高考尖子生培优专题03：平面向量四心、奔驰定理讲义-2027届高考数学一轮复习(新高考专用)

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量四心（重心、内心、外心、垂心）与奔驰定理核心考点，按“定义-性质-拓展”分层梳理四心向量关系，通过奔驰定理构建知识内在联系。教案设计考点梳理、方法指导（核心结论+判定方法）、真题训练（例题+变式题）三环节，帮助学生系统突破向量几何应用难点。 资料特色在于将四心与奔驰定理深度整合，创新采用“结论推导-判定应用-分层训练”教学模式，如用“aOA+bOB+cOC=0”判定内心，培养学生数学抽象与逻辑推理能力。设置基础到综合的梯度练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题03：平面向量四心与奔驰定理 解题技巧一 向量重心问题 4 解题技巧二 向量内心问题 7 解题技巧三 向量外心问题 10 解题技巧四 向量垂心问题 13 解题技巧五 奔驰定理的应用 17 思维导图 一、平面向量四心的定义和二级结论 1.三角形内心 (1)定义：三角形内接圆圆心，三角形内角角平分线的交点，内心到三角形各边距离相等. (2)性质：若为三角形的内心，则 . (3)拓展：若，，则一定经过三角形的内心. 3.三角形外心 (1)定义：三角形外接圆圆心，三角形各边的垂直平分线的交点，到顶点距离相等（）. (2)性质：若为三角形的外心， 则. (3)拓展 ①点为三角形的外心，若，，则一定经过三角形的外心. ②若,，则是三角形的外心. 4.三角形重心 (1)定义：三角形三条中线的交点，重心将中线分为的线段. (2)性质：若为三角形的重心，. (3)拓展 ①点为三角形的重心，若 或，，则一定经过三角形的外心. ②点为三角形的重心，若或，则一定经过三角形的外心. 5.三角形垂心 (1)定义：三角形三条高线的交点. (2)性质：若为三角形的垂心 . (3)拓展 ①若点为三角形的垂心，则. ②若点为三角形的垂心，则. ③若点为三角形的垂心，若，，则一定经过三角形的垂心. 二、奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心：. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 向量重心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝＋＋). 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 【例1】（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据重心的向量表示即可求得点为重心；利用点为重心，即可得，可得结论. 【详解】依题意， 则是重心，即充分性成立； 若是重心时，， 可得 所以，必要性成立， 故选：C. 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线，经过整理得到，将其代入，经过整理得到，，利用向量减法的三角形法则得到，取的中点，由向量加法的平行四边形法则得到，将其代入得到，动点的轨迹必经过的重心. 【详解】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 【变式1-3】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 解题技巧二 向量内心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心. 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 【变式2-1】（24-25高三·全国·二轮复习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 【变式2-2】（25-26高三·全国·课后作业）已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 【变式2-3】（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 解题技巧三 向量外心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心. 【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心. 故选：B 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】取中点D，根据条件化简得，所以点P在中垂线上，所以，所以为三边中垂线交点，即为的外心. 【详解】    如图，取中点D， . ， ， ， ， ， 点P在中垂线上. ，又， 所以 为的外心. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】点 是点 在平面 上的射影，知平面，所以，由直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，证得，从而证得，由此可知 是 的外心. 【详解】由题可知，平面，所以. 所以. 连接，则分别是直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角， 所以. 在中，，是公共边， 所以. 所以. 所以 是 的外心. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高三下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 解题技巧四 向量垂心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】由点是非等边的外心可得，又因为平面内满足，所以，设D为中点，得到，，从而得到，在边的高线上.同理可得在边高线上，在边高线上，故为高线交点，即为垂心. 【详解】 因为点是非等边的外心， 所以. 因为平面内满足， 所以, 设D为中点，则有 ， 所以， 所以在边的高线上. 同理可得，在边高线上，在边高线上. 故点P是高线的交点，即为的垂心. 故选：A. 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 【变式4-3】（24-25高三下·天津·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是（   ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是 ④若，则点O是的内心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦函数性质判断①；利用余弦定理判断②；利用向量夹角判断③；利用数量积的定义推理判断④即可得解. 【详解】对于①，在中，由，得或， 即或，则是等腰或直角三角形，①错误； 对于②，由，得，则是锐角， 而无条件能说明都是锐角，②错误； 对于③，当时，向量与同向，其夹角为，③错误； 对于④，由，得， 则，而，于是， 平分，由，得平分， 因此点O是的内心，④正确， 所以四个命题中正确个数是1. 故选：A 解题技巧五 奔驰定理的应用 解题技巧： 1.奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 【例5】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 【变式5-1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 【变式5-2】（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【解答过程】由奔驰定理. 结合已知，得. 因为是内心(到各边距离为内切圆半径)， 所以，，， 因此边长 . ，，半周长， 由海伦公式，， 又，， 由余弦定理，， 代入正弦定理：，， ， 故选：D. 【变式5-3】（2025·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解题思路】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出 ，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案. 【解答过程】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以 ， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 故选：B. 1．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，点M是的重心，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】点M是的重心，， ，，，故选项C正确. 2．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 3．（2026·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】D 【分析】将等式化简整理得，作出中线，进一步将其化成，可得动点的轨迹为的垂直平分线，即得D项. 【详解】由可得，， 即, (*) 如图，取的中点为，连，则， 因，故得，, 代入(*)得，,即, 故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心. 故选：D. 4．（25-26高三下·天津北辰·期中）为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 【详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 5．（2026高三·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由向量的数量积运算可得，即，同理可证即可得出结果. 【详解】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 7．（24-25高三下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 8．（2025·湖南长沙·一模）(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高三上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 10．（2025·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 【答案】①②④ 【分析】对于①:利用重心的性质代入即可. 对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记, 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题03：平面向量四心与奔驰定理 解题技巧一 向量重心问题 4 解题技巧二 向量内心问题 5 解题技巧三 向量外心问题 6 解题技巧四 向量垂心问题 7 解题技巧五 奔驰定理的应用 8 思维导图 一、平面向量四心的定义和二级结论 1.三角形内心 (1)定义：三角形内接圆圆心，三角形内角角平分线的交点，内心到三角形各边距离相等. (2)性质：若为三角形的内心，则 . (3)拓展：若，，则一定经过三角形的内心. 3.三角形外心 (1)定义：三角形外接圆圆心，三角形各边的垂直平分线的交点，到顶点距离相等（）. (2)性质：若为三角形的外心， 则. (3)拓展 ①点为三角形的外心，若，，则一定经过三角形的外心. ②若,，则是三角形的外心. 4.三角形重心 (1)定义：三角形三条中线的交点，重心将中线分为的线段. (2)性质：若为三角形的重心，. (3)拓展 ①点为三角形的重心，若 或，，则一定经过三角形的外心. ②点为三角形的重心，若或，则一定经过三角形的外心. 5.三角形垂心 (1)定义：三角形三条高线的交点. (2)性质：若为三角形的垂心 . (3)拓展 ①若点为三角形的垂心，则. ②若点为三角形的垂心，则. ③若点为三角形的垂心，若，，则一定经过三角形的垂心. 二、奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心：. 经典重现+解题技巧 解题技巧一 向量重心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝＋＋). 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 【例1】（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1-2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【变式1-3】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧二 向量内心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心. 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2-1】（24-25高三·全国·二轮复习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-2】（25-26高三·全国·课后作业）已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2-3】（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解题技巧三 向量外心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心. 【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【变式3-3】（24-25高三下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 解题技巧四 向量垂心问题 解题技巧（核心结论+判定方法） 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4-3】（24-25高三下·天津·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是（   ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是 ④若，则点O是的内心 A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧五 奔驰定理的应用 解题技巧： 1.奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 【例5】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，点M是的重心，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 4．（25-26高三下·天津北辰·期中）为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5．（2026高三·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．（24-25高三下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 8．（2025·湖南长沙·一模）(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 9．（24-25高三上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 10．（2025·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $