第二章《有理数的运算》之规律探索问题 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学单元复习讲义围绕《有理数的运算》规律探索，通过8个考点系统构建知识体系，结合表格归纳、分步解析等工具呈现从单数组到多行数、从数字排列到运算规律的思维路径，突出奇偶性应用、多维度观察等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养导向的方法指导，如多行数规律题（例3）引导学生从第一行衍生其他行规律，培养推理意识，运算规律题（例5）用表格归纳求和公式，发展抽象能力。随堂练习涵盖基础填空与综合计算，助力不同层次学生掌握规律方法，为教师实施精准分层教学提供支持。

新人教版数学七年级上册《有理数的运算》的规律探索问题解析 学习目标： 1.学会从序号的奇偶性入手，确定奇数位上数字，偶数位上的数字，正确掌握数的奇偶性的解题应用； 2.学会用数学的眼光观察问题，掌握数的规律的发现方法和遵循的基本发现途径； 3.学会用数学的思维思考问题，掌握规律问题的思维特征和思维方向； 4.学会用数学的语言表达现实世界，会用严谨的数学语言，数学逻辑，数学格式来表达所发现的数学规律，不能有歧义； 5.通过训练，培养研究数学，热爱数学的科学品质，砺练痴迷数学的学习毅力，掌握数学学习的科学本领，为祖国建设贡献数学智慧和数学力量。 考点1：观察数组的特点，发现数组的规律，写出目标数 例1 有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A. B. C. D. 7 分析：1.用数学的眼光观察：发现只有第一个数与其余各数在表现形式上是不同的，为此，解决问题的第一步就是从表现形式上实现完全统一，将写成； 2.实现了形式统一后，从数的位置，数学的符合，分子特征，分母特征四个维度去发现它们一致性的特点，就发现了数的内在变化规律； 3.用数学的思维和数学语言表达思考后的规律，并将规律一般化，继而将问题具象化，实现问题的解决，达到解题目标。 解：将写成，数组变形为：， 发现：奇数位上的数都是负数，偶数位上的数都是正数，所有分数的分子都是1，分母是它们所在数位的序号数，于是这组数的一般规律为：， ∵第7个数，7是奇数，∴．故选A． 随堂练习1:1.已知，，，，则________ ． 2.按规律排列的一组数据：，，，，，，，……，则这列数中的第2024个数是_____． 3.观察一列数：，…，按你发现的规律计算这列数的第2025个数为____． 考点2：观察数组的特点，发现数组的规律，借助平方，相反数写出目标数 例2 观察下列数的规律，填上合适的数：1，，9，，25，，49， __． 分析：先观察总结规律，再根据规律求解．本题考查了正负数认识，规律型问题，正确找到规律是解题的关键． 解：根据题意，列表如下： 序号数 奇偶性 序号数的平方 结果呈现 1 奇数 1 1 2 偶数 4 3 奇数 9 9 4 偶数 16 5 奇数 25 25 6 偶数 36 7 奇数 49 49 8 偶数 64 由此得到规律是：序号是奇数时，其对应的结果是序号的平方，是正数；序号是偶数时，其对应的结果是序号的平方的相反数，是负数；∴第八个数是的相反数即， 故答案为：． 点评：列表法是一种发现规律的高效呈现载体，也是一种高效的解题策略，是一种有效学习的重要途径和方法，也是数学思维的高效锻炼，值得熟练驾驭。 随堂练习2: 观察下列数的规律，填上合适的数：． 考点3：观察多行数的特点，发现各行数之间的内在联系，用规律解题 例3观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ （1）第①行的第8个数是_____． （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 分析：（1）根据，，，，，于是得到第n个数为，当时，计算解答即可． （2）根据，，，，，于是得到第n个数为，根据，，，，，于是得到第n个数为，解答即可． （3）根据前面的规律，分别计算时的值，再求和即可． 本题考查了有理数的乘方，有理数的加减混合，熟练掌握有理数的乘方的混恶化运算是解题的关键． （1）解：根据题意，得，，，，， 故第n个数为，当时，， 故答案为：256． （2）解：根据，，，，，于是得到第n个数为，故第二行的各数是第一行对应各数分别加上3； 根据，，，，，于是得到第n个数为，故第三行的各数是第一行对应各数分别除以2． （3）解：时，，，， 故． 点评：像这种多行数寻找规律的问题，解答时，要立足第一行，展开全方位的思维，从数值的特点，运算的方式，表达的形式，去探索内在蕴含的基本规律，以此为基础，衍生其余各行的规律，这一点非常重要！ 随堂练习3： 1. 观察下列三行数： ，4，，16，，64，…① ，…② ，…③ （1）第①②③行中的第7个数分别为__________，__________，__________； （2）分别取第①②③行中的第10个数，计算这三个数的和； （3）分别取第①②③行中的第n个数，依次记为a，b，c，直接写出的值． 2.观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8， ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， （1）第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； （2）取每行中第10个数，求三个数之和； 考点4：观察多列数的特点，发现各列数之间的内在联系，用规律解题 例4将连续正整数按如下规律排列：（ ） 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第5行 17 18 19 20 … 则正整数566位于（ ） A.第141行、第一列 B.第141行、第二列 C.第142行、第三列 D.第142行、第四列 分析：用数对表示位置，4个数字一行，奇数行从左到右排列，偶数行从右到左排列，通过计算确定566的位置即可．本题考查了用数对表示位置，数字的规律，熟练掌握规律是解题的关键． 解：根据题意，得到如下规律： 第1行的四个数位置表示为：， 第2行的四个数位置表示为：， 第3行的四个数位置表示为：， 第4行的四个数位置表示为：， ∵， 故566这个数应该位于第142行，第2个数，其位置表示为， ∴ 566位于第142行、第四列，故选：D． 随堂练习4：在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 考点5：运算方式中的规律解题 例5从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2 3 4 5 （1）若时，求的值． （2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：___________． （3）根据上题的规律计算的值． 分析：（1）根据题意，1个加数时，和为；2个加数时，和为；3个加数时，和为；由此发现，当有n个加数时，它们的和为，根据规律计算即可． （2）根据猜想的规律解答即可． （3）根据题意， ，计算即可． 本题考查了规律猜想，有理数的乘法混合运算，正确发现规律，熟练掌握有理数乘法运算是解题的关键． 解：（1）根据题意，得1个加数时，和为；2个加数时，和为；3个加数时，和为；由此发现，当有n个加数时，它们的和为， 当时，． （2）解：根据题意，1个加数时，和为；2个加数时，和为；3个加数时，和为；由此发现，当有n个加数时，它们的和为，即，故答案为：． （3）解： ． 随堂练习5：已知一组有理数、，我们将左边的数减去右边的数即的值插入到、之间称之为一次“差数操作”，若，；第1次“差数操作”得1，5，；第2次“差数操作”得1，，5，9，； （1）第3次“差数操作”所得数的和是___________； （2）第2025次“差数操作”所得数的和是___________． 考点6：数串排成特定形状中的规律 例6如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． （1）在A处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？ （3）第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 分析：（1）根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，解答即可． （2）根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，根据此规律解答即可． （3）根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数； 解答即可．本题考查了数字的规律，有理数的运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． （1）解：根据题意，数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，A在向上的的箭头所指的位置上，故为正数，故A表示的数是正数． （2）解：根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，故负数排在B和D的位置． （3）解：根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；且序号是奇数时，其对应位置上的数一定是负数，且数值等于序号，由2025是奇数，故第2025个数一定是负数，且为，当时， 解得；当时，解得，不是整数，故第2025个数一定是上方负数，故一定排在B的位置． 随堂练习6：如图物体从点出发，按照（第1步）（第2步）的顺序循环运动，则第2015步到达点_______处． 考点7：Wifi密码中的规律 例7如图，一个网红“打卡”景点把Wifi密码在广告牌上做成了一道趣味数学题．如果是你去这个景点“打卡”，想要连接上这个Wifi，你会输入的密码是________． 分析：根据式子，确定算式中的计算规律，解答即可． 本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键． 解：根据题意，得最左边的两位数为#前后两个数的积，其相邻的两位数为左右两个数的和乘以中间数，最后的四位数为最左边数为底数，中间数为指数的幂乘以10， ∵，，， ∴， 故答案为：． 随堂练习7：小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴”）的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为_____次． 解：根据复制粘贴呈2倍的速度增加，，，故答案为：10. 考点8：机器人爬台阶中的数学规律 例8如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，且任意相邻四个台阶上数的和都相等，若机器人爬到第m个台阶时，前m个台阶上所标有理数之和第一次是，则机器人立即停止运动，则m的值为______． 分析：根据题意，得，得到任意相邻四个台阶上数的和都相等，且都是，根据已知，依次确定第5个数，第6个数，第7个数，第8个数，确定数字的变化规律，根据相邻四个数的和为，结合前m个台阶上所标有理数之和第一次是，确定数组数为，根据每个数组有4个数，得到，解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，运算中的规律，解一元一次方程，熟练掌握运算法则，探索出运算中的规律，解方程是解题的关键． 解：根据题意，得，得到任意相邻四个台阶上数的和都相等，且都是， 设第5个数为a，则， 解得； 设第6个数为b，则， 解得； 设第7个数是c，则， 解得； 设第8个数是d，则， 解得； 综上所述，相邻四个台阶上的数是按四个一循环， 根据相邻四个数的和为，结合前m个台阶上所标有理数之和第一次是， 得数组数为，根据每个数组有4个数，得到． 故答案为：4048． 参考答案： 随堂练习1： 1.解：由题知， 所给各数的分子依次为3，5，7，9，…， 所以第n个数的分子可表示为； 所给各数的分母依次为2，5，10，17，…， 所以第n个数的分母可表示为， 又因为第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， 所以第n个数可表示为：； 当时， ． 2.解：根据题意，得当数列中数的序号是奇数时，该数为正，且分子是序号数，分母是序号数加2；当序号数是偶数时，该数为负数，且分子是序号数除以2，分母是分子加1，2024是偶数，故第2024个数是． 故答案为：． 3.解：根据题意，得，，，， 由此得到第n项为， 当时，， 故答案为：． 随堂练习2:216； 随堂练习3： 1.（1）解：第①行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 第②行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 第③行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 故答案为：． （2）解：当时， ；，， 故三个数的和为：． （3）解：根据题意，得，，， 故． 2.（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为， 第二行的规律是，，，于是得到第n个数为； 根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为， 当时，，，， 故答案为：17，16，34． （2）解：当时，，，， 故． 随堂练习4：解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 随堂练习5（1）解：第3次“差数操作”所得数为：1，，，，5，，9,13，， 故， 故答案为：12． （2）解：根据题意，得原数串和为：，第一次“差数操作”的数串和为：；第二次“差数操作”的数串和为：；第三次“差数操作”的数串和为：， 故第n次“差数操作”的数串和为：， 当时，． 故答案为：． 随堂练习6：解：根据题意，循环节为,由8个， 由， 则到达点， 故答案为：G． 随堂练习7：解：根据复制粘贴呈2倍的速度增加，，，故答案为：10. 学科网（北京）股份有限公司 $