培优03 一元一次方程章末10题型归类（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

培优03 一元一次方程章末10题型归类 题型1 一元一次方程的定义 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1个未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，①中不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合要求； ②中是一元一次方程，故符合要求； ③中是一元一次方程，故符合要求； ④中最高次数为2，故不是一元一次方程，故不符合要求； ⑤中含有两个未知数，故不是一元一次方程，故不符合要求； 故选：B． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：且， ∴， 故答案为：． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】4或或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值． 【详解】解：分两种情况： （1），， 当时，，此时； 当时，，此时； （2），， 解得，，； 当时，，即； 当时，由原方程，得，不符合题意． 题型2 根据一元一次方程解的概念就参数/代数式 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解： 是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 7．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程有无数个解，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确对方程进行化简是关键．首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程有无数解，则令一次项系数和常数项为零，得出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有无数个解， ∴， 解得， 故选：B． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程得，设，则方程可转化为，即可得，据此即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 题型3 等式的性质 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题关键． 根据等式的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：A、两边乘，得到，故A不符合题意； B、当时，等式不一定成立，故B符合题意； C、等式两边同时乘以，然后同时加1，等式仍成立，即，故C不符合题意； D、分子分母都乘以，则，故D不符合题意． 故选：B． 10．（23-24七年级下·北京西城·期末）由可以得到用x表示y的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质、去分母，每一项同乘公约数移项即可求得结果，正确化简是解题的关键． 【详解】解：， 同乘6可得：， 移项可得：， 同时除以2可得：， 故选：D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图，一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y．根据天平两边质量相等构建关系式可得结论． 【详解】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y． 由题意， ∴， ∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍． 故选：C． 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （3）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ． 【答案】 1 都减1 3 2 都除以 2 2 都除以2 【分析】题目考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的性质1，2是解题的关键． （1）中应用的是等式的性质1；（2）、（3）中应用的是等式的性质2． 【详解】（1）若，则，应用的是等式的性质1，变形的方法是等式两边同减1； 故答案为：1；都减1； （2）若，则，应用的是等式的性质2，变形的方法是等式两边同除以； 故答案为：3；2；都除以  ； （3）若，则，应用的是等式的性质2，变形的方法是等式两边同除以2. 故答案为：2；2；都除以2． 13．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案； （2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案； （3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， 解得； （2）解：， ，即， ， 解得； （3）解：， ，， ， 解得． 【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 题型4 解一元一次方程 解方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 14．（24-25七年级上·河南开封·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 15．（2024七年级上·河南·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤，求解即可得到答案． （2）根据解一元一次方程的步骤，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：由，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （3）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （4）先化简、再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 18．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三；去括号出现变号错误；过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质得出错误的步骤及原因，先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】解：从第三步开始出现错误，具体的错误是去括号出现变号错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 方程两边同时乘以6，去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 所以是原方程的解． 故答案为：三；去括号出现变号错误． 题型5 解含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键是要把绝对值符号去掉，使之成为一般的一元一次方程，去绝对值的依据是绝对值的意义. 19．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，分别令，，解得：，，用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解即可得解，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分别令，，解得：，， 用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，可化为，解得：，符合题意； 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 综上，原方程的解为． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为， 它的解是．②当时，原方程可化为，它的解是．所以原方程的解为或． (1)依例题的解法，解方程． (2)尝试解绝对值方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 所以原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为6，它的解是． 所以原方程的解为或． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或． 题型6 利用整体法解一元一次方程 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 23．（2024七年级上·云南·专题练习）在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即将，分别看成整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】解：， 将，分别看成整体进行移项，合并同类项，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 方程两边同除以33， 得． 24．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用解一元一次方程的步骤解答即可； （）把看作一个整体，利用整体法解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握整体法是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 移项，得， 合并同类项，得． 题型7 已知一元一次方程解的关系求值 分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 25．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 26．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据“方程②的解比方程①的解大”得到关于的方程，求解即可．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键． 【详解】解：解方程①得：， 解方程②得：， ∵方程②的解比方程①的解大， ∴， 解得：， ∴的值为． 27．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，利用它们的解互为倒数，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．先将的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值． 【详解】解：解得：， 是方程的解， 由得：， ， 解得：， 则m的值为． 28．（23-24七年级上·全国·期末）关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 题型8 一元一次方程整数解问题 先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值. 29．（21-22七年级上·四川泸州·阶段练习）已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为0，得到关于a的方程求解即可； （2）解一元一次方程可得，由方程的解是正整数，即也是正整数，再结合为整数可得，最后将、代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：，， 的值与无关， ，解得：． （2）解：∵ ∴， ， 方程的解是正整数， 是正整数，即， 为整数， ， ． 30．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 【答案】或 【分析】本题考查解一元一次方程的整数解问题，先解方程，把方程的解用未知数表示出来，分析其为整数的情况，可得出答案，熟练解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 要使方程的解为正整数，只能为， 或． 31．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元一次方程解为整数，求整数m的值． 【答案】或或或， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键是正确掌握一元一次方程的定义； 根据该方程有整数解，且m是整数，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的一元一次方程，解方程即可， 【详解】∵方程有整数解， ∴， ∴， ∴， ∵m是整数， ∴或或或 解得：或或或． 32．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为2或或或或或 【分析】此题考查了多项式的概念，一元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据代数式M为二次多项式，得到，即，把与代入方程，计算即可求出k的值； （2）把代入方程，表示出y，根据y为正整数，求出整数k的值即可． 【详解】（1）解：代数式是关于x的二次多项式， ，即， 把与代入方程，得： 解得：； （2）∵ ∴， ∴， ∵关于的方程的解是正整数 ∴或或或15或或 ∴整数的值为2或或或或或． 33．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可； （2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得； ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． 题型9 一元一次方程与新定义问题 34．（24-25七年级上·吉林·期末）用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据已知新定义运算法则得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． 35．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a，b，定义了一种新运算“△”为：． 例如：，． (1)计算： ①； ②； (2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）①②根据题中定义代入即可得出； （2）根据，讨论3和的两种大小关系，进行计算 【详解】（1）根据题意：①∵， ∴， 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：． （2）当时，， 因为方程的解为， 则， 得，符合题意 当时，方程为 因为方程的解为， 得，不合题意，舍去 所以． 36．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）（创新题）已知为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和○中，并比较它们的运算结果：和； (4)若2※※，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3)答案不唯一，两种运算结果相同 (4) 【分析】在有关“新运算”的问题中，需认真阅读题中所给的“新运算”化“普通运算”的规则，然后根据规则，把“新运算”转化为“普通运算”，再按“普通运算”法则计算即可． （1）先按新运算规则化新运算为普通运算，再按相关运算法则计算即可； （2）先按新运算规则化新运算为普通运算，再按相关运算法则计算即可； （3）按要求任取两个有理数，代入按新运算规则计算，并比较结果即可； （4）先按新运算规则化新运算为普通运算，再按解一元一次方程的步骤进行求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； 即； （4）解： ． 37．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． （1）根据新运算列出算式计算即可； （2）根据新运算列出方程，解一元一次方程即可； （3）根据新运算列出算式，合并同类项，把化为最简的式子，求出它们的差，进而大小可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”．如， 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如． (1) ______ (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请求出的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新运算定义的求解，以及一元一次方程的求解，解题的关键是理解新运算的定义规则，运用规则进行求解． （1）根据新定义的运算规则，求解即可； （2）根据新定义的运算规则，将式子进行展开，然后求解即可； （3）设，根据题意求得有理数n的值，然后代入式子求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义的规则，可得； （2）解： ； （3）解：∵ 设，则， 由题意可得：， 解得， ∴， ∵， ∴． 题型10 一元一次方程与实际问题 39．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 41．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得： ， 解得， （人． 答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 42．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】(1) (2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤． 【详解】（1）解：根据题意得， 故按方案一，购买裤子和T恤共需付款； （2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款， 根据题意得，， 解得， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款 （元）， 共需付款3400元． 43．（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设慢车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解，再加上快车先开的时间即可求得结果； （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）解：设慢车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， ； 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）解：设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 44．（21-22七年级上·福建福州·期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 【答案】问题一：；问题二：（1）甲、乙两地间里程数为12公里；（）两位顾客的里程数为5或30公里． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 问题一：根据出租车的收费标准解答； 问题二：（1）设甲、乙两地间里程数为x公里，分和两种情况列出方程并解答； （2）设两位顾客的里程数为x公里，分和两种情况，分别列出方程并解答． 【详解】解：问题一：（元）． 故答案为：30.8； 问题二：（1）解：设甲、乙两地间里程数为x公里， ①若，， 解得（舍）． ②若，． 解得． 答：甲、乙两地间里程数为12公里； （2）解：设两位顾客的里程数为x公里 ①若时，； 解得； ②若时，， 解得； 答：两位顾客的里程数为5或30公里． 45．（19-20七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 46．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解； ②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒的长度为， ∴P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 47．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 48．（2024七年级上·浙江·专题练习）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】问题一：5或25 问题二：（1）；（2），；（3）或分钟 【分析】本题考主要考查了一元一次方程的应用，钟面角问题： 问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可； 问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． （2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，分针每分钟转过的角是分，即；时钟的时针每小时转过的角是一份，即，即可得结果； （3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可． 【详解】解：问题一：设x小时后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． 故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5小时或25小时后两车相距； 故答案为：5或25； 问题二： （1）． 故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为； 故答案为：，； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得： 解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 49．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一副三角板如图1进行摆放，其中，，点A、O、C在直线上，点B在射线上，点D在射线上．三角板以每秒绕着点O顺时针方向旋转，同时三角板以每秒绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒，两副三角板的旋转角度均小于． (1)当秒时， °． (2)如图2，当射线平分时，求的度数． (3)直接写出当时，t的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时， 【分析】（1）先求解，再求解当时，，，结合角的和差运算可得答案； （2）结合题意可得：，，，可得，求解，再建立方程求解即可； （3）如图，当相遇前，可得，当相遇后，如图，可得，再解方程可得答案. 【详解】（1）解：如图，当时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：128； （2）解：由题意可得：，，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 解得：； ∴； （3）解：如图，当相遇前， 由题意可得：，，， ∴， 解得：， 当相遇后，如图， 由题意可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或时，. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 50．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 (1)一个角的平分线______这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 (2)如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为______； 【问题推广】 (3)在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】(1)是 (2)当为、、时，射线是的“量尺金线”． (3)当t为x或或时，射线是的“量尺金线”． 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算、角平分线的定义、几何图形中的角度计算等知识点，理解题意、列出相应的式子是解题额关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，则在的内部，在的外部，然后分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义． 故答案为：是． （2）解：∵．射线是的“量尺金线”， ∴根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 如图：当时，即 ∵， ∴， ∴； 如图：当时， ∵， ∴， ∴； 如图：当时， ∵， ∴． 综上：当为、、时，射线是的“量尺金线”． （3）解：∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部，在的外部； ∵射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转， ∴， ∵首次等于时停止旋转， ∴ ∴需分以下三种情况： ①如图，当时，即 ∵，， ∴；即：； ②如图，当时， ∵ ∴， ∴； ③如图：当时， ∴， ∴， ∴． 综上：当t为x或或时，射线是的“量尺金线”． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 一元一次方程章末10题型归类 题型1 一元一次方程的定义 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1个未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 题型2 根据一元一次方程解的概念就参数/代数式 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程有无数个解，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 题型3 等式的性质 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24七年级下·北京西城·期末）由可以得到用x表示y的式子是（    ） A． B． C． D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图，一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （3）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ． 13．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 题型4 解一元一次方程 解方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 14．（24-25七年级上·河南开封·期中）解方程： (1)； (2) 15．（2024七年级上·河南·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 16．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 题型5 解含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键是要把绝对值符号去掉，使之成为一般的一元一次方程，去绝对值的依据是绝对值的意义. 19．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为， 它的解是．②当时，原方程可化为，它的解是．所以原方程的解为或． (1)依例题的解法，解方程． (2)尝试解绝对值方程：． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 题型6 利用整体法解一元一次方程 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 23．（2024七年级上·云南·专题练习）在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 24．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 题型7 已知一元一次方程解的关系求值 分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 25．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 26．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 27．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 28．（23-24七年级上·全国·期末）关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 题型8 一元一次方程整数解问题 先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值. 29．（21-22七年级上·四川泸州·阶段练习）已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 30．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 31．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元一次方程解为整数，求整数m的值． 32．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 33．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 题型9 一元一次方程与新定义问题 34．（24-25七年级上·吉林·期末）用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 35．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a，b，定义了一种新运算“△”为：． 例如：，． (1)计算： ①； ②； (2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值 36．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）（创新题）已知为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和○中，并比较它们的运算结果：和； (4)若2※※，求的值． 37．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 38．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”．如， 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如． (1) ______ (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请求出的结果． 题型10 一元一次方程与实际问题 39．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 40．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 41．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 42．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 43．（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 44．（21-22七年级上·福建福州·期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 45．（19-20七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 46．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 47．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 48．（2024七年级上·浙江·专题练习）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 49．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一副三角板如图1进行摆放，其中，，点A、O、C在直线上，点B在射线上，点D在射线上．三角板以每秒绕着点O顺时针方向旋转，同时三角板以每秒绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒，两副三角板的旋转角度均小于． (1)当秒时， °． (2)如图2，当射线平分时，求的度数． (3)直接写出当时，t的值． 50．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 (1)一个角的平分线______这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 (2)如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为______； 【问题推广】 (3)在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $