高考尖子生培优专题06：不等式中的恒（能）成立问题(双变量、变换主元、基本不等式、数形结合）-2027年届高三数学一轮复习(新高考专用)

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式恒成立与能成立核心考点，涵盖一元二次不等式、变量分离参数、双变量问题、变换主元、基本不等式及数形结合六大解题技巧，按“解题策略—技巧精讲—真题演练”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建方法框架，典例精讲强化解题思路，分层变式训练突破难点，体现复习教学的系统性与针对性。 讲义以发展数学思维为核心，创新运用变换主元法打破变量思维定式，数形结合直观化抽象问题，如双变量问题通过“任意—存在”量词转化培养逻辑推理能力。设置基础例题、变式拓展、综合练习题三层梯度，配合思维导图梳理方法脉络，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题06：不等式中的恒（能）成立问题 (双变量、变换主元、基本不等式、数形结合） 解题技巧一 一元二次不等式恒(能)成立问题 3 解题技巧二 变量分离参数法 5 解题技巧三 双变量恒成立和有解问题 6 解题技巧四 变换主元法 7 解题技巧五 基本不等式恒成立和有解问题 8 解题技巧六 数形结合法（直观求解法） 9 思维导图 解题策略一 不等式恒成立、能成立问题 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且∆<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max. 解题策略二、单变量的恒（能）成立问题 对于“，恒成立，求的取值范围.”问题，可以参考以下策略解题： 策略一：分离常数法（完全分离）.若，则原命题等价于，恒成立，所以. 策略二：数形结合法（不完全分离）.若为一次函数，则，借助数形结合的方法，临界值常在切点处出现. 策略三：整体函数法（不分离）.令，原命题等价于，，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 能成立问题与上述问题的研究方法相同. 解题策略三、双变量的恒（能）成立问题 1.，. 2.，，. 3.，，. 4.，，使得（分别为函数和的值域，下同）. 5.，，使得. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 一元二次不等式恒(能)成立问题 类型1：设， （1）上恒成立； （2）上恒成立. 类型2：设 （1）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. （2） 当时，如果上恒成立； （3） 当时，如果上恒成立 【例1】（24-25高三上·四川攀枝花·月考）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·四川广元·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式1-2】（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三上·安徽·阶段检测）设函数在上单调递减，则的范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧二 变量分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值； （3）解不等式(或) ,得的取值范围． 解题关键（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出． 适用题型： (1)一元二次不等式中变量分离 (2)基本不等式中变量分离 (3)函数不等式中变量分离 【例2】（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 【变式2-3】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 解题技巧三 双变量恒成立和有解问题 对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. 类型1 ①对任意，总存在，使得； ②若存在，对任意，使得； ③对任意，任意，使得； ④若存在，存在，使得. 类型2： 2 ，使得方程成立． ②，使得方程成立 【例3】（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三上·河北沧州·期中）对任意，存在，使得不等式成立，则a的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（25-26高三上·河北沧州·期中）对任意，存在，使得不等式成立，则a的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 解题技巧四 变换主元法 主元法（变换主元法）的核心是打破“以为唯一自变量”的固有思维，根据式子结构特征，将参数或另一个变量视为“主元”，转化为一次函数、二次函数等熟悉函数的单调性、最值问题求解. 应用前提：①式子可整理为关于某一变量（参数或）的线性函数、二次函数等可直接分析单调性的形式；②已知其中一个变量的取值范围，需利用该范围消去变量，简化不等式证明或参数求解. 【例4】（2025浙江宁波模拟预测）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·全国·一模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 【变式4-2】（2026·高三·全国·专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 . 【变式4-3】（2020·浙江·二模）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（    ） A．b的最小值为4 B．b的最小值为6 C．b的最小值为8 D．b的最小值为10 解题技巧五 基本不等式恒成立和有解问题 基本不等式：（平方和不等式、均值不等式） ，当且仅当时等号成立【一正、二定、三相等】 变式（更常用）： (1)(常用于求积的最大值)；(2)，变式 (3) 【例5】（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式5-2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 解题技巧六 数形结合法（直观求解法） 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： (1)函数图象恒在函数图象上方； (2)函数图象恒在函数图象下上方。 【例6】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三下·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．2e D． 【变式6-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____. 1．（24-25高三上·山西大同·阶段检测）已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北石家庄·阶段检测）(多选题)已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__． 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南·阶段检测）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）(多选题)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 8．（2024·四川成都·模拟预测）(多选题)下列命题为真命题的是（    ） A．若，，且，则的最小值为9 B．若，则 C．若，，都有成立，则 D．已知任意，若存在实数使不等式对任意的恒成立，则的最小值为6 9. 已知函数（其中e为自然对数的底数），函数.若 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________. 10.已知函数，，，，使得，则实数的取值范围是______________. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为_________. 12．（2026·天津河西·二模）若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 13．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 14．（2025·安徽·模拟预测）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是__________. 15．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数.若存在实数，使得对任意实数恒成立，则正实数的最小值为___________. 16．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题06：不等式中的恒（能）成立问题 (双变量、变换主元、基本不等式、数形结合） 解题技巧一 一元二次不等式恒(能)成立问题 3 解题技巧二 变量分离参数法 6 解题技巧三 双变量恒成立和有解问题 10 解题技巧四 变换主元法 13 解题技巧五 基本不等式恒成立和有解问题 15 解题技巧六 数形结合法（直观求解法） 18 思维导图 解题策略一 不等式恒成立、能成立问题 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且∆<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max. 解题策略二、单变量的恒（能）成立问题 对于“，恒成立，求的取值范围.”问题，可以参考以下策略解题： 策略一：分离常数法（完全分离）.若，则原命题等价于，恒成立，所以. 策略二：数形结合法（不完全分离）.若为一次函数，则，借助数形结合的方法，临界值常在切点处出现. 策略三：整体函数法（不分离）.令，原命题等价于，，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 能成立问题与上述问题的研究方法相同. 解题策略三、双变量的恒（能）成立问题 1.，. 2.，，. 3.，，. 4.，，使得（分别为函数和的值域，下同）. 5.，，使得. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 一元二次不等式恒(能)成立问题 类型1：设， （1）上恒成立； （2）上恒成立. 类型2：设 （1）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. （2） 当时，如果上恒成立； （3） 当时，如果上恒成立 【例1】（24-25高三上·四川攀枝花·月考）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立；分和两种情况求出实数m的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，， 即， 解得， 综上可知，实数m的取值范围为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三上·四川广元·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 【变式1-3】（24-25高三上·安徽·阶段检测）设函数在上单调递减，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性列式求解即得. 【详解】由函数在上单调递减，得函数在上单调递减， 且，，而函数的图象开口向下，对称轴方程为， 因此，解得. 故选：D 解题技巧二 变量分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值； （3）解不等式(或) ,得的取值范围． 解题关键（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出． 适用题型： (1)一元二次不等式中变量分离 (2)基本不等式中变量分离 (3)函数不等式中变量分离 【例2】（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 【变式2-1】（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】将原不等式拆分为左右两个独立的不等式，对于拆分后的每个不等式，将参数分离出来，转化为或在上恒成立的形式，因此利用导数法求函数、在区间的最值即可 【详解】左侧不等式：，整理得 设，求导得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 的最大值在端点处取得，经计算​， 最大值为​，故 右侧不等式：，整理得： 设，求导得​ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 最小值在处：​，故 综上，的取值范围为 【变式2-3】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义进行求解即可； （2）化简，分离参数，令，求导，得到函数在上的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【详解】（1）若函数是定义在上的奇函数， 则对任意恒成立， 即 即对恒成立． 即对恒成立． 因此．又，故． 因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为； （2）若，则， 由题意，即对任意恒成立． 令，即 ， 由， 可知函数在内的两个驻点为，， 比较，，，的大小， 可知函数在上的最小值为． 因此，实数a的取值范围为. 解题技巧三 双变量恒成立和有解问题 对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. 类型1 ①对任意，总存在，使得； ②若存在，对任意，使得； ③对任意，任意，使得； ④若存在，存在，使得. 类型2： 2 ，使得方程成立． ②，使得方程成立 【例3】（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 【变式3-1】（25-26高三上·河北沧州·期中）对任意，存在，使得不等式成立，则a的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据二次函数性质，运用常变量分离法，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】由，得， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 所以． 因为，所以． 因为在上单调递增， 所以的最大值为，故a的最大值为6． 故选：D 【变式3-2】（25-26高三上·河北沧州·期中）对任意，存在，使得不等式成立，则a的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据二次函数性质，运用常变量分离法，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】由，得， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 所以． 因为，所以． 因为在上单调递增， 所以的最大值为，故a的最大值为6． 故选：D 【变式3-3】 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题知，.由得，当时，，所以在上单调递减，故的最小值为.当时，为增函数，所以的最小值为.故，解得． 解题技巧四 变换主元法 主元法（变换主元法）的核心是打破“以为唯一自变量”的固有思维，根据式子结构特征，将参数或另一个变量视为“主元”，转化为一次函数、二次函数等熟悉函数的单调性、最值问题求解. 应用前提：①式子可整理为关于某一变量（参数或）的线性函数、二次函数等可直接分析单调性的形式；②已知其中一个变量的取值范围，需利用该范围消去变量，简化不等式证明或参数求解. 【例4】（2025浙江宁波模拟预测）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，构造函数，求出函数最大值即得解.【详解】由题得， 所以当且仅当时取等. 令，则，所以， 所以函数在单调递增，在单调递减.所以， 所以，所以，又， 所以.所以.故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 【变式4-1】（2025·全国·一模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【解析】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数， ∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有0， ∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增． ∵f（1）＝1， ∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，最大值为f（1）＝1， 若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立， 即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立， ∴t2﹣2at≥0，设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2， 则满足，即，∴t≥2或t≤﹣2或t＝0，故选D． 【变式4-2】（2026·高三·全国·专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 . 【答案】6 【解析】由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当，即时，，； 当，即时，，； 若要对于任意，均成立，则即，所以b的最小值为6. 故答案为：6 【变式4-3】（2020·浙江·二模）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（    ） A．b的最小值为4 B．b的最小值为6 C．b的最小值为8 D．b的最小值为10 【答案】B 【解析】转化条件得，设，，根据、分类，分别求出函数的最值即可得解. 【详解】由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当即时，，； 当即时，，； 若要对于任意，均成立， 则即，所以b的最小值为6. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式和利用函数单调性求函数的最值，考查了恒成立问题的解决和分类讨论思想，属于中档题. 解题技巧五 基本不等式恒成立和有解问题 基本不等式：（平方和不等式、均值不等式） ，当且仅当时等号成立【一正、二定、三相等】 变式（更常用）： (1)(常用于求积的最大值)；(2)，变式 (3) 【例5】（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 【变式5-1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 【变式5-2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用基本不等式“1”的巧用，可求的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求． 【详解】因为正数满足，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 若不等式恒成立，则， 解得，所以实数的范围是. 故选：C． 【变式5-3】（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】8 【详解】由. 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 解题技巧六 数形结合法（直观求解法） 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： (1)函数图象恒在函数图象上方； (2)函数图象恒在函数图象下上方。 【例6】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，作和在上的图象，的图象在图象上方，分图象在图象左右两侧两种情况讨论，结合导数的几何意义即可得解. 【详解】由，，得， 如图，作和在上的图象， 由题意，的图象在图象上方， 随值移动， ①当图象在图象左侧，移动到与相切时， 设与相切，，设切点为，则 且由图象，所以，，结合图象，． ②当图象在图象右侧，若与相交于点，， 得，结合图象，，综上，.故选：D 【变式6-1】（24-25高三下·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．2e D． 【答案】C 【分析】 根据题意转化为函数与直线的位置关系，以相切为临界，利用导数求过点的切线斜率，结合图象即可得结果. 【详解】 由题意可得：，则， 当时，则；当时，则； 故在上单调递减，在上单调递增， 若与直线相切时，设切点为，则切线斜率， 所以该切线方程为， 注意到切线过点，则， 整理得，解得或， 当时，；当时，； 结合图象可得实数a的取值范围为，即实数a的最大值为2e． 故选：C． 【变式6-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】讨论的取值范围，利用函数图象，构造新函数，结合导数求出，的取值范围，可得的最小值. 【详解】设，， 若，对任意和正数恒成立， 则，对任意和正数恒成立， 如图， 时，，对任意和正数不恒成立； 如图， 时， ，则， 设，解得，且， ∴当的切线斜率为1时，切点坐标为， 由直线的点斜式方程可得切线方程为， 即， 若，对任意和正数恒成立，则 ∴ ∴， 设， ， ∴，，， ∴， ∴ 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题. 【变式6-3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____. 【答案】. 【分析】先将已知不等式进行整理得到，通过观察形式构造函数，再利用导数求出单调性，画出的大致图象，再讨论不满足题意，当时，通过观察的图象，由得，从此不等式中解出，再次构造函数，通过求导得到的最大值，继而求导的取值范围. 【详解】，，， ，， 构造函数，，，转化为，，，，， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，，，，时，； 时，.则的大致图象如图所示： （1）当时，当时，，，显然不等式不恒成立，不可能； （2）当时，，，，从图象可以得到不等式恒成立，只需，两边取对数得，即，解得，设，，，，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，在处，取最大值，且取最大值为，则，即的取值范围为. 故答案为：. 1．（24-25高三上·山西大同·阶段检测）已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得在单调递增且在恒成立，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增， 要使函数在区间单调递减， 则在单调递增且在恒成立， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高三上·河北石家庄·阶段检测）(多选题)已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__． 【答案】 【分析】将分为 三种情况讨论：当时， 满足条件；当时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当时，只需二次函数的即可，解出的取值范围，综上得的取值范围. 【详解】解：当时，，值域是[0，+∞），满足条件； 令 ， 当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件； 当m＞0时，的图象开口向上，只需的， 即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0， ∴，又 ，所以 综上，， ∴实数m的取值范围是：， 故答案为：. 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数. 【详解】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，． 要存在使得，只需． 该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即． 因此的取值范围是． 故选：B. 5．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，结合基本不等式求的取值范围. 【详解】因为不等式，当时恒成立， 所以. 当时，， 当且仅当时取等号. 所以. 故选：C 6．（24-25高三上·河南·阶段检测）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求. 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立， 问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件. 当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件. 当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点，代入方程得，此时切线斜率为， 由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 综上，. 故选：C 【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围. 7．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）(多选题)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 8．（2024·四川成都·模拟预测）(多选题)下列命题为真命题的是（    ） A．若，，且，则的最小值为9 B．若，则 C．若，，都有成立，则 D．已知任意，若存在实数使不等式对任意的恒成立，则的最小值为6 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用三角换元结合辅助角公式可判断B的正误，利用导数可判断C的正误，利用二次函数的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故A成立， 对于B，设，则， 故，故B错误； 对于C，不妨设，则， 故，故在为增函数， 故，其中， 故，因，故， 故，故C正确； 对于D，由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当，即时，，； 当，即时，，； 若要对于任意，均成立，则即， 所以b的最小值为6，故D正确， 故选：ACD. 9. 已知函数（其中e为自然对数的底数），函数.若 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题知，，且，故.所以 ，有，即恒成立.所以，，恒成立，故 . 10.已知函数，，，，使得，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题知，，令，得或，由于， 故时，，即时，单调递减.所以在上的值域为. 又因为，故当时，单调递增，即在上的值域为. 所以，，解得，故的取值范围为. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为_________. 【答案】6 【分析】首先将绝对值不等式转化为，研究函数，对进行分类讨论，求得的最值的情况，由此列不等式组来求得的取值范围. 【详解】由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当，即时，，； 当，即时，，； 若要对于任意，均成立，则即，所以b的最小值为6. 故答案为：6 12．（2026·天津河西·二模）若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 【答案】 【分析】先利用等价于且，把含绝对值的不等式转化为两个一元二次不等式恒成立问题；再用一元二次不等式在上恒成立的判别式条件，得到与的约束；最后令，将化为关于的二次函数并配方求最大值． 【详解】由题意，对任意实数，都有恒成立． 因为等价于且，所以原条件等价于对任意实数，都有且． 先整理第一个不等式，得对任意实数恒成立． 因为该式左边是关于的二次函数，且二次项系数为，所以需判别式不大于， 即，整理得，即， 故． 再整理第二个不等式，得对任意实数恒成立． 同理，需判别式不大于，即． 因为，所以必须有，即； 并且由，得． 结合与，可得． 令，则，且． 由，得． 因此． 当时，，且取，解得．此时，并满足上述两个判别式条件，所以原不等式对任意实数恒成立． 综上，的最大值为． 13．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 14．（2025·安徽·模拟预测）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】转化为最值问题，利用“1”的代换求最值求解. 【详解】因为，令， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数.若存在实数，使得对任意实数恒成立，则正实数的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值、结合导数的几何意义及三元均值不等式计算临界值即可. 【详解】易知时单调递增， 对于，， 易得时，时， 即在上单调递减，在上单调递增，即， 又时，，可作出函数的大致图象如下： 显然要满足题意需整个函数图象向左平移后完全在原函数图象上方即可， 考虑临界情况，即左移后的右半段函数与平移前的左半段函数相切，此时平移距离最短， 为方便计算，可转化为与相切， 不妨设切点为， 由上可知，即切点为， 则， 当且仅当即时，m取得最小值. 下证：，且时，恒成立， 令，则， 易得时，时， 即在上单调递减，在上单调递增， 即， 所以的图象恒在的图象上方（除切点处有交点）， 即从临界处分析平移距离符合要求. 故答案为：. 16．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由上的奇函数的性质可得，进而求得，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为，结合函数单调性可得，进而构造函数，利用函数单调性求解的范围；（3）对不等式左侧因式分解可得，进而求得，再结合题意和函数的值域对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由是奇函数，且定义域为，得. 所以，解得， 故解析式为：， 检验， 所以. 任取，且设， . 因为，且在上是增函数， 所以，即. 又因为且, 所以，即. 综上所述函数在上是增函数. （2）由，可得. 由（1）可知在上是增函数，故，则， 令，由，可得，即. 若存在使得成立，则. 令，设，则，， 当，即时，取得最小值， 所以. （3）根据题意可得， 因为，当时，， 所以，则. 若，则，不等式的解为， 要使不等式对任意恒成立，只需， 即，解得； 若，则，不等式的解为， 即 ，解得； 若，可得，不符合题意， 综上所述实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $