3.4 相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 同步练习聚焦相似三角形性质，通过基础应用、情境探究、综合拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-5、填空11-12）|相似比计算、简单性质应用|直接对应性质公式，强化运算能力与符号意识| |中档层（单选6-8、填空13-14）|折叠问题、动态几何|结合图形变换，发展几何直观与推理意识| |综合层（单选9-10、填空15-16、解答17-21）|跨知识综合（如“垂美四边形”）、实际建模|融入生活情境与创新题型，培养应用意识与创新能力|

3.4相似三角形的性质同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 2．为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC与AE交于点D.此时,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,则两岸间的距离AB是 (　　) A.120 m B.110 m C.100 m D.90 m 3．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（    ） A． B． C． D． 6．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图（1）是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图（2）所示.已知与交于点，.若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） 图（1） 图（2） A． B． C． D． 7．如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点D是等边边AB上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E，F分别在和上，则（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 12．如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为______． 13．如图，正方形的边长为3，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的面积是________． 14．如图是一张菱形纸片，点E在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则 °， ． 15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的边长为a，正方形的边长为b．若，则的值是________． 16．如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 三、解答题（本大题共5小题） 17．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．    （1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”） ②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由． 拓展探究 （2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由． 迁移应用 （3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值． 18．两个智能机器人在如图①所示的矩形区域工作，对角线为生产流水线．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，移动至拐角处调整方向需要（即在处拐弯时需用时），其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，同时到达终点，设机器人运动的时间为，记点到的距离（即垂线段的长）为（），点到的距离（即垂线段的长）为，其中机器人甲到的距离（）与运动时间的函数图象如图②所示． (1)求，的长及机器人乙的速度； (2)如图②所示，当运动时间为时，机器人甲在这两个时刻所在的位置到的距离均为，求的值； (3)当机器人甲，乙到生产流水线的距离满足时，求的值． 19．如图（1），已知正方形，矩形，其中，B在边上，D在边上，正方形的边长为2．设矩形的边，（a，b均为小于等于2的正数）．将矩形的两个角翻折，使G落在边上点N处，E落在边上点M处，为折痕，连接． （1）若M，N分别为的中点，求的长． （2）若，求矩形的面积． （3）如图（2），连接，若恰好经过点C，求证：． 20．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 21．综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． （1）猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由； （2）拓展延伸：继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，当时，求四边形的面积． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B A C D A D C 11． 12．/ 13． 14．； 15． 16． 17．（1）①∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是“垂美四边形”． ②四边形是“垂美四边形”，理由如下： 设与分别相交于点M和点N，    ∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是“垂美四边形”； （2）．理由如下： 如图3，设相交于点O，    已知四边形中，∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； （3）∵，，． ∴， 过点P作于点D，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 经检验，是原方程的解， 当时， ，此时点P在线段上， 当时， ，此时点P在线段的延长线上， 当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或． 18．（1）解：由图②可知，当时，，即甲到达点B， ， 四边形是矩形， ，， 由图象，当s时，点P到距离为， ， ，即 在中，， ∴， 解得或（舍去） ， 甲运动总时间为， 乙与甲同时出发同时到达， 乙用时也为8s， ． （2）解：当时，点在上，， 由， ∴， ， ， 由，则， ， ， 当时，点在上，， 同理，， ， ， 由，则， ， ， ． （3）解：点在上，， 由（2）同理，， ∴， ， 由（2）当时，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 不合题意，舍去， 当时，， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 19．（1）解：∵M，N分别为的中点， ∴， ∴． （2）解：∵将矩形的两个角翻折，使G落在边上点N处，E落在边上点M处， ∴是正方形， ∴，， ∵矩形的边，（a，b均为小于等于2的正数）． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， ∴矩形的面积． （3）解：由（2）求解过程可知：，，，，是正方形， ∴，，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，同理可得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 20．（1）解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）； 由题意得：，，，， ∵四边形是以为“白银线”的四边形； ①当时，或， ∴或， ∴或， ∴或； 故点、即为所求（画出1个即可） ②当时，或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故点、即为所求（画出1个即可）； （2）解：①是四边形的“白银线”；理由如下： ∵，对角线平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对角线是四边形的“白银线”； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，由（2）可知为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 第一种情况，如图3，延长交于点H， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 第二种情况，如图4，设交于点G， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的长为或． 21．（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：①，理由如下： 由（1）知，四边形是菱形， ， 由折叠的性质得到， ， ， ， ， ， ； ②， ， 如图，延长交于点，设交于， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， 又， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $