安徽阜阳市临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二数学 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a = (-1，3，0)，b=(2，-5，4)，则2a-3b= A.(-7，18，-12)　　　B.(-8，21，-12)　　C.(4，9，12)　　　D.(-3，8，4) 2.已知向量a=(-1，-2，2)，b=(3，0，-1)，则向量a在向量a+b上的投影向量的坐标为 A.，－，　　　　　B.－2，，－ C.－，，－　　　D.，－， 3.已知动点D在△ABC所在的平面内运动，若对于空间中任意一点E，都有=3--2λ，则实数λ的值为 A.　　B.－　　C.2 　　　D.－2 4.在三棱锥P-ABC中，点A(1，-1，2)，B(0，3，1)，C(2，0，2)，P(2，4，3)，则点P到平面ABC的距离为 A.4 　　　B.2　　　C.　　D. 5.一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形.若AB=BG=CF=4，且·=27，则AD= A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 6.已知空间向量a=(-1，0，x)，a+b=(-3，3x，x)，且(2a-b)·(3b-a)=0，则实数x等于 A.－1　　　B.0　　　C.±1　　　　D.±2 7.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2，·=4，则正四棱台的体积为 A.　　　B.　　　C.12 　　D.8 8.如图，圆柱OO1的轴截面ABCD是正方形，且正方形的对角线长为2，点E在☉O上，=，点F在☉O1上，E，F在平面ABCD的同侧.记二面角D-AF-E，A-DF-E的大小分别为α，β，若tan α-tan β=8，则点F到平面OEO1的距离为 A.　　B.　　C.　　D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的有 A.空间中不相交的两条直线是异面直线 B.已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则++++=0 C.若两个非零向量，满足+=0，则A，B，C，D四点共线 D.已知=x+y+z(x，y，z∈R)，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则x+y+z=1 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，AB=AD=2DD1=2，则下列结论正确的是 A.△B1CD1的面积为2 B.EF∥平面B1CD1 C.异面直线EF与CD1所成角的余弦值为 D.点E到平面B1CD1的距离为 11.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，记二面角A-BD-C为θ，BD的中点为O，则下列结论正确的是 A.∀θ∈(0，π]，都有AC⊥BD B.若正方形折叠后，AB=2AC，则△AOC是等边三角形 C.若θ=，则=1－ D.若θ=，则直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系O-xyz中，点(m，n，p)关于平面yOz对称的点的坐标为　　　　.  13.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(1，0，2)，B(3，-1，2)，C(-1，2，1)，点M在线段OA上运动.当·取得最小值时，点M的坐标为　　　　，此时点M到线段BC的中点的距离为　　　　.  14.如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处).已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，AB=AM=2AC=2. (1)求点B到平面ACM的距离； (2)求异面直线CM与AB所成角的正弦值. 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，，两两之间的夹角均为60°，AD=AA1=AB=1，=2，+=0. (1)求线段MN的长度； (2)求证：MN⊥BD. 17.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，CP=DP=，E，G分别是CD，DP的中点，点F在棱AB上，且AF=3BF. (1)求证：FG∥平面BEP. (2)求直线FG与平面BCP所成角的正弦值. 18.(17分)如图，已知平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，=2，·=0，||=||=4. (1)求证：平面ADEF⊥平面ABF. (2)若AB=2，求二面角C-BD-F的余弦值. 19.(17分)已知一组空间向量a1，a2，a3，…，an(n∈N*)，记Sn=a1+a2+a3+…+an，如果存在ap(p∈{1，2，3，…，n})，使得|ap|≤|Sn-ap|，那么称ap是该向量组的“ω向量”. (1)已知a1=(4，0，3)，a2=(3，1，m)，a3=(0，2，4)，若a2是向量组a1，a2，a3的“ω向量”，求实数m的取值范围. (2)四面体PABC内接于以O为球心，3为半径的球，且5+13+12=0. ①记a1=，a2=，a3=，向量组a1，a2，a3中是否存在“ω向量”?若存在，指出哪个是“ω向量”并证明；若不存在，请说明理由. ②求四面体PABC体积的最大值. 参考答案 1.B解析：因为a=(-1，3，0)，b=(2，-5，4)， 所以2a-3b=(-2，6，0)-(6，-15，12)=(-8，21，-12). 2.D解析：因为a=(-1，-2，2)，b=(3，0，-1)，所以a+b=(2，-2，1)， 所以a·(a+b)=-2+4+2=4，|a+b|=3， 则向量a在向量a+b上的投影向量为·=×=·(2，-2，1)=，-，. 3.A　解析：因为=3--2λ，所以-=-3++2λ，所以=3--2λ. 又动点D在△ABC所在的平面内运动，所以3-1-2λ=1，解得λ=. 4.C解析：因为点A(1，-1，2)，B(0，3，1)，C(2，0，2)，P(2，4，3)， 所以=(-1，4，-1)，=(1，1，0)，=(1，5，1). 设平面ABC的法向量为n=(x，y，z)，所以即 令x=1，则y=-1，z=-5，所以n=(1，-1，-5)， 所以点P到平面ABC的距离为===. 5.A解析：由题意可知DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 设AD=m(m>0)，因为AB=BG=CF=4，所以AH=BG=3， 所以B(m，4，0)，C(0，4，0)，E(0，0，4)，H(m，0，3)， 所以=(m，-4，3)，=(-m，-4，4)，则·=-m2+16+12=27，解得m=1. 6.B解析：因为空间向量a=(-1，0，x)，a+b=(-3，3x，x)，所以b=(-2，3x，0)， 所以2a-b=(0，-3x，2x)，3b-a=(-5，9x，-x). 因为(2a-b)·(3b-a)=0，所以-27x2-2x2=0，解得x=0. 7.A　解析：设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为h(h>0)， 四边形ABCD，A1B1C1D1都是正方形，设其中心分别为F，E，连接AC，A1C1. 如图，以F为原点，过点F且与AB垂直的直线为x轴，过点F且与BC垂直的直线为y轴，FE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，作C1G⊥CF于G. 因为AB=2A1B1=2，由勾股定理得AC=4，A1C1=2，所以CF=2，C1E=1. 由题意得C1E∥CF，C1G∥EF，所以四边形EFGC1是平行四边形， 所以FG=1，EF=C1G，CG=1， 故点A(，-，0)，B(，，0)，C1-，，h，D1-，-，h， 则=-，，h，=-，-，h， 故·=-×-+×-+h2=h2. 因为·=4，所以h2=4，因为h>0，所以h=2， 所以正四棱台的体积为×(2×2+×+)×2=. 8.D　解析：因为圆柱OO1的轴截面ABCD是正方形，且正方形的对角线长为2， 所以OB=OC=1，OO1=2，OO1⊥底面圆O. 因为点E在☉O上，=，所以OE⊥BC. 如图，以点O为坐标原点，分别以OE，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 所以点A(0，-1，2)，E(1，0，0)，D(0，1，2). 设点F(t，λ，2)(0<t≤1，-1<λ<0)，且t2+λ2=1，所以=(t，λ+1，0). 设平面AEF的法向量为m=(x，y，z)，=(1，1，-2)，=(t，λ+1，0)， 由得 令x=λ+1，得y=-t，z=，所以m=λ+1，-t，. 设平面DEF的法向量为n=(x1，y1，z1)，=(t，λ-1，0)，=(1，-1，-2)， 由得 令x1=λ-1，得y1=-t，z1=，所以得n=λ-1，-t，. 依题意，平面ADF的一个法向量为=(0，0，2)， 所以cos α=|cos<m，>|==，所以tan α=. -cos β=|cos<n，>|==，所以-tan β=， 所以tan α-tan β=+=+=2+=. 因为tan α-tan β=8，所以=8，又因为λ∈(-1，0)，所以λ=-. 所以点F到平面OEO1的距离为. 9.BD　解析：对于A，空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误； 对于B，已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则++++=0，故B项正确； 对于C，若两个非零向量，满足+=0，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故C项错误； 对于D，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，=x+y+z(x，y，z∈R)，则x+y+z=1，故D项正确.故选BD. 10.BCD　解析：对于A，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2DD1=2， 所以△B1CD1是等腰三角形，B1D1=2，B1C=D1C=，其面积为×2×=，故A项错误； 对于B，E，F分别是AB，AD的中点，由正方体的性质知，EF∥BD∥B1D1， 又因为EF⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以EF∥平面B1CD1，故B项正确； 对于C，因为EF∥B1D1，所以异面直线EF与CD1所成的角为∠CD1B1或∠CD1B1的补角，cos∠CD1B1===，故C项正确； 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB=AD=2DD1=2，E，F分别是AB，AD的中点， 所以点D1(0，0，1)，C(0，2，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，1)， 所以=(-2，0，-1)，=(-2，-2，0)，=(2，-1，0)， 设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则 令x=-1，得y=1，z=2，则n=(-1，1，2)，又=(2，-1，0)， 所以点E到平面B1CD1的距离为===，故D项正确. 故选BCD. 11.AC解析：易知原正方形ABCD的对角线相交于点O，翻折后，得到的图形如图所示. 对于A，由正方形的性质知AO⊥BD，CO⊥BD，所以BD⊥平面AOC，所以∀θ∈(0，π]，都有AC⊥BD，故A项正确； 对于B，正方形ABCD翻折后，AB=2AC， 由正方形的性质知OA=OC=AB=AC， 所以△AOC是等腰三角形，不是等边三角形，故B项错误； 对于C，因为θ=，由正方形的性质知OA=OC=AB，所以=， 在△AOC中，由余弦定理得=，所以=2-，所以=1-，故C项正确； 对于D，因为θ=，如图所示，以O为坐标原点，OC，OD，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 设翻折前正方形ABCD的边长为， 则点A(0，0，1)，B(0，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)， 所以=(0，-1，-1)，=(-1，1，0)，=(0，1，-1)， 设平面ACD的法向量为m=(x，y，z)，所以 令y=1，得x=1，z=1，所以m=(1，1，1)，所以cos<，m>===-， 所以当θ=时，直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，故D项错误. 故选AC. 12.(-m，n，p)解析：由题意可知，点(m，n，p)关于平面yOz对称的点的坐标为(-m，n，p). 13.，0，　　解析：设点M(x，y，z)，因为点M在线段OA上运动，所以∥. 因为点A(1，0，2)，B(3，-1，2)，C(-1，2，1)， 设=t(0≤t≤1)，则点M(t，0，2t)，所以=(3-t，-1，2-2t)，=(-1-t，2，1-2t)， 则·=(3-t，-1，2-2t)·(-1-t，2，1-2t)=5t2-8t-3=5t-2-， 当t=时，·取得最小值-，此时点M的坐标为，0，. 因为点B(3，-1，2)，C(-1，2，1)，所以线段BC的中点的坐标为1，，， 所以点M到线段BC的中点的距离为=. 14.　解析：如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，F为DD1的中点，CD1∩C1D=E，EF在3点钟时针所在的直线上，EG在4点钟时针所在的直线上， M为CC1的中点，BC1∩B1C=H，HM在3点钟时针所在的直线上，HL在4点钟时针所在的直线上，则∠LHM=∠GEF=30°. 设正四棱柱的底面边长为2a(a>0)，侧棱长为2b(b>0)， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以点E(a，2a，b)，G0，2a，b-a，H(2a，a，b)，L2a，2a，b-a， 则=-a，0，-a，=0，a，-a，|cos<，>|===， 所以|tan<，>|=. 故在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为. 15.解析：(1)因为AM⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AM⊥BC， 因为AB是圆的直径，所以BC⊥AC. 因为AC∩AM=A，所以BC⊥平面ACM，因为AB=2AC=2，所以BC=， 所以点B到平面ACM的距离为BC的长，即. (2)因为AB是圆的直径，所以AC⊥BC. 因为AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点， 所以建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示. 因为AB=AM=2AC=2，所以点C(0，0，0)，A(0，1，0)，B(，0，0)，M(0，1，2)， 则=(0，1，2)，=(，-1，0)，cos<，>===-， 所以异面直线CM与AB所成角的余弦值为， 故异面直线CM与AB所成角的正弦值为=. 16.解析：(1)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=2，+=0， 所以=，=-， 所以=++=--+=-(-)-+(+)=-(-)-+(+)=++. 因为AD=AA1=AB=1，向量，，两两之间的夹角均为60°， 所以∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°，则·=·=·=1×1×=， 所以||= = = =，故线段MN的长度为. (2)证明：由(1)知，=++，=-， ·=·=·=1×1×=， 所以·=++·(-)=(++3)·(-) =(·-+-·+3·-3·)=×-1+1-+3×-3×=0， 所以⊥，故MN⊥BD. 17.解析：(1)证明：因为在四棱锥P-ABCD中，CP=DP，E是CD的中点，所以EP⊥CD. 又侧面CDP⊥底面ABCD，侧面CDP∩底面ABCD=CD，PE⊂平面CDP， 所以EP⊥平面ABCD. 以E为坐标原点，垂直于CD的直线为x轴，直线EC，EP分别为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为底面ABCD是边长为4的正方形，CP=DP=，E，G分别是CD，DP的中点，AF=3BF，所以EP=3，AF=3，BF=1， 则点E(0，0，0)，P(0，0，3)，F(4，1，0)，B(4，2，0)，D(0，-2，0)， 所以点G0，-1，，则=-4，-2，，=(0，0，3)，=(4，2，0). 设平面BEP的法向量为n=(x，y，z)，则 取y=-2，得x=1，z=0，所以n=(1，-2，0)， 所以·n=-4×1+(-2)×(-2)+×0=0，即⊥n， 又FG⊄平面BEP，所以FG∥平面BEP. (2)由(1)知=-4，-2，，=(-4，-2，3)，=(-4，0，0). 设平面BCP的法向量为m=(x1，y1，z1)，则 取z1=2，得x1=0，y1=3，所以m=(0，3，2)， 所以cos<m，>===-. 设直线FG与平面BCP所成的角为θ，则sin θ=|cos<m，>|=， 所以直线FG与平面BCP所成角的正弦值为. 18.解析：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 因为平面ABCD⊥平面ADEF，且平面ABCD∩平面ADEF=AD，BA⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面ADEF. 又EF⊂平面ADEF，所以AB⊥EF. 又·=0，所以AF⊥EF，且AF∩AB=A，所以EF⊥平面ABF. 因为EF⊂平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABF. (2)因为四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，·=0，所以AF⊥EF. 以F为坐标原点，AF，FE所在的直线分别为x轴、y轴，过点F且垂直于平面ADF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB=2，=2，||=||=4，所以||=2， 所以点F(0，0，0)，C(-2，2，2)，B(-4，0，2)，D(-2，2，0)， 则=(2，-2，0)，=(2，2，0)，=(2，2，-2). 设平面BCD的法向量为m=(x1，y1，z1)，则 令y1=-1，得x1=，z1=0，所以m=(，-1，0). 设平面BDF的法向量为n=(x2，y2，z2)，则 令y2=1，得x2=，z2=2，所以n=(，1，2). cos<m，n>====，依题意，二面角C-BD-F为钝角， 所以二面角C-BD-F的余弦值为-. 19.解析：(1)因为a1=(4，0，3)，a2=(3，1，m)，a3=(0，2，4)， 所以S3=(7，3，7+m)，|a2|=，|S3-a2|=. 又因为a2是向量组a1，a2，a3的“ω向量”， 所以|a2|≤|S3-a2|，所以≤，解得-≤m≤， 所以实数m的取值范围为[-，]. (2)①因为四面体PABC内接于球O，所以|a1|=|a2|=|a3|=3， 因为5+13+12=0，所以5a1+13a2+12a3=0，所以5a1+12a3=-13a2， 等式两边同时平方得25+144+120a1·a3=169，所以a1·a3=0，即a1⊥a3， 所以⊥，且A，B，C，O在同一平面内. 如图所示，以O为原点，OA，OC所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则点A(3，0)，C(0，3)，所以a1=(3，0)，a3=(0，3)， 将其代入5a1+13a2+12a3=0中，得a2=-，-， 所以|a1|=3≥|S3-a1|=|a2+a3|==， |a2|=3<|S3-a2|=|a1+a3|==3，|a3|=3<|S3-a3|=|a1+a2|==， 由“ω向量”的定义，得a2，a3都是向量组a1，a2，a3的“ω向量”. ②由①得⊥，且A，B，C，O在同一平面内，所以△ABC在过球心O的截面上. 又因为5+13+12=0，所以5+13=-12， 等式两边同时平方可得，25+169+130||||cos∠AOB=144， 所以cos∠AOB=-，所以sin∠AOB=. 同理可得13+12=-5， 等式两边同时平方可得169+144+312||||cos∠BOC=25， 所以cos∠BOC=-，所以sin∠BOC=，则S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=||·||sin∠AOB+||·||+||·||·sin∠BOC=×9×+×9+×9×=. 当OP⊥平面ABC时，四面体PABC的体积取得最大值， 此时VPABC=S△ABC·|OP|=××3=. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $