安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列各组向量互相垂直的是 A.a=(1，2，-1)，b=(-4，3，1) B.a=(-1，0，1)，b=(2，-1，1) C.a=(3，2，-1)，b=(-6，-4，2) D.a=(1，3，2)，b=(-2，0，1) 2.若a=(1，-2，3)，b=(0，-1，1)，c=(3，1，-1)，则a在2b-c上的投影向量的模为 A. B. C. D. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，++= A.3 B.3 C.2+ D.+2 4.在空间直角坐标系中，等腰梯形ABCD的三个顶点分别为A(0，-1，2)，B(2，-2，1)，C(1，3，2)，且AB，CD分别为等腰梯形的腰，则点D的坐标为 A.，， B.-，， C.(3，-2，1) D.(-1，3，4) 5.已知椭圆+y2=1的右焦点为F，点P，Q在直线x=2上，FP⊥FQ，O为坐标原点，则·= A.1 B.2 C.3 D.4 6.阅读材料：在空间直角坐标系O -xyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n=(a，b，c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为d=(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为==. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为x-2y+2z+λ=0且平面α过点A(1，1，-2)，直线l过点A(1，1，-2)且其一个方向向量为d=(1，1，-4)，则直线l与平面α所成角的大小为 A. B. C. D. 7.若点O和点F分别为双曲线-y2=1的中心和右焦点，点P为双曲线上的任意一点，则·的最小值为 A.2 B.3 C.3-2 D.3+2 8.在四面体ABCD中，已知DA=DB=DC=1，∠ADB=，∠ADC=，∠BDC=，则CD与平面ABD所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.定义：空间向量a，b满足a􀱋b=|a|2+a·b+|b|2.若向量a=(-2，1，-2)，向量b为单位向量，则a􀱋b的值可以是 A.6 B.9 C.12 D.15 10.小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则平面α的一个法向量为n=(y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1).若已知在平面ABO中，O为原点，点A(1，2，1)，B(2，0，-1)，小强用他的方法计算平面ABO的法向量n，下列结论正确的是 A.n=(2，3，-4)是其中一个解 B.n=(-2，3，-4)是其中一个解 C.用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D.用上述条件在该方法下得到的法向量的模长是唯一的 11.已知P(a，b)是圆C：x2+2x+y2-4y=4上的点，则下列结论正确的是 A.a-b的最小值为-3 B.的最大值为 C.(a-3)2+(b+1)2的最小值为4 D.|a-2b-4|的最大值为3+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(-1，0，1)，b=(1，2，3)，|b-ka|=2，则k=　　　　.  13.以双曲线x2-y2=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为　　　　.  14.已知A={(x，y)|x-1=}，B={(x，y)|y=x+b，b∈R}.若A∩B=⌀，则b的取值范围是　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(-2，-1，2)，b=(-1，1，2)，c=(x，2，2). (1)若a⊥c，求|b+c|； (2)若{a，b，c}不构成空间的一组基，求x的值. 16.(15分)已知双曲线C：-=1，F1，F2为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率e∈[，]，求实数m的取值范围； (2)若m=5，P为双曲线C上一点，且PF1⊥PF2，求|PF1||PF2|的值. 17.(15分)已知直线l经过点(3，-1). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l与圆C：(x-2)2+(y-1)2=5相交于A，B两点，|AB|=4，求l的一般式方程. 18.(17分)已知抛物线y2=x与直线x=1相交于点A，B两点(点A在第一象限)，P是该抛物线上位于第一象限内且异于A的点. (1)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：-=2. (2)过点P作抛物线y2=x的切线与直线x=1相交于点D，若S△PBD=9S△PAD，求点P的坐标. 19.(17分)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E，F分别为PB的中点和四等分点. (1)证明：OF∥平面ACE. (2)若∠ABO=30°，PO=，PA=3，求二面角E-AC-B的平面角的正弦值. (3)求直线PB与平面EAC所成角的余弦值. 参 考 答 案 1.D　对于A项，因为a·b=-4+6-1=1，所以a，b不垂直；对于B项，因为a·b=-2+0+1=-1，所以a，b不垂直； 对于C项，因为b=-2a，所以a∥b；对于D项，a·b=-2+0+2=0，所以a⊥b. 2.A　因为2b-c=(-3，-3，3)，所以a在2b-c上的投影向量的模为==. 3.B　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=+，=+=+， =++=--+，故++=3. 4.B　设D(x，y，z)，由题意得=(2，-1，-1)，=(1-x，3-y，2-z)，=(-1，5，1)，=(x，y+1，z-2)，因为ABCD为等腰梯形，所以·=-·，且∥，所以解得即D-，，. 5.C　由已知设P(2，m)，Q(2，n)，则=(1，m)，=(1，n).因为FP⊥FQ，所以·=1+mn=0，所以·=4+mn=3. 6.B　将点A(1，1，-2)代入x-2y+2z+λ=0中，得λ=5，方程整理为(x-1)-2(y-1)+2(z+2)=0.由题意，可得平面α过点A(1，1，-2)，且法向量n=(1，-2，2). 直线l的方程为==. ∵cos<n，d>===-，∴故直线l与平面α所成角的大小为. 7.C　设P(x0，y0)，点P为双曲线上的一点，所以满足-=1，即=-1. 由题知F(2，0)，则=(x0，y0)，=(x0-2，y0)， 所以·=(x0，y0)·(x0-2，y0)=-2x0+=-2x0+-1=-2x0-1=x0-2-，x0∈(-∞，-]∪[，+∞)， 所以当x0=时，·=3-2最小. 8.C　如图， 设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=1，<a，b>=，<a，c>=，<b，c>=，故a，b，c可作为一个基底. 设平面ABD的法向量为n，n=xa+yb+zc， 由n⊥DA，n⊥DB， 得则所以n可取a-b-2c， 设CD与平面ABD所成的角为θ，sin θ=|cos<c，n>|===，所以cos θ=. 9.BC　由题意可得|a|==3，|b|=1.设􀎮a，b􀎯=θ， 则a􀱋b=|a|2+a·b+|b|2=|a|2+|a|·|b|cos θ+|b|2=10+3cos θ， 又θ∈[0，π]，所以cos θ∈[-1，1]，所以a􀱋b∈[7，13].故选BC. 10.BD　由题意，若取a==(1，2，1)，b==(2，0，-1)， 则由计算规则得出n=(2×(-1)-1×0，1×2-(-1)×1，1×0-2×2)=(-2，3，-4). 若取a==(1，2，1)，b==(-2，0，1)，则由计算规则得出n=(2，-3，4). 11.BC　将x2+2x+y2-4y=4化为标准方程，得(x+1)2+(y-2)2=9，圆心C(-1，2)，半径r=3.设直线l的方程为y=x+m，即x-y+m=0，当直线l与圆相切时，m有最大值或最小值，则=3，所以m=3±3，所以a-b的最小值为-3-3，故A项错误； 设B(4，2)，当PB与圆相切时，斜率k=取得最大值或最小值，直线PB的方程为y=k(x-4)+2，即kx-y-4k+2=0，因为直线PB与圆相切，所以圆心C(-1，2)到直线kx-y-4k+2=0的距离等于半径，即=3，整理可得k2=，解得k=±，所以的最大值为，故B项正确； 圆心C(-1，2)到点(3，-1)的距离为=5>r，所以圆上的点P(a，b)到点(3，-1)的距离的最小值为5-r=2，即≥2，所以(a-3)2+(b+1)2≥4，故C项正确； 圆心C(-1，2)到直线x-2y-4=0的距离d==，所以点P(a，b)到直线x-2y-4=0距离的最大值为d+r=3+，所以|a-2b-4|的最大值为9+3，故D项错误. 12.3或-1　b-ka=(1，2，3)-(-k，0，k)=(k+1，2，3-k)， 所以|b-ka|==2，解得k=3或k=-1. 13.+y2=1　设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，则a=，b==1，所以椭圆的标准方程为+y2=1. 14.(-∞，-2)∪(，+∞)　因为=，所以0≤x-1≤，即1≤x≤1+. 将x-1=两边平方并化简，得(x-1)2+(y-1)2=2，1≤x≤1+， 所以A表示一个以(1，1)为圆心，为半径且1≤x≤1+的半圆. B={(x，y)|y=x+b，b∈R}表示斜率为1的一条直线. 因为A∩B=⌀，所以直线与半圆没有交点， 结合图象(略)可得，当直线过点(1，1+)时，可得1+=1+b，解得b=. 当直线与半圆相切时，可得=，即b=-2或b=2， 结合图象(略)可知，b=2不符合题意，舍去，即b=2. 所以若A∩B=⌀，则b的取值范围是(-∞，-2)∪(，+∞). 15.解：(1)因为a⊥c，所以a·c=-2x-2+4=0，解得x=1， 所以b+c=(0，3，4)，所以|b+c|==5. (2)因为{a，b，c}不构成空间的一个基底，所以向量c与向量a，b共面，设c=ma+nb， 则解得所以x=-2×--=-. 16.解：(1)因为e2===，e∈[，]，所以2≤≤3，解得4≤m≤8，所以实数m的取值范围为[4，8]. (2)当m=5时，有 所以所以|PF1|·|PF2|=10. 17.解：(1)当l经过原点时，l的斜率为=-，则l的方程为y=-x. 当l不经过原点时，设l的截距式方程为+=1(a≠0)，代入点(3，-1)可得+=1，解得a=2，则+=1，即l的方程为x+y-2=0. 综上，l的方程为y=-x或x+y-2=0. (2)由圆C：(x-2)2+(y-1)2=5，可得C(2，1)，圆C的半径为. 当l的斜率不存在时，直线l经过点(3，-1)，可得l的方程为x=3，此时C到l的距离d=1，弦长|AB|=2=4，即l的方程为x=3，符合题意. 当l的斜率存在时，可设l：y+1=k(x-3)，即l：kx-y-3k-1=0， 由|AB|=4，可得C到l的距离d==1，即=1，解得k=-， 则l：3x+4y-5=0. 综上，l的方程为x=3或3x+4y-5=0. 18.解：(1)证明：由题意得点A，B的坐标分别为(1，1)，(1，-1). 设点P的坐标为(t2，t)，t>0且t≠1，则k1==，k2==，所以-=2. (2)设点P的坐标为(t2，t)，则切线PD的方程可设为ty=(x+t2)， 将x=1代入该方程，得D的坐标为1，，因为S△PBD=9S△PAD，所以|BD|=9|AD|，|AD|=|AB|=，所以-1=，解得t=2或t=.故点P的坐标(4，2)或，. 19.解：(1)证明：如图， 取AB的中点D，连接OD，DF，由PA=PB，OA=OB=，故OD⊥AB，又AB⊥AC，有OD∥AC，AC⊂平面ACE，故OD∥平面ACE，由DF∥AE，得DF∥平面ACE， 由得平面ACE∥平面ODF，OF⊂平面ODF，故OF∥平面ACE. (2)OA=OB===2，∠ABO=∠BAO=30°. 由(1)可知平面ACE∥平面ODF，故二面角E-AC-B与二面角F-OD-B的平面角相等. 以点O为原点，OD，OP所在的直线为x，z轴，过点O且平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则B(1，，0)，D(1，0，0)，P(0，0，)，F，，，故=(1，0，0)，=，，. 设平面ODF的法向量为n=(x，y，z)，平面ABC的一个法向量为m=(0，0，1)， 设二面角F-OD-B平面角为θ，则可取n=(0，，-3)，cos θ===，二面角E-AC-B的平面角的正弦值sin θ==. (3)因为=(1，，-)，平面EAC的一个法向量为n=(0，，-3)，设直线PB与平面EAC所成的角为α，所以sin α===，所以cos α=. ( 第 6 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $