奇数重根穿过、偶数重根折返，从右上方起笔。 4．不等式性质：；可加性 ；， 时不等号反向。 5．基本不等式：，当且仅当 时取等号。核心是“一正、二定、三相等”。 6．常用变形：（和的最小值）；（积的最大值）。 7．配凑技巧：不满足“定值”时，通过拆项、添项、通分凑出积为定值，如 。 8．“”的代换：若 （），则 ，展开后用基本不等式。 9．恒成立： 对任意 恒成立 ； 恒成立 。 10．能成立（有解）： 在 上有解 ；与恒成立的取最值方向恰好相反。 二、题型精练 题型一　一元二次不等式与分式不等式的解法 【方法与技巧】 三步走：①二次项系数化为正；②因式分解求根（不能分解时算判别式）；③按“大于取两边、小于取中间”写解集。 分式不等式一律先移项、通分、判号变整式，切忌直接两边乘分母（分母正负未知）。 端点归属单独检查： 含分子零点、 不含零点、分母零点永远排除。 【例题精讲】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 5．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 6．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 5．不等式 的解集为　　　　． 6．已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 8．不等式 的解集为　　　　． 题型二　基本不等式求最值 【方法与技巧】 用之前先过三关： ①“一正”——各项必须为正，遇负先提负号； ②“二定”——和或积中必须有一个是定值，不满足就配凑； ③“三相等”——回代检验等号能否取到，取不到要改用函数单调性。 求“积最大”用 ，求“和最小”用 ，方向千万别用反。 【例题精讲】 1．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 的最小值为　　　　． 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 的最小值为　　　　． 题型三　“1”的代换与配凑 【方法与技巧】 识别标志：条件是“”，所求是“”这类倒数和。 做法固定——“乘 法”：把所求式乘以 ，展开后两项为常数、两项互为倒数之积，再用基本不等式求最小值。 等号条件由互为倒数的那两项相等给出，最后务必回代检验 。 【例题精讲】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，且 ，则 的最小值为　　　　． 6．已知 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，且 ，则 的最小值为　　　　． 题型四　恒成立与能成立 【方法与技巧】 一张表记牢四个方向： 恒成立求最小值（ 恒成立 ），能成立求最大值（ 有解 ）——两者方向正好相反，这是最容易失分的地方。 二次型优先用判别式；区间上的一次函数只需看两端点；分离参数时注意除以负数要反号。 【例题精讲】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【变式训练】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是　　　　． 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．若存在 使 成立，则实数 的取值范围是　　　　． 题型五　不等式性质与比较大小 【方法与技巧】 四个必查的“陷阱”： ①两边同乘一个数——必须讨论该数的正负，乘 直接归零； ②开方与乘方——仅对正数保号（）； ③取倒数——同号时不等号反向（）； ④特值验证——举反例永远是最快的排除法（常用 ，）。 【例题精讲】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 ，，， 中最小的数是　　　　． 6．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 “” 是 “” 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知 ，则 与 的大小关系是　　　　（用“”或“”填空）． 题型六　不等式的实际应用 【方法与技巧】 建模三步： ①设自变量并写出定义域（这一步丢分最多，务必写出实际范围的限制）； ②把目标量表达成函数（通常整理成二次函数或“”形式）； ③用配方法或基本不等式求最值，并回答等号能否在实际范围内取到。 【例题精讲】 1．用长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，则菜地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 3．用长为 的篱笆围成一个矩形（不靠墙），则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．用长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，则菜地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．用长为 的篱笆围成一个矩形（不靠墙），则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 4．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 5．用长为 的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．某商品每件进价为 元，售价为 元时每天售出 件（），则每天利润的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【巩固练习】 1．用长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，则菜地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．某商品售价为 元时，月销售量为 件（），则月销售收入的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 3．用长为 的篱笆围成一个矩形（不靠墙），则矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．某商品每件进价为 元，售价为 元时每天售出 件（），则每天利润的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 5．用长为 的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值为　　　　． 6．某商品每件进价为 元，售价定为 元（），日销售量为 件，则日利润的最大值为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 7．用长为 的篱笆围成一个矩形菜园，并在中间加一道平行于宽的篱笆（把菜园分成两个相等的矩形），则菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．某商品每件售价为 元时，年销售量为 万件（），若要求年销售收入不低于 万元，则售价 的取值范围是　　　　． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 7．下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 8．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最大值为 10．已知 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 11．已知命题 ，，则下列结论正确的是（　　） A．若 为真命题，则 B．若 为真命题，则 C．若 与 都为真命题，则 D．若 为假命题，则 【填空题】 12．不等式 的整数解的个数为　　　　． 13．已知 ，，且 ，则 的最大值为　　　　． 14．某商品每件进价为 元，售价为 元时每天卖出 件（），则每天利润的最大值为　　　　． （答案与逐题详解见《解析版》） 学科网（北京）股份有限公司 $