3.3.4 相似三角形的性质（1）同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比），分层覆盖基础应用到综合探究，结合中考真题与阶段测评题，培养几何直观、推理能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一性质直接应用|考向1第1-4题基础选择，考查对应角、对应边基本计算| |提升层|性质与简单图形结合|考向2第5题填空，结合周长比与相似比的关联运算| |综合层|多性质综合应用|考向1第11题解答题，融合相似判定与性质证明，体现知识迁移|

3.3.4相似三角形的性质(（1) 考向1对应角相等、对应边成比例 1.(2025贵州中考)如图，已知 △4 BCDEF,AB:DE=2:1,若DF=2,则1C 的 长为() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可. △ABCOADEF,AB:DE=2:I 【详解】解：， AC:DF=2:1, ,DF=2, .AC=4: 故选C. 2.(2025-2026学年济南期末)如图，△ABO∽aCDO,则∠B的度数为() D A 0 50° B 909 C 30° A. 8350 45° D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对 应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数. 【详解】解：在aCDO中，：∠C=90°，∠COD=50°， .∠D=180°-∠C-∠C0D=180°-90°-50°=40° .△ABOACDO. .∠B=∠D=40° 故选：C. 3.(2026广元一模)如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC一△DBA,则下列结论正 确的是（) B A. AB_CD B.AB-BD C.AB=BC D.∠BAD=∠ADC BC AB Ac CD BD AB 【答案】c 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.根据相似 三角形的性质，如果△ABC一△DBA,那么它们的对应边成比例，且对应角相等，即可 解答 【详解】解：.：△ABC一△DBA, AB_BD AB_BD AB_BC BC AB'AC AD'BD AB' ∠BAD=∠ACD, ·A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C 4.(2025-2026学年济南期中)如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为() D B A.135 B.90 C.45° D.22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系. 根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出. 【详解】解：：△ABCAEDF, :∠MBC=∠EDF∠ACB=∠EFD :∠ABC+∠ACB=∠EDF+∠EFD=180°-∠DEF=180°-1350=450 故选：C 5.(2025-2026学年临沂期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E 为OC的中点，点F为BC边上的点，己知△CEF和△CAD相似.若AB=4,OA=3, BC=8 EF ，则 的长为() 3 3 4 A.4或2 B.1或4 C.3或1 D.2或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论 思想是解题的关键 由 为 行 四 边 形 的 性 质 可 得 AD//BC,AD=BC=8,CD=AB=4,OC=OA=3,AC=20A=6 即 CEO3 1 ∠CAD=∠FCE;再求得 2;然后分△CEFP△ACD和△CEF∽△ADC两种 情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可， 【详解】解：在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=4,OA=3, BC=8 AD /BC,AD=BC=8,CD=AB=4,OC=OA=3,AC=20A=6 .∠CAD=∠FCE, :点E为OC的中点， .CE=10C=3 3 2 2, EF CE EF 3-2 当ACEFAACD时，CD CA' 即4 6 解得： EF=1: 3 EF CE EF =2 CEFA4DC时，CD4D即48群得：EEs 4 3 综上，EF的长为1或4. 故选B. 6.(2024巴中中考)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则 OG= ( ) K B 125V5 125 64 32v5 A.64 B.64 C.27 D.27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解 360° OA OB OC ∠BOA=∠BOC=·= =30° 3 12 ,可得OB OC OD ==c0s30°= 2,再进 步探究即可； 【详解】解：，12个相似的直角三角形， 360° ∠BOA=∠BOC=·= =30° 12 OA OB OC OB OC OD -=c0s30°= 2 0A=1, 0=v=1k5 2 o0=1-g, 0G=1x 664 27 故选C 7.(2025-2026学年济南月考)如图，在Rt△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D 是AB的中点，连结CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A 且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF. AG FG 给出以下五个结论：①ABFB:②∠ADF=∠CDB:③点F是GE的中点：④ 亚旭5S隔翠) 3 G F E 3 A 84 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意证明△AFG∽aCFB,进而可确定①：由△AFG≌△AFD,可得 1 GF=FD由FD>FE,进而判断结论②，△AFG≌△AFD可得 2 21 AF 1 AF 1 进而由△AFGACFB可得AC3,即可判断③，根据AC3,以及D是AB的中点 即可判断⑤. 【详解】解：依题意得，∠ABC=90°，GALAB, .BC∥AG ∴.△AFG∽△CFB AG FG BC FB, 又AB=BC, AG FG AB FB, 故①正确： 如图，标记如下角， C G 2L D B .BG⊥CD∠ABC=90° .∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90° .∠3=∠4 在△ABG与△BCD中， ∠3=∠4 AB=BC ∠BAG=∠CBD=90° :.AABG≌aBCD(ASA) .AG=BD 又点D是AB的中点， :BD=AD, ∴.AG=AD :AB=BC,∠ABC=90° .∠DAF=45°， .∠GAB=90° ∴.∠GAF=45° ∴.∠GAF=∠DAF △MFG与△MFD中， 在 AG=AD ∠FAG=∠FAD AF=AF :.△AFG≌aAFD(SAS) .∠5=∠2 :∠5+∠3=∠1+∠3=90° ∠5=1， ∠1=∠2， 即∠ADF=∠CDB, 故②正确： .△AFG≌△AFD :.FG=FD, :△FDE是直角三角形， :FD>FE. ..FG>FE 即点F不是线段EG的中点， 故③不正确： ·△ABC 是等腰直角三角形， .AC=AB2+BC2=2AB ·△AFG≌△AFD≌ 1 .AG=AD=AB-7 CB .·△AFG∽ACFB AG AF BC FC, .FC=2AF ={C= 3 -AB 3 故④正确： ”AF= 3A0 >S。a胖3Saa 点D是AB的中点， 1 SAWE-Sm SDrS人ABc 6 即Sc=6S.r 故⑤错误， 综上所述，①②④正确. 故选：A 8.(2025西藏中考)如图，点D,E分别是△ABC边AB,AC上的点，且DE∥BC, DE 2 AE 若BC3,则EC的值是 E B 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的 基本定理是解此题的关键.根据题意先证得△ADE和△ABC相似，进而列出对应线段的 AE 比例关系，再将AE与AC之间的数量关系进行转化后代入EC中即可求出结果. 【详解】解：：DE∥BC,∠A=∠A, .△ADE~△ABC, DE AE ∴.BCAC, DE 2 .BC 3,AC=AE+EC, DE AE 2 .BC AC 3, AE= .3AE=2AC,即 2 AC 2 AEAE ·ECAC-AE s-34c AC、2 =2 C 3 AE=2 即EC 故答案为：2 9.(2026南通中考)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上， BF⊥AE 垂足为0.若1 GEG=3 ABCD ,则正方形的边长为一 4 25 【答案】 【解析】 【分析】设正方形ABCD的边长为2a,先利用正方形的性质和勾股定理求得4E=V5a AG AB 则AG=V5a-3,证明△ABGAEAD得到DEAE,进而求得a=V5即可解答. 【详解】解：设正方形ABCD的边长为2a,则AB=AD=CD=2a, ∠D=∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠EAD=90°， E是CD的中点， DE=1CD=a 2 :.AE=AD2+DE2=(2a)+a2=5a. EG=3, AG=AE-EG=5a-3 BF⊥AE, .∠AGB=90°=∠D .∠BAG+∠ABG=90°， ∠ABG=∠EAD, .△ABGAEAD. AG AB ,V5a-32a ∴DEAE,即aV5a, 解得aV5 ABCD 2W5 .正方形 的边长为 10.(2026江西中考)如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上， DE//BC AD=3 AB=5 DE=5 BC ,求的长 D y B BC= 25 【答案】 【解析】 AB BC 【分析】根据DE∥BC,证明△ABC∽△ADE,进而得出ADDE,代入数据，即可求解. .DE BC 【详解】解： ∴，∠B=∠D∠C=∠E ∴.△ABCP△ADE AB BC AD DE. .AD=3 AB=5 DE=5 5 BC 35 ∴.BC= 25 3. 11.(2025-2026学年临沂期末)如图， Rt△ABC电.∠ACB=90°，CD是MB边上 中， 的高. B (1)直接写出图中所有相似的三角形： (2)求证： CD=AD·DB AC=6,AB= (3)若已知 9,求AD的长 【答案】(1)△ADCACDBAACB (2) 证明：：△ADC∽△CDB AD CD .CD BD. CD2=AD·DB (3)4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： (1)根据相似三角形的判定定理解答即可； (2)根据△ADC∽△CDB,即可求证： (3)根据△ADC∽aACB,即可求解。 【小问1详解】 解：：∠ACB=90°，CD是AB边上的高， ∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°， ∠ACD+∠A=90°，∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90° ∠A=∠BCD,∠B=∠ACD .△ADC∽ACDBAACB. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：△ADCP△ACB. ACAD 6 AD ∴.ABAC,即96， 解得：AD=4 12(226济南中考节选)矩形ABCD中，BC=MB(≥1），0为对角线AC的中点， M为边MB上一点，连接OM,过点°作9 OM O OM BC N MN 的垂线，交于点”，连接 D D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与OW的数量关系为 用等式表示线段AM,MW,NC的数量关系为. (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明： ②用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系，并证明. 【答案】a)OM=ON,AM2+NC2=MN (2)①OM=kON, 证明如下： 如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O0⊥AB,垂足为点2， B PN O2⊥ABBC⊥AB ..00lBC A01 又：点O为AC中点，即AC2, :g=A01 ABAC2,即2为AB的中点，O0为△ABC的中位线， ÷00=BC 2 1 OP= AB 同理可得： 2 OO BC =k OP AB :四边形ABCD为矩形， .∠B=90° 又：O0⊥AB,OP⊥BC, OBPO ∠Q0P=90° ,四边形 为矩形，即 ∠MOQ+∠MOP=90°∠NOP+∠MOP=90° (当4M<)4B 时，∠MO9+∠QON=90°，∠NOP+∠QON=90°) ∴.∠MO9=∠NOP .∠OQM=∠OPN=90° 又 ∴.△OQM∽△OPN ..OM0o =k ON OP,即OM=kON. ②M2+NC2=Mw2 证明如下： 如图，延长NO,交AD于点N',连接MN', N D 夕 “四边形 ABCD 是矩形， .ADBC .∠OCN=∠OAN' 又∠CON=∠AONW',OA=OC, :.△OCN≌△OAN'(ASA) .ON =ON'CN=AN' .·OM⊥NN'MO ，即垂直平分 N' .MN MN', Rt△MAN' 在 中，由勾股定理得 AM2+AN=MN2 AM+NC2=MN2 【解析】 0ELAB,0F1BC,连粒OR,证费△B0M≌△FON可 【分析】(1)过点作 ,证明 OM=ON △MOB≌△NOC,,MB=NCMA=NB 可得出 ；证明 °得出 ,再在 Rt△MBN中，利用MB+NB=MN2, 即可得出AM2+WC2=Mw2 (2)①过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O0⊥AB,垂足为点2，先由三角形 OO BC =k OM_00-k 中位线性质得出OPAB-,再证明△OQM∽aOPN,即可得出ONOP 即OM=kON;②延长NO,交AD于点N',连接MW',由△OCN≌△OAN'得出 ON=ON'CN=AN' MN=MN'.Rt△MAN' ,进而得出 在 中，由勾股定理得 AM2+AN=MN AM2+NC2=MN2 ,通过等量代换即可得出 【小问1详解】 解：如图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,连接OB, D E B FN ,k=1, ∴.BC=AB,即此时矩形ABCD是正方形， 又，O为对角线AC的中点， .OB=AO=OC,OB⊥AC, 又.OE⊥AB,OF⊥BC. E为AB中点，F为BC中点， OE=1AB OF=1BC ∴.OE=OF, :OE⊥AB,OF⊥BC,矩形ABCD是正方形， .OE⊥OF, ·OM⊥ON. .∠EOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90° (当AM<AE时，∠EOM+∠EON=90°，∠FON+∠EON=90°) .∠EOM=∠FON. △EOM,△FON 在 中 ∠MEO=∠NFO EO=FO ∠EOM=∠FON :△EOM≌△FON(ASA) ..OM =ON: OB⊥AC,OM⊥ON, .∠MOB+∠BOW=90°，∠NOC+∠BON=90°. .∠MOB=∠NOC. 在△MOB△wOC MO=NO ∠MOB=∠NOC BO=CO .△MOB≌△NOC(SAS) .MB=NC, AB=BC, .AB-BM=BC-NC,MA=NB, :在RtAMBN中，MB2+NB2=MW2 AM2+NC2=MN2 【小问2详解】 略 考向2对应周长的比等于相似比 1.(2026贵阳一模)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若△10B与△C0 与 位似 位似中心为点O,则△A0B与△COD 与 的周长比为() B D 1:2 A. 813 c1:4 01:9 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意知，OB=2,OD=6, :△AOB△COD 位似，位似中心为点O, :△A0B与△COD OB:OD=1:3 的位似比为 :aMOB与△CO 的周长比为1：3 2.(2025-2026学年昆明期末)如图，在边长为1的小正方形网格中，AB,CD相交于点 AC+0C+0A O,点A,B,C,D都在这些小正方形网格的格点上，则DB+OB+OD的值为( O B 3 9 4 A.2 B.4 C.3 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】由网格特点得1C=3,DB=2,4C∥BD,则△MCO△BD0 由相似三 3 3 3 OA=÷OBOC=二ODAC=二DB 角形的性质得出 2 2 2 ,代入所求式子计算即可得出 结果 【详解】解：由网格特点得AC=3,DB=2,AC∥BD, .△ACO∽△BDO OA OC AC 3 .OB OD DB 2, .OA= 30B OC=50D 4C=2B 2 3 DB+2OD+OB 3 .3 AC+OC+0A2 2 2 3(DB+OD+OB) 3 DB+OB+OD DB+OB+OD DB+OB+OD2· 3.(2025绥化中考)两个相似三角形的最长边分别是10Cm和6cm,并且它们的周长之和 为48cm,那么较小三角形的周长是() 14cm 18cm 30cm 34cm A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为l0cm和6cm确定相似比，相似 三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为48cm即可求解. 【详解】解：，两个相似三角形的最长边分别为l0cm和6cm, 一相似比为 0:6=5:3 5:3 较大三角形与较小三角形的周长比为： 48cm 它们的周长之和为 48x 3 5+3 。=l8(cm) ∴.较小三角形的周长为： 故选：B 4.(2022贵州铜仁模拟预测)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在O处，点D落在 AB EO BC AD=8AE=4AB=6,△EBF 边上的E处， 与相交于点F,若 ,则 周长的 大小为() D B G ○ A.8 B.10 C.12 D.6 【答案】A 【分析】设AH=a,则DH=AD-AH=8-a,通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的 余角相等可得出LBFE=∠AEH,从而得出△EBF∽△HAE,根据相似三角形的周长比等于对 应边的比即可求出结论 【详解】解：设AH=a,则DH=AD-AH=8-a, 在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4,AH=a,EH=DH=8-a, E+(8-a)=4+d 解得a=3 :∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90° ∴.∠BFE=∠AEH. 又∠EAH=LFBE=90°， :△EBFn△HAE, C.EBE BE AB-AE2 C.AE AH AH CANE =AE+EH AH AE+AD=12 &CA脚=3Caa=8 5.已知 ABCADEF,SMBc:SDEF=I:6△ABC 5cm,△DEF 的周长为 cm 的周长为 15v6 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出 相似比，再计算△DEF的周长. 【详解】解：ABCADEF.S:S,a=1:6 V1:v6=1:√6 两个三角形的相似比为 ,相似三角形的周长比等于相似比， CAABC= 1 ∴CarV6】 C。MBc=15cm C.DEF =15V6cm CF BD 2 6.如图，在AABC中，点D、E、P分别在边ABAC、BC上，EF川AB,BF=AD3, BC=15 A E B (1)求DE的长： (2)如果 △MDE=24 则求BD+CE 长 【答案】(19 (2)10 【分析】(1)先由EF‖AB推出线段比例关系，进而得到相似比求出DB, (2)利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出BD+CE 【详解】(1)解：EF‖AB CF CE 2 BFAE3· CF BD BFAD· CE BD 2 AEAD3· AEAD3 ACAB5· ∠A=∠A, .△ADE△ABC, DE3 BC5· BC=15. DE=9: (2)解：，△ADE△ABC, C匹-3 CAABC (相似三角形周长之比等于相似比)， CAADE =24 3 CAMc=24÷6=40 BC=15, .AB+AC=25, ∴.BD+CE=25-(24-9)=10 3.3.4 相似三角形的性质（1） 考向1 对应角相等、对应边成比例 1.（2025贵州中考）如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2.（2025-2026学年济南期末）如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3.（2026广元一模）如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4.（2025-2026学年济南期中）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 5.（2025-2026学年临沂期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（ ） A. 或2 B. 1或 C. 或1 D. 2或1 6.（2024巴中中考）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 7.（2025-2026学年济南月考）如图，在中，，，点是的中点，连结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结． 给出以下五个结论：①；②；③点是的中点；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 2 8.（2025西藏中考）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 9.（2026南通中考）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 10.（2026江西中考）如图， ，分别在 的边 ，的延长线上，，，，，求的长． 11.（2025-2026学年临沂期末）如图，在中，，是边上的高． （1）直接写出图中所有相似的三角形； （2）求证：； （3）若已知，求的长． 12.（2026济南中考节选）矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． （1）如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； （2）如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明. 考向2 对应周长的比等于相似比 1.（2026贵阳一模）如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若与位似，位似中心为点O，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年昆明期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.（2025绥化中考）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 4.（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 5.已知，的周长为的周长为________． 6.如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $