第三章 位置与坐标（2核心+9题型+3难点+复习讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格与分点梳理构建“确定位置-坐标系概念-坐标特征-图形变换”知识体系，用对比表格呈现有序数对与“方位角+距离”定位法差异，分点解析象限符号、对称规律等要点，清晰标注重难点分布与内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，从基础的“由坐标描点”到难点的规律探究题，结合“右加左减”平移口诀培养空间观念，新定义题型如“k伴随点”提升推理意识。每个题型配解题要点，基础生掌握方法，优秀生深入探究，助力教师实施精准分层教学。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章位置与坐标 复习目标 1.理解确定物体位置的方法，能区分有序数对定位法（行列定位）与“方位角+距离”定 位法的适用场景和表达方式。 2.掌握平面直角坐标系的概念及组成，能准确区分四个象限内点的坐标符号特征，理解 坐标轴上的点不属于任何象限。 复习要点 3.掌握“由点写坐标”和“由坐标描点”的双向技能，理解平面上的点与有序实数对之 间的一一对应关系。 4.掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能区分两种对称变换坐标变化的差异 (x不变y变号Vsy不变x变号)。 5.理解点到坐标轴的距离与坐标绝对值的对应关系，能区分距离（非负数）与坐标（可 正可负)的不同。 重点：平面内点的坐标表示方法，建立适当的平面直角坐标系描述物体位置，以及利用 轴对称的坐标规律解决实际问题。 复习重难点 难点：建立平面直角坐标系的优化方案，以及坐标变化与图形变换之间关系的灵活运 用。 理脉络 知识体系构建 有序数对 确定位置 方位角与距离 定义 平面直角坐标系 坐标轴 象限 各象限内符号 有序数对顺序混淆 位置与 知识梳理 点的坐标特征 坐标轴上特征 象限符号判断错误 平行于坐标轴直线 易错点 坐标轴上点归属误判 关于x轴对称 对称变换坐标公式记错 学法指导 崇 轴对称与坐标变化 关于y轴对称 坐标系中点的坐标确定 关于原点对称 对称变换求坐标 左右平移 高频考点 图形平移与坐标变化 平移变换求坐标 上下平移 利用坐标求图形面积 1/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主千 核心内容整合 知识点 平面直角坐标系 1.有序数对 有顺序的两个数α与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做 这个点在数轴上的坐标 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方▣为正方 向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴 上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，α点对应x轴的数值为横坐标，b点对应 y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（αb),书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗 号 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴 上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之 外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标)的坐标和它对应：反过 来，对于任意一对有序实数(x,y)在坐标平面内都有唯一的一点M,即坐标为(x,y)的点和它对应，也 就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第I象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）， 注：i、坐标轴(x轴、y轴)上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标 也相应发生改变 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为(0,0)： ②第一象限内的点，x、y同号，均为正： ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负： ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负： ⑥横轴(x轴)上的点，纵坐标为0，即(x,0)，所以，横轴也可写作：y=0(表示一条直线) 2/28 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⑦纵轴(y轴)上的点，横坐标为0，即(0，y),所以，纵横也可写作：x=0（表示一条直线) 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴(y轴)的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴(x 轴)的距离 注：①己知点的坐标求距离，只有一个结果，但己知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A(x,y)、Bx2,y2)之间的距离公式为：d=-x2+2- 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A'（a,-b),特点为：x不变，y相反： ②一个点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A'(-4,b),特点为：y不变，x相反： ③一个点A(ab)关于原点对称的点的坐标为A'(-a,-b),特点为：x、y均相反， 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴(x轴)的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=(α为 纵坐标)的形式，α的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差 的绝对值： ②平行于纵轴(y轴)的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b(b为 横坐标)的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差 的绝对值」 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数（异号） 口要点速测 1.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列语句中，不能确定物体位置的是() A.某影院第1放映厅第5排10号座位 B.东经118°，北纬37 C.王婷家在新华小区，住8楼 D.象山港的北偏东48°，距离12海里处 2.(25-26七年级下·湖北咸宁·期末)下列说法正确的是() A.点化，a）在第四象限 B.若b 0,则Pa 在坐标原点 -3,2) C.点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为 3/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （-1,-2 ,且B平行于x轴， AB=5 D.在平面直角坐标系中，若点A的坐标为 则点B的坐标为 (4,-2) P(2a-2,a+5) 3.(25-26七年级下·河北石家庄阶段检测)已知点 解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值： 4,5 (2)若点Q的坐标为 ,直线PO轴，求出点P的坐标 (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值， 知识点 图形在坐标系中的平移 1.点的平移 在平面直角坐标系中， 将点(x,y)向右平移a个单位长度，可以得到对应点(x土a,y): 将点(x,y)向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x二a,y);“左减右加” 将点(x,y)向上平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y土b); 将点(x,y)向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y二b),“下减上加” 2.图形的平移 在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数α，相应的新图形就是把原 图形向右（或向左）平移α个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a,相应的新 图形就是把原图形向上（或向下）平移α个单位长度： 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 位置 特点 示例 原来点的坐标为(a,b), 关于x轴对称的两个 横坐标不变，纵坐标 关于x轴对称后点的坐标 点的坐标 互为相反数 为(a,-b) 原来点的坐标为(a,b), 关于y轴对称的两个 横坐标互为相反数 关于y轴对称后点的坐标 点的坐标 纵坐标不变 为(-a,b) 4.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形 面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差： 4/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如 矩形或梯形)与一个或几个较小的三角形面积之差 要点速测 4.（25-26七年级下四川达州期末)如图，已知△18C的三个顶点坐标分别为1,2）B(4,) C(-2,-2) B (I)作出△ABC关于x轴对称的△4B'C',并写出点A,B',C'的坐标： (2)在x轴上取一点P,使PA+PB最短，请画出点P并直接写出点P的坐标. 5.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)定义：对于平面直角坐标系中的点 M(a,b),若点N的坐标为 (a+kb,b+ak) (其中k为大于O的常数)，则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题. 备用图 备用图 0)点俱-2）的2件随点的坐标为 点(%3) 的5伴随点的坐标为 (2)如图，若点 0,m）在y轴的正半轴上，点B为，点A的k伴随点，连接4B,OB,若4B=210,三角形 AOB的面积为9，求L的值： (3)在2)的条件下，过点B作BC⊥r轴于点C,点D为x轴正半轴上的动点，直线AD与直线BC相交于 5/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B,以0、A、日、C为顶点的四边形的面积记为，三角形BDE的面积记为 S S,S-S:是否为定值，如 果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由 研题型 高频题型突破 题型1定位法的应用 ■例1(25-26八年级下·广东深圳开学考试)下列描述能准确表示深圳市盐田区位置的是() A.深圳市东部 B.约北纬22°，东经114 C.与香港毗邻 D.惠州西南方向 解题要点 1.抓参照与方向：先明确参照点（如原点）和规定方向（数轴正方向），利用“右大左小”或坐标系 象限规则，结合己知条件估算或精确计算目标位置。 2. 数形结合转化：将代数式（如绝对值、平方根）与几何距离对应，利用数轴上的距离公式( b)或勾股定理，将抽象数值转化为直观图形位置来求解。注意定位要精确到区间或点。 ■迁移练1-1(25-26八年级上·山东济南期末)在平面内，下列数据不能确定物体位置的是() A.钱塘明月4号楼301室 B.广州塔南偏西30°方向 C.东经108°，北纬53 D.庆春电影院1号厅的3排4座 ■迁移练1-2(25-26七年级上广东茂名·期末)茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示， A,B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东40°方向上，∠AOB=110°，则B在博贺渔港O的 西 东 B 南 A.南偏东30°方向 B.南偏东50°方向 C.南偏西30°方向 D,北偏西50°方向 6/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练1-3(25-26八年级上·山东聊城·期末)在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探 测器测得六个目标点A,B,C,D,E,F按照规定的目标表示方法，目标点A,B的位置分别表示为 (6,120）(3,30) 按照此方法在表示目标C,D,E,F的位置时，其中表示正确的是()， 1209 90° 60° 150° 30° 180° -0° 23456 2109 330° 240° 270°300° A C(4,180) D(90°，2) c.E(4,330) D.F(L160) 题型2判断点所在的象限 例2(25-26八年级上山东潍坊期末)在平面直角坐标系中，点 (-2026,2026) 所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解题要点 1. 看横纵坐标符号：根据点P(x,y)的坐标符号确定象限。第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、 第三象限(-，-)、第四象限(+，-)。坐标轴上的点(x=0或y=0)不属于任何象限。 2. 含参讨论与化简：若坐标含参数（如m、k),需先分析参数范围或解不等式确定符号，再判断象限， 注意先化简含根式或绝对值的坐标表达式，明确正负后再定位。特殊点在坐标轴上需单独说明。 迁移练21(25-26八年级上陕西汉中期末)若点A(a,b)在第二象限，则点B(b,-b)所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1迁移练22(25：26八年级上陕西汉中期末)在平面直角坐标系中，点P口+1,2025 所在的象限是 () ○A.第一象限 B.第二象限 7/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.第三象限 D.第四象限 ■迁移练2-3(25-26八年级上江苏泰州期末)在平面直角坐标系中，点 (m2+2026,-1）-定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型3已知点所在的象限求参数 1例3(2526八年级上江苏扬州期未)若点4(m4)在第一象限，则点 B(-m,4)在第一象限， 解题要点 1.由象限列不等式组：根据象限确定横纵坐标的符号要求，列出关于参数的不等式（组）。如点P (m,n)在第二象限，则m<0且n>0,再分别求解参数范围。 2.取交集与排除轴点：分别解出各不等式，取交集即得参数范围。若参数使点落在坐标轴上（即x=0 或y=0),需排除，因为坐标轴上的点不属于任何象限。注意含绝对值或根式时需先化简再列式。 ■迁移练3-1(25-26八年级上·福建漳州期末)已知点 P(-1,m-2) 在坐标轴上，则m= 1迁移练32(2026八年级下河北专题练习)若点P(+1m川-)在x轴上，则m的值为 ■迁移练3-3(25-26八年级上·山东潍坊期末)点 P(2a+1,2a+3) 在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相 等，则a22的平方根为 题型4求点到坐标轴的距离 1例4(25-26八年级下全国课后作业)己知点4(3，-6)，则点A到x轴的距离为 一，到y轴的距 离为 8/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1,距离公式：点P(x,y)到x轴的距离为y(纵坐标的绝对值)，到y轴的距离为x(横坐标 的绝对值)。距离是非负数，结果不能带符号。 2.与象限结合：若已知点所在象限，可先判断坐标正负，再脱去绝对值。若己知距离求坐标，需分情 况讨论（如距离为3，则纵坐标为士3），注意结合象限条件取舍。含参数时同样用绝对值列式。 ■迁移练41(25-26七年级上山东淄博月考)若点 P(a,b) 在第四象限，且点P到x轴的距离为4，到原 点的距离为5，则点P的坐标为 P(m-2,2m+2） Ⅱ迁移练42(25-26八年级上江苏无锡月考)已知平面直角坐标系中一点 到两坐标轴的 距离相等时，则m=一， 1迁移练43(2526八年级上陕西成阳月考)在平面直角坐标系中，点P心-)，点(m,川)，若P0 轴，且P2=3,则m-n= 题型5根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 ■例5(25-26七年级上·山东青岛·期末)在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记 的点C处，只告诉大家两个标志点4,8的坐标分别为3(-23)，以及点C的坐标为32)（单位： km). 北 B (1)请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置： (2)计算△ABC的面积. 9/28 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1. 准确描点：先在x轴上找到横坐标位置，过该点作x轴垂线；再在y轴上找到纵坐标位置，过该点 作y轴垂线：两垂线交点即为所求点。注意单位长度要一致。 2.连线成图：将各点按题目要求依次连接（如描点连线成函数图象、三角形或多边形）。连线时需判 断是否用平滑曲线或直线段，并标注点坐标和关键位置（如顶点、交点）。注意图形完整性与规范性。 ■迁移练5-1(25-26八年级上浙江台州期末)台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐 步融入台州市民生活.下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位 -2,3) 3,-6) 长度.若泽国站的坐标为 城南站的坐标为 ,请按要求解答下列问题： ◆泽国站 ◆温岭火车站站 温岭第一人民医院站 万昌路站： f--1----1----- ....。城南站 (1)在图中建立合适的平面直角坐标系： (2)温岭第一人民医院站的坐标为 一，万昌路的坐标为 (3)若泽国站在万昌路站的北偏西18°方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ ■迁移练5-2(25-26九年级上四川攀枝花月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形， 己知火车站的坐标为 (2,2) 文化馆的坐标为1) 体育场 市场 文化馆 火车站 超市 10/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标： 0,5)（-2,-2) (3)已知游乐场A,图书馆B的坐标分别为 请在图中标出A,B的位置. ■迁移练5-3(25-26八年级上：内蒙古包头·期中)某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的 边长均为1个单位长度. 北 学校 东 图书馆 超市 0广产场 博物馆 大剧院 ()请以广场为原点，以正东方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系： (2)写出博物馆和大剧院的坐标； (3)若超市与图书馆所在的直线为1，大剧院到直线1的距离是多少个单位长度？ 题型6点在平面直角坐标系中的平移 【例6(2026八年级下河北专腿练习)在平面直角坐标系中，将点P2- 沿x轴负方向平移3个单位， 再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点P的坐标是 解题要点 1.坐标变化规律：点P(x,y)向右平移a个单位得(x+a,y),向左得(x-a,y);向上平移b个 单位得(x,y+b),向下得(x,yb)。口诀“右加左减，上加下减”。 2.逆向平移：若已知平移后的坐标求原坐标，则反向操作（如向右平移后坐标x=x+,求x则x=x- a)。多次平移可叠加，注意顺序不影响最终结果。含参数时列方程求解。 1迁移练61(2526人年级上山东威海期末)在平面直角整标系中，点1(2)，点8B- ，平移线段 B,使点4落在点4(2,2》处，则点P的对应点8的坐标为 11/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【证移练62(25-26八年级上·全国假期作业)如图，点4、B的坐标分别为4,0)、(（0,2 2),将线段4B平 移至48时得到4、B两点的坐标分别是 ，b)、a,4),则a+b= B1(a,4) B(0,2) A1(3,b) A(1,0) 衣 迁移练63(25：26九年级上：四川攀枝花月考)如图、△18C的三个顶点坐标分别为1(-3,4) B(-4,3).C-1,3) 将△ABC沿B0方向平移得到△ABC,其中点B'与原点O重合.则点A的坐标为 C 5-4-3-2-10B12345x 题型7平面直角坐标系中的平移作图 ■例7(25-26七年级下·广西南宁·开学考试)把三角形ABC放在直角坐标系中如图所示，现将三角形 4BC向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形 BC 12/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 B -4-3-2-1N 01 ABC (1)在图中画出三角形 (2)写出、 的坐标； (3)求AC在平移过程中扫过的面积. 解题要点 1.确定平移方向与距离：先明确沿x轴（左右）和y轴（上下）的平移量，得到对应点坐标变化规则 (右加左减x,上加下减y)。按规则计算出各关键点的新坐标。 2. 描点连线：根据新坐标在坐标系中准确描点，再用相应线段或曲线依次连接，形成平移后的图形。 注意保持原图形形状和大小不变，标注平移方向或对应点字母（如A的对应点A')。 ■迁移练7-1(25-26八年级上·浙江杭州：月考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面 直角坐标系. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为 A(-1,4),B(-4,3),C(-3,1) B 3 5-4-3-2-10 2345 3 (I)把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A'BC',点A,B,C的对 应点分别是点A,B,C',请你在平面直角坐标系中画出三角形AB'C' 13/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D,在图中画出点D,直接写出点D 的坐标 迁移练72(25-26七年级下河南郑州期末)如图，在平面直角坐标系0中，1(-1,5)，B(-1,0), C(-4,3) 4 3 2 B -5-4-3-2-191.234.5x 2 (1)在图中画出△ABC △ABC 向右平移5个单位，再向下平移4个单位的 A,B,C (2)写出点 的坐标： (3)在 △ABC 外部能否找到一点P,使 AP∥ABAP=AB 且 ,如果能，请直接写出点P的坐标，如果不能 请说明理由. ■迁移练7-3(2025安徽芜湖三模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图 所示的平面直角坐标系，△ABC为格点（网格线的交点）三角形. 0 B 14/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移’个单位长度，得 A,B,C △ABC ,画出平移后的 (2)画出△ABC关于y轴对称的△A,B,C,: 3)用无刻度直尺在AC边上作一点F,使∠ABF=45°（保留作图痕迹）. 题型8平面直角坐标系的性质求解 ■例8(25-26七年级上山东威海期末)己知点 P(-4a-5,3a+1) (1)若点 M(3,7 ,且PM∥x轴，求点P的坐标； (2)若点P到x轴、'轴的距离相等，且在第四象限，求点P的坐标. 解题要点 1.对称性与距离：关于x轴对称点(x,-y),关于y轴对称点(-x,y),关于原点对称点(-x,-y)。 两点间距离公式d=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2],中点坐标公式(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。 2.坐标与几何结合：利用坐标表示线段长度（水平或竖直线段用横纵坐标差）、面积（底乘高），结 合平行线性质（横纵坐标关系）和勾股定理建立方程。注意分类讨论对称轴位置及图形位置。 ■迁移练8-1(25-26七年级下·全国期中)已知点P的坐标为 2a-3,a+6 ,解答下列各题 ①若点P的坐标为8,3引，直线P0/>辅，求出点P的华标， (②)若点P在第二或第四象限的角平分线上，求a225+2025的值. (2m+5,3m-3) ■迁移练8-2(25-26八年级上·安徽合肥月考)已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (1)若点P的横坐标比纵坐标大4，求m的值： A(-5,1) (2)若点P在过点 且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 P(3m+2,5-m) ■迁移练8-3(25-26七年级上山东泰安·期末)已知点 根据下列条件求点P的坐标. (1)点P在x轴上： (2)点P的横坐标比纵坐标小4： 15/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点P在第二、四象限的角平分线上： (4)点P到x轴的距离为3. 题型9在平面直角坐标系中求图形的面积 例9(25-26七年级下·天津西青期末)如图1，在平面直角坐标系中，0为原点，己知 (0,a) B(6,m川，且a,b满足关系式：a-3+(b-2=0,其中>0，连接4B,OB VA 图1 图2 (1)填空：a= b= 一，三角形AOB的面积是 (2)点C是x轴上一点，连接AC,延长AB与x轴相交于点D. ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形AOC的面积与三角形AOB的面积相等时，求点C的坐标： 21 ②若三角形OBD的面积等于三角形AOB面积的一半，三角形ACD的面积等于2，求点B,C,D的坐标， 解题要点 1,割补法转化：对不规则图形，用割补法转化为规则图形（如矩形、三角形）的和或差。优先选择水 平或竖直边作底，用坐标差求边长（如水平边=x~x2,竖直边=y1y2)。 2.公式法直接求：若图形为三角形，常用铅垂高×水平宽：2（过顶点作竖直辅助线求高）；若为多 边形，可分割成若干三角形求和。注意用坐标差计算高时取绝对值，避免负数。面积结果非负。 ■迁移练9-1(25-26七年级下·重庆渝北期中)如图1，在平面直角坐标系中，已知 a,0）.B6.0）,其 中，b满足Va+3+b-2=0 16/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 环 A B A B ⊙ O C 图1 备用图 (1)填空：a= b= (2)若在第四象限内有一点 P(2,m ,请用含m的式子表示△ABP的面积： (3)在(2)条件下，线段AP与'轴相交于C,当m=-2时，点D是'轴上的一动点，当满足△APD的面 积是△ABP的面积的2倍时，求点D的坐标. ■迁移练9-2(25-26七年级下辽宁大连期末)如图，在平面直角坐标系中， A0,4),B(6,0),把△40B沿 射线AB向右下平移得到△CDE,CD交线段OB于点M. A M O B ·备用图 3-2) (1)如果点D的坐标为 则C、E两点的坐标分别为一 (2)连接OD,在(I)的条件下，△BCM的面积等于3，求△ODM的面积： (3)在△AOB沿射线AB向右下平移的过程中，△ODM的面积能否比△BCM的面积大4？若能，请求出此时 点M的坐标，若不能，请说明理由 Ⅱ迁移练9-3(25-26七年级下辽宁大连月考)综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A坐标为 ,m),点B坐标 为a0）,点C坐标为仁，m) (1)求△ABC的面积. 【解决问题】 17/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若m=3,n=-2,c=-4,求四边形AOBC的面积. 【深入探究】 (3)在(2)的条件下，过OB中点M作直线MN∥y轴交AB于点N,求点N的坐标. 【拓展延伸】 (4)在(2)的条件下，点P的坐标为 ,-少，在轴上是否存在点M,使三角形48M的面积等于四边 形OPBA面积的3倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由， 破难点方法聚焦透析 难点一点在平面直角坐标系中的规律探究问题 难点1：横纵坐标的同步与异步变化识别 动点坐标可能沿直线、折线或跳跃式变化，横纵坐标有时同步递增，有时以不同步长交替变化。难点在于 将两列数列分别拆解分析，并识别其各自的周期、等差或等比特征，若混为一列则规律难以捕捉。 难点2：周期性方向的几何转译 当动点沿特定图形（如正方形、三角形）循环运动时，需结合图形边长将步数转化为坐标增量。难点在于 用取余运算定位周期内位置，并区分正方向与反方向导致的坐标正负变化，稍不慎则周期偏差。 口难点精练 1.（25-26七年级上山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，A1,1,8(-1,山，C(-1,-2) D(1,-2) 一只蚂蚁从4点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿 A→B→C→D→A→B→C→D·的方向在四边形ABCD的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在 位置的坐标是 18/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 2.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，点 ，B,B,…均在边长均为1个单 P0,0),P(0,1),P(1,1),P(1,-1),P(-1,-1)P(-1,2),… 位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列， 根据这个规律，点 a的坐标为 D P. 3.在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度， 其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题 y个 A3 A A7 As 点的坐标为 A 点的坐标为 点4的坐标为 , An的坐标 为 (2)直接写出点到点 “的距离： 难点二平面直角坐标系中的新定义型问题 19/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点1：新定义向坐标运算的等价转化 题目定义如“等距点”“共轭点”等非标准概念，需将其转化为两点间距离或中点坐标等可计算形式。难 点在于精准剥离文字信息，建立含参方程或不等式，若转化偏差则后续求解失去根基。 难点2：新定义与图形位置的复合限制 新定义常与象限、坐标轴或特定区域结合，需在几何图形（如三角形、圆)的边界内检验。难点在于求解 后返代验证是否满足所有位置约束，分类讨论时极易忽略边界条件或区域限定，导致解集范围扩大。 口难点精练 1.(25-26八年级上全国期中)在平面直角坐标系x0中，对于点 (x,y) 若点2的坐标为 (ax+y,x+ay) 其中“为常数，则称点P是点P的“a级关联点”例如，点P,4) 的“3级关联点”为 (3x1+4,1+3x4),即(7,13) )已知点4(-2,6)的“2级关联点”是点4，求点4的坐标 (2)已知 M(m-1,2m)的-3级关联点”M'位于'轴上，求点M'的坐标。 2.(25-26八年级上甘肃兰州月考)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较 大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. ①点13,5)的“长距”为一 (2)若点 (4-2a,-2)是“角平分线点”，求“的值： C(-2,3b-2) C 9-2b,-5) (3)若点 的长距为4，且点C在第二象限内，点的坐标为 请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由， 3.在平面直角坐标系中，对于P,Q两点给出如下定义：点P到x,y轴的距离中的最大值等于点Q到x, 少轴的距离中的最大值，则称卫，0两点为“等距点”，如点P(3,2)与Q(-3) 两点即为等距点。 （-1,4) (1)已知点A的坐标为 20/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①点BB,）,C(-2,D(4)中，与点A为“等距点”的是一 ②若点M的坐标 为M(m-m+6),且A,M两点为“等距点”，求出点M的坐标： (-2m+)与点F82m-5 (2)若点 ,连接EF,OE,OF H(0,b) 两点为“等距点”，在y轴上有一点 FH·若三角形HOF的面积为三角形EOF的面积的3倍时，求出b的值. 难点三平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 难点1：面积条件向坐标方程的转化 给定三角形面积，需根据顶点在坐标轴或已知直线上的位置，选用底乘高公式或补形法（如用矩形减三角 形)建立方程。难点在于当底边不水平或竖直时，正确表示高（点到直线距离)，设元不当则方程复杂。 难点2：图形位置变化引发的多解 未知点在直线、双曲线或抛物线上移动时，由于其在图形不同侧，面积相等会对应多个点。难点在于利用 绝对值的几何意义，按点所在象限或相对位置分类讨论，并检验所得解是否在图形边界内，否则易漏解或 保留无效点。 口口难点精练 1.(25-26八年级上·安徽准北月考)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为 (0,a(么，0)，(c,回，且a,6c满足关系式a-4+(c+5+b+3=0 (1)求A,B,C三点的坐标： (2)若在第四象限内有一点 P(2,n ,请用含"的式子表示四边形OPBC的面积； 21/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，当n=-2时，在y轴上是否存在点M,使三角形BOM的面积等于四边形OPBC面积 4 的3？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由。 A(a,0)C(b,4 2.如图，在平面直角坐标系中， 且满足a+2少+6-2=0 过C作CB上轴于B. A B 图1 图2 (1)求a,b的值： (2)求△ABC的面积： (3)若4C交y轴于Q,而Q的坐标为 ,2）,在y箱上是否存在点卫，使得△M8C和△1CP的面积相等？若 存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由 3.(25-26八年级上：广东佛山期中)在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作CA1x轴于点 Aa,0,点B(0)是y轴正半轴上的一点，且a,b满足a-3+b-4=0,Sa0c=9 备用图1 备用图2 (I)求A点，B点坐标： (2)求C点坐标： (3)点D为x轴上一点，若 S.BCD=5 ,求D点坐标： 22/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、选择题 1.点2-6)在《) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列说法中，能确定物体位置的是() A.距离昆明市30千米 B.曲靖市西南方向 C.东经100°，北纬25 D.云南省东南部地区 3.在平面直角坐标系中，点P(2,D到原点的距离是() A.-v5 B.-2 C.2 D V5 4.已知平面直角坐标系中有点1(-2,1 ,过点A作直线4BIx轴，如果B=3,则点B的坐标为《) A.（-2,4刊或2，-2) B.欧5， c.,4或5-2) D.() 5.在平面直角坐标系中，对于点M(:）,我们把点M'(y-lx+2)叫做点M的同行点，已知点M的同 M,M2 M3_M3 一行点为点？，点的同行点为有，一的同行点为点以，…，这样依次得到点。 MM,M3 …, M,若点4的坐标为34)，则剥点M坐标是《) A（55) B.（6,-3) c.(2,-4) D.(34) 二、填空题 6点 ,到'轴的距离为 23/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.点A(m-3,-m+)在第一、三象限的角平分线上，则A的坐标为 8。在平面直角坐标系0中， A(a,2a）B(3-2b,2-4b) 若a+2b=3,则线段4B的长度是一 9.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度， PPP …均在格点上， 其顺序按图中“”方向排列，如：P(0,0,B(0,1),B少，B-）,B-1.-,(-12),…, 根据这个规律， Po5的坐标为 14 10 P P 13 12 10.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点 Q到x辅、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”，若点C9-2弧-5)是“完美点”，则点 (-6,2b-1) 的“短距”为 三、解答题 IL.如图，正方形ABCD的边长为6，AD∥y轴，1L4) B (I)写出B,C,D三个顶点的坐标： 24/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)写出CD中点P的坐标. 12.某主题公园完美融合中外经典文化元素，打造了变形金刚、未来水世界等七大主题景区.下图是某些 主题景区的分布示意图.小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对“侏罗纪世界”和“变形金刚”的位置做出 如下描述： 小珂：“侏罗纪世界的坐标是(1,0)” 妈妈：“变形金刚的坐标为 -3,3)n 实际上，小珂和妈妈描述的位置都是正确的. 未来水世界 变形金刚 保罗纪世界 (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“未来水世界”的坐标： (2)若“哈利波特魔法世界”的坐标为 ⑧)，“好莱坞”的坐标为3刃 请在坐标系中用点M、N分别 表示“哈利波特魔法世界”和“好莱坞”这两个主题景区的位置 13.如图，在平面直角坐标系中，1(a,0）.8(6,0),C(-1,2),且2a+4与a+2b-4 为相反数. (1)求实数a与b的值： ②在少箱上存在点M,使得S,求出点M的坚标(6衣示面积) 14.在平面直角坐标系中，对于在同一象限内不同的M、N两点，若点M到x轴的距离与点N到'轴的 距离相等，点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等，则称点M与点N互为“和谐等距离点”，例如： 25/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点(-2,4)与点(4,2)互为“和谐等距离点”，点-7，-2)与点(-2，-7)可为“和谐等距离点”. (1)直接与出与点(3，-6)互为“和谐等距离点”的点的坐标一： (2)如果点(-3n+5,m+6)与点(9,1)互为“和谐等距离点”，求m和n的值. P(2m-6,m+2) 15.已知在平面直角坐标系中的点 (I)若点P在y轴上，P点的坐标为. (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第 象限： 3)若点P在过点 (2,3)且与轴平行的直线上，求点P的坐标： (4)若点P到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标. 能力进阶 1.在平面直角坐标系中，有4(0-lm+2）,B2,2m+),C2m+2,-)三点，P为直线B上的一点 当点A恰好落在y轴上，且点P与点C的距离最小时，点P的坐标是() A（1,3) B.(4,3) c.(3,3) D.(2,2) 2.下列说法：①苦m=0,则点4m川在照点处：®点B(3m+-定在第二象照1③若点Pm), Q(m,-n）mn≠0 O M(n-1,2)N(n+3,2) MN=4 ,且 ,则直线 轴；④若点 ,则线段 ,其中正确是 () A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ A(3,6),B(7,3) 3.在平面直角坐标系中，已知 ,平移线段AB至CD(A与C对应)，使得C,D两点都在 坐标轴上，此时，C点坐标为一 4.在平面直角坐标系中，点A的坐标为23)，点8的坐标为-2,0）点P从原点出发，沿轴正方向运 26/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动，当△ABP为等腰三角形时，点P的坐标为 5.阅读下列一段文字，然后回答问题. 已知在平面内两点R(G,y),B(3),其两点间的距离P,B=(-广+(-片，同时，当两点所 在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为：一或~. 1)2知42，)、B(-3,-8),则4B= (②)已知AB∥y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，则AB=」 ③)已知一个三角形各顶点坐标为1(-2，)、B(4)、C(,-2）请判定此三角形的形状，并说明理由。 6.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x 轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”. 四点6列 的“长距”为 (2)若 B(5-3a,-3》是“角平分线点”，求a的值： C(-1,3b-2 (3)若点 的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-26-) 请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由 7.在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重 合的两点 M(,）和点N(G,）,若=，则W/y轴，且线段N的长度为-为，若=片，则 MNW不轴，且线段MN的长度为氏- 【实践操作】 (1)若 M(-l,0）,N(2,,则MNx轴，MN的长度为一 【拓展应用】 (2)如图，在平面直角坐标系中，1(4,0)，B(0,2)C(0,-3) 27/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图1，△ABC的面积为； ②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于 14,求点D坐标. 图1 图2 8.在平面直角坐标系中，B,c在坐标轴上，其中B6,0)、C(0,c),△BC满足(C1=CB, ∠ACB=90°，∠ABC=∠CAB=45°，其中点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，AB交y轴负半 轴于点D C C B F D 图1 图2 0)如图1，若c-1+(6-2}=0 直接写出点B的坐标为，点C的坐标为，点A的坐标为_ (②)如图2，AE⊥AB交x轴负半轴于点E,连接CE,CF⊥CE,CE交AB于点F.求证：CE=CF; ③)在(2)的条件下，若A点到x轴、轴的距离相等，求证：Sar. 2 28/28 第三章 位置与坐标 复习要点 1. 理解确定物体位置的方法，能区分有序数对定位法（行列定位）与“方位角+距离”定位法的适用场景和表达方式。 2. 掌握平面直角坐标系的概念及组成，能准确区分四个象限内点的坐标符号特征，理解坐标轴上的点不属于任何象限。 3. 掌握“由点写坐标”和“由坐标描点”的双向技能，理解平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系。 4. 掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能区分两种对称变换坐标变化的差异（x不变y变号 vs y不变x变号）。 5. 理解点到坐标轴的距离与坐标绝对值的对应关系，能区分距离（非负数）与坐标（可正可负）的不同。 复习重难点 重点：平面内点的坐标表示方法，建立适当的平面直角坐标系描述物体位置，以及利用轴对称的坐标规律解决实际问题。 难点：建立平面直角坐标系的优化方案，以及坐标变化与图形变换之间关系的灵活运用。 知识点 平面直角坐标系 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变. 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 要点速测 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列语句中，不能确定物体位置的是（     ） A．某影院第放映厅第排号座位 B．东经，北纬 C．王婷家在新华小区，住楼 D．象山港的北偏东，距离海里处 【答案】C 【分析】本题考查平面内确定物体位置的条件，平面内确定一个物体的位置需要两个数据，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、在第1放映厅内，有排号、座位号两个数据，可以确定物体位置； B、东经，北纬，两个数据可以确定位置； C、只说明在新华小区8楼，缺少具体单元、室号等信息，无法唯一确定位置； D、给出方向和距离12海里两个数据，可以确定位置． 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（     ） A．点在第四象限 B．若，则在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为 D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，且平行于x轴，，则点B的坐标为 【答案】C 【分析】可通过举反例判断A、B的正误，结合平面直角坐标系中点的坐标性质推导C、D的正确性． 【详解】解：A.当时，点在轴上，不一定在第四象限，故A错误； B.若，则或，点在轴或轴上，不一定在坐标原点，故B错误； C.点在第二象限，则横坐标为负，纵坐标为正；点到轴的距离为，则纵坐标为；到轴的距离为，则横坐标为，即点坐标为，故C正确，符合题意； D.平行于轴，则点的纵坐标与点相同，为；由，得点的横坐标为或，即点坐标为或，故D错误． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值. 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：． 知识点 图形在坐标系中的平移 1.点的平移 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加” 2.图形的平移 在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度. 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 4.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. 要点速测 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 【分析】（1）作出各顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可，两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）连接，由轴对称得，进而可得，因此点，P，B三点共线时，最短． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据定义计算即可得出结果； （2）由题意可得，点的坐标为，从而得出，，结合，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在上时，过作于，当在延长线上时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：点的2伴随点的坐标为，即， 点的5伴随点的坐标为，即； （2）解：∵点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点， ∴，点的坐标为，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 当在上时，过作于， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当在延长线上时， 则 ∴ ， 综上所述，是定值，这个定值为． 题型1 定位法的应用 ▌例1 （25-26八年级下·广东深圳·开学考试）下列描述能准确表示深圳市盐田区位置的是（   ） A．深圳市东部 B．约北纬，东经 C．与香港毗邻 D．惠州西南方向 【答案】B 【分析】根据平面内确定位置的基本规则：平面内确定一个具体位置需要两个独立的准确数据，对各选项进行判断即可． 【详解】解：平面内确定一个具体位置，需要两个独立的准确数据才能完成定位， ∴选项A，C，D都只给出模糊的范围描述，只有一个大致方位，无法准确确定盐田区的位置，只有B选项给出北纬和东经两个准确数据，可以准确表示出深圳市盐田区的位置，因此选B． 解题要点 1. 抓参照与方向：先明确参照点（如原点）和规定方向（数轴正方向），利用“右大左小”或坐标系象限规则，结合已知条件估算或精确计算目标位置。 2. 数形结合转化：将代数式（如绝对值、平方根）与几何距离对应，利用数轴上的距离公式（|a-b|）或勾股定理，将抽象数值转化为直观图形位置来求解。注意定位要精确到区间或点。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 【答案】B 【分析】本题考查了确定位置，解题的关键是根据坐标确定位置需要两个数据，对各选项分析判断后求解． 【详解】解：A、钱塘明月号楼室，位置明确，故本选项不符合题意； B、只有南偏西的方向，没有距离等补充数据，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意； C、东经，北纬，位置明确，故本选项不符合题意； D、庆春电影院号厅的排座，位置明确，故本选项不符合题意． 故选：B． ▌迁移练1-2（25-26七年级上·广东茂名·期末）茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（    ）． A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】设正南方向与的夹角为，根据题意，得，根据方向角的意义解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角的意义是解题的关键． 【详解】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得， 故B在博贺渔港O的南偏东方向， 故选：A． ▌迁移练1-3（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 根据题意和图形，可以写出各点的坐标，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图可得， 目标的坐标为，故选项A错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项B错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项C正确，符合题意； 目标的坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 题型2 判断点所在的象限 ▌例2 （25-26八年级上·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征．根据点A的横纵坐标符号即可判断其所在象限，即可作答． 【详解】解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数 ∴点A在第二象限 故选：B． 解题要点 1. 看横纵坐标符号：根据点P（x，y）的坐标符号确定象限。第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）。坐标轴上的点（x=0或y=0）不属于任何象限。 2. 含参讨论与化简：若坐标含参数（如m、k），需先分析参数范围或解不等式确定符号，再判断象限。注意先化简含根式或绝对值的坐标表达式，明确正负后再定位。特殊点在坐标轴上需单独说明。 ▌迁移练2-1（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若点在第二象限，则点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握各象限的坐标特征． 需根据第二象限点的坐标符号判断a、b的正负性，再推导点B横纵坐标的符号，从而确定其所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵，， ∴（异号两数相乘得负），（正数的相反数为负数）， ∴点的坐标符号为，对应第三象限， 故选：C． ▌迁移练2-2（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，利用平方的非负性判断横坐标的正负，再结合纵坐标的正负确定点所在象限． 【详解】解：∵任何实数的平方为非负数，即， ∴， 又∵， ∴点的横坐标为正，纵坐标为正，符合第一象限点的坐标特征， ∴点在第一象限． 故选：A． ▌迁移练2-3（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴点在第四象限. 题型3 已知点所在的象限求参数 ▌例3 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）若点在第一象限，则点在第___象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，解题关键是掌握各象限内点的横纵坐标的符号规律． 先根据点A在第一象限确定m的取值范围，再判断点B的横纵坐标符号，进而确定其所在象限． 【详解】解： 点在第一象限， ， ， 又 点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 故答案为：二． 解题要点 1. 由象限列不等式组：根据象限确定横纵坐标的符号要求，列出关于参数的不等式（组）。如点P（m，n）在第二象限，则 m＜0且n＞0，再分别求解参数范围。 2. 取交集与排除轴点：分别解出各不等式，取交集即得参数范围。若参数使点落在坐标轴上（即x=0或y=0），需排除，因为坐标轴上的点不属于任何象限。注意含绝对值或根式时需先化简再列式。 ▌迁移练3-1（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知点在坐标轴上，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查坐标轴上的点坐标的特征，由，排除在轴上的可能，则点在轴上，即． 【详解】解：∵， ∴点不在轴上， 又∵点在坐标轴上， ∴点在轴上， ∴，即． 故答案为：． ▌迁移练3-2（2026八年级下·河北·专题练习）若点在轴上，则的值为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点纵坐标为列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 故答案为：． ▌迁移练3-3（25-26八年级上·山东潍坊·期末）点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 【答案】 【分析】此题考查了点所在的象限，解一元一次不等式组，求平方根，根据题意列出不等式组是解题的关键．根据点所在的象限的特征列出不等式组，解一元一次不等式组得到，根据点P到x轴、y轴的距离相等得到方程，解方程得到，根据乘方和平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得， 又点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：，符合题意， 把代入， 得． ∴的平方根为， 故答案为： 题型4 求点到坐标轴的距离 ▌例4 （25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，则点A到x轴的距离为________，到y轴的距离为________． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：，． 解题要点 1. 距离公式：点P（x，y）到x轴的距离为 |y|（纵坐标的绝对值），到y轴的距离为 |x|（横坐标的绝对值）。距离是非负数，结果不能带符号。 2. 与象限结合：若已知点所在象限，可先判断坐标正负，再脱去绝对值。若已知距离求坐标，需分情况讨论（如距离为3，则纵坐标为±3），注意结合象限条件取舍。含参数时同样用绝对值列式。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·山东淄博·月考）若点在第四象限，且点到轴的距离为4，到原点的距离为5，则点的坐标为________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 由第四象限点的坐标特征可得，，根据点到轴的距离为4可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ，． ∵点到轴的距离为4， ． 又， ． ∵点到原点的距离为5， ，即． ． 又， ． ∴点的坐标为． 故答案为：． ▌迁移练4-2（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知平面直角坐标系中一点到两坐标轴的距离相等时，则_______， 【答案】或0 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标性质与绝对值方程的解法，熟练掌握“点到两坐标轴距离相等时，横坐标与纵坐标的绝对值相等”是解题的关键．根据点到两坐标轴距离相等的性质，得到横坐标与纵坐标的绝对值相等，据此列绝对值方程求解． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ． 故答案为：或． ▌迁移练4-3（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平行于y轴的直线的特点，两点之间距离的计算是关键． 由与y轴平行可得点P和点Q横坐标相等，即；再根据，利用两点间距离公式求出n的值，进而计算． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴； 又∵， ∴，即， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； 故答案为：或． 题型5 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 ▌例5 （25-26七年级上·山东青岛·期末）在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点处，只告诉大家两个标志点A，B的坐标分别为，以及点的坐标为（单位：）． (1)请在图中建立直角坐标系并确定点的位置； (2)计算的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了根据坐标建立平面直角坐标系，确定出原点的位置并建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）由A、B点的坐标，确定坐标轴的位置，再画出点位置即可； （2）利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：所建平面直角坐标系，以及点的位置，如图所示： （2）解： ． 解题要点 1. 准确描点：先在x轴上找到横坐标位置，过该点作x轴垂线；再在y轴上找到纵坐标位置，过该点作y轴垂线；两垂线交点即为所求点。注意单位长度要一致。 2. 连线成图：将各点按题目要求依次连接（如描点连线成函数图象、三角形或多边形）。连线时需判断是否用平滑曲线或直线段，并标注点坐标和关键位置（如顶点、交点）。注意图形完整性与规范性。 ▌迁移练5-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3)南偏东 【分析】该题考查了平面直角坐标系、方位角，解题的关键是正确建立合适的平面直角坐标系． （1）泽国站的坐标为，城南站的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由泽国站在万昌路站的北偏西方向上，结合题干图片求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：温岭第一人民医院站的坐标为，万昌路的坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵泽国站在万昌路站的北偏西方向上， ∴万昌路站在泽国站的南偏东方向上． ▌迁移练5-2（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． ▌迁移练5-3（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)请以广场为原点，以正东方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)写出博物馆和大剧院的坐标； (3)若超市与图书馆所在的直线为l，大剧院到直线l的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)见解析 (2)博物馆的坐标为，大剧院的坐标为 (3)大剧院到直线的距离是4个单位长度 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角坐标系的各个象限内的点的坐标特征及点到直线的距离，正确理解每个知识点是解题的关键． （1）根据题目要求建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系中象限内的点的坐标特征即可求解； （3）根据点到直线的距离定义回答即可． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系， （2）根据直角坐标系可得：博物馆的坐标为，大剧院的坐标为 （3）如图，超市与图书馆所在的直线为， 大剧院到直线的距离是4个单位长度． 题型6 点在平面直角坐标系中的平移 ▌例6 （2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移的变化规律是∶横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据平移的变化规律解答即可． 【详解】解：将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是，即． 故答案为： 解题要点 1. 坐标变化规律：点P（x，y）向右平移a个单位得（x+a，y），向左得（x-a，y）；向上平移b个单位得（x，y+b），向下得（x，y-b）。口诀“右加左减，上加下减”。 2. 逆向平移：若已知平移后的坐标求原坐标，则反向操作（如向右平移后坐标x'=x+a，求x则x=x'-a）。多次平移可叠加，注意顺序不影响最终结果。含参数时列方程求解。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则_______． 【答案】4 【分析】 此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得、的值． 【详解】解：、两点的坐标分别为、，平移后、， 线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，，， 故答案为：4． ▌迁移练6-3（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，理解平移性质，正确得到对应点的位置是解答的关键．先确定平移方式：先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，进而求出结论． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 题型7 平面直角坐标系中的平移作图 ▌例7 （25-26七年级下·广西南宁·开学考试）把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)15 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式可得在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可得：； （3）解：， ， 在平移过程中扫过的面积为． 解题要点 1. 确定平移方向与距离：先明确沿x轴（左右）和y轴（上下）的平移量，得到对应点坐标变化规则（右加左减x，上加下减y）。按规则计算出各关键点的新坐标。 2. 描点连线：根据新坐标在坐标系中准确描点，再用相应线段或曲线依次连接，形成平移后的图形。注意保持原图形形状和大小不变，标注平移方向或对应点字母（如A的对应点A'）。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形． (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，在图中画出点D，直接写出点D的坐标________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变化． （1）根据平移作出点，依次连接即可得到三角形； （2）根据平移作出点D，再根据坐标系中点的平移的坐标变化即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求． （2）解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，如图所示，则点D的坐标为． 故答案为：． ▌迁移练7-2（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点的坐标：___________，___________，___________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可； （2）根据解析（1）中的作图，写出点，，的坐标即可； （3）由，，，可知点的横坐标，再由可知点的纵坐标，即可得解． 【详解】（1）解：作出三个顶点向右平移5个单位，再向下平移4个单位的，，，顺次连接，则即为所求，如图所示： （2）解：由（1）图可得，，；， 故答案为：；；． （3）解：∵，，，， ∴点的横坐标为4， 又∵， ∴点的纵坐标为6或（不符合题意）， ∴点的坐标为． ▌迁移练7-3（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 题型8 平面直角坐标系的性质求解 ▌例8 （25-26七年级上·山东威海·期末）已知点． (1)若点，且轴，求点的坐标； (2)若点到轴、轴的距离相等，且在第四象限，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查的知识点是直角坐标系点的坐标、已知点所在的象限求参数，解题关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标特点． （1）根据已知条件可确定点的纵坐标和点的纵坐标相等，求出的值，再确定点的坐标； （2）根据已知条件列等式及不等式组，求出的值，确保符合其取值范围，再确定点的坐标． 【详解】（1）解：点，且轴， 点的纵坐标和点的纵坐标相等， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：点在第四象限， ， 解得， 又点到轴、轴的距离相等， ， 解得，符合条件， ，， 点的坐标为． 解题要点 1. 对称性与距离：关于x轴对称点（x,-y），关于y轴对称点（-x,y），关于原点对称点（-x,-y）。两点间距离公式d=√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]，中点坐标公式((x₁+x₂)/2，(y₁+y₂)/2)。 2. 坐标与几何结合：利用坐标表示线段长度（水平或竖直线段用横纵坐标差）、面积（底乘高），结合平行线性质（横纵坐标关系）和勾股定理建立方程。注意分类讨论对称轴位置及图形位置。 ▌迁移练8-1（25-26七年级下·全国·期中）已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1)点的坐标为． (2)2024 【分析】（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限或第四象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）点的坐标为，直线轴， ， 解得， 点的坐标为． （2）点在第二或第四象限的角平分线上， ， 解得， ． ▌迁移练8-2（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大4，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据横坐标比纵坐标大4即可列方程解题； （2）根据条件推出横坐标为，进而解题． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：由题意得：， 解得， ∴， ∴． ▌迁移练8-3（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4： (3)点在第二、四象限的角平分线上； (4)点到轴的距离为3． 【答案】(1)点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)点的坐标是 (4)点或． 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求出，进而求解即可； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可； （3）根据题意得到，求出，进而求解即可； （4）根据题意得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标是； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， ， ，， 点的坐标是； （3）解：点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ，， 点的坐标是； （4）解：点到轴的距离为3 ∴ 或． 当时，点， 当时，点． 题型9 在平面直角坐标系中求图形的面积 ▌例9 （25-26七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 解题要点 1. 割补法转化：对不规则图形，用割补法转化为规则图形（如矩形、三角形）的和或差。优先选择水平或竖直边作底，用坐标差求边长（如水平边=|x₁-x₂|，竖直边=|y₁-y₂|）。 2. 公式法直接求：若图形为三角形，常用铅垂高×水平宽÷2（过顶点作竖直辅助线求高）；若为多边形，可分割成若干三角形求和。注意用坐标差计算高时取绝对值，避免负数。面积结果非负。 ▌迁移练9-1（25-26七年级下·重庆渝北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_________，__________； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)，2 (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是： （1）由非负数性质求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）设，分两种情况讨论：D在上方；D在C下方，然后根据割补法构建关于m 的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵在第四象限， ∴； （3）解：当时，， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 设， 当D在上方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴； 当D在C下方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标为或． ▌迁移练9-2（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． ▌迁移练9-3（25-26七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键． （1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案； （3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案； （4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为 ∴轴， ∵点坐标为， ∴点B到的距离为， ∴； （2）当，，时，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，点M是中点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点N的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于四边形面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 难点一 点在平面直角坐标系中的规律探究问题 难点1：横纵坐标的同步与异步变化识别 动点坐标可能沿直线、折线或跳跃式变化，横纵坐标有时同步递增，有时以不同步长交替变化。难点在于将两列数列分别拆解分析，并识别其各自的周期、等差或等比特征，若混为一列则规律难以捕捉。 难点2：周期性方向的几何转译 当动点沿特定图形（如正方形、三角形）循环运动时，需结合图形边长将步数转化为坐标增量。难点在于用取余运算定位周期内位置，并区分正方向与反方向导致的坐标正负变化，稍不慎则周期偏差。 难点精练 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究．根据题意可得蚂蚁从点出发沿所走路程是：，然后计算，可得第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处，进而可得答案． 【详解】解：由点，，，，可知是长方形， ∴，， ∴蚂蚁从点出发沿所走路程是：． ∵， ∴第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处， ∴蚂蚁所在点的坐标为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，由，所以的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为506，然后通过第二象限特点即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商， ∵， ∴的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为507， ∴的坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)直接写出点到点的距离：___________． 【答案】(1)；；； (2)1012 【分析】（1）根据题意可得点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；……由此发现规律，即可求解； （2）根据，可得点的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …… 由此发现，点的坐标为； 故答案为：；；；； （2）解：∵， ∴点的坐标为，即， ∵点的坐标为， ∴点到点的距离1012． 故答案为：1012 难点二 平面直角坐标系中的新定义型问题 难点1：新定义向坐标运算的等价转化 题目定义如“等距点”“共轭点”等非标准概念，需将其转化为两点间距离或中点坐标等可计算形式。难点在于精准剥离文字信息，建立含参方程或不等式，若转化偏差则后续求解失去根基。 难点2：新定义与图形位置的复合限制 新定义常与象限、坐标轴或特定区域结合，需在几何图形（如三角形、圆）的边界内检验。难点在于求解后返代验证是否满足所有位置约束，分类讨论时极易忽略边界条件或区域限定，导致解集范围扩大。 难点精练 1．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”例如，点的“级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，求点的坐标． (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”位于轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“级关联点”是点， ． （2）点的“级关联点”为， ， 位于轴上， ，解得 ， ． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 3．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】(1)①C，D；②点或 (2)或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 （2）解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或    难点三 平面直角坐标系中与面积有关的存在性问题 难点1：面积条件向坐标方程的转化 给定三角形面积，需根据顶点在坐标轴或已知直线上的位置，选用底乘高公式或补形法（如用矩形减三角形）建立方程。难点在于当底边不水平或竖直时，正确表示高（点到直线距离），设元不当则方程复杂。 难点2：图形位置变化引发的多解 未知点在直线、双曲线或抛物线上移动时，由于其在图形不同侧，面积相等会对应多个点。难点在于利用绝对值的几何意义，按点所在象限或相对位置分类讨论，并检验所得解是否在图形边界内，否则易漏解或保留无效点。 难点精练 1．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 2．如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求a，b的值： (2)求的面积： (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点P为或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系与几何的综合运用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据平方以及平方根的非负性进行求解即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可； （3）设点，求出的面积，利用面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由（1）可知， 轴于B， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设点， Q的坐标为， ， ， 和的面积相等， ， 解得或， 故点P为或． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 基础达标 一、选择题 1．点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特征，根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 点，其中横坐标2为正，纵坐标为负，符合第四象限的符号特征, 因此，该点位于第四象限， 故选：D． 2．下列说法中，能确定物体位置的是（   ） A．距离昆明市30千米 B．曲靖市西南方向 C．东经，北纬 D．云南省东南部地区 【答案】C 【分析】确定物体位置需要两个独立的数据，如坐标或方向与距离．据此逐一判断即得． 【详解】A、仅给出距离昆明市30千米，未指明方向，无法确定具体位置（可能为以昆明为中心、半径30千米的圆上的任意一点）． B、仅指出曲靖市西南方向，未说明距离，无法确定唯一位置（西南方向包含无数个点）． C、东经和北纬是地理坐标的两个具体数值，能唯一对应地球上的一个点，可确定位置． D、云南省东南部是模糊的区域描述，范围过大，无法精确定位． 综上，只有选项C通过经纬度提供了两个必要数据，可唯一确定物体位置． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】本题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式． 根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可． 【分析】解：点到原点的距离为：， 故选：D． 4．已知平面直角坐标系中有点，过点作直线轴，如果，则点的坐标为（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，与y轴平行的线上的点，横坐标相同，解题的关键在于分两种情况讨论．过点A作直线轴，那么点B可能在A点上方，也可能在A点下方，即点A与点B的横坐标相同，根据，把点A纵坐标加3或者减3，写出点B坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作直线轴， ∵，， ∴点B坐标为或． 故选：A 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点M的同行点，已知点的同行点为点，点的同行点为点，点的同行点为点，…，这样依次得到点，，，…，，…若点的坐标为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的变化规律，理解题意并找出规律是解题的关键． 通过计算前几个点的坐标，发现每4个点为一个循环周期，利用周期性规律求解． 【详解】解：∵，根据同行点定义，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 观察发现，每4个点为一个循环周期，坐标依次为、、、， 对于，计算，余数为，对应周期中的第3个点． 故选：B． 二、填空题 6．点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据“点到轴的距离等于横坐标的长度”即可求解，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：． 7．点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的知识，根据第一、三象限的角平分线上的点，横纵坐标相等，由此就可以得到关于的方程，解出的值，即可求得点的坐标． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ， 解得：， ． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，，．若，则线段的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意重新确定点A的坐标是解题关键． 根据题意得出，确定轴，然后求出线段的长度即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴， 故答案为：4． 9．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键． 先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案． 【详解】解：∵点是“完美点”， ∴点到轴、y轴的距离相等，即， ∴或， 解得或． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为3； 当时，点． ∵，， ∴“短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 故答案为：3或6 三、解答题 11．如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形的性质即可求解； （）根据，则点纵坐标与纵坐标相同，点横坐标与横坐标之和的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵，轴，， ∴点，，； （2）解：∵，，， ∴点纵坐标与纵坐标相同为，点横坐标与横坐标之和的一半即， ∴中点的坐标为． 12．某主题公园完美融合中外经典文化元素，打造了变形金刚、未来水世界等七大主题景区．下图是某些主题景区的分布示意图．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对“侏罗纪世界”和“变形金刚”的位置做出如下描述： 小珂：“侏罗纪世界的坐标是”． 妈妈：“变形金刚的坐标为”． 实际上，小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“未来水世界”的坐标； (2)若“哈利波特魔法世界”的坐标为，“好莱坞”的坐标为，请在坐标系中用点、分别表示“哈利波特魔法世界”和“好莱坞”这两个主题景区的位置． 【答案】(1)见解析，未来水世界的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解答本题的关键． （1）根据侏罗纪世界的坐标是建立坐标系，再写出“未来水世界”的坐标即可； （2）根据“好莱坞”和“变形金刚基地”在坐标系中的位置解答即可． 【详解】（1）解：如图所示建立直角坐标系， 未来水世界的坐标为． （2）如图所示． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，，且与互为相反数． (1)求实数与的值； (2)在y轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 【答案】(1)， (2)或 【分析】此题考查相反数，算术平方根，平面直角坐标系，坐标与图形性质，三角形的面积，能求出、的坐标是解题的关键． （1）根据相反数得出方程，求出、的值即可； （2）求出的长，根据三角形的面积求出的面积，再根据求出，即可得出的坐标． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，； （2），， ，， ， ， 的面积， ∵在轴上存在一点，使， ， 解得：， 即点的坐标是或． 14．在平面直角坐标系中，对于在同一象限内不同的、两点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，点到轴的距离与点到轴的距离相等，则称点与点互为“和谐等距离点”，例如：点与点互为“和谐等距离点”，点与点可为“和谐等距离点”． (1)直接与出与点互为“和谐等距离点”的点的坐标________； (2)如果点与点互为“和谐等距离点”，求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义． （1）先求出点到坐标轴的距离，然后根据“和谐等距离点”的定义求出答案即可； （2）根据和谐等距离点”的定义，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为|，到轴的距离为， ∴和谐等距离点的横坐标的绝对值是，纵坐标的绝对值是， ∴点互为“和谐等距离点”的点的坐标为：， 故答案为：； （2）∵点与点互为“和谐等距离点”， ∴ 解得： 15．已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，则点在第______象限； (3)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标； (4)若点到轴，轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)二 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的坐标特征是横坐标为，列式求解出的值，再代入纵坐标的代数式中求解即可； （2）根据点的横、纵坐标的数量关系列出关于的方程，解出的值，再分别代入横、纵坐标的代数式中得到点的坐标，最后判断所在象限即可； （3）根据平行于轴的直线上点的坐标特征得出点和点的纵坐标相等，解出的值，再代入横坐标的代数式中求解即可； （4）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征得出点的横坐标与纵坐标相等或者互为相反数，分两种情况讨论：分别列出关于的方程，解出的值，再分别代入横、纵坐标的代数式中即可求解得出点的坐标． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：因为点的纵坐标比横坐标大， 所以， 解得， 则，， 所以点的坐标为， 则点在第二象限． 故答案为：二； （3）解：因为点在过点且与轴平行的直线上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为； （4）解：因为点到轴，轴的距离相等， 所以或， 解得或， 当时，，， 所以点的坐标为； 当时，，， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 能力进阶 1．在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出轴，再由垂线段最短，可得当时，有最小值，则此时轴，据此可得答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴轴， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时轴， ∴， 故选：B． 2．下列说法：①若，则点在原点处；②点一定在第二象限；③若点，，且，则直线轴；④若点，，则线段．其中正确是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的相关知识．逐一分析各命题的正确性即可． 【详解】解：①：若，则或，此时点在坐标轴上，但不一定在原点，故①错误； ②：点的横坐标为负，纵坐标，满足第二象限的条件，故②正确； ③：点与的横坐标相同，且纵坐标不为0，因此直线平行于轴，故③正确； ④：点与的纵坐标相同，线段的长度为横坐标之差的绝对值：，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：在轴且在轴，或在轴且在轴 ．利用平移性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（轴上点纵坐标为，轴上点横坐标为 ）列方程求解． 【详解】解： 情形一：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 情形二：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 故答案为：或 ． 4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动，当为等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：分情况讨论． 根据题意表示出，，，然后分情况分析求解即可． 【详解】解：解：∵点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动， ∴设， ∴，，， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴点的坐标为，，， 故答案为：，， 5．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)13 (2)6 (3)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状． 【详解】（1）解：∵、， ∴． 故答案为：13 （2）解：∵轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴． 故答案为：6 （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵、、， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点是“角平分线点”． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为6，到轴的距离为4， ∴点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 7．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． 【实践操作】 （1）若点，，则轴，的长度为______； 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，，， ①如图1，的面积为______； ②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标． 【答案】（1）3 （2）①10；② 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平移的性质，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加”是解题关键． （1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算，，再利用面积公式计算即可； ②设，由等积法，得到，再结合图形，利用得到点的坐标． 【详解】解：（1）∵点，， ∴轴， ∴， 故答案为：3． （2）①，，， ，， ， ②连接，， 设， ∵点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 8．在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由非负数的性质求解，，如图1，过点作轴于点，证明，可得，，再进一步可得答案； （2）如图中，证明即可得到结论； （3）如图3中，过点作于点，过点作于点．证明，，，设，而，，可得，,,，进一步利用面积公式解答即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 如图1，过点作轴于点． ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）证明：如图中， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， . （3）证明：如图3中，过点作于点，过点作于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同法可证，， ， 在和中， ， ， ，， 设，而，， ∵，， ，,, ∴， ∴， ∴， ∵A 点到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $