第二章 有理数的运算《易错点讲义》单元复习2026-2027年人教版七年级数学上册

第二章 有理数的运算《易错点讲义》单元复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 程序流程图与有理数计算 题型二 算24点 题型三 有理数加减法的实际应用 题型四 有理数乘除法的实际应用 题型五 乘方的应用 题型六 裂项相消 题型七 绝对值化简 题型八 倒数法巧算 题型九 数轴上动点 题型十 数轴上的折叠 题型十一 新定义运算进阶 题型十二 乘方规律探究 单元培优卷 必备知识 考点01 有理数的加法 1. 有理数的加法运算法则： ①同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。 ②异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。 ③与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 2. 有理数的加法运算定律及其运算技巧： ①加法交换律：。 ②加法结合律： 3. 有理数加法计算时的技巧： （1） 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2） 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3） 凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4） 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） 4减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 5数轴上两点之间的距离： 数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 【针对训练】 1．计算的结果等于（    ） A． B．8 C． D．6 2. ． 3. 计算： (1)． (2)． (3)． 考点02 有理数的乘除法： 1. 乘法运算法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 （2） 任何数与0相乘都等于0。 （3） 任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 （4） 在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 （5） 多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 2. 乘法运算定律： （1） 乘法交换律：。 （2） 乘法结合律： （3） 乘法分配律： 3.除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。即 。 说法二：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 【针对训练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 2．使用计算器计算时，按键顺序为：，则计算结果为 ． 3．计算：． 考点03 有理数的乘方： 1. 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数 的积的运算叫做乘方。即（个）=。把看做的次方的结果则可读作：的次幂 ，其中是底数，是指数。 特别提示： （1） 当指数是1时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。 （3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作： 立方。 2. 有理数的乘方的计算： 。把乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是正数。 （2） 负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得0。 （4） 1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 3. 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，即，底数是a。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数，即－，底数是a 。 表示的意义是n个－a相乘的积，即，底数是－a。 （1） 当为奇数时，－和相等，他们与互为相反数。 （2） 当为偶数时，和相等，他们与互为相反数。 【针对训练】 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 2．若，则 ． 3．计算： 考点04 有理数的混合运算： 1. 有理数的混合运算法则： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【针对训练】 1．（ ）． A． B． C． D． 2．现对整数定义一种新的运算，运算符号记为☆，其运算法则如下：a☆b=，则2☆4= ． 3．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 考点05 科学记数法： 1. 科学计数法： 把一个大于10或小于﹣10的数用的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中 1≤＜10 。为正整数。 方法技巧： （1） 确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是。 （2） 确定：小数点移动了几位就是几。 特别提示： 当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。 2. 科学计数法还原： 还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足。 【针对训练】 1．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 2．某生态学研究团队在分析不同植物的花粉传播效率时，发现一种植物花粉颗粒极为微小．研究人员使用高精度电子显微镜进行测量，结果显示其直径约为米．将用科学记数法表示为 ． 典例精析 题型一 程序流程图与有理数计算 1. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，我们看到第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 2. 按如图所示的运算程序，当，输出的结果为 ． 题型二 算24点 1. “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2. 3，4，5，6算“24点”，写出算式 ． 题型三 有理数加减法的实际应用 1. 某景区今年2月份游客人数比1月份翻了一番，3月份比2月份减少了20％，该景区3月份游客人数比1月份增加了（   ） A．60％ B．80％ C．40％ D．20％ 2. 下表列出了几个城市与北京的时间差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值），如果现在纽约时间是10月12日19：00，那么北京时间是 ． 城市 东京 纽约 巴黎 芝加哥 时差 +l -13 -7 -14 题型四 有理数乘除法的实际应用 1. 小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（    ） A． B． C． D． 2. 已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不另外付钱，则最多可以换矿泉水 瓶． 题型五 乘方的应用 1. 13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（　　） A． B． C． D．7 2. 将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折5次可裁 张． 题型六 裂项相消 1. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 2. 阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 题型七 绝对值化简 1. （1）若，求的值； （2）若a、b、c是非零的有理数，且，求的值． 2. 【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 题型八 倒数法巧算 1. 阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，再把所得结果相加． 思路2：先求出，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____________． (2)请选择一种正确的思路计算： 2. 请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 题型九 数轴上动点 1. 如图，甲、乙两人的对应点分别在数轴和6的位置上，两个点沿数轴做东西方向移动的游戏．每一局，两人先进行“石头，剪刀，布”的划拳，（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀），而后根据输赢结果进行移动，然后再进行下一局． 移动规则：①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为___________，乙在数轴上代表的数为___________； (2)若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是___________，此时甲与乙在数轴上的位置相距___________个单位长度． (3)从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出的值：___________． 2. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．，请你利用数轴解决以下问题：（如图1）      (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为______________； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示1的点之间，点P对应的数记为m，则________ (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则等于_______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，，16，20，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟3个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 题型十 数轴上的折叠 1. 如图为白纸上的一条数轴，，是数轴上的两个点，点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4． (1)点表示的数是 ． 提示：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4，所以，所以点表示的数是1． (2)，，，是数轴上不同于，的四个点，把数轴折叠，使，两点重合，此时，两点也重合． ①若点在原点的右边，到原点的距离为6，求点表示的数． ②若点，在数轴上原点的两侧，点到点的距离是100，折叠后，点到点，的距离相等，求点表示的数． 2. 操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点．如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． (1)若点表示的数是，求点表示的数； (2)若点表示的数是2，求点表示的数； (3)点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是_____（用含的代数式表示） (4)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若点与点A之间的距离等于2，则点表示的数是_____． 题型十一 新定义运算进阶 1. 定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 2. 已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且规定表示不大于的最大整数，例如． (1)若，，，求的值； (2)若、、满足，且，求的值； (3)若，，且点、点在数轴上从左到右排列，，求的值． 题型十二 乘方规律探究 1. 如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：___________； 2. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 第二章《有理数的运算》单元培优卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：七年级数学上册第二章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．数轴上的点A到的距离是5，则点A表示的数为（    ） A．3或 B．5或 C． D．5 3．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2022年我国粮食总产量再创新高，全国粮食总产量达13731亿斤．数据13731亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．在7，0，，，，中，负数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（    ） A．59 B．－1 C．1 D．0 6．在有理数的运算过程中，运用了（    ） A．乘法交换律，乘法结合律 B．乘法结合律，分配律 C．乘法交换律，分配律 D．乘法交换律，乘法结合律，分配律 7．计算（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ） 甲：． 乙：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 9．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 10．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．计算：______． 12．一个数用科学记数法表示是 ，则这个数不用科学记数法的表示是____． 13．如图，数轴上的两个点分别表示和m，若这两个点之间的距离为5，则m的值为______． 14．若则______． 三、解答题（共78分） 15．计算： (1) (2) 16．已知的绝对值为3，、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数．试求的值． 17．淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 18．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 (1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？ (2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？ (3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？ 19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 20．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 21．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 22．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①的最小值是______； ②求的最小值以及此时的值． 23．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算《易错点讲义》单元复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 程序流程图与有理数计算 题型二 算24点 题型三 有理数加减法的实际应用 题型四 有理数乘除法的实际应用 题型五 乘方的应用 题型六 裂项相消 题型七 绝对值化简 题型八 倒数法巧算 题型九 数轴上动点 题型十 数轴上的折叠 题型十一 新定义运算进阶 题型十二 乘方规律探究 单元培优卷 必备知识 考点01 有理数的加减法 1. 有理数的加法运算法则： ①同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。 ②异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。 ③与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 2. 有理数的加法运算定律及其运算技巧： ①加法交换律：。 ②加法结合律： 3. 有理数加法计算时的技巧： （1） 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2） 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3） 凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4） 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） 4减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 5数轴上两点之间的距离： 数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 【针对训练】 1．计算的结果等于（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2 . ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键． 本题利用异号两数相加的法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 3. 计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将分母相同的分数分组，简化计算. （2）将互为相反数或相加为整数的小数结合，简化计算. （3）将小数和分数分别分组，简化计算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 考点02 有理数的乘除法： 1. 乘法运算法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 （2） 任何数与0相乘都等于0。 （3） 任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 （4） 在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 （5） 多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 2. 乘法运算定律： （1） 乘法交换律：。 （2） 乘法结合律： （3） 乘法分配律： 3.除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。即 。 说法二：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 【针对训练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则可以解答本题． 【详解】解： ， 故选：D． 2．使用计算器计算时，按键顺序为：，则计算结果为 ． 【答案】 【分析】按照计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：根据按键顺序知，所求算式为． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了有理数的计算，解题关键是明确运算顺序，准确进行计算． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则． 考点03 有理数的乘方： 1. 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数 的积的运算叫做乘方。即（个）=。把看做的次方的结果则可读作：的次幂 ，其中是底数，是指数。 特别提示： （1） 当指数是1时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。 （3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作： 立方。 2. 有理数的乘方的计算： 。把乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是正数。 （2） 负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得0。 （4） 1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 3. 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，即，底数是a。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数，即－，底数是a 。 表示的意义是n个－a相乘的积，即，底数是－a。 （1） 当为奇数时，－和相等，他们与互为相反数。 （2） 当为偶数时，和相等，他们与互为相反数。 【针对训练】 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查乘方的意义，注意中没有括号，所以负号不参与乘方运算． 【详解】解：表示的意义是3个2相乘的相反数， 故选：B． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方计算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：， ∵7和的平方等于49， ∴， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 考点04 有理数的混合运算： 1. 有理数的混合运算法则： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【针对训练】 1．（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的四则运算求解即可． 【详解】解： 故选：C 【点睛】此题考查了有理数的四则运算，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则． 2．现对整数定义一种新的运算，运算符号记为☆，其运算法则如下：a☆b=，则2☆4= ． 【答案】/ 【分析】根据定义的新运算直接代入计算即可． 【详解】解：由题意得：2☆4＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． 3．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）3；（2）12；（3）24；（4）11；（5）30；（6）30 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的运算法则逐题计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 考点05 科学记数法： 1. 科学计数法： 把一个大于10或小于﹣10的数用的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中 1≤＜10 。为正整数。 方法技巧： （1） 确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是。 （2） 确定：小数点移动了几位就是几。 特别提示： 当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。 2. 科学计数法还原： 还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足。 【针对训练】 1．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．某生态学研究团队在分析不同植物的花粉传播效率时，发现一种植物花粉颗粒极为微小．研究人员使用高精度电子显微镜进行测量，结果显示其直径约为米．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 典例精析 题型一 程序流程图与有理数计算 1. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，我们看到第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据流程图分别算出前五次的结果，进行比较，可找出循环规律，由此即可求解． 【详解】解：第一次，； 第二次，； 第三次，， 第四次，， 第五次，， 第六次，， … 第次，，即循环了次， ∴第次应该是， 故选：． 【点睛】本题主要考查流程图中实数的运算，理解流程图的执行顺序，根据条件选择不同的计算方法，掌握有理数的运算方法，及规律是解题的关键． 2. 按如图所示的运算程序，当，输出的结果为 ． 【答案】12 【分析】根据运算程序，把，代入代数式，求值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当，时，=， 故答案是：12． 【点睛】本题主要考查按程序图求代数式的值，掌握含乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． 题型二 算24点 1. “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2. 3，4，5，6算“24点”，写出算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的混合运算，进行计算即可求解． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型三 有理数加减法的实际应用 1. 某景区今年2月份游客人数比1月份翻了一番，3月份比2月份减少了20％，该景区3月份游客人数比1月份增加了（   ） A．60％ B．80％ C．40％ D．20％ 【答案】A 【分析】本题考查游客人数的增减性问题，正确理解增长率是解题的关键．将1月的游客人数看成1，正确表示出2月和3月的游客人数，用3月份的游客人数减去1月份的游客人数的差除以1月份的游客人数，即可得解． 【详解】解：． 故选A． 2. 下表列出了几个城市与北京的时间差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值），如果现在纽约时间是10月12日19：00，那么北京时间是 ． 城市 东京 纽约 巴黎 芝加哥 时差 +l -13 -7 -14 【答案】10月13日8：00． 【分析】由统计表得出：纽约时间比北京时间晚13小时，所以用纽约时间加上13小时即可得出北京时间． 【详解】解：纽约时间是10月12日19：00； ∴北京时间是19+13=32，32-24=8，即10月13日8：00 故答案为：10月13日8：00． 【点睛】本题考查正负数的意义和有理数的加减运算，解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 题型四 有理数乘除法的实际应用 1. 小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出从32℃降低到20℃所需要的时间，再加上从60℃降低到32℃所需要的时间即可求解． 【详解】解：每分钟降低4℃，从32℃降低到20℃所需要的时间是min． 从60℃降低到32℃所需要的时间是8min． 所以共用时间为8+3=11min． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数加法运算的实际应用和有理数除法运算的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 2. 已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不另外付钱，则最多可以换矿泉水 瓶． 【答案】3 【分析】根据题意，列式求解即可得到答案． 【详解】解：4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶， 由于题中未要求换取的矿泉水用空， ，即12个矿泉水空瓶若不另外付钱，则最多可以换矿泉水3瓶， 故答案为：3． 【点睛】本题考查用数学解决实际生活中的问题，读懂题意是解决问题的关键． 题型五 乘方的应用 1. 13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（　　） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】有理数乘方的定义：求个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解． 【详解】解：依题意有，刀鞘数为． 故选：C． 【点睛】考查了有理数的乘方，关键是根据题意正确列出算式，是基础题型． 2. 将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折5次可裁 张． 【答案】 【分析】根据已知找到规律，即可列式求出答案．本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的意义和运算法则． 【详解】解：∵将一张纸对折1次可裁（张）， 将一张纸对折2次可裁（张）， 将一张纸对折3次可裁（张）， …， ∴将一张纸对折5次可裁（张）， 故答案为：． 题型六 裂项相消 1. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 2. 阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型七 绝对值化简 1. （1）若，求的值； （2）若a、b、c是非零的有理数，且，求的值． 【详解】解：（1）∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 故的值为； （2）∵，，， 又∵， ∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数， ∴ ∴， ∴． 2. 【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 题型八 倒数法巧算 1. 阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，再把所得结果相加． 思路2：先求出，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____________． (2)请选择一种正确的思路计算： 【详解】（1）解：∵有理数除法不满足分配律，即； 思路1将拆分为，违背除法法则； 思路2先算括号内和再相除、思路3先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确． 思路3：先算，再求所得结果的倒数，正确． 故答案为：1； （2）解法1： =1； 解法2： ， ． 2. 请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 题型九 数轴上动点 1. 如图，甲、乙两人的对应点分别在数轴和6的位置上，两个点沿数轴做东西方向移动的游戏．每一局，两人先进行“石头，剪刀，布”的划拳，（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀），而后根据输赢结果进行移动，然后再进行下一局． 移动规则：①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为___________，乙在数轴上代表的数为___________； (2)若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是___________，此时甲与乙在数轴上的位置相距___________个单位长度． (3)从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出的值：___________． 【详解】（1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 2. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．，请你利用数轴解决以下问题：（如图1）      (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为______________； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示1的点之间，点P对应的数记为m，则________ (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则等于_______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，，16，20，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟3个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或； （2）解：∵点P对应的数记为m， ∴表示点P到1和的距离和， ∵数轴上点P位于表示的点与表示1的点之间， ∴点P到1和的距离和为：， ∴； （3）解：∵， ∴． （4）解：①∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，，16，20， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， ∵点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动7秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为260秒． 题型十 数轴上的折叠 1. 如图为白纸上的一条数轴，，是数轴上的两个点，点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4． (1)点表示的数是 ． 提示：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4，所以，所以点表示的数是1． (2)，，，是数轴上不同于，的四个点，把数轴折叠，使，两点重合，此时，两点也重合． ①若点在原点的右边，到原点的距离为6，求点表示的数． ②若点，在数轴上原点的两侧，点到点的距离是100，折叠后，点到点，的距离相等，求点表示的数． 【详解】（1）解：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4， 所以， 故答案为：1． （2）①解：对折点表示的数为 所以点到对折点的距离为， 所以点表示的数为． ②若点在原点左侧，折叠后，，两点重合，点到点的距离等于折叠前点到点的距离，所以折叠后点表示的数为． 因为折叠后点到点，的距离相等，所以点表示的数为． 若点在原点右侧，同理可得，折叠后点表示的数为． 所以点表示的数为． 综上，点表示的数为201或． 2. 操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点．如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． (1)若点表示的数是，求点表示的数； (2)若点表示的数是2，求点表示的数； (3)点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是_____（用含的代数式表示） (4)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若点与点A之间的距离等于2，则点表示的数是_____． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）由题意，点表示的数为； （3）由题意，点表示的数为； （4）由（1）（2）可知，点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点A之间的距离等于2， ∴点表示的数为或； ∴点表示的数为或． 题型十一 新定义运算进阶 1. 定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 2. 已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且规定表示不大于的最大整数，例如． (1)若，，，求的值； (2)若、、满足，且，求的值； (3)若，，且点、点在数轴上从左到右排列，，求的值． 【详解】（1）解：， ． （2）由于， ，， ，， ，， ，，， ． （3），， ，， ，即， ， 由于点、点在数轴上从左到右排列， ， 满足要求，故． 题型十二 乘方规律探究 1. 如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：___________； 【详解】解：由所给图形得： ； ； ⋯； 所以，； 2. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 第二章《有理数的运算》单元培优卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：七年级数学上册第二章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒数 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2．数轴上的点A到的距离是5，则点A表示的数为（    ） A．3或 B．5或 C． D．5 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴的应用，解题关键是能求出符合条件的所有情况．根据题意得出两种情况，当在点A的右边时，当在点A的左边时，分别求出即可． 【详解】解：当在点A的右边时，； 当在点A的左边时，． 故点A表示的数是3或． 故选：A． 3．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2022年我国粮食总产量再创新高，全国粮食总产量达13731亿斤．数据13731亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于或等于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：13731亿． 故选D． 4．在7，0，，，，中，负数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．负数就是小于0的数，依据定义即可求解． 【详解】解：，，， 负数有，，，一共3个， 故选：B． 5．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（    ） A．59 B．－1 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，正确进行计算是解题关键．根据题意，操作步骤表示的运算式为，把代入计算，即可作答． 【详解】解：由题意可得：运算式为， 则把代入， ∴原式， 故答案为：B． 6．在有理数的运算过程中，运用了（    ） A．乘法交换律，乘法结合律 B．乘法结合律，分配律 C．乘法交换律，分配律 D．乘法交换律，乘法结合律，分配律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】此题考查有理数乘法运算律，根据运算中与交换位置，且先计算，确定其运算过程中运用了乘法的交换律和结合律． 【详解】解：在有理数的运算过程中， 运用了乘法交换律，乘法结合律， 故选A． 7．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 8．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ） 甲：． 乙：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，重点检查对负号的处理和简便方法的正确使用．减去一个数等于加上这个数的相反数，甲在计算中把减法转化为了加法，却没有把减数转化为它的相反数，导致计算错误；乙正确运用了运算法则和加法结合律，计算正确． 【详解】解：对于甲： ， 但甲计算为10， 甲计算错误； 对于乙： ， 乙计算正确， 只有乙正确． 故选：D． 9．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和乘法运算，再进行加法运算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 10．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．计算：______． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将除法化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．一个数用科学记数法表示是 ，则这个数不用科学记数法的表示是____． 【答案】3024000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】科学记数法的标准形式为（，n为整数），本题数据“”中的，指数n等于6，所以，需要把的小数点向右移动6位，就得到原数了． 【详解】， 故答案为：3024000． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 13．如图，数轴上的两个点分别表示和m，若这两个点之间的距离为5，则m的值为______． 【答案】2 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴，数轴数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：由数轴得，表示m的点在表示的点的右边， 所以， 故答案为：2． 14．若则______． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2)0 【知识点】有理数加法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先把减法转化为加法，然后同号两数先相加，再进行计算； （2）同号两数先相加，再进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．已知的绝对值为3，、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数．试求的值． 【答案】24或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据绝对值性质，倒数定义，相反数定义，最大的负整数概念，推出或，，再分情况代入求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握相关性质与定义，并正确计算． 【详解】解：的绝对值为3，、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数． 或，， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为24或． 17．淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 【答案】(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）先把带分数拆成整十数加剩余部分的形式，因为要凑出整数方便计算，所以可将其改写为，根据带分数的拆分规则确定的数值，再运用乘法分配律展开计算； （2）先明确带分数的定义，因为带分数是整数部分与分数部分的和的简写，所以判断中整数和分数部分的运算符号，确定的内容，再运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）略 （2）略 18．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 (1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？ (2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？ (3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)38 (2) (3)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：， 即这一周里路程最多的一天比最少的一天多走； 故答案为：38 （2）解：， 即小王的新能源电动汽车这一周一共行驶； （3）解：元， 即小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省元． 19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 20．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 【答案】(1)， 在数轴上表示如图所示： (2) 如图所示： 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据正数、整数、负数的定义即可． 【详解】（1）． （2）略 21．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 22．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①的最小值是______； ②求的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义． （1）分别表示，，即可求解； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离． 【详解】（1）解：，， 点到点的距离与点到点的距离之和为， 故答案为：； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， 的最小值是， 故答案为：； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， 在时取最小值，最小值为． 23．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)点P表示的数为或，或15 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $