江苏省徐州市第三中学2025-2026学年高三上学期1月学情调研数学试题

徐州三中2026届高三学情调研 数学试题2026.01 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 7． 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0) (c＞0)，若过F1的直线和圆x2＋y2－cx＝0相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是 ( ) A． B． C． D． 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ） A. 甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B. 甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C. 甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D. 甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11． 已知函数f(x)＝(x＋1)(x－2)2－1的图象与直线y＝t(t∈R)交于不同的三点A(x1，t)，B(x2，t)，C(x3，t)，且x1＜x2＜x3，则 ( ) A．f(x)的极大值为3 B．t的取值范围为(－1，3) C．(x3－x1)2的取值范围为(9，12) D．x1x3的取值范围为[－，0) 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12．已知＜α＜π，cos(α－)＝ ，则cosα＝________． 13．已知直线l：3x＋4y－5＝0与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋ty＝0平分，则实数t的值为________． 14.已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为_______. 四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 锐角三角形中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，为中点，求中线长的最大值. 16. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 17. 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1. （1）证明：； （2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值. 18．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 19．设函数，，其中． （1）求函数的单调区间； （2）求证：和的图象必有两个交点． S 数学试题 第 3 页（共 19 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2026届高三学情调研 数学 参考答案2026.01 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2．已知样本数据5，6，6，7，8，9，10，12，则该组数据的第60百分位数为 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 3. 设，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 【答案】C 7． 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0) (c＞0)，若过F1的直线和圆x2＋y2－cx＝0相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ） A. 甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B. 甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C. 甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D. 甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 【答案】AD 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 11． 已知函数f(x)＝(x＋1)(x－2)2－1的图象与直线y＝t(t∈R)交于不同的三点A(x1，t)，B(x2，t)，C(x3，t)，且x1＜x2＜x3，则 ( ) A．f(x)的极大值为3 B．t的取值范围为(－1，3) C．(x3－x1)2的取值范围为(9，12) D．x1x3的取值范围为[－，0) 【答案】ABD 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12．已知＜α＜π，cos(α－)＝ ，则cosα＝________． 【答案】 13．已知直线l：3x＋4y－5＝0与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋ty＝0平分，则实数t的值为________． 【答案】3 14.已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为_______. 【答案】 四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 锐角三角形中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，为中点，求中线长的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及三角恒等变换进行化简即可得解. （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 因， 所以， 又，所以， 由题意知，所以. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 则， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号，即， 所以，即中线长的最大值为. 16. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】（1）， （2）4231 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【小问1详解】 因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，， 两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 17. 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1. （1）证明：； （2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据为直径，得到，再根据为母线，易得，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）分别以向量为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的法向量可取为， 然后由求解. 【详解】（1）因为为直径，点D在圆上且不同于A，C点， 所以，又因为为母线， 所以平面，又平面， 从而，又， 所以平面， 又平面， 所以. （2）由（1）知两两相互垂直，所以分别以向量为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，圆柱的底面直径为2，所以，所以， 又B为的中点，所以，即为正方形， 所以， 由，得， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取， 又因为平面的法向量可取为， 所以， 由题知， 所以，解得（舍）或， 所以的值为 18．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 19．设函数，，其中． （1）求函数的单调区间； （2）求证：和的图象必有两个交点． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可求解； （2）令，求导说明在上单调递减，在上递增，结合零点存在定理分析知，只需证明即可，即证明即可，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 令，． 当时，即，即，故恒成立，此时在上单调递增， 当时，，即方程有2个根，， ，， 因为，，所以， 当或时，，单调递增． 当时，，单调递减． 综上，时，的单调增区间为． 当时，的单调增区间为， 的单调减区间为． 【小问2详解】 记， 则，， 因为，， 所以若，；若，． 在上单调递减，在上递增， ， 记， 要证明和的图象必有两个交点，即证明必有两个零点． 即证明，即证明，即证明． 令，则只需证明， 因为，且， 所以当，，当，， 故在上递减，在上递增， 所以，即． 又时，， 所以成立，和的图象必有两个交点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $