精品解析：陕西省榆林市横山中学2025～2026学年第二学期期末检测高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 的值为（ ） A. 101 B. C. 6 D. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况，如下表所示： 售价x（元/件） 月销售量y（千件） 9 9 7 5 若y与x线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 相关系数 C. 当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D. 当时，残差为 11. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在上的最小值为 D. 当时，关于x的方程有3个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中常数项为______． 13. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为______． 14. 若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 50 女生 合计 30 （1）补全列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 附：，其中． α 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 16. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； 17. 已知函数满足，. （1）求 （2）用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． （ⅰ）当时，求的分布列与数学期望； （ⅱ）当为何值时，的值最大？ 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义即可得到结果. 【详解】由，可得. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 的值为（ ） A. 101 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合数公式计算即可. 【详解】. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 5. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，然后再将组诗集分配给名同学，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，分组方法种数为种， 然后再将组诗集分配给名同学，共有种分配方案． 7. 若函数是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】若为增函数，则，所以. 因此实数a的取值范围为. 8. 已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，由推出，再结合“1”的代换与基本不等式求最小值. 【详解】正态分布的密度曲线关于对称轴对称，本题中，即对称轴为. 已知，说明和关于对称轴对称， 因此满足，即，且由题设知. 用“1”的代换与基本不等式： 当且仅当​，即时取等号. 因此最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以，因为，所以，则， 故A正确，B错误； 因为，所以，则，故C正确； 因为，，所以，故D正确. 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况，如下表所示： 售价x（元/件） 月销售量y（千件） 9 9 7 5 若y与x线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 相关系数 C. 当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D. 当时，残差为 【答案】AD 【解析】 【详解】由图表可知，， 代入经验回归方程有，解得，故A正确； 回归方程斜率，故随着增大而减小，是负相关，故，故B错误； 时，，故C错误； 时，，实际值，残差，故D正确． 11. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在上的最小值为 D. 当时，关于x的方程有3个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，利用赋值法求出，判断选项A；分解导函数，根据导函数在区间内正负，判断单调性，确定选项B；找出区间内极值点，计算极值和区间端点函数值，比较大小得到最小值，判断选项C；根据导函数得到完整单调区间，求出极大、极小值；利用图像，观察水平线和函数曲线交点数量，判断选项D． 【详解】已知，求导得， 把代入导函数得，解得，故A错误； 当时，，所以， 在上单调递减，故B正确； 令，得， ，，， 故在上的最小值为，故C正确； 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增，极大值，极小值， 当时，直线穿过极大值和极小值之间，与图象有3个交点， 方程有3个不同实根，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答. 【详解】的展开式的通项为． 令，得，故常数项为． 故答案为：. 13. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为______． 【答案】 【解析】 【详解】分式不等式等价于，解得， 所以. 图中空白部分是集合，因此阴影部分是全集中去掉的部分，即. 先求： 已知，结合，可得. 再求补集：. 所以图中阴影部分表示的集合为. 14. 若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，求得单调区间，通过函数图象走势来判断实数a的取值范围 【详解】对函数求导，得 ， 令，得 ，或； 令，得 ，. 所以，， ， 令，得 ，或 令，得 ， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 又，故的根为， 所以的根为或， 如图所示， 所以若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 50 女生 合计 30 （1）补全列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 附：，其中． α 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1） 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （2）可以认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关【解析】 【小问1详解】 由题可知共选择学生100人，由表可知选择女生合计， 剪纸的男生为人，则选择剪纸的女生为人， 则选择书法的女生为人，则选择书法的学生为人， 则补充后的表如下所示： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 【小问2详解】 零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关． 根据列联表中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关． 16. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； 【小问1详解】 解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 17. 已知函数满足，. （1）求 （2）用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上的值域为 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【小问1详解】 令，则，将其代入得 ，将替换为，得； 【小问2详解】 任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． （ⅰ）当时，求的分布列与数学期望； （ⅱ）当为何值时，的值最大？ 【答案】（1）0.75． （2）（i） 0 1 2 3 数学期望． （ⅱ）或4 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解； （2）（ⅰ）根据二项分布概率公式求分布列和数学期望；（ⅱ）根据二项分布概率公式可知，判断数列的单调性，即可求最值. 【小问1详解】 记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件， 由题意可知：，，，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率为0.75． 【小问2详解】 由（1）可知：， （i）当时，的可能取值为，，，， 依题意，，，，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． （ⅱ）， 令，则， 令，解得，可知当时，；令，解得，可知当时，； 令，解得，可知当时，； 于是． 所以当或4时，最大，即或4时，的值最大． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为 （3） 当时，， 由（2）有单调增区间为，单调减区间为， 又，所以是的一个零点，不妨设， 要证，只需证， 又因为，且在上单调递减， 从而只需证即可， 又， 令， 所以，所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求，再求导得，进而得切线方程； （2）先求导，利用导数研究单调性即可求解； （3）结合（2）易得，即是的一个的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， 所以切线方程为：； 【小问2详解】 所以， 当时，由， 所以单调增区间为，单调减区间为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $