第3章 位置与坐标（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

第3章 位置与坐标（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 由坐标判断点所在象限】 1 【题型2 由象限判断坐标的符号】 3 【题型3 坐标变换-平移】 5 【题型4 坐标变换-轴对称】 7 【题型5 中点坐标】 8 【题型6 求点到坐标轴的距离】 9 【题型7 平行于坐标轴的点的特征】 10 【题型8 坐标轴上点的坐标特征】 12 【题型9 坐标系中描点】 14 【进阶拔高】 18 【题型10 角平分线上点的坐标特征】 18 【题型11 确定原点位置求点的坐标】 20 【题型12 由点到坐标轴距离求坐标】 23 【题型13 坐标系中的面积问题】 25 【题型14 点平行于坐标轴求参】 28 【题型15 由坐标系中的平移求参】 29 【题型16 由坐标系中的对称求参】 32 【创新思辨】 34 【题型17 坐标中的规律探究】 34 【题型18 坐标系中图形存在性问题】 37 【题型19 坐标系中由图形面积求点的坐标】 41 【题型20 动点问题与坐标系综合】 45 【夯实基础】 【题型1 由坐标判断点所在象限】 【例1】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）点在平面直角坐标系的（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用在平面直角坐标系中点的坐标特点判断即可. 【详解】解：，， 点在第二象限． 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限的点横、纵坐标均小于0， 对于A选项，横、纵坐标均大于0，不符合题意； 对于B选项，横坐标大于0，纵坐标小于0，不符合题意； 对于C选项，横、纵坐标均小于0，符合题意； 对于D选项，横坐标大于0，纵坐标等于0，不符合题意． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点位于第___________象限． 【答案】 四 【分析】先判断点P横纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标特征确定点所在象限． 【详解】解：∵， ∴，即点的横坐标为正数， ∵点的纵坐标为，即纵坐标为负数， ∵第四象限内点的坐标特征为横坐标正、纵坐标负， ∴点位于第四象限． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，点一定不在第____________象限． 【答案】三 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，通过判断不同象限横纵坐标的正负要求，列出不等式组判断是否有解，即可得到结论． 【详解】解：对各象限坐标符号要求逐一分析：若点在第三象限，则需满足 解不等式得， 解不等式得， 该不等式组无解，因此点不可能在第三象限； 验证其他象限： 当时，，，点在第一象限，存在； 当时，，，点在第二象限，存在； 当时，，，点在第四象限，存在． 因此点一定不在第三象限． 【题型2 由象限判断坐标的符号】 【例2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形顶点坐标得到正方形内部点满足，，进而判断各点是否在正方形内部． 【详解】解：根据网格与平面直角坐标系，可得正方形四个格点顶点的坐标为： ，，，， 正方形内部的点满足：横坐标范围：，纵坐标范围：， 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，纵坐标小于正方形下边界， 该点不会落在正方形框内部． 【变式2-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）已知点不在第二象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】点的纵坐标为， 若点在第二象限，则横坐标满足，解得， 因此点不在第二象限时，的取值范围为． 【变式2-2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的值可以是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：点在第三象限， ，选项中只有满足． 【变式2-3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 长方形的周长为， 解得． 【题型3 坐标变换-平移】 【例3】（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 【变式3-1】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是：先向______________平移______________个单位长度，再向______________平移______________个单位长度． 【答案】 右 下 【详解】解：如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是：先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；或先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．线段轴，把点向左或右平移3个单位即可得到点的坐标． 【详解】解：线段轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， ，点的坐标为， 点的坐标是或． 故答案为：或． 【变式3-3】（25-26七年级下·天津宝坻·期中）已知长方形的三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形对边平行的性质，结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，即可推导D点坐标． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，，， 由已知，， ∴轴， ∴轴， ∵， ∴点横坐标， 又∵，， ∴轴， ∴轴， ∵点纵坐标为， ∴点纵坐标， ∴点坐标为． 【题型4 坐标变换-轴对称】 【例4】（25-26八年级下·河南周口·期中）点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 【变式4-1】（2026·山西阳泉·二模）如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东日照·开学考试）在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点的坐标，再求点的坐标即可． 【详解】解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【变式4-3】（24-25八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【答案】B 【详解】解：点与点的横纵坐标均互为相反数，关于原点对称，故A错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故B正确； 点与点纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于轴对称，故C错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故D错误. 【题型5 中点坐标】 【例5】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级下·广西贵港·期中）若点与点关于点对称，则的值是多少(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若两点关于某点对称，则该点是两点连线的中点，利用中点坐标公式求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于点对称 ∴点是线段的中点 根据中点坐标公式可得 ， ， 解得，， ∴ ． 【变式5-3】若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． 【题型6 求点到坐标轴的距离】 【例6】（25-26七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，任意一点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点到轴的距离为． 【变式6-1】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）点到轴的距离为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律，解题关键是掌握点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值这一性质. 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，任意点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值， 已知点，其纵坐标为， ∴ 点到轴的距离为. 【变式6-2】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度后，再向左平移4个单位长度得到点，则点到轴的距离为__________． 【答案】3 【分析】根据点平移的坐标变化规律，左减右加横坐标，上加下减纵坐标，求出点的坐标，再利用点到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可. 【详解】解：将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， 点到轴的距离为. 【变式6-3】（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】先判断动点的运动轨迹，可得点在直线上，根据垂线段最短，可知线段的最小值为点到直线的距离，计算距离即可得到结果． 【详解】解：点坐标为，纵坐标为定值， 点在直线上， 根据垂线段最短，可得的最小值为点到直线的距离， 又直线平行于轴， 点到直线的距离为， ∴线段的最小值为5． 【题型7 平行于坐标轴的点的特征】 【例7】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，线段与y轴平行，则点F的坐标可能是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，线段与y轴平行时，其上点的横坐标相等，点E的横坐标为，故点F的横坐标也为，纵坐标可为任意不等于9的实数． 【详解】解：∵线段与y轴平行， ∴点E和点F的横坐标相等， ∵点E的坐标为， ∴点F的横坐标为， ∴点F的坐标可能是， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式7-1】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点在直线l上，直线l与x轴平行．若点B是直线l上异于点A的一点，则点B的坐标可以是______．（写出一个即可） 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，掌握特征是解题的关键． 根据与坐标轴平行直线上点的坐标特征：若与轴平行，则直线上的点的纵坐标都相同；若与轴平行，则直线上的点的横坐标都相同；进行求解即可． 【详解】解：由题意得， 直线l上的点的纵坐标都相同， 因为点B是直线l上异于点A的一点， 所以横坐标可取不是的任意一个数； 故答案：（答案不唯一）． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标是，与x轴平行，且，则点N的坐标为______． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，熟知平行于的直线上的点纵坐标相同是解本题的关键．根据平行于的直线上的点纵坐标相同，然后分情况讨论即可． 【详解】解：∵，轴， ∴点的纵坐标为8， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴点N的坐标为或， 故答案为：或． 【变式7-3】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点的坐标为，，并且与坐标轴平行，点在轴的上方，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．对轴和轴进行分类讨论，再结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当轴时， 因为点坐标为， 所以点的纵坐标为． 又因为，且点在轴上方， 所以，， 所以点的坐标为或． 当轴时， 因为点坐标为， 所以点的横坐标为． 又因为，且点在轴上方， 所以， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为：或或． 【题型8 坐标轴上点的坐标特征】 【例8】（25-26七年级下·山东德州·期末）已知点在y轴上，则P的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，掌握轴上点的横坐标为是解题关键，根据轴上点的横坐标为求出的值，再代入计算得到点的纵坐标，即可得到点的坐标. 【详解】解：点在轴上 点的横坐标为，即 解得 将代入纵坐标得： 点的坐标为． 【变式8-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如果点在x轴上，则M点坐标为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，可知点的纵坐标为0，先求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可确定点坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴M点坐标为． 【变式8-2】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：x轴上的点纵坐标为0，到y轴距离为横坐标的绝对值， 故坐标为或． 【变式8-3】（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知，点在轴上且，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据题意，点在轴上，可知点纵坐标为，点也在轴上，因此的长度等于两点横坐标差的绝对值，据此列方程求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴，即， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 【题型9 坐标系中描点】 【例9】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，描出下列各点，并按的顺序用线段把各点连接起来． (1)，，，． (2)，，，． 【答案】(1)所求图形，如图所示； (2)所求图形，如图所示． 【分析】按要求描点后连线即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式9-1】（26-27八年级下·全国·课后作业）选择适当的方法，将图中图形的形状告诉你的同学，以便他们能画出相同的图形． 【答案】解：以网格中所在的直线为轴、以图中网格左侧边界为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设每个小方格边长为个单位长度，可得图形各顶点坐标为，，，，，， 将建立平面直角坐标系的方法及图中图形各个顶点的坐标告诉你的同学，在相同大小网格的坐标系中描出各点，再依次连接点，即可画出相同的图形． 【分析】在网格中建立平面直角坐标系，得到图形各个顶点的坐标，将建系方法及图形各顶点坐标告知他人即可画出相同图形，注意：建立平面直角坐标系时，原点位置不同，图形顶点坐标就不同，合理建系得到图形各个顶点坐标是画出相同图形的关键． 【详解】略 【变式9-2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）春天到了，七年级（1）班组织同学到公园春游，出发前李明将部分地点的位置标注在平面直角坐标系中，如图所示，中心广场的坐标为，牡丹园的坐标为． (1)根据以上信息，请在示意图中画出建立的平面直角坐标系； (2)请写出下列各地点的坐标：竹林__________，湖心亭__________，西门__________； (3)表示的位置是__________（填地点名）； (4)已知游乐园，音乐台的坐标分别为和，请在图中标出，的位置． 【答案】(1) 如图为平面直角坐标系． (2)，， (3)望春亭 (4) 如图为、． 【分析】（1）以中心广场为原点，结合牡丹园的位置，按“东为轴正方向、北为轴正方向”的规则，画出平面直角坐标系； （2）根据建立的坐标系，按“先横后纵”的顺序，读取各点到轴、轴的距离和方向，写出坐标； （3）根据坐标，先确定横、纵坐标对应的方向和距离，在网格中定位该点，匹配对应地点名称； （4）根据、的坐标，先确定横、纵坐标对应的方向和距离，在坐标系中标出两点的位置． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可知，竹林的坐标为，湖心亭的坐标为，西门的坐标为． （3）解：根据题意可知，表示的位置是望春亭． （4）略 【变式9-3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； (2)写出点A，D的坐标； (3)写出点关于轴的对称点的坐标，连接，，求出的面积． 【答案】(1) 依题意，平面直角坐标系如图所示： (2)， (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，轴对称的性质，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合点的坐标为，点的坐标为，建立正确的平面直角坐标系，即可作答． （2）直接读取点A，D的坐标，进行作答； （3）先描出的坐标，再运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，，； （3）解：∵点关于轴的对称点的坐标，点的坐标为， ∴的坐标为， ∴的面积． 【进阶拔高】 【题型10 角平分线上点的坐标特征】 【例10】（25-26七年级下·河南周口·期中）若点满足，则点的位置是（  　） A．原点 B．在轴或轴上 C．在第一、三象限的角平分线上 D．在第二、四象限的角平分线上 【答案】D 【分析】先将已知等式变形得到点横纵坐标的关系，再根据平面直角坐标系中不同位置点的坐标特征，判断点的位置即可． 【详解】解：∵， ∴，即点的横纵坐标互为相反数． 根据平面直角坐标系中点的特征： 第一、三象限的角平分线上的点横纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数； 满足的点不止原点，也不都在坐标轴上． 因此点的位置是在第二、四象限的角平分线上． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了第一、三象限的角平分线上点的坐标特点，点在第一、三象限的角平分线上，点的横纵坐标相等，即可求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴． 故选：B． 【变式10-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，解二元一次方程组，解答本题的关键是在第四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数． 根据在第四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数求得m值即可． 【详解】解：∵点在第四象限的角平分线上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴点M的坐标为． 故选：D 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点在x轴的负半轴上，则点P的坐标为________，点P关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据点在x轴的负半轴上，可求出，从而得到点P的坐标，进而得到点P关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标，即可求解 【详解】解：∵点在x轴的负半轴上， ∴ ，解得： ， ∴ ∴点P的坐标为 ； ∴点P关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为 故答案为： ； 【点睛】本题主要考查了x轴上点的坐标特征，点关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标的特征，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0． 【题型11 确定原点位置求点的坐标】 【例11】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________． 【答案】 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 故在此图上熊猫馆位置的坐标是． 【变式11-1】（25-26七年级下·天津津南·期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 【答案】 或 【分析】利用“将”和“象”确定平面直角坐标系的原点与坐标轴，读出炮的坐标；结合中国象棋 “象走田” 的规则，计算“象”下一步的坐标即可． 【详解】解：由“将”和“象”可建立如图所示平面直角坐标系： ①“炮”位于点的坐标是； ②根据中国象棋规则，如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是或． 【变式11-2】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表示瑞金的点的坐标确定原点和坐标轴的位置，据此画出平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则表示吴起镇会师的点的坐标为． 【变式11-3】（25-26七年级下·湖北荆门·期末）北斗七星位于北半球的大熊座，是大熊座的一部分，由七颗明亮的星星组成，因形状如古人盛酒的器皿“斗”而得名．这七颗星从斗身最前端开始，到斗柄的末尾，按顺序依次命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光（瑶光）；建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“天璇”的点的坐标为，则表示“开阳”的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下，则表示“开阳”的点的坐标为． 【题型12 由点到坐标轴距离求坐标】 【例12】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点所在的象限，确定其横坐标、纵坐标的正负值以及大小，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴点M的纵坐标为6， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 【变式12-1】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）点在平面直角坐标系的y轴上，轴，且，点Q坐标为________． 【答案】或 【分析】轴上的点横坐标为，先求出的值得到点坐标；平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为，分左右两种情况计算的横坐标． 【详解】解：点在轴上， ，解得， 把代入纵坐标得：， ， 轴，且， 设，则，解得或， 点坐标为或． 【变式12-2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【答案】或 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，根据距离相等列方程求解，再计算点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 又点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，，，此时点坐标为； 当时，，，此时点坐标为． ∴点的坐标是或． 【变式12-3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知平面直角坐标系中，点在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则P点坐标为______． 【答案】 【分析】先根据第二象限内点的符号特征和题目给出的数量关系列方程求出的值，再代入计算得到点的横纵坐标即可． 【详解】解：点在第二象限， 点的横坐标小于，纵坐标大于，则点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，到轴的距离为横坐标的绝对值，即， 根据题意得， 解得：， 将代入得横坐标，纵坐标， 点坐标为． 【题型13 坐标系中的面积问题】 【例13】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【分析】求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 【变式13-1】（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 【变式13-2】（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【变式13-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在网格中，三角形的三个顶点均为格点，将三角形进行平移，使得点落在处，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)画出三角形，那么点F的坐标为________； (2)点为三角形内的任意一点，则平移后点P的对应点的坐标是________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由A到D平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，按此方式平移B、C得到对应点E、F，顺次连接点D、E、F即可得三角形，根据平面直角坐标系直接读出点F坐标即可； （2）根据点落在处确定坐标变化，即可得点的坐标； （3）用三角形的外接矩形减去三个直角三角形即可得三角形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵平移到处， ∴坐标变化规律为横坐标加，纵坐标减； ∴平移后点P的对应点的坐标是； （3）解：． 【题型14 点平行于坐标轴求参】 【例14】（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了与轴平行的点的坐标特征，熟练掌握与轴平行的点的坐标特征是解题的关键．根据与轴平行的点的坐标特征得到，即可得到答案． 【详解】解：与轴平行的点横坐标相等， ， ， 故， 则线段的长为， 故答案为：． 【变式14-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知点，若点A在过点且与x轴平行的直线上，则线段的长为_________． 【答案】12 【分析】根据点A在过点且与x轴平行的直线上得出，求得的值，进而求得的值即可求解． 【详解】解：点A在过点且与x轴平行的直线上， ，解得， ， ， ． 【变式14-2】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 【答案】7 【分析】由轴可得、两点纵坐标相等，据此可求出的值，再计算线段的长度． 【详解】解：∵轴，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ，纵坐标相等，即， 将代入坐标，可得点坐标为，点坐标为， ∴ 线段的长为． 【变式14-3】（25-26八年级下·四川巴中·期末）点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为________． 【答案】或 【分析】轴上的点横坐标为0，先求出的值，得到点坐标；平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为5，分左右两种情况算出的横坐标． 【详解】点在轴上，轴上点横坐标为0， ， 解得， 把代入纵坐标：， ， 轴，平行轴的点纵坐标相等， 设，， 两点纵坐标相同，距离等于横坐标差的绝对值： ， 即， 解得或 点坐标为或． 【题型15 由坐标系中的平移求参】 【例15】（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【答案】32 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积 ． 故答案为：32． 【变式15-1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用坐标与图形性质得到，，利用平移性质得到，结合已知列方程即可求出m的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，，，， ∴，， ∵三角形沿轴向右平移得到三角形． ∴， ∵， ∴，解得． 【变式15-2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算的值． 【详解】∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 【变式15-3】（25-26七年级下·山东滨州·期中）将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．先根据点坐标平移的规律得到点的坐标，再由轴上点的横坐标为求解即可． 【详解】解：将点向左平移个单位得到， ， 在轴上， ，解得， ， 的坐标是． 故答案为： ． 【题型16 由坐标系中的对称求参】 【例16】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 【变式16-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 【变式16-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【变式16-3】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）若点和点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标规律，二元一次方程组的求解，掌握对称坐标规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程组，求出、的值，进而求出． 【详解】解：已知点和点关于轴对称， 可得， 解得， 则， 故答案为：． 【创新思辨】 【题型17 坐标中的规律探究】 【例17】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】通过观察可知右下标是（除外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， 由变化规律可得：、、、等等在第二象限， 且坐标分别为、、、， ∴点的坐标是． 【变式17-1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）如图，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是______． 【答案】 【分析】设甲、乙第一次相遇时，时间为，用的代数式表示出，，观察图形，结合相遇运动规律得：，即可解出，从而求出甲、乙第一次相遇时，，，进一步分别求出甲、乙第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，相遇点坐标，观察发现，相遇点坐标周期性变化，周期，再用2022除以3即可发现刚好完成674个周期，即可得答案． 【详解】解：设甲、乙第一次相遇时，时间为，则甲的路程为，， ∵，，，， ∴，， ∴， 观察图形，结合相遇运动规律得：， ∴，解得：， ∴甲、乙第一次相遇时，，， ∴甲、乙第一次相遇时，相遇点坐标为：， 第二次相遇时，相遇点坐标为：， 第三次相遇时，相遇点坐标为：， 第四次相遇时，相遇点坐标为：， 第五次相遇时，相遇点坐标为：， 第六次相遇时，相遇点坐标为：， 观察发现，相遇点坐标周期性变化，周期， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标． 【变式17-2】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 【答案】675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． 【变式17-3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形与坐标，发现偶数下标点的坐标呈现规律性变化，每两个点之间横坐标增加3，纵坐标增加1，归纳出点的规律公式求解.． 【详解】解：观察已知点坐标， ，，， ， 偶数项点 的坐标规律为 ． ， 令 ， 点 的横坐标为 ． 纵坐标为 ． ． 【题型18 坐标系中图形存在性问题】 【例18】（25-26七年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知点的坐标为，若点与点互为“等距点”，则的值为____ ；已知两点的坐标分别为，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是____  ． 【答案】 【分析】先依据“等距点”横纵坐标差值相等的定义列式求出①的值；②先根据定义建立关系式，结合在线段上得出的取值范围，代换得到关于的不等式，求解后除去重合情况得到范围． 【详解】解：①根据“等距点”的定义，对于点和点，需满足， 即， 解得； ②设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为， 得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 【变式18-1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）在方格中位置如图，，，． (1)把向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的，并写出、、的坐标； (2)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为______． (3)在x轴上存在一点D，使的面积等于3，求满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)如图所示； (2) (3)点或． 【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；根据平面直角坐标系写出、、的坐标即可； （2）根据平移的规律：上加下减，左减右加直接求解即可得到答案； （3）根据三角形的面积求出的长度，再分两种情况求出的长度，然后写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：作图：略； 根据图象得，，； （2）解：∵向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，是内部一点， ∴； （3）解：的面积， 解得， 点在的左边时，， 此时，点， 点在的右边时，， 此时，点， 综上所述，点或． 【变式18-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，A，B，C三个点的坐标分别为，，，下列说法正确的是（     ） A．存在m的值，使得B在C的右上方 B．存在m的值，使得A，B，C在同一条直线上 C．当时，存在m的值，使得A在B的上方 D．当时，存在m的值，使得轴 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征，结合点的位置关系、三点共线、直线平行于坐标轴的判定方法，逐个分析各选项即可求解． 【详解】选项A，若点B在C的右上方， 则 此不等式无解， 所以选项A错误，不符合题意； 选项B，因为A和B横坐标相同， 所以直线是垂直于x轴的直线 若三点共线，只需点C在直线上，即， 解得， 所以存在这样的m， 所以选项B正确，符合题意； 选项C，若A在B上方，则， 解得， 这与矛盾， 所以不存在满足条件的m， 所以选项C错误，不符合题意； 选项D，若轴， 则， 解得， 这与矛盾， 所以不存在满足条件的m， 所以选项D错误，不符合题意； 综上所述，正确答案为B． 【变式18-3】（2025·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出点是解题的关键． 先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出，，再比较即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，，， 当点C坐标为时， ∴， ∴ ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 当点C坐标为时， ∴， ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴， ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 综上，可作为点的有和，共2个， 故选：B． 【题型19 坐标系中由图形面积求点的坐标】 【例19】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），B（1，4），BC∥y轴与x轴交于点C，轴与y轴交于点D，向下平移四边形ADBC，使点D的对应点为DO的中点E，此时AD的对应线段与x轴的交点恰好为AO的中点F，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】6.5 【分析】由题意四边形EPQT是由四边形DBCA平移得到，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】由题意，E（0，2），J（-1.5，0），C（1，0），T（-3，-2），Q（1，-2）． ∵四边形EPQT是由四边形DBCA平移得到， ∴， ∴=×（2.5+4）×2=6.5， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是证明． 【变式19-1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在长方形中，点是平面直角坐标系的原点，点坐标为，有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到点停止运动．在点移动的过程中，当三角形的面积是8时，点坐标是______________________． 【答案】或或 【分析】我们先根据长方形和 确定各顶点坐标，再按的运动路线分三段讨论：①当在上（），设 ，利用，解得，得 ，②当在上（），设 ，利用，解得，得 ，③当在上（），设 ，利用，解得，得 ． 【详解】解：在长方形中， ∵点是平面直角坐标系的原点，点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为， 设点移动的时间为， ①当在上（）， 则点坐标为， ∴， 解得， ∴ ， ②当在上（）， 则点坐标为，， ∴， 解得， ∵， ∴ ， ③当在上（）， 则，点坐标为，， ∴， 解得， ∵， ∴ ， 综上，点坐标是或或． 【变式19-2】（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【变式19-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，掌握坐标与平移的关系是解题的关键． 设，由点的坐标、平移可得到、、的长度，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去的面积，得到关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】解：设． ∵点，点的坐标为，线段向右平移3个单位长度得到线段， ，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【题型20 动点问题与坐标系综合】 【例20】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，在原点，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿以的速度向点运动，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为________时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】当时，四边形是平行四边形，由此列方程解决即可． 【详解】解：，在原点，，， ，，． 当时，四边形是平行四边形， ， ． 【变式20-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，连接，． (1)请求出点和点的坐标； (2)请判断与的数量关系，并说明理由； (3)点从点出发，以每秒个单位的速度向上运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)． 理由如下： 由平移可得， ， 由平移可得， ， ； (3)存在， 【分析】（1）由平方非负性、绝对值非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可； （2）由平移性质得出平行线，再由平行线的性质求证即可； （3）过点作的延长线，垂足为点，连接，，由题意得出相关点的坐标，即可确定相关线段长度，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 由得， 则，解得， ，； （2）略 （3）解：存在． 过点作的延长线，垂足为点，连接，，如图所示： 运动时间为秒， 点的坐标为， ， ，， 由题意得点和点的坐标分别为和， ，，，轴， ， ，即，解得， 当时，四边形的面积等于． 【变式20-2】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） (2)当时，的面积为__________； (3)①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）①当点运动到线段上时，，计算即可； ②当的面积为时，分三种情况讨论：点在线段上，在线段上，在线段上，分别求出的面积和运动时间之间的数量关系，再把分别代入求出的值并判断是否符合题意． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点是的中点， 点的坐标为， ∴． 四边形是正方形，且点在第一象限， ∴，， 点的坐标为． ∵，， ∴， ∵点P以每秒个单位长度的速度运动， ∴点在线段上时，， ∴． （2）解：，点的速度为每秒个单位长度， 点从点运动到点用时秒， 当时，点已经经过点，进入到线段上， ． （3）①当点运动到线段上时，，点在上的移动距离为， 点的横坐标为，即， ； ②当的面积为时，分三种情况讨论： 情况：当点在线段上时，，点的横坐标， ， 令，即， 解得，不符合题意，舍去； 情况：当点在线段上时，，点的横坐标一直为， 此时，所以点不可能在线段上，不符合题意，舍去； 情况：当点在线段上时，，把直接代入①中， 即，解得，因为，符合题意． 综上所述，当的面积为时，点在线段上，． 【点睛】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． 【变式20-3】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，，现有两动点，分别从，同时出发，在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止．在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止，设运动时间为秒． (1)点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)求线段与线段的长度（用含的代数式表示）； (3)当的面积与面积相等时，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）结合长方形两边在坐标轴上及、长直接写出点、、的坐标即可； （2）根据速度和时间表示出、，由线段和差关系表示出、即可； （3）先求出、，分别用含的式子表示与的面积，根据面积相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由题意得，， ∴，； （3）解：∵长方形中，， ∴，， ∴，， 当的面积与面积相等时， ， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 位置与坐标（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 由坐标判断点所在象限】 1 【题型2 由象限判断坐标的符号】 2 【题型3 坐标变换-平移】 2 【题型4 坐标变换-轴对称】 3 【题型5 中点坐标】 4 【题型6 求点到坐标轴的距离】 4 【题型7 平行于坐标轴的点的特征】 4 【题型8 坐标轴上点的坐标特征】 5 【题型9 坐标系中描点】 5 【进阶拔高】 7 【题型10 角平分线上点的坐标特征】 7 【题型11 确定原点位置求点的坐标】 7 【题型12 由点到坐标轴距离求坐标】 8 【题型13 坐标系中的面积问题】 9 【题型14 点平行于坐标轴求参】 10 【题型15 由坐标系中的平移求参】 10 【题型16 由坐标系中的对称求参】 11 【创新思辨】 11 【题型17 坐标中的规律探究】 11 【题型18 坐标系中图形存在性问题】 13 【题型19 坐标系中由图形面积求点的坐标】 14 【题型20 动点问题与坐标系综合】 15 【夯实基础】 【题型1 由坐标判断点所在象限】 【例1】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）点在平面直角坐标系的（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点位于第___________象限． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，点一定不在第____________象限． 【题型2 由象限判断坐标的符号】 【例2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）已知点不在第二象限，则的取值范围是____________． 【变式2-2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的值可以是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【变式2-3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型3 坐标变换-平移】 【例3】（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是：先向______________平移______________个单位长度，再向______________平移______________个单位长度． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是______． 【变式3-3】（25-26七年级下·天津宝坻·期中）已知长方形的三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型4 坐标变换-轴对称】 【例4】（25-26八年级下·河南周口·期中）点关于x轴对称的点的坐标是________． 【变式4-1】（2026·山西阳泉·二模）如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东日照·开学考试）在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【变式4-3】（24-25八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【题型5 中点坐标】 【例5】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【变式5-2】（25-26八年级下·广西贵港·期中）若点与点关于点对称，则的值是多少(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【题型6 求点到坐标轴的距离】 【例6】（25-26七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）点到轴的距离为（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式6-2】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度后，再向左平移4个单位长度得到点，则点到轴的距离为__________． 【变式6-3】（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【题型7 平行于坐标轴的点的特征】 【例7】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，线段与y轴平行，则点F的坐标可能是_______．（写出一个即可） 【变式7-1】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点在直线l上，直线l与x轴平行．若点B是直线l上异于点A的一点，则点B的坐标可以是______．（写出一个即可） 【变式7-2】（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标是，与x轴平行，且，则点N的坐标为______． 【变式7-3】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点的坐标为，，并且与坐标轴平行，点在轴的上方，则点的坐标为______． 【题型8 坐标轴上点的坐标特征】 【例8】（25-26七年级下·山东德州·期末）已知点在y轴上，则P的坐标是_________． 【变式8-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如果点在x轴上，则M点坐标为________． 【变式8-2】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式8-3】（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知，点在轴上且，则点的坐标是__________． 【题型9 坐标系中描点】 【例9】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，描出下列各点，并按的顺序用线段把各点连接起来． (1)，，，． (2)，，，． 【变式9-1】（26-27八年级下·全国·课后作业）选择适当的方法，将图中图形的形状告诉你的同学，以便他们能画出相同的图形． 【变式9-2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）春天到了，七年级（1）班组织同学到公园春游，出发前李明将部分地点的位置标注在平面直角坐标系中，如图所示，中心广场的坐标为，牡丹园的坐标为． (1)根据以上信息，请在示意图中画出建立的平面直角坐标系； (2)请写出下列各地点的坐标：竹林__________，湖心亭__________，西门__________； (3)表示的位置是__________（填地点名）； (4)已知游乐园，音乐台的坐标分别为和，请在图中标出，的位置． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； (2)写出点A，D的坐标； (3)写出点关于轴的对称点的坐标，连接，，求出的面积． 【进阶拔高】 【题型10 角平分线上点的坐标特征】 【例10】（25-26七年级下·河南周口·期中）若点满足，则点的位置是（  　） A．原点 B．在轴或轴上 C．在第一、三象限的角平分线上 D．在第二、四象限的角平分线上 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点在x轴的负半轴上，则点P的坐标为________，点P关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为_________． 【题型11 确定原点位置求点的坐标】 【例11】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是和，则在此图上熊猫馆位置的坐标是_____________． 【变式11-1】（25-26七年级下·天津津南·期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 【变式11-2】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26七年级下·湖北荆门·期末）北斗七星位于北半球的大熊座，是大熊座的一部分，由七颗明亮的星星组成，因形状如古人盛酒的器皿“斗”而得名．这七颗星从斗身最前端开始，到斗柄的末尾，按顺序依次命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光（瑶光）；建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“天璇”的点的坐标为，则表示“开阳”的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型12 由点到坐标轴距离求坐标】 【例12】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）点在平面直角坐标系的y轴上，轴，且，点Q坐标为________． 【变式12-2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【变式12-3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知平面直角坐标系中，点在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则P点坐标为______． 【题型13 坐标系中的面积问题】 【例13】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，则的面积是___________． 【变式13-1】（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【变式13-2】（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【变式13-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在网格中，三角形的三个顶点均为格点，将三角形进行平移，使得点落在处，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)画出三角形，那么点F的坐标为________； (2)点为三角形内的任意一点，则平移后点P的对应点的坐标是________； (3)求三角形的面积． 【题型14 点平行于坐标轴求参】 【例14】（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为______． 【变式14-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知点，若点A在过点且与x轴平行的直线上，则线段的长为_________． 【变式14-2】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知点A的坐标是，点B的坐标是，且轴，则线段的长为______ ． 【变式14-3】（25-26八年级下·四川巴中·期末）点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为________． 【题型15 由坐标系中的平移求参】 【例15】（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【变式15-1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【变式15-3】（25-26七年级下·山东滨州·期中）将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 【题型16 由坐标系中的对称求参】 【例16】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 【变式16-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【变式16-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式16-3】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）若点和点关于轴对称，则_____． 【创新思辨】 【题型17 坐标中的规律探究】 【例17】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 【变式17-1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）如图，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是______． 【变式17-2】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 【变式17-3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型18 坐标系中图形存在性问题】 【例18】（25-26七年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知点的坐标为，若点与点互为“等距点”，则的值为____ ；已知两点的坐标分别为，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是____  ． 【变式18-1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）在方格中位置如图，，，． (1)把向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的，并写出、、的坐标； (2)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为______． (3)在x轴上存在一点D，使的面积等于3，求满足条件的点D的坐标． 【变式18-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，A，B，C三个点的坐标分别为，，，下列说法正确的是（     ） A．存在m的值，使得B在C的右上方 B．存在m的值，使得A，B，C在同一条直线上 C．当时，存在m的值，使得A在B的上方 D．当时，存在m的值，使得轴 【变式18-3】（2025·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【题型19 坐标系中由图形面积求点的坐标】 【例19】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），B（1，4），BC∥y轴与x轴交于点C，轴与y轴交于点D，向下平移四边形ADBC，使点D的对应点为DO的中点E，此时AD的对应线段与x轴的交点恰好为AO的中点F，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式19-1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在长方形中，点是平面直角坐标系的原点，点坐标为，有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到点停止运动．在点移动的过程中，当三角形的面积是8时，点坐标是______________________． 【变式19-2】（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【变式19-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    【题型20 动点问题与坐标系综合】 【例20】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，在原点，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿以的速度向点运动，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为________时，四边形是平行四边形． 【变式20-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，连接，． (1)请求出点和点的坐标； (2)请判断与的数量关系，并说明理由； (3)点从点出发，以每秒个单位的速度向上运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【变式20-2】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） (2)当时，的面积为__________； (3)①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． 【变式20-3】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，，现有两动点，分别从，同时出发，在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止．在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止，设运动时间为秒． (1)点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)求线段与线段的长度（用含的代数式表示）； (3)当的面积与面积相等时，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $