专题03 复数讲义-2027届高考数学一轮复习

专题03　复数 一、核心知识 1．复数的代数形式：（），其中 叫实部， 叫虚部——虚部是实数 ，不是 。 2．复数的分类： 时 为实数； 时 为虚数； 且 时 为纯虚数（两个条件缺一不可）。 3．共轭复数：，实部相等、虚部相反； 为实数。 4．模：，几何意义是点 到原点的距离；核心恒等式 。 5．乘除法：；除法分母实数化——分子分母同乘分母的共轭复数。 6．虚数单位 的幂以 为周期：，，，。 7．三条速算要背熟：，，。 8．复数相等： 且 （只对代数形式成立）；两个不全是实数的复数不能比较大小。 9．几何意义： 对应复平面内的点 或向量； 表示两对应点间的距离。 10．轨迹口诀： 是以 为圆心、 为半径的圆； 是两点的垂直平分线；圆上点到原点距离最值为 。 11．实系数一元二次方程虚根成对： 是根则 也是根，可用韦达定理直接求系数。 二、题型精练 题型一　复数的四则运算 【方法与技巧】 乘法按多项式展开，随时把 换成 ； 除法一律分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数，一步化成「实数 + 实数 × i」的标准形式； 速算三件套：，，，见到直接写结果。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 2．复数 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 7．计算：　　　　． 8．计算：　　　　． 题型二　复数的概念与实部虚部 【方法与技巧】 （）：实部 、虚部 ——虚部是实数 ，不是 ； 纯虚数要同时满足：实部 且虚部 ，漏验第二条是最高频失分点； 实部虚部含参的题：先解方程，再逐个回代检验另一个条件，不满足的要舍去。 【例题精讲】 1．若复数 为纯虚数，则 （　　） A． B． C． 或 D． 2．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 3．若复数 为实数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 2．下列复数中为纯虚数的是（　　） A． B． C． D． 3．若复数 为纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 4．若复数 （）为纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．任何两个复数都不能比较大小 B．复数 （）是实数的充要条件是 C． 的虚部是 D．若 ，则 是纯虚数 6．已知 ，（），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 2．下列复数中是纯虚数的是（　　） A． B． C． D． 3．若复数 为纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 （），则 "" 是 " 为实数" 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若复数 为实数，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，（），若 的虚部与 的虚部互为相反数，则 （　　） A． B． C． D． 7．复数 的虚部为　　　　． 8．若复数 为纯虚数，则 　　　　． 题型三　复数的模与共轭复数 【方法与技巧】 模 ：先化简再求模，或用""避开展开； 共轭 ：实部照抄、虚部变号； 核心恒等式 ——见到 直接换成 ，回避无谓展开。 【例题精讲】 1．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．复数 的模为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知复数 （）满足 ，且实部 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 　　　　． 8．已知 ，则 　　　　． 题型四　复数的几何意义 【方法与技巧】 对应点 与向量 ：象限由实部、虚部的符号决定； 含除法的题先化简成 再落点，不要拿原式硬看； 是两点距离： 表示圆， 的最值为 （圆心距加减半径）。 【例题精讲】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数 对应的点在虚轴上（不含原点），则 （　　） A． B． C． D． 4．若复数 （）满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 5．已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．满足 的复数 在复平面内对应的点 的轨迹为（　　） A．圆 B．直线 C．线段 D．双曲线 【巩固练习】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．已知复数 对应的点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．若复数 对应的点在实轴上，则 （　　） A． B． C． D． 6．满足 的复数 在复平面内对应的点 的轨迹为（　　） A．圆 B．直线 C．线段 D．椭圆 7．已知 ，则 在复平面内对应的点的坐标为　　　　． 8．复数 满足 ，则 的最大值为　　　　． 题型五　复数相等与含参求值 【方法与技巧】 且 ：等式两边都整理成 的标准形式，再左右对齐； 实系数方程虚根成对： 是根则 也是根，配合韦达定理求系数； 求出参数后把 回代原式验一遍，确认没有漏条件。 【例题精讲】 1．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 2．若关于 的实系数方程 的一个根是 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知复数 满足 ，且 的虚部小于 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 5．若复数 （）为实数，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，（），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 3．若 （），则 （　　） A． B． C． D． 4．已知复数 （），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．实系数方程 的一个根为 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 7．已知 （），则 　　　　． 8．实系数方程 的一个根为 ，则 　　　　． 题型六　虚数单位 i 的幂与复数性质技巧 【方法与技巧】 的幂以 为周期：指数除以 看余数，余 分别得 ； 速算三件套：，，，复杂幂先降次； 把模与共轭串起来；连续自然数幂求和按 个一组（和为 ）截断。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．（　　） A． B． C． D． 5．（ 为正整数）（　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 7．计算：　　　　． 8．　　　　． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．复数 （　　） A． B． C． D． 2．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限 5．若 是实系数方程 的一个根，则 （　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 7．下列复数中，实部与虚部互为相反数的是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．设复数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的虚部为 C． D． 10．已知复数 满足 ，则（　　） A． 在复平面内对应的点的轨迹是圆 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D．存在实数 满足条件 11．关于虚数单位 的运算，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【填空题】 12．计算：　　　　． 13．已知 ，则 　　　　． 14．已知复数 满足 ，则 的最大值为　　　　． （答案与逐题详解见《解析版》） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03　复数 一、核心知识 1．复数的代数形式：（），其中 叫实部， 叫虚部——虚部是实数 ，不是 。 2．复数的分类： 时 为实数； 时 为虚数； 且 时 为纯虚数（两个条件缺一不可）。 3．共轭复数：，实部相等、虚部相反； 为实数。 4．模：，几何意义是点 到原点的距离；核心恒等式 。 5．乘除法：；除法分母实数化——分子分母同乘分母的共轭复数。 6．虚数单位 的幂以 为周期：，，，。 7．三条速算要背熟：，，。 8．复数相等： 且 （只对代数形式成立）；两个不全是实数的复数不能比较大小。 9．几何意义： 对应复平面内的点 或向量； 表示两对应点间的距离。 10．轨迹口诀： 是以 为圆心、 为半径的圆； 是两点的垂直平分线；圆上点到原点距离最值为 。 11．实系数一元二次方程虚根成对： 是根则 也是根，可用韦达定理直接求系数。 二、题型精练 题型一　复数的四则运算 【方法与技巧】 乘法按多项式展开，随时把 换成 ； 除法一律分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数，一步化成「实数 + 实数 × i」的标准形式； 速算三件套：，，，见到直接写结果。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分母实数化：分子分母同乘 ，。故选 A。 2．复数 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开：。故选 B。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：。故选 B。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：。也可用速算 取倒数得 。故选 B。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分项处理：，其中 。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由速算 ，，两者相减得 。故选 C。 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：。故选 B。 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 6．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，分子分母同乘 ：。故选 D。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其中用到 。也可直接用速算 。故选 B。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分项处理：。故选 C。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 与 是共轭复数，乘积为 。故选 D。 4．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子分母同乘 ：。故选 A。 5．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，分子分母同乘 ：。故选 B。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】前两个先乘：；再乘 ：。故选 C。 7．计算：　　　　． 【答案】 【详解】。 8．计算：　　　　． 【答案】 【详解】，故 。 题型二　复数的概念与实部虚部 【方法与技巧】 （）：实部 、虚部 ——虚部是实数 ，不是 ； 纯虚数要同时满足：实部 且虚部 ，漏验第二条是最高频失分点； 实部虚部含参的题：先解方程，再逐个回代检验另一个条件，不满足的要舍去。 【例题精讲】 1．若复数 为纯虚数，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【详解】纯虚数需实部为 且虚部不为 ： 得 或 。检验虚部 ： 时虚部为 ，此时 是实数，舍去； 时虚部为 ，符合。故 。故选 B。 2．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】虚部是实数 ，不是 ——这是概念题最经典的陷阱。故选 B。 3．若复数 为实数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 为实数 虚部 ，即 。此时实部 ， 确为实数，符合题意。故选 A。 【变式训练】 1．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 ，虚部为 。故选 A。 2．下列复数中为纯虚数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】逐项判定：A 有实部 ，是虚数但不是纯虚数；B 是实数；C 是实数；D ，实部为 且虚部 ，是纯虚数。故选 D。 3．若复数 为纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】实部 得 ；虚部 排除 。故 。故选 C。 4．若复数 （）为纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】实部 得 ；检验虚部 ，符合。故 。故选 C。 5．下列说法正确的是（　　） A．任何两个复数都不能比较大小 B．复数 （）是实数的充要条件是 C． 的虚部是 D．若 ，则 是纯虚数 【答案】B 【详解】A 错：两个实数可以比较大小（应说"两个虚数不能比较大小"）；B 对：实数 虚部为 ；C 错： 的虚部是 ；D 错： 且 时 是实数。故选 B。 6．已知 ，（），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由复数相等得 ，，故 。故选 B。 【巩固练习】 1．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】虚部是实数 ，不是 。故选 B。 2．下列复数中是纯虚数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是实数； 实部为 、虚部 ，是纯虚数；C、D 都有非零实部。故选 B。 3．若复数 为纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】实部 得 ；虚部 排除 。故 ，此时 。故选 A。 4．已知 （），则 "" 是 " 为实数" 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 为实数 虚部为 ，即 ，二者互为充要条件。故选 C。 5．若复数 为实数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为实数 虚部 ，即 。故选 B。 6．已知 ，（），若 的虚部与 的虚部互为相反数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的虚部为 ，其相反数为 ，故 。故选 A。 7．复数 的虚部为　　　　． 【答案】 【详解】，虚部为 。 8．若复数 为纯虚数，则 　　　　． 【答案】 【详解】纯虚数需实部为零且虚部不为零： 得 ；虚部 排除 。故 ，此时 。 题型三　复数的模与共轭复数 【方法与技巧】 模 ：先化简再求模，或用""避开展开； 共轭 ：实部照抄、虚部变号； 核心恒等式 ——见到 直接换成 ，回避无谓展开。 【例题精讲】 1．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。也可用 ——模的乘方等于模的平方。故选 A。 2．复数 的模为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】商的模等于模的商：，不必先做除法。故选 C。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 。也可以直接算：。故选 D。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。勾股数 是复数模题的高频素材，建议直接记住。故选 C。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先化简：，故 。也可用商的模：。故选 A。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】乘积的模等于模的乘积：。故选 B。 4．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 且 ，得 。注意模不能为负， 是陷阱。故选 A。 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分子分母同乘 ：。求出 后顺带可得 。故选 D。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为共轭的复数模相等：。故选 C。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分子分母同乘 ：。故选 D。 6．已知复数 （）满足 ，且实部 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，代入 得 ，，两个值都符合题意。故选 B。 7．已知 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】。 8．已知 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】。 题型四　复数的几何意义 【方法与技巧】 对应点 与向量 ：象限由实部、虚部的符号决定； 含除法的题先化简成 再落点，不要拿原式硬看； 是两点距离： 表示圆， 的最值为 （圆心距加减半径）。 【例题精讲】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：，对应点 ，横负纵正，在第二象限。故选 B。 2．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】，，原式 ，对应点 ，横纵皆负，在第三象限。故选 C。 3．已知复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 表示以点 为圆心、 为半径的圆。 是圆上点到原点的距离，最大值为圆心距加半径：。故选 A。 【变式训练】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】分子分母同乘 ：，对应点 ，横正纵负，在第四象限。故选 D。 2．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】，对应点 ，在第一象限。故选 A。 3．若复数 对应的点在虚轴上（不含原点），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】虚轴上（不含原点）的点实部为 且虚部不为 ： 得 ；虚部 排除 。故 ，此时 。故选 A。 4．若复数 （）满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边平方得 ，是以原点为圆心、 为半径的圆。故选 C。 5．已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 表示以 为圆心、 为半径的圆； 是圆上点到 的距离。圆心到 的距离为 ，最小值为 。故选 B。 6．满足 的复数 在复平面内对应的点 的轨迹为（　　） A．圆 B．直线 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【详解】 是 到 的距离， 是 到 的距离。到两点距离相等的轨迹是连接两点的线段的垂直平分线，是直线。故选 B。 【巩固练习】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】，对应点 ，在第一象限。故选 A。 2．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，对应点 ，在第四象限。故选 D。 3．已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是 到 的距离，即到圆心（原点）距离 加上半径 ，最大值 。故选 B。 4．已知复数 对应的点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 5．若复数 对应的点在实轴上，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点在实轴上 虚部 ，即 ，此时实部 ，故 。故选 A。 6．满足 的复数 在复平面内对应的点 的轨迹为（　　） A．圆 B．直线 C．线段 D．椭圆 【答案】B 【详解】 是 到 的距离， 是 到 的距离，到两点等距的轨迹是这两点的垂直平分线（直线）。故选 B。 7．已知 ，则 在复平面内对应的点的坐标为　　　　． 【答案】 【详解】 对应点 ，故坐标为 。 8．复数 满足 ，则 的最大值为　　　　． 【答案】 【详解】 表示以 为圆心、 为半径的圆。圆心到原点距离 ， 最大值为 。 题型五　复数相等与含参求值 【方法与技巧】 且 ：等式两边都整理成 的标准形式，再左右对齐； 实系数方程虚根成对： 是根则 也是根，配合韦达定理求系数； 求出参数后把 回代原式验一遍，确认没有漏条件。 【例题精讲】 1．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复数相等：，解得 ，，故 。故选 C。 2．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】整理左边：，故 ，两式相减得 ，即 ，，故 。故选 B。 3．已知复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，分子分母同乘 ：。故选 C。 【变式训练】 1．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】实部虚部同时为零： 得 ； 得 。故 。故选 C。 2．若关于 的实系数方程 的一个根是 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实系数方程虚根成对，另一根为 。由韦达定理，两根之积 。故选 D。 3．已知复数 满足 ，且 的虚部小于 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ，则 ，即 。检验选项：，虚部 ，符合； 但虚部 ，舍去。故选 C。 4．已知 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左边展开：。故 ，得 ，。故选 A。 5．若复数 （）为实数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：。 为实数 虚部 ，即 ，此时 。故选 B。 6．已知 ，（），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即 ，。故选 D。 【巩固练习】 1．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】右边 ，故 得 ； 得 。。故选 C。 2．已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由复数相等：，，故 。故选 B。 3．若 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 得 ； 得 。。故选 C。 4．已知复数 （），且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 ，，。故选 D。 5．实系数方程 的一个根为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】虚根成对，另一根为 ，两根之和 ，故 。验证两根之积 恰为常数项，自洽。故选 B。 6．已知 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】右边 ，故 ，。故选 B。 7．已知 （），则 　　　　． 【答案】 【详解】左边 ，故 且 ，都得 ，自洽。 8．实系数方程 的一个根为 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】虚根成对，另一根为 ，两根之积 。 题型六　虚数单位 i 的幂与复数性质技巧 【方法与技巧】 的幂以 为周期：指数除以 看余数，余 分别得 ； 速算三件套：，，，复杂幂先降次； 把模与共轭串起来；连续自然数幂求和按 个一组（和为 ）截断。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，余数为 ，故 。故选 A。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，相加得 。故选 C。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。故选 C。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，余数为 ，故 。故选 B。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每连续 项之和为 。，恰好 个完整组，总和为 。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。 除以 余 ，得 。故选 A。 5．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：。故选 B。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，余数为 ，故 。故选 B。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故原式 。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子分母同乘 ：。故选 B。 5．（ 为正整数）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】四项分别为 ，相加得 。故选 A。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故原式 。故选 C。 7．计算：　　　　． 【答案】 【详解】，，故值为 。 8．　　　　． 【答案】 【详解】，故 。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．复数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 2．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，虚部为 。故选 B。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 4．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限 【答案】B 【详解】，对应点 ，在第一象限。故选 B。 5．若 是实系数方程 的一个根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实系数方程虚根成对，另一根为 。两根之和 ，故 。故选 D。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】指数相加减：原式 ，，故值为 。故选 D。 7．下列复数中，实部与虚部互为相反数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A 实部 、虚部 ，相等；B 实部 、虚部 ；C 实部 、虚部 ，互为相反数，符合；D 实部 、虚部 。故选 C。 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 【多项选择题】 9．设复数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的虚部为 C． D． 【答案】ABC 【详解】。A：，正确；B：虚部为 ，正确；C：，正确；D：，错误。故选 ABC。 10．已知复数 满足 ，则（　　） A． 在复平面内对应的点的轨迹是圆 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D．存在实数 满足条件 【答案】ABD 【详解】A： 表示以 为圆心、 为半径的圆，正确；B： 最大值为圆心距加半径 ，正确；C：圆过原点（ 满足 ），最小值为 而非 ，错误；D： 或 是实数且满足条件，正确。故选 ABD。 11．关于虚数单位 的运算，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A：，，正确；B：，正确；C：，正确；D：，错误（ 是把 当普通字母展开的典型错误）。故选 ABC。 【填空题】 12．计算：　　　　． 【答案】 【详解】分子分母同乘 ：。 13．已知 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】。 14．已知复数 满足 ，则 的最大值为　　　　． 【答案】 【详解】 表示以 为圆心、 为半径的圆。圆心到原点距离 ，故 最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $