专题1.7 基本不等式及其应用（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式及其应用核心考点，涵盖不等式推导、最值求解及实际应用，按“知识点梳理-方法归纳-题型突破”逻辑架构，通过考点解析、方法指导（如配凑法、常数代换）和真题训练，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破高考高频难点。 资料以“数学思维”和“应用意识”为导向，创新设计8大题型分层训练（例+变式+综合题），如“1”的妙用求最值通过常数代换培养逻辑推理能力，实际应用题型结合生活情境提升建模能力。设置基础到综合的练习梯度，配合高考真题统计分析，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

专题1.7 基本不等式及其应用（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 基本不等式及其应用 上海卷（春考）：第6题，4分 北京卷：第6题，4分 上海卷（秋考）：第8题，5分 上海卷（春考）：第6题，4分 上海卷（秋考）：第7题，5分 天津卷：第7题，5分 命题规律分析 1、基本不等式及其应用 基本不等式是每年高考数学的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，基本不等式主要以单选题或填空题的形式考查，一般最多考查1题，分值为4分或5分，主要考查利用基本不等式求最值、由基本不等式比较大小，难度不大，是基础题；复习时要加强对基本不等式的练习。 考点1 基本不等式 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【注】：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 知识点2 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 【注】：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 由基本不等式比较大小】 【例1】（2026·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【题型2 基本不等式求积的最大值】 【例2】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为_________. 【变式2-3】（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为__________. 【题型3  基本不等式求和的最小值】 【例3】（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【变式3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为___________. 【题型4 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例4】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【变式4-1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式5-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【变式5-3】（2026·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式6-2】（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式6-3】（2026·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例7】（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【题型8 基本不等式的实际应用】 【例8】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式8-1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【变式8-2】（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市__________千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为__________万元． 【变式8-3】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为__________m.    一、单选题 1．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 2．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 5．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 8．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 三、填空题 12．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为__________． 13．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为__________． 14．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 16．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 17．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 18．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 19．（24-25高一上·辽宁·阶段检测）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 基本不等式及其应用（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 基本不等式及其应用 上海卷（春考）：第6题，4分 北京卷：第6题，4分 上海卷（秋考）：第8题，5分 上海卷（春考）：第6题，4分 上海卷（秋考）：第7题，5分 天津卷：第7题，5分 命题规律分析 1、基本不等式及其应用 基本不等式是每年高考数学的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，基本不等式主要以单选题或填空题的形式考查，一般最多考查1题，分值为4分或5分，主要考查利用基本不等式求最值、由基本不等式比较大小，难度不大，是基础题；复习时要加强对基本不等式的练习。 考点1 基本不等式 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【注】：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 知识点2 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 【注】：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 由基本不等式比较大小】 【例1】（2026·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的. 【解答过程】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【变式1-2】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D. 【解答过程】因为且，所以或， 对A：若，则，若，则，A错误； 对B：∵，，∴，B错误； 对C：由或，知且，∴，C正确； 对D：当时，有，从而 当，则且，∴，D错误. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【解答过程】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 【题型2 基本不等式求积的最大值】 【例2】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接利用基本不等式求解即可. 【解答过程】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为， 故选：C． 【变式2-1】（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【解答过程】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A. 【变式2-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为_________. 【答案】8 【解题思路】将已知等式变形为，利用基本不等式建立与的关系，从而求得的最大值. 【解答过程】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8. 【变式2-3】（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为__________. 【答案】1 【解题思路】直接利用基本不等式即可. 【解答过程】因，则，所以， 当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为. 故答案为：. 【题型3  基本不等式求和的最小值】 【例3】（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解题思路】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【解答过程】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 故选：A. 【变式3-1】（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解. 【解答过程】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：A. 【变式3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【解题思路】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【解答过程】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 故答案为：9. 【变式3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】3 【解题思路】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【解答过程】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 故答案为：3. 【题型4 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例4】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 【变式4-1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解题思路】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 故选：C. 【变式5-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【解答过程】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 故选：D． 【变式5-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解题思路】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【解答过程】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 【变式5-3】（2026·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【解答过程】因为，所以，且， 所以 ， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：B. 【变式6-1】（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C. 【变式6-2】（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解题思路】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 【变式6-3】（2026·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解题思路】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【解答过程】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例7】（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【解答过程】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 【题型8 基本不等式的实际应用】 【例8】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式8-1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【解题思路】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解答过程】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市__________千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为__________万元． 【答案】； 【解题思路】利用基本不等式即可求解. 【解答过程】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：；. 【变式8-3】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为__________m.    【答案】 【解题思路】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【解答过程】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【解答过程】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【解题思路】由关系，结合基本不等式求结论. 【解答过程】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数的最小值为. 故选：C. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式即可判断选项. 【解答过程】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【解题思路】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【解答过程】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 故选：D. 5．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【解答过程】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 故选：D. 6．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【解答过程】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 故选：A. 7．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【解答过程】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 8．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【解答过程】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【解答过程】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 故选：AB. 10．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【解答过程】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. 故选：BCD. 11．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【解题思路】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【解答过程】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为__________． 【答案】 【解题思路】利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 故答案为：. 13．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解题思路】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【解答过程】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 14．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为__________. 【答案】5 【解题思路】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【解答过程】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 四、解答题 15．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【答案】(1)最大值为6． (2)的最大值为，最小值为． 【解题思路】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． （2）因为，所以 ， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 16．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 17．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)，59000元 【解题思路】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【解答过程】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 18．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 19．（24-25高一上·辽宁·阶段检测）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $