专题03 中心对称（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03中心对称 内容概览 目常考题型精准突破 题型1中心对称图形的识别（重） 题型2求关于原点对称的点的坐标（高频） 题型3已知中心对称图形求对称中心的坐标（高频） 题型4平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形（高频） 题型5根据中心对称的性质求面积、长度、角度（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1中心对称图形的识别 1.A 2.D 3.C ◆题型2求关于原点对称的点的坐标 4.(3,2) 5.-10 6.4 ◆题型3已知中心对称图形求对称中心的坐标 7.A 8.（-3,-1) 9.3,-) ◆题型4平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形 10 【答案】(1)图见解析 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)图见解析 (3)图见解析 ④△A,B,C2,△AB,C；△ABC,△4，B,C,(2.5,0) 【详解】(1)解：△4BC如图所示： B (2)解：△4，BC2如图所示： (3)解：△4，B,C如图所示： B (4)解：由图可知，△4，B,C与△4B,C成轴对称，△4BC与△4B,C成中心对称，对称中心为(2.5,0) 故答案为：△4B,C,△4B,C;△ABC,△AB,C,(2.5,0) 11 【答案】(I)作图见解析，点B的坐标为(3,5)；△BOB,是等腰直角三角形 2111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)AA‖BB2且AA=BB, (3)(-7,0)或(1,0) 【详解】(1)解：将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△4B,C, 点A、B、C旋转后的对应点分别为4BC, 点B的坐标是(3,5)： △BOB的形状是等腰直角三角形. (3,5)；等腰直角三角形 6-5-43-2-1 01.2.3456x 44 5 (2)解：将△ABC经过平移后得到△A,B,C, 点A、B、C平移后的对应点分别为AB2C2, 则线段AA和BB2的关系是AA,∥BB2且A4=BB2. 故答案为：AA,∥BB,且AA,=BB,. 5 32 p-2-l1O123456x 3 4 5 (3)解：P为x轴上一点， .设P(x,0), 则PA=x+3引， :△ABP的面积为6，B(-5,3), 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P43=6 .PA=4, .x+3=4, .x+3=4, 当x+3=-4时， x=-7, 当x+3=4时， x=1, ∴点P的坐标为(-7,0)或1,0). 故答案为：（-7,0)或(1,0). VA P A A -876543-201234x -8-765432101234x 12. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)V29 【详解】(1)解：如图，△ABC即为所求 4 3 3 -5-4-32a 345 分 (2)解：如图，△4B,C即为所求. (3)解：取点A关于x轴的对称点A',连接A'C交x轴于点P,连接AP, 此时AP+CP=A'P+CP=A'C为最小值， 4/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得，AC=V2+52=√29 ∴.这个最小值为V29 ◆题型5根据中心对称的性质求面积、长度、角度 13. 【答案】V 【详解】解：，△ABC和△DEC关于点C成中心对称， .AD=2AC=2,CE=BC,∠D=∠BAC=90° ,AC=1,∠B=30°，∠BAC=90°， .BC=2AC=2. CE=2, .DE=CE2 -CD2=3, ∴.AE=VAD2+DE2=V7, 故答案为：√7」 14. 【答案】(1)见解析 (2)35 (3)20 【详解】(1)解：如图，连接AD,CF,交于点O,此点即为对称中心： (2)解：，△ABC和aDEF关于点O成中心对称， .∠DEF=∠ABC=35°： 故答案为：35°： (3)解：，△ABC和aDEF关于点O成中心对称， ∴.△ABC和△DEF的周长相等， ,△ABC的周长为8+5+7=20， .△DEF的周长为20： 5111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：20， 15. 【答案】(1)①②③：①②③④ 四a号 4 (3)或3 【详解】(1)解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形ABD与三角形CDB:②三角形HND与三角形DPH;③三角形BEH与三角形HMB,都可以组 成长方形， '.①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴.①②③中的两个三角形的面积相等： :①三角形ABD与三角形CDB;②三角形HND与三角形DPH的面积相等， ∴.四边形ANHB和四边形CPHB的面积相等， 又：③三角形BEH与三角形HMB的面积相等， 则四边形ANHB和四边形CPHB的面积分别减去三角形BEH与三角形HMB的面积之后的图形面积相等， 即④长方形AMHN与长方形HECP的面积相等， 答：①②③：①②③④. (2)解：依题意，AM=AB-MB=AB-HE=6-a,AN=BE=3,EC=BC-BE=8-3=5, 由(1)可得长方形AMHN与长方形HECP的面积相等， .36-a)=5a, 9 解得：a= 4· 9 答：a= 4· (3)解：如图，当G在BD上时， N H E F 依题意，BE=x,EF=a,AD=8,AB=6, .FC=BC-BE-EF=8-x-a,AM=AB-BM=6-a,AN=BE+EF=a+x, 6/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得长方形AMGN与长方形GFCP的面积相等， ∴.(x+a)6-a)=a(8-x-a）, 解得：X=3, a aa 3 当H在BD上时，如图， D B E C .AM=6-a AN=BE=x EC=BC-BE=8-x 由(1)可得长方形AMH与长方形HECP的面积相等， .x(6-a)=(8-x)a」 解得：x=4如 39 4a =3=4 aa 3 14 综上所述，a的值为3或 14 答：3或3 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.c 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.-4 7.3V5 8.(3,-1) 9.32 10.4v13 三、解答题 11 【答案】(1)(2,0) (2)如图，△A'B'C即为所求 4 2 -4-3-2-10 2 B' 3 4 4 3)N(-a,-b) 【详解】(1)解：如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P, 珠 2 B、P 5-4-3-2-19 3 图1 由图可知，点P的坐标为(2,0)： 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：略 (3)解：由(2)知△ABC和△4B'C关于点O中心对称， :N为点M的对称点，M(a,b), .N(-a,-b) 12. 【答案】(1)平行四边形： (2)四边形ABAB是矩形，理由如下： AB=AC. ∠ABC=∠ACB .∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°. .∠ABC+5∠BAC=90°， ∠CBA=∠BAC, .∠CBA+∠ABC=90°，即∠ABA=90°， :四边形ABAB是平行四边形， ∴四边形ABAB是矩形： (3)当点O在BC右侧时，∠ABC=∠CBA=45°；当点O在BC中间时，∠CBA=3∠ABC=135° 【详解】解：操作探究(1)：连接AB,AB,A4,如图： 由中心对称图形的性质可得OB=OB,OA=OA,A,O,A三点共线： ∴四边形ABAB是平行四边形 操作探究(2)：略 操作探究(3)：如图所示，当点O在BC右侧时， :四边形ABAB是正方形， .∠ABC=∠CBA=45°. 9111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 07C/B 如图所示，当点O在BC中间时， :四边形ABAB是正方形， .∠ABC=∠CBA=45°， :∠CBA=135°： 、B B A ·.∠CBA=3∠ABC=135°， 综上所述，∠ABC=∠CBA=45°或∠C,B4=3∠ABC=135°」 13. 13 【答案】（山（←2，-3）(5,4(2m-3,2n-4:(2①y=-+2x-3:②0,2)： (3)t的取值 为2或-1. 【详解】解：(1)点A关于原点0对称的坐标为-2，-3)： 设点B关于（一山，0）对称的点的坐标为x,》,则有x+3=2×(-)y+4=2×0, 则x=-5,y=4,即点B关于（山，0）对称的点的坐标为(-5，-4)： 同理可求得点C关于点(m,)对称的点的坐标为(2m-3,2n-4): 故答案为：（-2，-3)，(-5，-4)(2m-3,2n-4): (2)①y=x2+2x+3=(x+1)2+2,顶点坐标为(-1,2)，它关于点M对称的点的坐标为(，-2)，则此时关 于点M对称的抛物线解析式为：y=(-)2-2, 化为一般式为：y=-x2+2x-3: 故答案为：y=-x2+2x-3: 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②y=-x2-4x+5=(c+2)2+9,其顶点坐标为(-2,9)， 此点平移后的坐标为(，5)， 把L,5)代入C2:y=x2+br+8中，得：1+b+8=5, 解得：b=-4,即C2y=x2-4x+8=(x-2)2+4. .C2的顶点坐标为(2,4)， 由中点公式得：m=2+2=0,n= 9+413 2 22 w)月 (3)C:y=x2-2c+5=(c-0+5-,其顶点坐标为，5-)， 它关于M的对称点的坐标为(，2-)， ∴C2的解析式为：y=(x-)+-1;其最大值为P-1: 当x=0时，y=-l；当x=1时，y=-2+21: 当t<0时，C2在0≤x≤1时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为-1，最小值为-2+24， 由题意得：-1-(-2+2)=3，解得1=-1： 当0≤t≤1时，函数在顶点取得最大值，最小值为-1或-2+21， 由题意得：2-1-(-1)=3或2-1-(-2+2)=3， 解得：1=±3或t=1±V3, 它们均不符合题意： 当t>1时，C2在0≤x≤1时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为-1，最大值为-2+21， 由题意得：-2+21-()=3，解得：1=2： 综上，t的取值为2或-1. 11/11 专题03 中心对称 常考题型·精准突破 题型1 中心对称图形的识别（重） 题型2 求关于原点对称的点的坐标（高频） 题型3 已知中心对称图形求对称中心的坐标（高频） 题型4 平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形（高频） 题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 中心对称图形的识别 1．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：左边起，第一幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形； 第三幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第四幅图不是轴对称图形，是中心对称图形， 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个． 2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合即可解答． 【详解】解：选项 A、B、D绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．选项C：绕某点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形．即C选项符合题意． ◆题型2 求关于原点对称的点的坐标 4．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可求得对应点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程并求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即， 即， 解得， ∴． 故答案为：． ◆题型3 已知中心对称图形求对称中心的坐标 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标． 【详解】解：连接， ∵和关于点E成中心对称 ， ∴交于点E， ∴点． 故答案为：A． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． ◆题型4 平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形 10．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． (2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形 (2)且 (3)或 【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到； （2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到； （3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到， 点A、B、C旋转后的对应点分别为， 点的坐标是； 的形状是等腰直角三角形． ；等腰直角三角形． （2）解：将经过平移后得到， 点A、B、C平移后的对应点分别为， 则线段和的关系是且． 故答案为：且． （3）解：∵P为x轴上一点， ∴设， 则， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， 当时， ， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平移和中心对称的性质． （1）分别将点向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可； （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时为最小值，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， 由勾股定理得， ∴这个最小值为． ◆题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 13．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 15．（25-26七年级上·上海静安·期末）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（第二十八章旋转追梦第二十八章章末复习旋转）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 点关于原点对称， 其对称点的横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． 2．（2026八年级上·山东·专题练习）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A选项：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 4．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 5．（第二十八章旋转高效同步练习28.2.3关于原点对称的点的坐标）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴. 7．（第二十八章旋转高效同步练习28.2.2中心对称图形）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质得出，，，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵图形是一个中心对称图形，为对称中心，，，， ∴，，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知和关于点E成中心对称，根据对应点连线经过对称中心可知连接，交于点E，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点E，其坐标是． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 10．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点，先推导出，平分，，得到是等边三角形，进而推导出，得到，同理可得，求出，得到，根据勾股定理，求出，在中，根据勾股定理，求出，即可求出． 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)如图，即为所求 (3) 【分析】（1）根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形； （3）根据关于原点中心对称的两点横纵坐标互为相反数可求N的坐标． 【详解】（1）解：如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P， 由图可知，点P的坐标为； （2）解：略 （3）解：由（2）知和关于点O中心对称， ∵N为点M的对称点，， ∴． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，的边在直线上（点在点左侧），动点在点右侧直线上 操作探究（1）：若是等边三角形，关于点的中心对称图形是，连接，，则四边形的形状是_____． 操作探究（2）：如图，若为等腰三角形，，与关于成中心对称，当在的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究（3）：若是任意三角形，（在点左侧），动点在点右侧直线上，在下图中已作出关于点的中心对称图形的一个参考图形，连接，，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 【答案】（1）平行四边形； （2）四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）当点在右侧时，；当点在中间时， 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等： 操作探究（1）：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论； 操作探究（2）：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论； 操作探究（3）：分当点在右侧时，当点在中间时，两种情况根据正方形的性质讨论求解即可． 【详解】解：操作探究（1）：连接，，,如图： 由中心对称图形的性质可得，三点共线； ∴四边形是平行四边形； 操作探究（2）：略 操作探究（3）：如图所示，当点在右侧时， ∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，当点在中间时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∴， 综上所述，或． 13．（2025·广东深圳·三模）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）t的取值为2或． 【分析】（1）由关于中心对称的两点：横坐标与纵坐标均互为相反数，即可求得点A的坐标；利用中点坐标公式可分别求出点B、点C的坐标； （2）①求出抛物线的顶点坐标，求出顶点坐标关于点M的坐标，即可求出对称的抛物线解析式； ②先求出的顶点坐标及平移后的顶点坐标，则可求得关于M对称的点的坐标，并把它代入，求得b的值，即可求解； （3）求出的解析式，分，及三种情况考虑，结合二次函数的增减性质即可求解． 【详解】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为； 设点B关于对称的点的坐标为，则有， 则，即点B关于对称的点的坐标为； 同理可求得点C关于点对称的点的坐标为； 故答案为：，； （2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：， 化为一般式为：； 故答案为：； ②，其顶点坐标为， 此点平移后的坐标为， 把代入中，得：， 解得：，即， ∴的顶点坐标为， 由中点公式得：， ∴； （3），其顶点坐标为， 它关于M的对称点的坐标为， ∴的解析式为：；其最大值为； 当时，；当时，； 当时，在时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为，最小值为， 由题意得：，解得； 当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或， 由题意得：或， 解得：或， 它们均不符合题意； 当时，在时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为，最大值为， 由题意得：，解得：； 综上，t的取值为2或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03中心对称 内容概览 目常考题型精准突破 题型1中心对称图形的识别（重） 题型2求关于原点对称的点的坐标（高频） 题型3已知中心对称图形求对称中心的坐标（高频） 题型4平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形（高频） 题型5根据中心对称的性质求面积、长度、角度（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1中心对称图形的识别 1.(25-26九年级下山东青岛开学考试)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 2. (25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( B 3.(2026黑龙江齐齐哈尔·模拟预测)博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含 着几何智慧.下列博物馆标志中，是中心对称图形的是() 帛。周 d. ◆题型2求关于原点对称的点的坐标 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. (25-26九年级上海南省直辖县级单位期中)在平面直角坐标系中，点(-3，-2)关于原点对称的点的坐 标是 5.(25-26九年级上河南许昌期末)平面直角坐标系中，点M(m,-2)关于原点对称的点为V(5,m,则 mn 6.(25-26九年级上江苏盐城期末)在平面直角坐标系中，已知点A(a-b,-5)与点B(-3,a+b)关于原点 对称，则ab=一· ◆题型3已知中心对称图形求对称中心的坐标 7.(25-26八年级上·全国课后作业)如图，△ABC和△ABC关于点E成中心对称，则点E坐标是 A.(-3,-1D B.（-3,-3) C.(-3,0) D.(-4,-1D 8.(25-26九年级上全国单元测试)如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ABC关于点P成中心对称， 则点P的坐标是 A1 9.(25-26九年级上辽宁盘锦·月考)如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，△ABC与△4BC 的顶点都在格点上，且△ABC与△AB,C关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 2 -10 2 3 B 4 A ◆题型4平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形 10.(25-26九年级上·海南省直辖县级单位期中)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-3,-),B(4,4), C(-1,-2) (1)将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A,B,C: (2)画出△ABC关于x轴对称的△A,B,C: (3)将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△4，B,C: (④在△4BC、△A,B,C2、△AB,C中： 与 成轴对称： 与 成中心对称，且对称中心的坐标为 11.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系xO少中，△ABC的顶点坐标分别为 A(-3,0),B(-5,3),C(-1,1) 432 -65-43-2-l 012345.6x 23 5 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△ABC,点A、B、C旋转后的对应点分别为ABC,画出旋 转后的图形△AB,C;写出点B的坐标是；△BOB的形状是_ (2)若将△ABC经过平移后得到△A,B,C2,点A、B、C平移后的对应点分别为A,BC2,则线段AA,和 BB2的关系是_： (3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标_. 12.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,),B(4,2),C(3,4). 5 5-4-3-2- 012 (I)画出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△ABC: (2)画出△ABC关于原点的中心对称图形△A,B,C: 3)P为x轴上的一个动点.当AP+CP有最小值时，求这个最小值. ◆题型5根据中心对称的性质求面积、长度、角度 13.(25-26八年级上·黑龙江大庆·期中)如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若 AC=1,∠B=30°，∠BAC=90°，求AE的长. C 14.(25-26八年级下河北保定·月考)如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称. B (1)找出它们的对称中心O 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠ABC=35°，则∠DEF的度数为 (3)若AB=8,AC=5,BC=7,△DEF的周长为」 15.(25-26七年级上上海静安期末)已知长方形ABCD,AD=8,AB=6,边长为a(0<a<6)的正 方形EFGH的顶点E与点B重合，边EH、EF分别与AB、BC重合（如图I所示），将正方形EFGH沿 着射线BC方向平移，设平移距离为x, N G B(E)F B E F 图1 图2 备用图 (I)当点H恰好落在线段BD上时，直线HG、EH分别与长方形ABCD的边交于点M、P、N(如图2所 示)·下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是 面积相等的是 (在横线上填入相应的编号) ①三角形ABD与三角形CDB；②三角形HND与三角形DPH; ③三角形BEH与三角形HMB;④长方形AMHN与长方形HECP (②)在(1)的条件下，当x=3时，求a的值： (③)在平移过程中，当正方形EFGH的顶点落在线段BD上时，求。的值， 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(第二十八章旋转追梦第二十八章章末复习旋转)在平面直角坐标系中，点（一5,2）关于原点对称的点 的坐标是() A.(5,2) B.（-5,2) c.(5,-2) D.（-2,-5) 2.(2026八年级上山东·专题练习)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( y B D 米✉《 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下河北唐山期末)如图所示，△ABC与△AB'C关于点O成中心对称，则下列结论成立 的是() ①点A与点关于点O对称；②BO=BO:③ACI‖lA'C':④∠ABC=∠C'B A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②④ 4.(25-26八年级下·湖南湘西期中)在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，EF、GH、MN都 经过对角线的交点，若BC=8,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为() H G A.8 B.32 C.16 D.40 5.(第二十八章旋转高效同步练习282.3关于原点对称的点的坐标)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A在第一象限，点B,C的坐标分别为(2,1)，(6,1)，∠BAC=90°，AB=AC,直线AB交y轴于点 P,若△ABC与△AB'C关于点P成中心对称，则点A关于原点对称的点的坐标为() B A.（-4,-5) B.（-5,-4) c.(4,5) D.(4,3) 二、填空题 6.(25-26八年级下陕西咸阳期中)在平面直角坐标系中，己知点A(a,-)与点B(5,b)关于原点对称， 则a+b的值为 7.(第二十八章旋转高效同步练习282.2中心对称图形)如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ∠C=90°，∠B=30°，AC=3,则B'C的长为 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(25-26八年级下湖南常德期中)如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△4B,C关于点E成中心对 称，点A,B,C的对应点分别为A,B,C,则对称中心点E的坐标是一 y 6 9.(26-27九年级上全国单元复习)如图，边长为8的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x 轴，BCy轴。反比例函数y=8与y=- x x的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之 和为 10.(25-26八年级下江苏南京期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=8.菱形AEFG的顶 点E是AD的中点，顶点G在BA的延长线上.O,O分别为菱形AEFG和菱形ABCD的对称中心，过O, O2的直线分别交FG,BC于点P,Q,则线段PQ的长为一 D F B 三、解答题 11.(26-27九年级上江西九江阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度， 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上. 5 4 3 2 5.-4-3-2-19 2 -3 -4 5 (I)若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为 (2)作△ABC关于点O的中心对称图形△AB'C' (3)在(2)的条件下，若M(a,b)为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标. 12.(24-25八年级下·江苏扬州阶段检测)如图，△ABC的BC边在直线I上(B点在C点左侧)，动点O 在B点右侧直线I上 操作探究(1)：若△ABC是等边三角形，关于点O的中心对称图形是△4BG,连接AB,AB,则四边形 ABAB的形状是一 (1) (2) 操作探究(2)：如图，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,△ABC与△ABC关于O成中心对称，当C1在 C的右侧且∠CB4-B4C时，判断四边形AB4B的形状，并说明理由。 操作探究(3)：若△ABC是任意三角形，(B在C点左侧)，动点O在B点右侧直线I上，在下图中已作 出△ABC关于点O的中心对称图形△AB,G的一个参考图形，连接AB,AB,当∠ABC与∠CBA满足什么 关系时，四边形ABAB是正方形，直接写出答案。 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 参考图形 备用图形 备用图形 13.(2025广东深圳·三模)(1)特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),点A关于坐标原点0的中心对称点的坐标是 在平面直角坐标系中已知点B(3,4),点B关于坐标点(-1,0)的中心对称点的坐标是 在平面直角坐标系中，己知点C(3,4),点C关于坐标点(m,)的中心对称点的坐标是 (2)特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢？ 定义：对于抛物线C:y=+br+c(a≠0)，以点M(m,n)为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物 线C,则称抛物线C,为抛物线C关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中心”，例如：如图 1,抛物线C:y=(-4)'+3关于点M(0,)的“中心镜像抛物线”为C,:y=-(x+4)'-1,点M(0,)为 “镜像中心”. ①如图2，当m=n=0时，直接写出抛物线y=x+2x+3关于点M的“中心镜像抛物线”的函数表达式 ②已知抛物线C:y=-x-4x+5,将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物 线G关于点M的“中心镜像抛物线”C,:y=x+bx+8的图象上，求“镜像中心”点M的坐标： C1:y-(x-4)2+3 y=x2+2x+3 O(M) C2:y=-(x+4)2-1 图1 图2 备用图 (3)拓展结论，思维提升： 己知抛物线C:y=x2-2r+5关于点M(化，2)的“中心镜像抛物线”为C2,当0≤x<1时，C,最大值与最小 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值的差为3，直接写出t的值. 10/10