第03讲 抛物线中点弦 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线中点弦核心考点，涵盖求直线方程、斜率、轨迹方程等8类高考高频题型，知识点按“原理推导-通法总结-题型应用”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建中点弦问题的解题框架。 讲义突出数学思维与表达能力培养，如点差法推导过程引导学生理解斜率与中点关系本质，避免死记硬背，设置分层变式训练与判别式检验步骤，确保掌握通法。助力学生高效突破中档题，为教师提供系统复习方案，提升复习针对性与应考能力。

第03讲 抛物线的中点弦问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 4 题型01：求弦所在直线方程 4 题型02：求直线斜率 9 题型03：求与弦中点有关的轨迹方程 12 题型:04：求中点坐标问题 14 题型:05：求参数问题 16 题型06：中点弦的弦长 18 题型07: 与中点弦有关的面积问题 23 题型08：曲线上两点关于直线对称问题 24 一. 高考地位 1. 属于圆锥曲线高频基础考点，常出现在选择填空、解答题第一问，是解决中点弦、斜率、弦中点轨迹、存在性问题的核心通法。 2.全国卷、新高考卷几乎每年都会间接或直接考查： ① 已知中点求直线斜率/方程 ② 已知直线求中点坐标 ③ 中点存在性、轨迹方程、定点定值综合 3. 难度：中档偏易，计算量小、套路极强，是必须拿满分的题型。 二. 命题特点 1. 抛物线标准方程 2. 常与韦达定理、判别式、直线与抛物线位置关系结合考查。 3. 易错点：忽略判别式检验、斜率不存在、点差法适用条件（直线与抛物线有两个交点）。 1. 掌握抛物线点差法核心公式推导，不用死记硬背，能快速写出斜率与中点的关系。 2. 熟练用点差法解决4类基础题： ①已知弦中点，求直线斜率/方程 ②已知直线，求弦中点坐标 ③求中点轨迹方程 ④判断中点是否存在 3. 区分椭圆/双曲线/抛物线点差法异同，避免公式混淆。 4. 养成最后检验判别式的规范，规避丢分陷阱。 知识点一：点差法 利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 / 联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。 知识点二：圆锥曲线点差法 其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。 椭 圆：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 双曲线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 抛物线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以： 知识点三：弦中点性质 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点四：弦中点坐标或斜率求离心率 椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 知识点五：弦长公式 设直线，则A，B两点间距离为： ； ； 特殊情况（焦点弦）： 椭 圆：；其中为直线的倾斜角。 双曲线：；其中为直线的倾斜角。 抛物线：；其中为直线的倾斜角。 注意：以上情况为焦点在x轴情况，若焦点在y轴，则与互换 通用解题步骤 步骤 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 步骤 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 步骤 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 步骤 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 题型01：求弦所在直线方程 【典型例题1】设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，由作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 【典型例题2】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论. 【详解】设，，由题意， 因为，在抛物线上，所以，，两式相减得， ，整理得，， 即直线的斜率， 直线的中点为， ， ， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：.    【变式训练1-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为＝8y，再利用点差法，即可求解． 【解答】解：由抛物线C：＝2py的准线为y＝﹣2， 可得， 可得p＝4， 所以＝8y， 设P（，），Q（，）， 可得，且+＝﹣4， 两式相减，可得， 可得， 所以直线PQ的方程为， 即x+2y﹣6＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的几何性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 【变式训练1-2】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 【变式训练1-3】已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 【变式训练1-4】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据题意设A，由点差得到 故直线l可以写成 点到其准线的距离为，可得到M的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4， 由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为或. 故答案为B. 【变式训练1-5】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，所以易得抛物线的方程为， 设，因为线段的中点为， 故，则，由， 两式相减得，所以， 故直线的方程为，即． 【变式训练1-6】已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，设， 若，则直线， 由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故， 因为A，B是抛物线上的两点， 所以，两式相减得，，整理得， 因为线段AB的中点为， 所以，即， 又，所以， 所以直线AB的方程为，即. 【变式训练1-7】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 【变式训练1-8】已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解； （2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程； 【详解】（1）因为， 所以， 故抛物线的方程为． （2）   易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 【变式训练1-9】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示： 则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 题型02：求直线斜率 【典型例题1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【典型例题2】已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率. 【详解】由题意， 为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，    设，线段AB中点为， ∴，， ∴即 ∴直线AB的斜率为： 故答案为： 【变式训练2-1】已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】易知直线l的斜率存在，设，则，两式相减即可得出直线的斜率的值． 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，， 则，两式相减得，整理得， 因为MN的中点为，则， 所以，即直线l的斜率为3． 【变式训练2-2】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】设，则作差得. 因为，所以P是线段AB的中点，所以， 则直线l的斜率.故选：A 【变式训练2-3】已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解. 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 【变式训练2-4】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确； 因为，所以抛物线的方程为，其焦点为， 又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点， 设点、，因为、两点在抛物线上， 联立方程，两式相碱可得，， 设的中点为，则， 因为点在直线上，解得， 所以点是以为直径的圆的圆心， 由抛物线的定义知，圆的半径. 因为，所以， 解得，故选项B正确； 因为，所以，直线为，即， 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为， 所以，故选项C错误，D正确. 故选：C. 【变式训练2-5】已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　　 ． 【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以， 整理得2p，即（y1+y2）•kAB＝2p， 由抛物线标准方程为y2＝2x，以及M（2，1）为弦AB的中点知，2kAB＝2，所以kAB＝1． 故答案为：1． 【变式训练2-6】已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 【答案】2 【解析】设，代入抛物线， 得，则①， 因为两点A，B关于点对称，则， 所以由①得， 直线AB的斜率为2. 则直线AB：与代入抛物线联立， 得，，解得. 所以直线AB的斜率为2. 【变式训练2-7】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可； （2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率. 【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为. （2）设，则，两式相减得， 即.因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线的斜率为2.    题型03：求与弦中点有关的轨迹方程 【典型例题1】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【典型例题2】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， .  于是，即. 又弦中点轨迹在已知抛物线内， 联立 故弦的中点轨迹方程是 故直线的方程为，即． 【变式训练3-1】已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设，所以①，②， 所以，①②得：，即， 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以抛物线，准线方程为. 故选：B 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线的方程，并求出点的坐标，利用共线向量的坐标表示推理作答. （2）根据给定条件，求出直线与x轴的交点坐标，设出的中点坐标，利用共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线，如图，    设，，则，得，，，，， 则，由F在线段上，得， 于是，显然，整理得， ，， 因此，显然点不在直线上， 所以. （2）如图，设直线AB与x轴相交于点，    由（1）知，的面积，的面积， 依题意，，即，而，解得或， 由于时，点与之一重合，有，矛盾，则点D的坐标为， 设的中点为，则，由，得， 即，又，于是， 所以所求的轨迹方程为. 题型:04：求中点坐标问题 【典型例题1】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式训练4-1】若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【答案】 【详解】记为焦点到准线的距离， 则，， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点， 根据抛物线的定义得到， 设， ， ， ， ，，，， 的中点横坐标为， 故答案为：. 【变式训练4-2】已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）根据抛物线的性质，求出，然后将代入抛物线的方程即可求出m； （2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将转为，从而得到，两者结合即可求出，即可求出点D的坐标. 【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得. 故抛物线C：. 因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以. （2）设，，，直线的斜率为，直线的斜率为. 易知，一定存在，则，. 由，得，即，化简得，即 因为D到抛物线C的准线的距离，所以， 则，即，. ，即， 解得或，则或. 故点D的坐标为或. 题型:05：求参数问题 【典型例题1】过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出弦所在直线方程为，可设，，，，直线的方程和抛物线方程联立消去可得到关于的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦的中点坐标为，而弦的垂直平分线方程可写出为，弦中点坐标带入该方程便可求出的值． 【详解】抛物线的焦点坐标是,直线方程为:, 设,联立,则, 所以,, 故中点坐标为,由两直线互相垂直有,得. 故选：C. 【典型例题2】斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2， 联立，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0， 若线段AB的中点为（3，1）， 则，解得（负值舍去）． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题． 【变式训练5-1】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 【变式训练5-2】已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则 . 【答案】 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. 【变式训练5-3】已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【答案】 【详解】又中点在直线上， 所以，即，故直线的方程为 设，联立方程得， 所以，， 因为的中点为， 所以，解得，满足判别式， 故. 故答案为： 【变式训练5-4】过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 题型06：中点弦的弦长 【典型例题1】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 【典型例题2】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【解析】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 【变式训练6-1】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标.设直线：，用点差法表示出的中点为，利用半径相等得到：,解出k，即可求出. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得， 所以抛物线的方程为，其焦点为. 因为直线过抛物线的焦点， 所以直线的方程为. 因为， 所以在以为直径的圆上. 设点，，联立方程组， 两式相减可得， 设的中点为，则. 因为点在直线l上， 所以，所以点是以为直径的圆的圆心. 由抛物线的定义知，圆的半径， 因为， 所以，解得， 所以弦长. 故选：C. 【变式训练6-2】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据题意设A，由点差得到 故直线l可以写成 点到其准线的距离为，可得到M的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4， 由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为或. 故答案为B. 【变式训练6-3】过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 【变式训练6-4】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确； 因为，所以抛物线的方程为，其焦点为， 又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点， 设点、，因为、两点在抛物线上， 联立方程，两式相碱可得，， 设的中点为，则， 因为点在直线上，解得， 所以点是以为直径的圆的圆心， 由抛物线的定义知，圆的半径. 因为，所以， 解得，故选项B正确； 因为，所以，直线为，即， 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为， 所以，故选项C错误，D正确. 故选：C. 【变式训练6-5】设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可. 【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为， 设， 联立，整理得， 所以 所以， 因为线段中点的横坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式训练6-6】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ． 【答案】 【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 【变式训练6-7】若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解. 【详解】解：设，，AB中点， 设斜率为k，则， 相减得：， ∵，即， 设抛物线的焦点为F，， ∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 题型07:与中点弦有关的面积问题 【典型例题】已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程； （2）利用点差法，求出直线AB的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积. 【详解】（1）由定义知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，， 因为是线段的中点，所以， ，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线的方程为，设直线与轴交于点，则， 联立，得，所以，， 所以，. 【变式训练】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【详解】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 题型08：曲线上两点关于直线对称问题 【典型例题】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】根据题意，当时，显然满足题意；当时，可设抛物线上关于直线对称的两点分别为，的中点为，利用点差法得到中点的纵坐标，代入直线得到的横坐标，再结合在抛物线内，即得解. 【详解】解：当时，直线，存在点关于它对称，显然满足题意； 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为 ，且的中点为，则， 而，， 所以，则①-②得：， ， ， 中点在直线上， ，于是， 中点在抛物线区域内， ，即，解得：， 综上可知，所求实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题，以及点差法的应用，解题的关键在于利用点差法求直线的斜率，考查学生转化和分类讨论思想，以及数学运算的能力. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 抛物线的中点弦问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：求弦所在直线方程 5 题型02：求直线斜率 7 题型03：求与弦中点有关的轨迹方程 8 题型:04：求中点坐标问题 9 题型:05：求参数问题 10 题型06：中点弦的弦长 11 题型07: 与中点弦有关的面积问题 12 题型08：曲线上两点关于直线对称问题 13 一. 高考地位 1. 属于圆锥曲线高频基础考点，常出现在选择填空、解答题第一问，是解决中点弦、斜率、弦中点轨迹、存在性问题的核心通法。 2.全国卷、新高考卷几乎每年都会间接或直接考查： ① 已知中点求直线斜率/方程 ② 已知直线求中点坐标 ③ 中点存在性、轨迹方程、定点定值综合 3. 难度：中档偏易，计算量小、套路极强，是必须拿满分的题型。 二. 命题特点 1. 抛物线标准方程 2. 常与韦达定理、判别式、直线与抛物线位置关系结合考查。 3. 易错点：忽略判别式检验、斜率不存在、点差法适用条件（直线与抛物线有两个交点）。 1. 掌握抛物线点差法核心公式推导，不用死记硬背，能快速写出斜率与中点的关系。 2. 熟练用点差法解决4类基础题： ①已知弦中点，求直线斜率/方程 ②已知直线，求弦中点坐标 ③求中点轨迹方程 ④判断中点是否存在 3. 区分椭圆/双曲线/抛物线点差法异同，避免公式混淆。 4. 养成最后检验判别式的规范，规避丢分陷阱。 知识点一：点差法 利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 / 联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。 知识点二：圆锥曲线点差法 其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。 椭 圆：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 双曲线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 抛物线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以： 知识点三：弦中点性质 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点四：弦中点坐标或斜率求离心率 椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 知识点五：弦长公式 设直线，则A，B两点间距离为： ； ； 特殊情况（焦点弦）： 椭 圆：；其中为直线的倾斜角。 双曲线：；其中为直线的倾斜角。 抛物线：；其中为直线的倾斜角。 注意：以上情况为焦点在x轴情况，若焦点在y轴，则与互换 通用解题步骤 步骤 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 步骤 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 步骤 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 步骤 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 题型01：求弦所在直线方程 【典型例题1】设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，由作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 【典型例题2】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论. 【详解】设，，由题意， 因为，在抛物线上，所以，，两式相减得， ，整理得，， 即直线的斜率， 直线的中点为， ， ， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：.    【变式训练1-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【变式训练1-2】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练1-5】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【变式训练1-6】已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ． 【变式训练1-7】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【变式训练1-8】已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式训练1-9】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 题型02：求直线斜率 【典型例题1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【典型例题2】已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率. 【详解】由题意， 为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，    设，线段AB中点为， ∴，， ∴即 ∴直线AB的斜率为： 故答案为： 【变式训练2-1】已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【变式训练2-2】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ） A． B．4 C． D． 【变式训练2-3】已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【变式训练2-5】已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　　 ． 【变式训练2-6】已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 【变式训练2-7】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 题型03：求与弦中点有关的轨迹方程 【典型例题1】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【典型例题2】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， .  于是，即. 又弦中点轨迹在已知抛物线内， 联立 故弦的中点轨迹方程是 故直线的方程为，即． 【变式训练3-1】已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 题型:04：求中点坐标问题 【典型例题1】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式训练4-1】若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【变式训练4-2】已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 题型:05：求参数问题 【典型例题1】过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出弦所在直线方程为，可设，，，，直线的方程和抛物线方程联立消去可得到关于的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦的中点坐标为，而弦的垂直平分线方程可写出为，弦中点坐标带入该方程便可求出的值． 【详解】抛物线的焦点坐标是,直线方程为:, 设,联立,则, 所以,, 故中点坐标为,由两直线互相垂直有,得. 故选：C. 【典型例题2】斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2， 联立，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0， 若线段AB的中点为（3，1）， 则，解得（负值舍去）． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题． 【变式训练5-1】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则 . 【变式训练5-3】已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【变式训练5-4】过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型06：中点弦的弦长 【典型例题1】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 【典型例题2】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【解析】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 【变式训练6-1】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ） A． B． C．5 D．6 【变式训练6-2】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练6-3】过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【变式训练6-4】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【变式训练6-5】设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ． 【变式训练6-7】若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 题型07:与中点弦有关的面积问题 【典型例题】已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程； （2）利用点差法，求出直线AB的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积. 【详解】（1）由定义知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，， 因为是线段的中点，所以， ，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线的方程为，设直线与轴交于点，则， 联立，得，所以，， 所以，. 【变式训练】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 题型08：曲线上两点关于直线对称问题 【典型例题】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $