数学(五) 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习40分钟周测卷（B苏闽湘冀渝川鄂黑吉辽蒙陕甘宁青云新藏贵赣豫晋皖鲁粤专版）

数学（五）函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 (建议用时40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=一log2x一x2+4的零点所在区间是 A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 2.卫知函数f)=(传)厂 一lnx,若xo是函数f(x)的零点，且0<x1<xo,则f(x1)的值 A.恒为正数 B.等于0 C.恒为负数 D.不能确定正负 3.用二分法求函数f(x)=lnx十2x一6在(2,3)内的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复 相同步骤的次数至少为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知x=1是函数f(x)=(x-a)(2x一b)一1的零点，若a>1,b>2,则a十b的最小值为 A.7 B.6 C.4 D.5 5.牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 0℃，环境温度为0，℃，则t分钟后物体的温度0（单位：℃）满足：0=0。十(01一0)e.已知环境 温度为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降至80℃，那么大约 再经过( )分钟，温度降至35℃， A.10 B.20 C.30 D.40 6.已知函数f(x)=x3十x-1,g(x)=3x十x-1,h(x)=log3x十x-1的零点分别为a,b,c,则a,b, c的大小顺序为 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在（一∞，0）内单调递减，则函数y=f(x+1) +1的图象可能是 B D 数学（五）第1页（共4页） 8.下列说法正确的是 A.函数f(x)=x2十2√5x十5可以用二分法求零点的近似值 B.已知x1,x2分别是函数f(x)=e十x-2,g(x)=lnx十x-2的零点，则e十lnx2=2 C.若函数f(x)=a(2 xf 十b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，则函 数g(x)=f(x)-1的零点为1，-1 D.若直线y=2a与函数f)=a-1川的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是(0，】 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若函数f(x)=x2一2x十m有两个零点x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数m的取值范围 为 10.设y=fx)是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[-一2,0]时，f(x)=(厂广-1，若函数 g(x)=f(x)一log。(x十2)(a>1)在区间(-2,6]上恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围 是 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=a.x2-(2a十1)x十2. (1)当a=-1时，求f(x)的零点； (2)“若f(x)在区间(0,3)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”.某同学给出了如下解答：由 f(0)f(3)=2(3a-1)<0,解得a<3所以，实数a的取值范围是(-∞，号)上述解答正确吗？ 若不正确，请说明理由，并给出正确的解答 数学（五）第2页（共4页） >40分钟·B 12.(本小题满分15分) 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源， 目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道 上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速80k/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小 时耗电量Q(单位：Wh)与速度x(单位：km/h)的部分数据如下表所示： 0 10 40 60 Q 0 825 24004200 为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模 型供选择：①Q,(x)=+ar+c;②Q,(e)=100·(号}+a:③Q,(z)=301cg+a (1)当0≤x≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出 相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度 为30k,求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 数学（五）第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=a(x2-4x)+1十，1（其中a为常数）. T 4-7 (1)当a=0时，求函数f(x)在(0,4)上的最小值； (2)证明：函数f(x十2)为偶函数； (3)若对于任意m∈(1,2)，关于x的方程f(x)十m=0在(0,4)上有解，求实数a的取值范围. 数学（五）第4页（共4页） 40分钟·B40分钟·B ·数学· 数学（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 判断零点所在的 1 选择题 5 易 0.85 区间 函数的性质与函数 选择题 易 0.75 的零点 二分法求方程近 3 选择题 5 易 0.70 似解 根据零点求函数解 4 选择题 5 析式中的参数、条件 中 0.68 等式求最值 利用指数型模型解 5 选择题 5 中 0.65 决实际问题 6 函数与方程的综合 选择题 中 0.55 应用 选择题 6 函数图象的识别 易 0.70 函数与方程、函数图 8 选择题 6 中 0.65 象综合 二次函数零点的 9 填空题 5 易 0.80 分布 函数周期性的应用、 10 填空题 5 中 0.50 函数奇偶、函数零点 求函数的零点、根据 11 解答题 13 函数零点的个数求 √ 中 0.68 参数范围 12 解答题 利用给定函数模型 15 中 0.60 解决实际问题 奇偶性、根据二次函 13 解答题 20 数零点的分布求参 中 0.55 数的范围 ·19· ·数学· 参考答案及解析 昏考答条及解析 一、选择题 函数，且函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，故函数 1.D【解析】因为f(x)=-log2x一x2十4在 (x)在(0，十o∞)上单调递减，故当x>-1时，x十1 (0,十∞)上单调递减，而f(1)=3>0,f(2)=-1< >0,此时g(x)=f(x+1)十1，故函数g(x)在 0,所以函数的零点所在区间是(1,2).故选D. （一1，十∞)上单调递减，排除D选项.故选AC. 2.A【解析】：函数f)=(合）广-nx在0，十∞) 8.BCD【解析】对于A,因为f(x)=x2+25x+5= (x十√5)≥0，故不能用二分法求零点的近似值，故 上单调递减，且x。是函数f(x)的零点，∴.f(xo)= A错误；对于B,由题意知 1e1=2-x 0,.在(0，xo)上，有f(x)>0,0<x1<x0, ,所以x1,x2 In x2=2-x2 .f(x1)>0.故选A 分别为y=e、y=lnx与直线y=2-x交点的横坐 3.B【解析】原始区间长度为3一2=1，第一次，区间长 标，因为y=e与y=lnx关于直线y=x对称，y=2 度减半，为0.5>0.1，第二次，区间长度减半，为0.25 得/1 y=2- 一x关于直线y=x对称，由{ 、,所以 >0.1,第三次，区间长度减半，为0.125>0.1，第四 y=x y=1 次，区间长度减半，为0.0625<0.1，故至少需要重复 x1十x2=2,所以e十lnx2=2-1十2-x2=4- 四次，故选B. (1十x2)=2,故B正确；对于C,根据题意可得 4.D【解析】由题意得(1-a)(2-b)=1,即(a-1)(b f(0)=a(分)广+b=0=a+h=0,根据f(x)的图象 -2)=1,则a+b=(a-1)十(b-2)十3≥ 与y=2无限接近，且不相交，所以b=2,故a=一2， 2√/(a-1)(b-2)十3=5，当且仅当a-1=b-2=1 因此f(x)=-2() +2,令g(x)=f(x)-1 时取等号，所以a十b的最小值为5.故选D. 5.B【解析】由已知0=0。十(0-a)e:,又环境温度 0,则f(x)=1,故1=-2（分）”+2→（） 为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经 过10分钟温度降为80℃，即0。=20,01=140,0=80， 之，故x=1,解得x=士1，故C正确：对于D.当a t=10,代入可知80=20+(140-20)e1,则e= >1时，函数f(x)=|a2一1|的图象如图所示， 2,设再经过t分钟，温度可由80℃降为35℃，即35 =20+(80-20)e,即e“=4=22=e20,即t=20. 故选B. 6.D【解析】g(x)=3十x一1是R上的增函数，且 y=f(x) g(0)=0,则b=0,又h(x)=log4x十x-1是(0，十o) 上的增函数，且h(1)=0,则c=1.因为f(x)在R上 是增函数，f(0)=-1<0,f(1)=1>0,由函数零点 存在定理可知，f(x)有唯一的零点a∈(0,1)，故得c 当0<a<1时，函数f(x)=|a-1|的图象下图 >a>b.故选D. 所示， 二、选择题 7.AC【解析】令g(x)=f(|x+1|)+1,其中x∈ R,则g(-1-x)=f(|-1-x十1|)+1 f(|x|)十1，g(-1+x)=f(|-1十x+1|)+1= y=f(x) f(|x|)十1，则g(-1一x)=g(-1十x),故函数 g(x)=f(|x十1|)+1的图象关于直线x=-1对 称，排除B选项；因为函数∫(x)是定义在R上的奇 ·20· 40分钟·B ·数学· 则当0<2a<1时，直线y=2a与函数f(x)= 当f3)=0,即a=子时，fx)=号x- 3x+2 |。-1川的图象有两个公共点，所以0<a<分，实数 子(r-5x十6).解得1=2=3， a的取值范围是(0，？)，故D正确.故选BCD, x=2是(0,3)内的唯一零点， 三、填空题 综上可得a的取值范围是(-o,子]U宁}。 9.(-∞，1)【解析】由题意得f(1)<0,即m-1< 0,解得m<1. (13分) 10.(诉，2)【解析】作出函数f(x)=(分）广-1在 12.解：(1)由题意显然选择Q(x)=十hx十c [一2,0]上的图象，根据∫(x)的对称性及周期性， (3分) 可得出f(x)在(-2,6]上的图象，如图，若函数y ×102+b×102+c×10=825 40 g(x)在区间（一2,6]上恰有3个不同的零点，则函 由表中数据，可得 ×403+b×40+c×40=2400 数f(x)与函数y=log。(x十2)(a>1)的图象在 40 (-2,6]上恰有3个不同的交点，所以 b=-2 解得 (6分) log(2+2)<3 c=100 ,解得4<a<2. 1og。(6+2)>3 .Qx)+100 (7分) y=loga(x+2) (②设车准为，同道上行驶30如，所用时间为碧 (8分) x) 则所耗电量为f()=30 Q() 80(02-2对+100) 2f-60o+30 四、解答题 3 11.解：(1)当a=-1时，f(x)=-x+x十2， =是(v-40)2+1800, (12分) 令f(x)=0,解得x=2或x=-1, 0≤≤80， 所以函数f(x)的零点为-1,2. (4分) .当v=40时，f()m=f(40)=1800Wh, (2)上述解答不正确， ∴.当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h时，该 当a=0时，f(x)=-x十2， 车的总耗电量最少，最少为1800Wh. (15分) 令f(x)=0得x=2∈(0,3). 即当a=0时，f(x)在(0,3)内恰有一个零点. 13,解：1由a=0,得f()=士十2 (6分) [x+(4-x)(只+) (2分) 当a≠0时，△=(2a十1)2-8a=(2a-1)2, 若4=0，即a= =1+后号) 则函数f(x)的图象与x轴交于点(2,0)， ≥(2+2后)=1， 即x=2是(0,3)内的唯一零点； (8分) 故f(x)的最小值为1，当且仅当x=2时取到最小 1 若△>0，即a≠之， 值 (5分) (2)函数y=f(x十2)的定义域为{xx≠士2}，关 当f(0)f(3)=2(3a-1)<0时，解得a<3 于原点对称 (6分) 即a<号且a≠0， fx)=a(x2-4x)十主+4-元 1 (10分) ·21· ·数学· 参考答案及解析 =a(x2-4x)+4 x(4-x) 令w=1， =a(x-2)-4a+4-(x-2)' 4 则由e[-4,0)可得u=∈(-0，-号]， 则f(x+2)=a(x+2-2)2-4a+4-（x+2-2) 即a=4w-mu在u∈(-o,一]上有解。 4 =a.x2-4a十4-x 因为m∈(1,2)， 4 所以a=4d-mu在u∈(-∞，一]上单调递减， f(-x+2=a(-x+2-2)°-4a+4-（-x+2-2) (16分) a-da 所以4r-mm∈[+婴，+eo)）, (8分) 因为m∈(1,2)， 所以f(x+2)=f(-x十2)， 即f(x+2)为偶函数. (9分) 所以+兴∈（分，是）： (3)y=f(x)+m 则a=4w-m在u∈(-o,-]上有解可得a 4 =a(x-2)°-4a+4-(x-2)十m, ∈[子，+∞) 令t=x2-4x=(x-2)2-4∈[-4,0)， 则/)十m=0在(0,4)上有解等价于a1-兰十m 即a的取值范围为[子，十o)力 (20分) =0在t∈[-4,0)上有解， (11分) 即a=号-m·在：∈[-4,0)上有解。(13分) ·22·