5.1 平面向量的概念及线性运算【题型突破】-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量概念及线性运算核心考点，按概念辨析、线性运算、共线定理应用的逻辑架构组织内容，通过双基自测明考向、核心梳理明考点、题型突破明方向、限时训练固基础的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破向量线性拆分与共线条件应用难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“概念辨析-图形转化-逻辑推理”三阶教学法，如通过等腰梯形中向量关系辨析强化几何直观，结合等和线定理拓展共线问题解题思路。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合真题模拟训练，有效提升学生逻辑转化与解题效率，为教师精准把控复习节奏、提升备考针对性提供有力支持。

第五章 平面向量与复数 §5.1　平面向量的概念及线性运算 【高考考向预测】 平面向量概念与线性运算包含向量定义、相等共线判定及加减数乘运算，常结合几何图形转化求解；近三年为小题常考基础考点，出题频次平稳；预测2027 年依旧以选择填空考查，侧重向量线性拆分、共线条件应用，依托图形考查逻辑转化能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. (　 　) (2)单位向量都是共线向量. (　 　) (3)零向量的长度为0，没有方向. (　 　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa(λ∈R)，反之成立. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√ 2.下列命题正确的是(　　) A.若|a|=|b|，则a=b或a=-b B.向量与是平行向量 C.平行向量不一定是共线向量 D.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 【答案】B 【解析】A项，|a|=|b|说明a，b的长度相等，但不能确定它们的方向，故A错误； B项，向量与方向相反，是平行向量，故B正确； C项，平行向量就是共线向量，故C错误； D项，两个具有公共终点的向量的起点与公共终点三点不一定在同一条直线上，故两向量不一定共线，故D错误. 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则+++等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如图，连接OM， 在△OAC中，M为AC的中点，所以+=2， 在△OBD中，M为BD的中点，所以+=2，所以+++=4. 4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与a-b共线，则实数t=　　　　　　.  【答案】 【核心梳理●明考点】 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 减法 a-b=a+(-b) 数乘 |λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，λa=0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)=(λμ)a； (λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa. 【解析】由题意知，存在实数λ，使得b-ta=λ，则解得t=. 熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则=+). (2)在△ABC中，点P满足++=0⇔P为△ABC的重心⇔=+). (3)=λ+μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量的基本概念 例1　(1)下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的充要条件 C.若a，b都为非零向量，则使+=0成立的条件是a与b反向共线 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a=|a|a0 【答案】C 【解析】A不正确，若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|=|b|且a∥b时，a，b的方向可能相同也可能相反，则a=b或a=-b；当a=b时，a与b的模相等且方向相同，则|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件；C正确，因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时，+=0才成立；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同. (2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A.= B.= C.= D.= 【答案】D 【解析】方法一(排除法) ，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，C错误；故选D. 方法二　在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误； ∵AB∥CD，∴=， 则=， 即=，即=， ∵EF∥AB，∴===， ∴PE=PF，即P为EF的中点， ∴=，故C错误，D正确. 【思维升华】平面向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与非零向量a同方向的单位向量. 【跟踪训练】1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.向量的模是一个正实数 B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量 C.对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b| D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a=λb 【答案】BC 【解析】对于A，零向量的模是0，A错误； 对于B，由零向量与任意向量共线知，若a与b不共线，则a与b都是非零向量，B正确； 对于C，当a与b至少有一个为零向量时，显然成立，当a与b都是非零向量时，若a，b方向相同，则|a+b|=|a|+|b|，若a，b方向相反，则|a+b|<|a|+|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a+b|<|a|+|b|. 综上可知，对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故C正确； 对于D，若a≠0，b=0，则a∥b，但此时不存在实数λ，使a=λb，故D错误. (2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1). ①是共线向量的有　　　　　　　　　；  ②方向相反的向量有　　　　　　；  ③模相等的向量有　　　　　　.  【答案】①a和d，b和e　②a和d，b和e　③a，c，d 【解析】①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】+-2=(-)+(-)=+，-==-， ∴|+|=|-|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，∴△ABC为直角三角形. 命题点2　向量的线性运算 例3　(2026·柳州模拟)在△ABC中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且=3，则等于(　　) A.+ B.+ C.- D.- 【答案】C 【解析】因为点M是边BC的中点， 所以=+)， 因为点N在AM上，且=3，所以=， 所以=+=+ =-++)=-. 命题点3　根据向量的线性运算求参数 例4　(2025·哈尔滨模拟)在△ABC中，=c，=b，点M满足=λ(0<λ<1)，若=b+c，则λ的值为　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，=+=+λ=+λ(-)=λ+(1-λ)=λb+(1-λ)c， 因为=b+c，所以解得λ=. 【思维升华】平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. (2)[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若=，则=+. 【跟踪训练】2　(1)(2025·哈尔滨模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，点M满足=2，则等于(　　) A.2+ B.-+2 C.+ D.+ 【答案】B 【解析】由题意及正六边形的结构特征知=，=，且=++，连接AD(图略)，则=2，=++=2+-=+， 又=2，所以=+2+=-+2+=-+2. (2)若||=7，||=4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) 【答案】C 【解析】由题意知||=7，||=4， 且||=|-|， 当，同向时，||取得最小值， ||=|-|=|||-|||=|4-7|=3； 当，反向时，||取得最大值， ||=|-|=||+||=4+7=11； 当，不共线时，3=|||-|||<||<||+||=11，故|| 的取值范围是[3，11]. (3)(2025·宣城模拟)在△ABC所在平面中有一点P满足=λ，且++=2，则λ等于(　　) A. B.- C.- D. 【答案】C 【解析】由题意得++=2(-)， 则3+=， 即3=-==-， 则=-， 又=λ，所以λ=-. 题型三　共线定理及其应用 例5　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.=-2 B.λμ=-2 C.=2 D.λμ=2 【答案】D 【解析】由题意，可设2e1+λe2=t(μe1+e2)，t∈R， 又e1，e2是两个不共线的向量， 故解得λμ=2. (2)(2025·长春模拟)在△ABC中，=，点E在BD上，若=x+，则实数x等于(　　) A.- B.- C.- D.- 【答案】C 【解析】因为=，所以=， 则=x+=x(-)+-)=- =×- =-， 因为B，E，D三点共线，所以-=1，解得x=-. 【思维升华】利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且=m+n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1. 【跟踪训练】3　(1)(2026·张家口模拟)已知a，b是两个不共线的向量，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 【答案】A 【解析】对于A选项，=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线，A正确； 对于B选项，设=μ(μ∈R)，则a+2b=μ(-5a+6b)，即无解，B错误； 对于C选项，设=m(m∈R)，则-5a+6b=m(7a-2b)，即无解，C错误； 对于D选项，=+=a+2b-5a+6b=-4a+8b，设=n(n∈R)， 即-4a+8b=n(7a-2b)，即无解，D错误. (2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若=m，=n，m，n∈R，则m+n的值为　　　　　.  【答案】2 【解析】连接AO(图略)，因为O是BC的中点， 则=+)=+， 因为M，O，N三点共线， 所以+=1，所以m+n=2. 等和(高)线定理 等和(高)线定理： 如图，由三点共线结论可知，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=1.若△OAB与△OA'B'相似，则必存在一个常数k(k∈R)，使得=k=kλ+kμ，设=x+y(x，y∈R)，则x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. 平面内一个基底｛，｝及任一向量，=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，+∞)； ④当等和线过点O时，k=0； ⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 【典例】　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于(　　) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一　(常规方法)∵E为线段AO的中点， ∴=+)= =+=λ+μ， ∴λ=，μ=，则λ+μ=. 方法二　(等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ+μ=k， 则k=. 由图易知，=，即λ+μ=k=. (2)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 【答案】A 【解析】方法一　(等和线法)如图，由等和线定理可知，当等和线l与圆相切且与BD平行时，λ+μ最大，此时 λ+μ====3. 方法二　(坐标法)如图所示，建立平面直角坐标系. 则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，设P(x，y)， 易得圆的半径r=， 即圆C的方程是(x-2)2+y2=， =(x，y-1)，=(0，-1)，=(2，0)， 若=λ+μ，λ，μ∈R， 即(x，y-1)=(0，-λ)+(2μ，0)=(2μ，-λ)， 则即 所以λ+μ=-y+1， 设z=-y+1，即-y+1-z=0， 因为点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=上， 所以圆心C(2，0)到直线-y+1-z=0的距离d≤r，即≤，解得1≤z≤3， 所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.化简+--等于(　　) A. B.0 C. D. 【答案】B 【解析】+--=-(+)=-=0. 2.(2025·南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则等于(　　) A.- B.+ C.+ D.+ 【答案】D 【解析】依题意可得=+=++) =++=+. 3.(2026·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由=a+b，=2a-b，=λa+μb，则=-=a-2b， =-=(λ-1)a+(μ-1)b， 因为A，B，C三点共线， 设=t(t∈R)， 则(λ-1)a+(μ-1)b=ta-2tb， 所以即 则2λ+μ=3. 4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且=+，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 【答案】D 【解析】由=+，得-=，所以=·，所以点P在射线AB上. 5.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 【答案】A 【解析】设AB的中点为M， 因为++=0， 所以=2(+)， 所以=4， 所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点， 所以==5， 所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍. 6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 【答案】B 【解析】方法一　设=a，=b，因为|a-b|=3， 即|-|=||=3， 即||=3，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上， 又a是单位向量，则||=1， 故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4. 方法二　因为b=a-(a-b)， 所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4， 所以|b|的最大值为4. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件 B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向 D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线 【答案】ABC 【解析】根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误. 8.(2025·沈阳模拟)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足=++，则(　　) A.O，P，G三点共线 B.=2 C.2=++ D.点P在△ABC的内部 【答案】AC 【解析】=++=+++++ =3+++， 因为点G为△ABC的重心， 所以++=0，所以=3， 所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误； ++=+++++=(++)+3， 因为=++， 所以(++)+3=-+3=2，即2=++，故C正确； 因为=3， 所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=　　　　.  【答案】2 【解析】由图可知，2a+b=c， 因为向量λa+b与c共线，所以根据共线向量基本定理可设c=μ(λa+b)(μ∈R)， 即c=λμa+μb，则2a+b=λμa+μb， 所以解得 10.(2025·北京模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　.  【答案】 【解析】由-3+2=0，得-=2(-)，即=2， 所以=+=， 所以||=||，即=. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 【解析】存在.由题设知，=d-c=2b-3a， =e-c=(t-3)a+tb， 又a，b不共线，则≠0， C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k， 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb， 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a，b不共线， 所以解得t=. 故存在实数t=，使得C，D，E三点在同一条直线上. 12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，=，=，=a，=b. (1)试用向量a，b来表示，；(6分) (2)AM交DN于点O，若=λ，求实数λ的值.(8分) 【解析】(1)因为=-，=， 所以=-=a-b. 因为=+，=， 所以=+=a+b. (2)因为D，O，N三点共线， 所以存在实数k，使得=k=ka-kb， 所以=+ =b+ka-kb=ka+(1-k)b， ① 因为A，O，M三点共线，所以存在实数m， 使得=m=ma+mb， ② 由①②得解得m=， 所以=，=，即λ=. [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 【答案】AC 【解析】对于A，由=+λ，λ∈R可得-=λ，即=λ，可得∥，因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上， 所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确； 对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||=||，故B错误； 对于C，根据图形的对称性，当点P为BE的中点时，∠CPD取得最大值；当点P与B或E重合时，∠CPD取得最小值，即∠CPD的取值范围是，故C正确； 对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d=，又当PC⊥BE时，||有最小值，故D错误. 14.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异侧.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是　　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，取AB的中点D，连接CD，则=λ+μ=2λ+μ， 显然，当P与C重合时，2λ+μ取得最小值1. 将CD平行移动至与半圆相切处， 当P为切点时，2λ+μ取得最大值， 设半圆的圆心为O，连接PO并延长交CD于点G，易知OG=BD=. 易知=2，AE=EF，则=， 所以由等和线定理知2λ+μ的最大值为. 故2λ+μ的取值范围是. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数 §5.1　平面向量的概念及线性运算 【高考考向预测】 平面向量概念与线性运算包含向量定义、相等共线判定及加减数乘运算，常结合几何图形转化求解；近三年为小题常考基础考点，出题频次平稳；预测2027 年依旧以选择填空考查，侧重向量线性拆分、共线条件应用，依托图形考查逻辑转化能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. (　 　) (2)单位向量都是共线向量. (　 　) (3)零向量的长度为0，没有方向. (　 　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa(λ∈R)，反之成立. (　 　) 2.下列命题正确的是(　　) A.若|a|=|b|，则a=b或a=-b B.向量与是平行向量 C.平行向量不一定是共线向量 D.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则+++等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与a-b共线，则实数t=　　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 减法 a-b=a+(-b) 数乘 |λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，λa=0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)=(λμ)a； (λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa. 【解析】由题意知，存在实数λ，使得b-ta=λ，则解得t=. 熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则=+). (2)在△ABC中，点P满足++=0⇔P为△ABC的重心⇔=+). (3)=λ+μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量的基本概念 例1　(1)下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的充要条件 C.若a，b都为非零向量，则使+=0成立的条件是a与b反向共线 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a=|a|a0 (2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A.= B.= C.= D.= 【跟踪训练】1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.向量的模是一个正实数 B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量 C.对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b| D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a=λb (2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1). ①是共线向量的有　　　　　　　　　；  ②方向相反的向量有　　　　　　；  ③模相等的向量有　　　　　　.  题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 命题点2　向量的线性运算 例3　(2026·柳州模拟)在△ABC中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且=3，则等于(　　) A.+ B.+ C.- D.- 命题点3　根据向量的线性运算求参数 例4　(2025·哈尔滨模拟)在△ABC中，=c，=b，点M满足=λ(0<λ<1)，若=b+c，则λ的值为　　　　　　.  【跟踪训练】2　(1)(2025·哈尔滨模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，点M满足=2，则等于(　　) A.2+ B.-+2 C.+ D.+ (2)若||=7，||=4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) (3)(2025·宣城模拟)在△ABC所在平面中有一点P满足=λ，且++=2，则λ等于(　　) A. B.- C.- D. 题型三　共线定理及其应用 例5　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.=-2 B.λμ=-2 C.=2 D.λμ=2 (2)(2025·长春模拟)在△ABC中，=，点E在BD上，若=x+，则实数x等于(　　) A.- B.- C.- D.- 【跟踪训练】3　(1)(2026·张家口模拟)已知a，b是两个不共线的向量，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D (2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若=m，=n，m，n∈R，则m+n的值为　　　　　.  等和(高)线定理 等和(高)线定理： 如图，由三点共线结论可知，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=1.若△OAB与△OA'B'相似，则必存在一个常数k(k∈R)，使得=k=kλ+kμ，设=x+y(x，y∈R)，则x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. 平面内一个基底｛，｝及任一向量，=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，+∞)； ④当等和线过点O时，k=0； ⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 【典例】　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于(　　) A.1 B. C. D. (2)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.化简+--等于(　　) A. B.0 C. D. 2.(2025·南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则等于(　　) A.- B.+ C.+ D.+ 3.(2026·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且=+，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 5.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件 B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向 D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线 8.(2025·沈阳模拟)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足=++，则(　　) A.O，P，G三点共线 B.=2 C.2=++ D.点P在△ABC的内部 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=　　　　.  10.(2025·北京模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，=，=，=a，=b. (1)试用向量a，b来表示，；(6分) (2)AM交DN于点O，若=λ，求实数λ的值.(8分) [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 14.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异侧.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是　　　　　　　.  第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $