5.1 平面向量的概念与线性运算讲义——2027届高三数学一轮复习

第一节　平面向量的概念与线性运算 知识清单 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小称为向量的________． (2)零向量：长度为________的向量，记作________． (3)单位向量：长度等于____________长度的向量． (4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________． (5)相等向量：长度相等且方向________的向量． (6)相反向量：长度相等且方向________的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝________； 结合律：(a＋b)＋c＝________ 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝________，当λ>0时，λa的方向与a的方向________； 当λ<0时，λa的方向与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝________ λ(μa)＝________； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝________ 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________． 【常用结论】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＝(n≥2，n∈N*)．特别地，一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则. 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＝0⇔P为△ABC的重心，. 4．若(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) (2)单位向量都相等．(　　) (3)任一非零向量都可以平行移动．(　　) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　) 2．(人教A版必修二P5T4改编)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量共有(　　) A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 3．(多选)(人教A版必修二P22T4改编)化简以下各式，结果为0的有(　　) A． B． C． D． 4．(人教A版必修二P16例8改编)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，则实数t＝________. 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　平面向量的基本概念 例1 下列说法错误的是(　　) A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若＝，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若a∥b，b∥c，则a∥c [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)非零向量的平行具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (4)是与非零向量同方向的单位向量． 　跟踪训练　(多选)下列命题中正确的有(　　) A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 命题点二　平面向量的线性运算 考向1　向量加、减的几何意义 例2 若＝＝＝2，则＝(　　) A．2 B． C．2 D．4 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解． (2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解． 　跟踪训练　已知菱形ABCD的边长为2，则向量＝__________． 考向2　平面向量的线性运算 例3 (1)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n (2)(2026·深圳模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记＝b，则＝(　　) A． B． C． D．－ 　真题探源　(源自人教A版必修二P24习题T22)如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示. 学霸笔记：(1)尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量； (2)充分利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为已知向量． 命题点三　共线向量定理的应用 考向1　判定向量共线、三点共线 例4 设是平面内的一组基底，＝5e1－4e2，则共线的三点为(　　) A．M，N，P B．M，N，Q C．M，P，Q D．N，P，Q [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)∥⇔ ≠)是判断两个向量共线的主要依据； (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔与共线． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P61复习参考题T13(1))已知a，b是不共线的向量，且＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 考向2　利用共线向量定理求参数 例5 (2026·吉安模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋λb与(λ－1)a＋2b方向相同，则实数λ的值为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程(组)，从而求得参数． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，线，求实数t的值． 第一节　平面向量的概念与线性运算 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)方向　模　(2)0　0　(3)1个单位　(4)相反　平行 (5)相同　(6)相反 2．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb 3．b＝λa 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．解析：由题意得，＝＝，故相等向量有3对；＝＝＝，故相等向量有6对；＝，故相等向量有1对；＝，故相等向量有1对；＝，故相等向量有1对.因此共有12对，再加上它们的方向相反的向量也有12对，所以总共有24对． 答案：D 3．解析：对于A，＝＝0，故A正确；对于B，＝()－()＝＝0，故B正确；对于C，＝＝2，故C错误；对于D，＝＝＝0，故D正确． 答案：ABD 4．解析：由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ(a－b)，则解得t＝. 答案： 考教衔接·活用教材 例1　解析：对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确；对于B，零向量的方向是任意的，B正确；对于C，由||＝||，得不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确；对于D，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a，c可以不共线，即a∥c不一定成立，D错误．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：由平行向量和共线向量的定义可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，B错误；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，C错误；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确．故选AD. 答案：AD 例2　解析：因为|＝||＝||＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以||为△ABC的边BC上的高的2倍，所以||＝2. 答案：C 跟踪训练　解析：由题图知||＝||＝||＝||＝2. 答案：2 例3　解析：(1)因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. (2)因为＝＝－a＋b＋a＝b－a，所以＝＝b－a，又＝＝a，所以＝＝a＋b－a＝a＋b.故选A. 答案：(1)B　(2)A 真题探源　解析：＝＝＝＝. 例4　解析：e1，e2是平面内的一个基底，＝3e1＋2e2，＝4e1－e2，＝5e1－4e2，因为≠≠≠，则与与与不共线，所以M，N，P不共线，M，N，Q不共线，M，P，Q不共线，故排除ABC；注意到＝3e1＋2e2＝2(4e1－e2)－(5e1－4e2)＝2，即＝)，所以点P是线段NQ的中点，故D符合题意．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：＝＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，所以A，B，D三点共线．故选A. 答案：A 例5　解析：∵a＋λb与(λ－1)a＋2b方向相同， ∴存在正实数k，使得(λ－1)a＋2b＝k(a＋λb)＝ka＋kλb，又向量a，b不共线，∴解得(舍去)或∴λ的值为2. 答案：2 跟踪训练　解析：∵a，b是两个不共线的向量，向量b－ta， a－b共线， ∴由向量共线定理可知，存在实数λ，使得b－ta＝λ(a－b)，即(1＋)b＝(＋t)a. ∴1＋＝＋t＝0，得λ＝－，t＝. 学科网（北京）股份有限公司 $