2.4 等腰三角形的判定定理 课时同步讲与练课件 2026--2027学年浙教版数学八年级上册

2.4 等腰三角形的判定定理 2024浙教版 八年级上册 第2章 特殊三角形 【课标要求】 1.掌握并能证明等腰三角形的判定定理． 2.利用等腰三角形的判定定理证明相关问题． 3.掌握并能证明等边三角形的判定定理． 4.利用等边三角形的判定定理证明相关问题． 1．下列条件中，能得到等腰三角形ABC的是(　 　) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，△ABC的周长为15 B 2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　 　) A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B．BC∶AC∶AB＝2∶2∶3 C．∠B＝40°，∠C＝70° D．2∠A＝∠B＋∠C D 3．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从B处到灯塔C的距离为______海里． 30 4．由于木质衣架没有柔韧性，所以在挂置衣服的时候不太方便．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后只需松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm.衣架收拢时，如图②，∠AOB＝60°，此时A，B两点之间的距离为_______cm. 18 【解析】 ∵在△AOB中，OA＝OB＝18 cm，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝18 cm，即A，B两点之间的距离为18 cm. 5．已知：如图，∠1＝∠2，BD＝CD.求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB， 即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形． 6．[教材P70作业题T2改编]如图，已知AD平分∠CAE，AD∥BC. (1)求证：△ABC是等腰三角形． (2)当∠CAE度数为多少时，△ABC是等边 三角形？请说明理由． 解：(1)∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠CAD. ∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． (2)当∠CAE＝120°时，△ABC是等边三角形．理由如下： 由(1)得，△ABC是等腰三角形． ∵∠CAE＝120°，∴∠BAC＝180°－∠CAE＝60°， ∴等腰三角形ABC是等边三角形． 7．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形．其中属于等边三角形的是(　 　) A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ D 8．[教材P70作业题T4改编]如图，在△ABC中， BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB＝3，AD＝1， 则△AED的周长为(　 　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴△AED的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝4. C 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，AD是BC边上的高线，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数为_______． 60° 【解析】 如答图，连结BE，与AD相交于点P，此时PE＋PC最小． ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 又∵AD是BC边上的高线，∴AD垂直平分BC，∴PC＝PB，∴∠BCP＝∠CBP. 10．如图，∠A＝∠B＝∠C，△ABC的周长为30 cm，P，Q两点分别从B，C两点同时出发，点P以6 cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14 cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P，Q两点第一次在△ABC的顶点处相遇的时间为t1，则t1＝_______s. 10 【解析】 ∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形， ∴△ABC的边长为30÷3＝10(cm)． 由题意得，P，Q两点第一次相遇的时间为20÷(6＋14)＝1(s)， 以后每隔30÷(6＋14)＝1.5(s)，P，Q两点就会相遇一次． 设P，Q两点相遇次数为n，则当6×1＋6×1.5(n－1)＝10k(k为正整数)时，P，Q两点就在△ABC的顶点处相遇， 整理得，9n＝10k＋3， ∴当k＝6，即n＝6＋1＝7时，P，Q两点第一次在△ABC的顶点处相遇，则t1＝1＋1.5(n－1)＝10(s)． 11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段． ∴∠ABF＝∠ACE，∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE， 即∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC. 相等的线段还有PE＝PF，BE＝CF，BF＝CE. 12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明． 解：△AEF是等腰三角形． 证明如下： ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵EG∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD， ∴∠E＝∠EFA，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形． 13．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高线BD，CE相交于点O，且OB＝OC.求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵BD，CE是△ABC的高线，∴∠OEB＝∠ODC＝90°. 又∵∠EOB＝∠DOC，∴∠EBO＝∠DCO. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 14．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，延长BC到点E，使CE＝CD.求证：DB＝DE. 15．如图，有甲、乙两个三角形．甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数． (1)方方按要求画出了图①中甲三角形的分割线，请你帮他作出图①中乙三角形的分割线． (2)方方进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形，请在图②中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形形成3对全等三角形，则视为同一种方法)． 解：(1)按要求作图如答图①. (2)(答案不唯一，合理即可)第一种方法如答图②(视为同一种)： 第二种方法如答图③： 　(第15题答图①)　　 (第15题答图②)　　　 　(第15题答图③) $