专题02 求解一元一次方程中的参数（举一反三专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

专题02 求解一元一次方程中的参数（举一反三专项训练） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 由一元一次方程的定义求参数】 1 【题型2 由一元一次方程的解求参数】 1 【题型3 由两个一元一次方程的解相同求参数】 1 【题型4 由两个一元一次方程的解相反求参数】 2 【题型5 由两个一元一次方程的解互倒求参数】 2 【题型6 由两个一元一次方程的解成倍求参数】 3 【题型7 由两个一元一次方程的解相差求参数】 3 【题型8 由一元一次方程有解无解求参数】 4 【题型9 由一元一次方程有无数个解求参数】 4 【题型10 由一元一次方程有唯一解求参数】 5 【题型11 由一元一次方程有定解求参数】 5 【题型12 由一元一次方程的错解求参数】 5 【题型13 由一元一次方程的整数解求参数】 6 【题型1 由一元一次方程的定义求参数】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________． 【变式1-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【变式1-2】关于的一元一次方程的解是______． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 【题型2 由一元一次方程的解求参数】 【例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川泸州·期末）已知是关于的方程的解，则的值是________． 【变式2-2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 【变式2-3】已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【题型3 由两个一元一次方程的解相同求参数】 【例3】已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【变式3-1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为_______． 【变式3-2】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如果方程和方程的解相同，那么a的值为_______． 【变式3-3】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【题型4 由两个一元一次方程的解相反求参数】 【例4】已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南漯河·期中）如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【变式4-2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 【题型5 由两个一元一次方程的解互倒求参数】 【例5】（24-25七年级上·河南许昌·期末）已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为________． 【变式5-1】若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________． 【变式5-2】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为______． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【题型6 由两个一元一次方程的解成倍求参数】 【例6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为何值时，关于的方程的解是的解的倍． 【变式6-1】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍． (1)求的值； (2)若多项式的值比多项式的值大，求多项式的值． 【变式6-2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【变式6-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 【题型7 由两个一元一次方程的解相差求参数】 【例7】当k＝_____时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大6 【变式7-1】（24-25七年级上·山东日照·阶段检测）如果关于的方程的解比方程的解小6，那么______． 【变式7-2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为______． 【变式7-3】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）已知关于的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于的方程的解比方程的解小2，求的值． 【题型8 由一元一次方程有解无解求参数】 【例8】（25-26七年级上·全国·寒假作业）若关于x的方程无解，则k的取值是____． 【变式8-1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程无解，则a的值为____． 【变式8-2】如果关于x的方程有解，那么实数a的取值范围是__． 【变式8-3】关于x的一元一次方程有解，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【题型9 由一元一次方程有无数个解求参数】 【例9】如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0 【变式9-1】已知关于x的方程，为常数）有无数个解，则_____ 【变式9-2】已知关于的方程有无数个解，那么_________． 【变式9-3】已知关于的方程有无数个解，则的值为______． 【题型10 由一元一次方程有唯一解求参数】 【例10】若关于的方程有唯一解，则满足的条件为_______． 【变式10-1】对于两个实数a、b，我们规定一种新运算“*”：a*b=2a（b -1） （1）解方程：3*x-2*4=0 （2）当a、b满足什么条件时，关于x的方程 ①无解； ②有唯一解； ③有无数个解． 【变式10-2】已知关于y的方程无解，关于x的方程有唯一解，则关于的方程的解为 ___________． 【变式10-3】若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么_______． 【题型11 由一元一次方程有定解求参数】 【例11】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值． 【变式11-1】已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程的解总是，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式11-2】若不论取什么实数，关于x的方程（a、b为常数）的解总是，则的值是______． 【变式11-3】（25-26七年级上·天津河北·期末）已知为常数，关于的一元一次方程，无论为何值，它的解总是，则的值为_____． 【题型12 由一元一次方程的错解求参数】 【例12】（25-26七年级上·云南昭通·期末）某同学在解关于x的方程时，把“”看成了“”，解得，则方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）马虎同学在解关于x的方程时，把含未知数的项移到左边时忘记变号了，解得，则※处的数字是_______． 【变式12-2】某人在解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则a的值为__________． 【变式12-3】小石在解关于x的方程时，误将等号前的“”看成“”，得出的解为，则原方程的解为________． 【题型13 由一元一次方程的整数解求参数】 【例13】已知关于的方程的解为整数，则正整数的值为__． 【变式13-1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【变式13-2】（25-26六年级上·上海·期末）已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 【变式13-3】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 求解一元一次方程中的参数（举一反三专项训练） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 由一元一次方程的定义求参数】 1 【题型2 由一元一次方程的解求参数】 1 【题型3 由两个一元一次方程的解相同求参数】 3 【题型4 由两个一元一次方程的解相反求参数】 4 【题型5 由两个一元一次方程的解互倒求参数】 6 【题型6 由两个一元一次方程的解成倍求参数】 9 【题型7 由两个一元一次方程的解相差求参数】 13 【题型8 由一元一次方程有解无解求参数】 17 【题型9 由一元一次方程有无数个解求参数】 20 【题型10 由一元一次方程有唯一解求参数】 21 【题型11 由一元一次方程有定解求参数】 23 【题型12 由一元一次方程的错解求参数】 25 【题型13 由一元一次方程的整数解求参数】 27 【题型1 由一元一次方程的定义求参数】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________． 【答案】 【分析】原方程要为一元一次方程，只能含有一个未知数，的系数为，无法为，因此需要让的系数为，即可求出的值． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，方程只含有一个未知数，且未知数的次数为， ∵原方程中，的系数为，恒不为， ∴要满足一元一次方程的定义，需的系数为，即， 解得：． 【变式1-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得：． 【变式1-2】关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得二次项系数为，一次项系数不为，先求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 解得，且， ， 将代入原方程得：， 解得， 即关于的一元一次方程的解是． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、绝对值方程的解法，熟练掌握一元一次方程未知数次数为1且系数不为0的双重条件是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，列出关于的绝对值方程和系数不为零的不等式，求解后检验系数是否符合条件，确定的值． 【详解】解：由题意，得且． ， 或． 当时，， ． 当时，， ． ， ． ． 故答案为：． 【题型2 由一元一次方程的解求参数】 【例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川泸州·期末）已知是关于的方程的解，则的值是________． 【答案】4 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； 【详解】解：将代入方程， 得：， 整理得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 【变式2-2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 【答案】5 【分析】根据方程解的含义，将代入方程，求出的值，再计算即可． 【详解】解：是方程的解， 则， 解得， 将代入可得，． 【变式2-3】已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义求出m，再将x和m的值代入方程求出a即可. 【详解】解：∵ 为一元一次方程， ∴且， ∴， 将，代入，得：， 解得：. 【题型3 由两个一元一次方程的解相同求参数】 【例3】已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【答案】 【分析】先解第一个一元一次方程求出的值，根据两个方程解相同，将代入第二个方程. 即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ∵的解与方程的解相同， ∴将代入方程中， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程同解问题，熟练掌握一元一次方程的计算是解题的关键．根据解出，将代入即可得到答案． 【详解】解：， 解得， 方程的解与关于x的方程的解相同， 将代入， 即， ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如果方程和方程的解相同，那么a的值为_______． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程的解，先求出方的解，再将解代入方程，再解关于a的方程即可． 【详解】解：解方程，得 ， ∵方程和方程的解相同， ∴将代入方程中，得 ， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 【题型4 由两个一元一次方程的解相反求参数】 【例4】已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，分别解出两个方程的解，根据题意，两个方程的解互为相反数，则，求出，即可． 【详解】解：方程， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； 方程：， 去分母，方程两边同时乘以，， 去小括号，得，， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， ． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南漯河·期中）如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先分别求出两个方程的解，第一个方程直接求解，第二个方程去分母后求解，再根据解互为相反数列出关于a的方程求解． 本题考查了解一元一次方程，方程的解，相反数，熟练掌握解方程，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴． 由， 去分母，得， 去括号，得， 移项得：， 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴ ， 即， ∴ ． 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程为“美好方程”， 理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程与方程为“美好方程”； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知“美好方程”的定义是解题的关键： （1）分别解方程得到两个方程的解，再根据“美好方程”的定义即可得到结论； （2）先求出方程的解，再根据“美好方程”的定义得到方程的解，据此得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴关于的方程得解为， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 【答案】(1) 解：解方程，得， 解方程，得， ∵3与是相反数， ∴方程与是“相反方程”． (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解及对“相反方程”定义的理解． （1）分别求解两个方程，再判断它们的解是否互为相反数； （2）先求出第一个方程的解，根据“相反方程”的定义得到第二个方程的解，再将其代入第二个方程求出m的值； （3）先求出第一个方程的解，进而得到其“相反方程”的解，再将该解代入第二个方程求出n的值． 【详解】（1）略 （2）解：解方程，得． ∵关于x的方程和是“相反方程”， ∴是方程的解， 将代入，得， 解得． （3）解：解方程：，得， ∴的“相反方程”的解是， 将代入方程，得， 解得． 【题型5 由两个一元一次方程的解互倒求参数】 【例5】（24-25七年级上·河南许昌·期末）已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，倒数的定义；先求的解求出，然后将的倒数求出后代入原方程求出m的值． 【详解】解： ∴ 解得： ∵关于的方程与方程的解互为倒数， ∴是方程的解， ∴ 解得： 故答案为：． 【变式5-1】若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________． 【答案】-3 【分析】求出第一个方程的解，利用倒数定义求出第二个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， 解得：x=1， 1的倒数为1， 把x=1代入， 得：， 解得：， 故答案为：-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式5-2】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先分别求出两个方程的解，再根据解互为倒数列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘2得：， 移项得：，即：， 解得：． 解方程， 两边同乘6得：，即， 移项得：，即， 解得：． 由于两个方程的解互为倒数， 因此，解得：． 故答案为：15． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)4 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤． （1）先解已知条件中的两个方程，求出方程的解，再根据“倒数方程”的定义列出关于的方程，解方程即可； （2）先解已知条件中的方程，然后求出其倒数方程的解，最后根据关于的方程与其“倒数方程”的解都是整数，列出关于的方程，解方程即可； （3）先解方程，然后根据“倒数方程”的定义，求出的解，再根据的解列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 关于的方程与互为“倒数方程”， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， 其“倒数方程”的解为， 与都是整数， ， 解得：或； （3）解：， ， ， ， ， 它的“倒数方程” 的解为， ， ， ， ， 关于的一元一次方程的解为． 【题型6 由两个一元一次方程的解成倍求参数】 【例6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为何值时，关于的方程的解是的解的倍． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，进而得到方程的解，再把解代入方程即可求出的值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：由方程得，， ∵方程的解是的解的倍， ∴方程的解为， 把代入方程得，， 解得． 【变式6-1】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍． (1)求的值； (2)若多项式的值比多项式的值大，求多项式的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先分别求出两个已知方程的解，再根据题意得出关于的方程，解方程即可得出的值； （2）根据题意得出关于，的等式，把的值代入即可求出的值，把，的值代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由方程， 解得：， 由方程， 解得：， 由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得： 把代入得：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程解法正确解出方程求出未知数的值是解题的关键． 【变式6-2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据倍解方程的定义找到数量之间的关系． (1)解方程可得：一元一次方程的解是，根据倍解方程的定义可知的倍解方程的解应为，写出一个符合要求的解即可； (2)分别求出两个方程的解，根据倍解方程的定义得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为， 一元一次方程的倍解方程是． 故答案为：(答案不唯一)； （2）解：解一元一次方程， 可得：， 解一元一次方程， 可得：， 一元一次方程是的倍解方程， ， 解得：． 【变式6-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或3 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据定义判断即可； （2）先求出的解，然后分两种情况求解即可； （3）先分别求出方程的解为，方程的解为，然后分两种情况，根据“整k倍”的定义求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，故①不是“整数”方程； ②， ， ， ， ，故②是“整数”方程； ③， ， ， ， ，故③是“整数”方程． 故答案为：②③； （2）解：， ， ， ， ， ， “整数”方程与关于y的“整数”方程是“整3倍”关系， 或， 当时，； 当时，，解得； 当时，代入，得， 解得； 当时，代入，得， 解得． 综上所述，或． （3）解：或3． 方程的解为， 方程的解为， ①当时， 为整数，，且m为整数， ， 解得或， ∵， ， 此时与，符合“整数”方程的定义，且为非零整数，符合要求； ②当时， 为整数，，且m为整数， ， 解得或， ∵， ， 此时与，符合“整数”方程的定义，且为非零整数，符合要求； 综上所述，或3． 【题型7 由两个一元一次方程的解相差求参数】 【例7】当k＝_____时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大6 【答案】 【分析】先分别求出两个方程的解，再由题意列出关于k的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的解比关于x的方程的解大6， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式7-1】（24-25七年级上·山东日照·阶段检测）如果关于的方程的解比方程的解小6，那么______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先解方程可得再根据题意可得的解为，再进一步求解即可． 【详解】解： ， 解得：， 关于的方程的解比方程的解小6， ∴是方程的解， ， 去分母得：， 解得：； 故答案为： 【变式7-2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先求出方程的解为，易得的解为，然后代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解比关于的方程的解大5， ∴方程的解为． 将代入方程得到， ∴，解得． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）已知关于的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于的方程的解比方程的解小2，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解与代数式求值，解题关键是通过代入已知解或求解方程，利用等式关系计算未知量； （1）把代入原方程，求出的值，再代入代数式计算． （2）分别解两个方程，用含的式子表示解，根据“解的大小关系”列等式，求出． 【详解】（1）解：将代入方程中， 得：， 解得：， 将代入中，得：． （2）解方程，得：， 解方程，得：， 根据题意可知：， 解得：． 【题型8 由一元一次方程有解无解求参数】 【例8】（25-26七年级上·全国·寒假作业）若关于x的方程无解，则k的取值是____． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解方程无解的条件是解题关键． 将方程化为标准形式，根据一次方程无解的条件，即未知数系数为零且常数项不为零，求解k的值即可． 【详解】解：， 移项得，即． 当时，方程变为，即，矛盾，方程无解， 此时． 故答案为2． 【变式8-1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程无解，则a的值为____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；方程无解的条件是化简后x的系数为零且常数项不为零，进而问题可求解． 【详解】解：原方程为 两边同乘12得：， 即， 化简得， 移项得， 由于方程无解，故且， 解得； 故答案为：． 【变式8-2】如果关于x的方程有解，那么实数a的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据一元一次方程有意义的条件得，进行计算即可得． 【详解】解：∵(a−4)x=2022有解 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程有意义的条件，解题的关键是掌握一元一次方程有意义的条件． 【变式8-3】关于x的一元一次方程有解，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：mx-m=-x-1有解，得 m+1≠0．解得m≠-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零． 【题型9 由一元一次方程有无数个解求参数】 【例9】如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0 【答案】A 【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答． 【详解】解：∵方程ax=b有无数个解， ∴未知数x的系数a=0， ∴b=0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，明确方程有无数个解的条件是解题的关键． 【变式9-1】已知关于x的方程，为常数）有无数个解，则_____ 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一个关于、的一元一次方程是解此题的关键．先整理方程得出，根据已知得出，，求出、的值即可． 【详解】解：， ， ， 关于的方程，为常数）有无数个解， ，， 解得：，， ， 故答案为：1． 【变式9-2】已知关于的方程有无数个解，那么_________． 【答案】． 【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得： 解得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 【变式9-3】已知关于的方程有无数个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解．根据题意，先将方程整理为的形式，再根据其有无数个解即可． 【详解】解：由得 关于的方程有无数个解 ， ． 故答案为：． 【题型10 由一元一次方程有唯一解求参数】 【例10】若关于的方程有唯一解，则满足的条件为_______． 【答案】，为任意实数 【分析】根据一元一次方程的定义及解方程，即可解答． 【详解】解：∵关于的方程有唯一解， ∴，为任意实数， 故答案为：，为任意实数． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义及解方程，形如(，为任意实数)的方程叫做一元一次方程． 【变式10-1】对于两个实数a、b，我们规定一种新运算“*”：a*b=2a（b -1） （1）解方程：3*x-2*4=0 （2）当a、b满足什么条件时，关于x的方程 ①无解； ②有唯一解； ③有无数个解． 【答案】（1）x=3；（2）①，；②；③， 【分析】（1）方程利用新运算法则整理后，求出解即可； （2）已知方程利用新运算整理后，根据方程无解，有唯一解，有无数个解确定出a与b的关系式即可． 【详解】解：（1）方程整理得：， 去括号得：， 解得：； （2）已知方程整理得：， 整理得：， ①当方程无解时，，且，即，， ②当方程有唯一解时，，即， ③当方程有无数个解时，，． 【点睛】本题考查了实数的运算，以及一元一次方程的解，弄清题中的新运算是解本题的关键． 【变式10-2】已知关于y的方程无解，关于x的方程有唯一解，则关于的方程的解为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于的方程，得出结果． 【详解】解：关于x的方程可以简化为：x， ∵关于x的方程有唯一解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于y的方程无解， ∴， 关于的方程可以简化为：， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式10-3】若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么_______． 【答案】1.5 【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．高于一次的项系数是0，据此可得出且，再用表示，代入原方程，即可得出的值． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程，且有唯一解， 则且， 因为，， 把代入，得 ， 所以，， 解得． 故答案为：1.5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【题型11 由一元一次方程有定解求参数】 【例11】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值． 【答案】 【分析】把x=1代入方程化简得,因为无论k为何值时，方程的解总是1，可得，再代入即可求解． 【详解】依题意，得 ,    ,      【点睛】本题考查一元一次方程的解． 【变式11-1】已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程的解总是，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程得出，求出，根据方程的解总是得出，再求出a即可． 【详解】解：把代入方程得： ， ， ∵a为常数，且无论k取何值，关于x的方程的解总是， ∴， ∴． 故选：D． 【变式11-2】若不论取什么实数，关于x的方程（a、b为常数）的解总是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入方程后，找出含的项即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得： ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 【变式11-3】（25-26七年级上·天津河北·期末）已知为常数，关于的一元一次方程，无论为何值，它的解总是，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解的含义．将代入方程，整理可得，令k的系数和常数项分别为零，解出a和b的值，再求． 【详解】解：将代入方程，得． 整理得． 由于无论为何值，它的解总是， 故且， 解得，． 所以． 故答案为：． 【题型12 由一元一次方程的错解求参数】 【例12】（25-26七年级上·云南昭通·期末）某同学在解关于x的方程时，把“”看成了“”，解得，则方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程， 根据错误操作得到错误方程，代入错误解求出参数，再代入正确方程求解 【详解】解：∵该同学将方程中的“”误看作“”， ∴错误方程为． 又∵错误解得， ∴代入错误方程：， 解得． 代入正确方程，得， 解得． 故正确解为． 故选：D． 【变式12-1】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）马虎同学在解关于x的方程时，把含未知数的项移到左边时忘记变号了，解得，则※处的数字是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 设※处的数字为，根据题意可得是方程的解，代入求出的值，即可得出答案． 【详解】解：设※处的数字为， 由题意得，是方程的解， 代入，得， 解得， ∴※处的数字是． 故答案为：． 【变式12-2】某人在解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则a的值为__________． 【答案】 【详解】试题分析：∵在解方程去分母时，方程右边的－1忘记乘以6，算得方程的解为x＝2， ∴把x＝2代入方程2(2x－1)＝3(x＋a)－1， 得：2×(4－1)＝3×(2＋a)－1， 解得：a＝， 故答案为． 点睛：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 【变式12-3】小石在解关于x的方程时，误将等号前的“”看成“”，得出的解为，则原方程的解为________． 【答案】 【分析】把代入中求出a的值，再求出原方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得：是的解， ∴把代入得： 解得：， ∴原方程为， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟练掌握运算法则，求出，是解题的关键． 【题型13 由一元一次方程的整数解求参数】 【例13】已知关于的方程的解为整数，则正整数的值为__． 【答案】2或4或8 【分析】先整理方程，用含k的代数式表示x，再根据x为整数、k为正整数的条件，确定的取值，进而求出正整数k的值． 【详解】解： 移项得 ， 合并同类项得 ， 当时，方程变为，方程无解，因此， 系数化为得 ， 为整数，为正整数， 是的整数因数，即或， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，不是正整数，舍去． 故正整数k的值为 2或4或8． 【变式13-1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及整数解的确定，先通过解一元一次方程用含的代数式表示，再根据为整数、为整数且确定的取值． 【详解】解：对原方程进行化简 ， ， ， 方程的解是整数，且为整数， 是2的整数因数， ， 故答案为：． 【变式13-2】（25-26六年级上·上海·期末）已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，根据方程的解的定义用a表示出x是解题的关键. 将a看作已知数求出方程的解，表示出x，根据方程的解为正整数，确定出正整数a的最小值即可． 【详解】解： 方程移项合并得：， 解得：， ∵x为正整数，a为正整数，必须被9整除．余7， ∴a的最小值为2． 故答案为：2 【变式13-3】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $