3.4 相似三角形的性质 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 3.4 相似三角形的性质 同步练习 一、选择题 1．两相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的面积之差为32 cm2，那么小三角形的面积为(　　) A．10 cm2 B．14 cm2 C．16 cm2 D．18 cm2 2．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(　　) A．＝1：2 B．∠A的度数∠D的度数＝1：2 C．△ABC的面积△DEF的面积＝1：2 D．△ABC的周长△DEF的周长＝1：2 3．如图，相交于点，记的面积为的面积为．若，则（  ） A． B． C． D． 4．已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则等于(　　) A．2 B． C．3 D． 5．两个相似三角形对应高的长分别为8 cm和6 cm，则它们的面积比为(　　) A．4∶3 B．3∶2 C．2∶3 D．16∶9 6．如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（ ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 7．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(  ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 8．如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长的边长为39，那么较大的三角形的面积为 （      ） A．90 B．180 C．270 D．540 9．如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 11．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ） A． B． C． D． 12．如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE＝AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 13．△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，则△DEF的最短边为__________，△DEF的面积为__________． 14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为 __________ ． 15．如图，，，，若面积为10，则的面积为 __________ ． 16．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，连接、，若，则的最小值是 __________ ． 17．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． (1) 若，则__________； (2) 若，则__________． 三、解答题 18．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度． 19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，，△BCD的周长是24 cm. (1)求△ACB的周长； (2)求△BCD与△ABD的面积比. 20．为了测量某雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 21．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE. (1)如图1，求证：DE=BF； (2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长. 22．如图，在中，，，，点是边一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． (1) 证明：四边形是菱形； (2) 如图（1），若点恰好落在对角线上，连接，求的长； (3) 连接，，如图（2），问能否为直角三角形？如果不能，请说明理由；如果能，请求出的长． 北师大版（2024）九年级上册 3.4 相似三角形的性质 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．两相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的面积之差为32 cm2，那么小三角形的面积为(　　) A．10 cm2 B．14 cm2 C．16 cm2 D．18 cm2 【答案】D 【解析】根据题意，两个三角形的相似比是5∶3，面积比就是25∶9，大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16＝2(cm2)，所以小三角形的面积为2×9＝18(cm2)．故选D. 2．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(　　) A．＝1：2 B．∠A的度数∠D的度数＝1：2 C．△ABC的面积△DEF的面积＝1：2 D．△ABC的周长△DEF的周长＝1：2 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△DEF，∴＝1：2，A不一定成立；∠A的度数∠D的度数＝1，B不成立；△ABC的面积△DEF的面积＝1：2，C不成立；△ABC的周长△DEF的周长＝1：2，D成立，故选D. 3．如图，相交于点，记的面积为的面积为．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ． 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 且相似比， ． 4．已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则等于(　　) A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴===. 5．两个相似三角形对应高的长分别为8 cm和6 cm，则它们的面积比为(　　) A．4∶3 B．3∶2 C．2∶3 D．16∶9 【答案】D 【解析】∵两个相似三角形对应高的比是8∶6＝4∶3，∴它们的面积比是16∶9，故选D. 6．如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（ ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【答案】B 【解析】解：由题意得，，∵，∴，∴，即， 解得米，故选：B． 7．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(  ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 【答案】C 【解析】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1∶4，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶4；故选C. 8．如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长的边长为39，那么较大的三角形的面积为 （      ） A．90 B．180 C．270 D．540 【答案】C 【解析】∵52＋122＝132， ∴三边长为5，12，13的三角形是直角三角形，面积＝×5×12＝30， 两个三角形的相似比为， 则两个三角形的面积比为， ∴较大的三角形的面积为30×9＝270. 9．如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正方形， ∴，，， 设， ∵点P为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：四边形是平行四边形，，， 平分，，，， ，，如图，连接， 可知，在中，， ， ，，，为中点，即， 设平行四边形中边上的高为， 则，又，． 11．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 12．如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE＝AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过A作AM⊥BC于M，如图所示： ∵S△BEC＝BC•AM，S▱ABCD＝BC•AM， ∴S△BEC＝S▱ABCD＝S， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAG＝∠BCG，∠AEG＝∠CBG， ∴△AEG∽△CBG，又AE＝AD＝BC， ∴＝＝， ∴S△EFG＝S△BGF， 又S△EFG+S△BGF＝S△BEF， ∴S△EFG＝S△BEF， ∵AE＝AD，AD＝AE+ED， ∴ED＝AD＝BC， 同理得到△EFD∽△CFB， ∴＝＝， ∴S△BEF＝S△BFC， 又S△BEF+S△BFC＝S△BEC， ∴S△BEF＝S△BEC＝S， ∴S△EFG＝S． 故选：C． 二、填空题 13．△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，则△DEF的最短边为__________，△DEF的面积为__________． 【答案】4；54 【解析】设△DEF的最短边为x，∵△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，∴＝，解得x＝4.∵62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝×6×8＝24.∵＝＝，解得△DEF的面积＝54. 14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为 __________ ． 【答案】2∶3 【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2∶3. 15．如图，，，，若面积为10，则的面积为 __________ ． 【答案】 【解析】∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，连接、，若，则的最小值是 __________ ． 【答案】 【解析】过点作于点，于点， 四边形是矩形， ，，， 在四边形中，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， 点在对角线上， ， ， 当时，的值最小，此时的值最小， 在中，， ， ， 的最小值为． 17．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． (1) 若，则__________； (2) 若，则__________． 【答案】 ； 【解析】(1) 解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ，则； (2) 在等腰中，；在等腰中，； 则，，， ，则，，即，解得． 三、解答题 18．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度． 【答案】解：过E作EH⊥AB于H，交CD于G， ∵CD⊥FB，AB⊥FB， 则四边形EFDG和四边形BHGD是矩形， ∴CD∥AB，EF＝GD＝HB，EG＝FD，EH＝FB， ∴△CGE∽△AHE， ∴， 即：， ∴， ∴AH＝11.9， ∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）． 答：旗杆AB的高度为13.5 m． 19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，，△BCD的周长是24 cm. (1)求△ACB的周长； (2)求△BCD与△ABD的面积比. 【答案】解　(1)∵，∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACB，∴， ∵△BCD的周长是24 cm， ∴△ACB的周长是36 cm. (2)∵△BCD∽△ACB，且相似比为2∶3， ∴， ∴. 20．为了测量某雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【答案】∵，， ∴， ∵在和中，，∴， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴雕像的高度为米． 21．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE. (1)如图1，求证：DE=BF； (2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长. 【答案】(1)证明 ∵△ACD，△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形， ∴∠A=∠DCA，∠ECB=∠CBE，CE=BE. ∵∠A=∠CBE， ∴∠A=∠ECB，∠ADC=∠CEB. ∴AD∥CE， ∴∠ADC=∠DCE， ∴∠DCE=∠CEB. ∵EF=AD=DC，CE=BE， ∴△DCE≌△FEB(SAS)， ∴DE=BF. (2)解 如图，取CE的中点H，连接GH. ∵点G是DE的中点， ∴GH=CD=AD=1，GH∥CD. ∵∠A=∠DCA，∠ECB=∠CBE，∠A=∠CBE， ∴∠DCA=∠CBE， ∴DC∥BE， ∴GH∥BE. 设CE=BE=m，则EH=m. ∵EF=AD=2， ∴FH=m-2. ∵GH∥BE， ∴△GHF∽△BEF， ∴=，即=， 解得m=2+2或m=2-2(舍去). ∴BE的长为2+2. 22．如图，在中，，，，点是边一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． (1) 证明：四边形是菱形； (2) 如图（1），若点恰好落在对角线上，连接，求的长； (3) 连接，，如图（2），问能否为直角三角形？如果不能，请说明理由；如果能，请求出的长． 【答案】(1) 证明：∵，，∴， ∵折叠， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 解：如图，过点作交于点， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，； (3) 解：能， 分类讨论： ①当，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴，解得：， ∴； ②当， 如图，点在的延长线上，过点作交于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，∴， ∴， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵设，则， ∴，解得： ∴； ③当， 如图，延长交于点，过点作交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形为平行四边形， ∴，，， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵设，则， ， ∵， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：（舍），， ∴， 综上，的长为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $