第29章 圆 培优测试卷-2026-2027学年九年级数学上册单元测（人教版）

九数上单元测 第29章圆培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.如图，点B,C,D在⊙0上，若∠BCD=128°，则∠B0D的度数是() A.52° B.64° C.82° D.104° B 1题图 2题图 A 2.如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙0交AB于点D,则CD一定是△ABC的() A.角平分线 B.中位线 C.中线 D.高线 3.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M,N重合， 当P点在弧MN上移动时，PA+PB2的值（) A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 3题图 A 6题图 4.根据下列条件，A,B,C三点能确定一个圆的是（) A.AB-2,BC=2,AC=4 B.AB=4.5,BC=5.5,AC=10 C.AB=4,BC-3,AC=5 D.AB=V2-1,BC=V2+1,AC=2v2 5钟面上的分针长为2cm,从8时到8时40分，分针在钟面上扫过的面积是() 8π 7π 4π 7π A.3om2 B.3 cm2 C.3cm2 D.6cm 6.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周 长为8πcm,侧面积为72mcm,则这个扇形的圆心角的度数是（) A.70° B.80° C.90° D.100° 36/54 九数上单元测 7.如图所示，在半径为5的圆0中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8, 则OP的长为() A.3 B.4 C.3V2 D.4v2 D 7题图 8题图 B 8.如图，⊙0中，AB=2,CD=1,且∠A0B+∠C0D=120°，则⊙0的半径长为（) 分 3v3 3 C.3 D 4 9.如图，在4×3的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，△OAB的顶点均在格点上。在网 格中找到格点C,连接OC,BC,使得LOCB=2LOAB,则满足条件的格点C有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D B B E 9题图0 10题图 10.如图，A,B为⊙0上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB=120°，DE1BC于E,若 BE AC=V3DE,则C的值为（) V3 A.3 B.2 cC3+1 D.V3+1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.已知点P在⊙0外，⊙0的直径是10，则点0到点P的距离d的范围是 37/54 九数上单元测 12.如图，AB为⊙0的直径，C,D为⊙0上的两点，若∠ABD=50°，则∠C的度数为」 0 12题图 13题图 13.如图，在圆0中，若∠AOC=2∠B0D,则AC2BD。（填“>“<”或“=") 14.在练习推铅球项目时，某同学推出的铅球直径为10cm,在操场地上砸出一个深2cm的 小坑，如图所示，则该坑最大截面的直径AB为c。 4 铅球 D 10 cm 地面 B 2 em B 14题图 15题图 15.如图，在⊙0中，弦BD与弦CE相交于点F,∠DFC=115°，BC=4DE,延长EC至 点A,连接DA,设∠A=,则Q的取值范围是 0 16.新考法，如图，在圆内接四边形ACBD中，AD=BD,∠ACB=120°。 若四边形ACBD的面积是S,CD的长为X, 则S与x之间的函数关系式为 0 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17.(8分)如图，⊙0中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC。求证： (1)AD=BC;(4分) (2)AE=CE。(4分) 0 B 38/54 九数上单元测 18.（10分)(1)尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；(4分) (2)若AB=4V2,∠B=45°，BC=6,求△ABC外接圆的半径长。(6分) C 19.（10分)如图，在△ABC中，AB=AC=8cm,以AB为直径作半圆，交BC于点D,交 AC于点E。 (1)若点E是AEB的中点，求AE的长；（4分) (2)若LBAC=50°，求DE的长。(6分) E B 20.（12分)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BD是⊙0的直径，点F是CD延 长线上的一点，且DA平分LBDF,AE⊥CF于点E,连接AC。 (1)求证：AB=AC;（4分) (2)若BD=12,DE=2,求BC的长。(8分) 39/54 九数上单元测 21.(12分)如图，AB为⊙0的弦，CD为⊙0的直径，AB与CD相交于点E,连接AC, BC,BD,过点B作BFLAC于点F。 (1)求证：∠ABF=∠BCD;（4分) (2)当∠BCD=∠ACD时，求证：AB1CD;（3分) (3)在(2)的条件下，若AB=6,∠ABD=22.5°，求图中阴影部分的面积。（5分) 0 E B D 40/54 九数上单元测 22.探究性问题(14分)如图，△ABC内接于⊙0，AC为直径，在CA延长线上取一点E, 使得AE=AB,连接BE。在AE下方，作LAFE=LBCA,连接CF交⊙O于点D,连接BD。 (1)如图(1)，若LBDC=LAEF ①求证：△ABC≌△EAF;（3分) ②若AE=2,AF=4,求CD的长度。（5分) (2)如图(2)，若AF=EF,2LCBD=3LBCA,求证：BD=EF。(6分) B 0 D D 图(1) 图(2) 41/54九数上单元测 第29章圆培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意） 1.如图，点B,C,D在⊙0上，若∠BCD=128°，则∠B0D的度数是() A.52° B.64° C.82° D.104° 答案：D 解析：在优弧BD上取一点E,连接BE,DE。四边形BCDE是圆内接四边形， ∠BCD+∠BED=180°。∠BCD=128°，.∠BED=52°，∠B0D=2∠BED=104°。故选D。 2.如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙0交AB于点D,则CD一定是△ABC的（) A.角平分线 B.中位线 C.中线 D.高线 B 答案：D 解析：AC是⊙0的直径，LADC=90°，CD一定是△ABC的高线。故选D。 3.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M,N重 合，当P点在弧MN上移动时，PA+PB的值（) A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 74W118 九数上单元测 B M A 答案：C B 解析：连接AB,OP。M A 在Rt△PAB中，AB2=PA+PB2,又在矩形PAOB中，OP=AB,PA2+PB2=AB=OP2。OP 为扇形OMN的半径，保持不变，PA+PB2的值不变。故选C。 4.根据下列条件，A,B,C三点能确定一个圆的是（) A.AB=2,BC=2,AC=4 B.AB=4.5,BC=5.5,AC=10 C.AB=4,BC-=3,AC=5 D.AB=V2-1,BC=2+1,AC=2V2 答案：C 5.钟面上的分针长为2cm,从8时到8时40分，分针在钟面上扫过的面积是（) 8π 7π 4π 7π A.3 cm2 B.3cm2 C.3 cm2 D.-cm2 6 答案：A 解析：依题意，得0X 50×π×22=兰π(cn2),故选A。 6.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆 周长为8πcm,侧面积为72πcm2,则这个扇形的圆心角的度数是() 75/118 九数上单元测 A.70° B.80° C.90 D.100° 答案：B 解析：设扇形的半径长为rcm,圆心角为n°。：圆锥的底面圆周长为8πcm,围成该圆锥 πrn =8π 180 的扇形的弧长为8πcm。由题意得 πr2n 解得二8 扇形的圆心角为80°。 =72π 360 7.如图所示，在半径为5的圆0中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8, 则OP的长为() A.3 B.4 C.3v2 D.4V2 0 答案：C 解析：过点O作OMLAB于M,ON1CD于N,连接OB,OD。由垂径定理得 AM=BM=DN=CN=4,由勾股定理得OM=ON=V√B02-BM2=V52-42=3。:弦AB,CD互 相垂直，∠DPB=90°。OMLAB于M,ONLCD于N,LOMP=∠ONP=90°，四边形MONP 是矩形。又：OM=ON,四边形MONP是正方形，PM=OM=3,OP=3V2。故选C。 8.如图，⊙0中，AB=2,CD=1,且∠A0B+∠C0D=120°，则⊙0的半径长为() A 21 3v5 B.3 C.v3 4 76/118 九数上单元测 A 答案：B D E 解析： HA B 作∠AOE=∠COD,则∠EOB=120°，在弧BC上取一点K,连接EK,BK,EB,AE,作EH1BA 交BA的延长线于H,作O1EB于，则∠EKB=/EOB=60。∠AOE=∠COD,CD=AE, CD-1,AH-T ZEAH-60",ZHEA-30",EH-VAE-A-BH R 1V7 中，BE=√EP+B亚=V7。~011EB,町之B之，易得∠E0j-E0B=60,∠0B=30, 1 易得0E=V②页 3即⊙0的半径长为工。故选B 9.如图，在4×3的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，△OAB的顶点均在格点上。在 网格中找到格点C,连接OC,BC,使得∠OCB=2LOAB,则满足条件的格点C有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B o 答案：B 77/118 九数上单元测 A 解析： 由题意易知△AB0外接圆的圆心C(2,1)满足∠OCB=2LOAB。假设直角坐标系中有一点P, 满足LOPB=2LOAB,P不一定是格点，则点P可在过点O,C,B的圆弧上移动（不含点O 和点B)。将弧OCB关于OB对称，其中点C关于OB对称的点为C'(1,2),∴点P也可 以在过点O,C',B的圆弧上移动（不含点0和点B),即点P在过点O,C,B的圆弧和 过点O,C',B的圆弧（两弧均不含点O和点B)组成的两条曲线上移动。：这两条曲线上 的格点只有C(2,1)和C'(1,2),∴满足条件的格点C有2个。故选B。 10.如图，A,B为⊙0上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB=120°，DE1BC于E,若 BE AC=V3DE,则二的值为() CE 3 A.3 B.2 c3+1 D.V3+1 B 答案：B D B 解析： K 连接AD,BD,CD,OA,OD,OB,在优弧AB上取一点K,连接AK,BK,在EB上取点 Q,使EQ=CE,连接DQ。D为弧AB的中点，∠ACB=120°，∴LAKB=60°，∴LADB=120°， 78/118 九数上单元测 ∠A0D=∠BOD=60,∠DCB=2DOB=30。CE=QE,DELBC,CD=DQ,∠DQC-=∠DCB=30, ∴LCDQ=120°。∠CDQ=∠ACB=120°，∠CDA=∠QDB。∠DCE=∠DQE=30°，∠DQB=150°， ∠ACD=120+30°=150°，∴∠ACD=∠DQB。在Rt△DCE中，∠DCE=30°，由勾股定理易得 CE=V3DE,又AC=V3DE,AC=CE=EQ=BQ,BECE=2:1。故选B。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.已知点P在⊙0外，⊙0的直径是10，则点0到点P的距离d的范围是 答案：d>5 解析：点P在⊙0外，点0到点P的距离d大于半径。⊙0的直径是10，半径为5， d>5,即点0到点P的距离d的范围为d>5。 12.如图，AB为⊙0的直径，C,D为⊙0上的两点，若∠ABD=50°，则∠C的度数为一。 答案：40° D A 解析： 连接AD。由题意可知∠ADB=90°，而∠ABD=50°，∠DAB=90°-50°=40°，.∠C=∠DAB=40°。 13.如图，在圆0中，若LA0C=2LB0D,则AC2BD。（填“>"<”或“=") 79/118 九数上单元测 A C 答案：< B A 0 -- 解析 连接BD,作OE平分LAOC,交圆O于点E,连接AE,CE,AC。LAOC=2LBOD, ∴.LAOE=∠COE=∠BOD,∴AE=CE=BD。AC<AE+CE=2AE,∴AC<2BD。 14.在练习推铅球项目时，某同学推出的铅球直径为10cm,在操场地上砸出一个深2cm的 小坑，如图所示，则该坑最大截面的直径AB为cm。 铅球 10cm 地面 答案：8 铅球 10 cm 0 地面 p A 2 cm B 解析： E 1 过点0作0E1AB于点D,连接0A,则AB=2AD。0A=0E=2X10=5(Cm), 0D=5-2=3(cm)。在Rt△A0D中，0A2=0D2+AD2,52=32+AD2,AD=4cm,∴AB=8cm。 80/118 九数上单元测 15.如图，在⊙0中，弦BD与弦CE相交于点F,∠DFC=115°，BC=4DE,延长EC至 点A,连接DA,设∠A=a,则Q的取值范围是 。 D ● 答案：0°<a<13° 0 解析： 连接CD。BC=4DE,LBDC=4LDCE。∠BDC+∠DCE+∠DFC=180°，∠DFC=115°， ∴4∠DCE+∠DCE+115°=180°，∠DCE=13°。∠DCE是△DCA的一个外角，LA<∠DCE, .0°<0<13°。 16.新考法，如图，在圆内接四边形ACBD中，AD=BD,∠ACB=120°。若四边形ACBD的 面积是S,CD的长为x,则S与x之间的函数关系式为】 0° D 答案：S= 43 81/118 九数上单元测 E B C D 解析： 延长AC到E,使CE=CB,连接BE,AB,过点B作BFLAD于点F,BHLCE于点H。 设AD=BD=a,BC=b,AC=c。:四边形ADBC内接于⊙0，∠ACB=120°，LADB=60°。AD=BD, △ABD是等边三角形，AD-BD-AB-,∠ABD-60°，BFAD,AF=DF子AD号在R△ABF 中，BF=VAB2-AF2=V3a 228aoi0-Br-Va 1 4。ZACB=120,ZBCE=60,又 :CBE=CB,ACBE是等边三角形，BC=CE=BE=-b,∠CBE=60。BH1CE,CH=HE-=之CE=2 1 b 在△cBH中，n:C原-5c气or bC,S=S△ABD+S△ABC= 4 年a2+bg,在Rt△ABH中，AH=AC+CHEC士》Bh=V b 2,AB=a,由勾股定理得a2= b ()2+c+,整理得2=+bc+2,即=b+c-bc,a2+bc=b+d :∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC,即∠CBD=∠EBA。在△CBD和△EBA中， BC=BE {∠CBD=∠EBA,△CBD≌△EBA(SAS),CD=AE=AC+CE,x=b+C,∴a2+bc=x2,S= BD=BA 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(8分)如图，⊙0中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC。求证： (1)AD=BC;(4分) (2)AE=CE。(4分) 82/118 九数上单元测 E ● 0 B (1)证明：AB=CD,AB=CD,AB-AC=CD-AC,即AD=BC。 (2)证明：由(1)知AD=BC,AD=BC。'AC=AC,BD=BD,÷∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE。 (LADE=∠CBE 在△ADE和△CBE中， AD=CB,∴.△ADE≌△CBE(ASA),AE=CE。 ∠DAE=∠BCE 18.（10分)(1)尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；（4分) (2)若AB=4V2,∠B=45°，BC=6,求△ABC外接圆的半径长。(6分) A B (1)解： 分别作AB、BC的垂直平分线，交于点0，以0为圆心，OA为半径作圆，⊙0即为所求作。 (2)解：连接OB。设AB、BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E。~AB=4V2,BC=6, BD=2V2,BE-3。∠ABC=45°，∠BD0=90°，∠D0E=45°，BD=D0=2W2, B0=√BE2+02=√32+12=V10,△ABC外接圆的半径长为V10。 83/118 九数上单元测 19.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC=8cm,以AB为直径作半圆，交BC于点D,交 AC于点E。 (1)若点E是AEB的中点，求AE的长；(4分) (2)若∠BAC=50°，求DE的长。(6分) E D B (1)解：连接0E。~以AB为直径作半圆，AEB的度数为180°。点E是AEB的中点， ∠A0R-90.0A-0RAB-X8-4(am.AA0E是等腰直角三角形，AR-4万am (2)解：连接OE,OD。:OA=0E,∠0AE=∠0EA=50°。：OD=OB,÷∠B=∠ODB。 AB=AC,∴∠B=∠C,LC=∠ODB,ODAC,∠D0E=∠AEO=50°。 0E=4cm,DE的长为 50π×410π 180=9(cm)。 20.(12分)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BD是⊙0的直径，点F是CD延 长线上的一点，且DA平分∠BDF,AELCF于点E,连接AC。 (1)求证：AB=AC;(4分) (2)若BD=12,DE=2,求BC的长。(8分) 0. 84118 九数上单元测 (1)证明：DA平分∠BDF,∴LADF=∠ADB。'∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠ADF=180°， LADF=∠ABC。LACB=∠ADB,LABC=∠ACB,AB=AC。 (2)解： 过点A作AG1BD于点G。DA平分LBDF,AELCF,AGLBD,∴AG=AE,∠AED=LAGD=90°。 在△AED和AGD中，P二AC,△AD-RAGD(L,GD-ED-2。 在RIAABC和R△AGB中，E二 ,Rt△AEC≌Rt△AGB(HL), ∴EC=BG=BD-GD=12-2=10,CD=CE-DE=10-2=8。 :BD是⊙0的直径，LBCD=90°，BC=√BD2-CD2=√122-82=45。 21.(12分)如图，AB为⊙0的弦，CD为⊙0的直径，AB与CD相交于点E,连接AC, BC,BD,过点B作BFLAC于点F。 (1)求证：∠ABF=∠BCD;（4分) (2)当∠BCD=∠ACD时，求证：AB1CD;(3分) (3)在(2)的条件下，若AB=6,∠ABD=22.5°，求图中阴影部分的面积。(5分) B D (1)证明：CD为⊙0的直径，LCBD=90°，即LCBF+∠DBF=90°。BF1AC,∠BFC=90°， LCBF+∠BCF=90°，∠BCF=∠DBF。'∠BCF=∠BCD,∠DBF=∠ABF,LABF=∠BCD。 85/118 九数上单元测 (2)证明：∠BCD=∠ACD,BD=AD。CD为⊙0的直径，AB1CD (3)解： 连接0B。由(2)知，BD=AD。∠ABD=22.5°，∠B0D=2∠ABD=45°。 1 :CD1AB,AB=6,BE-2AB=3。∠EB0=90°-45=45=∠B0D,0E=BE-=3,0B=V2BE=3V2。 图中阴影部分的面积为S京形0BD-S20B6 45π×(3V2)21 360 司x3×8-g2 22.探究性问题（14分)如图，△ABC内接于⊙0，AC为直径，在CA延长线上取一点E, 使得AE=AB,连接BE。在AE下方，作LAFE=∠BCA,连接CF交⊙O于点D,连接BD。 (1)如图(1)，若∠BDC=LAEF ①求证：△ABC≌△EAF;（3分) ②若AE=2,AF=4,求CD的长度。（5分) (2)如图(2)，若AF=EF,2LCBD=3∠BCA,求证：BD=EF。(6分) B 图(1) 图(2) (I)①证明：LBDC=LBAC,∠BDC=∠AEF,LBAC=∠AEF。 (LBAC=∠AEF 在△ABC和△EAF中， ∠BCA=∠AFE,∴△ABC≌△EAF(AAS)。 AB=AE 86/118 九数上单元测 (1)②解： 连接AD。AC为直径，LABC=∠ADC=90°。△ABC≌△EAF, ∴.LEAF=90°，BA=AE=2,BC=AF=4。在Rt△ABC中，AC=√BA2+BC2=2V5。 在Rt△AFC中，CF=√AC+AF2=J(25)2+42=6。 1 4×2W54v5 x了。H】X订一一H一 6 3 在R△ADc中，D=VaCe-An-22-(y ,4W5、 3。 (2)证明： 取优弧BAC的中点G,连接BG,AG。LG=∠BCA,LAFE=∠BCA,LG=∠AFE。 G为优弧BAC中点，BG=AG,LGAB=∠GBA。AF=EF,LFAE=∠FEA, ·∠GAB=∠GBA=∠FAE=∠FEA。 (LGBA=∠FAE 在△GAB和△FEA中， AB=AE,∴.△GAB≌△FEA(ASA),∴AG=EF。 (∠GAB=∠FEA 2LCBD=3LBCA,设∠BCA=2X,∠CBD=3X,∠BGA=∠BCA=2X, 180°-2x ∠GBA= 2 =90°-X,∠CBG=∠CBA-∠GBA=90°-(90°-=X, LGBD=∠CBD-∠CBG=3x-X=2x,LGBD=∠BCA,AG=BD,AG=BD,BD=EF。 87/118