精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高三上学期数学期末练习一

练习一 一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知直线与直线平行，则实数值为（ ） A. B. C. D. 或 2. 设，则=（ ） A. B. C. D. 2 3. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 6. 《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺 A. 1 B. 1.25 C. 1.5 D. 2 7. 设是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分） 9. 已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使得成立的最大自然数 C. D. 中最小项为 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 已知直线，.若，则实数a的值为3 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 11. 是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，方程有两个解 C. D. 当时，方程有且只有一个解 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知，在上投影向量为，则_________． 13. 在等差数列中,,其前项和为,则___________. 14. 已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于，两点，则直线的斜率为______. 四、解答题：（共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项的和. 17. 已知圆圆心在直线上，且过点 （1）求圆的方程； （2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程. 18. 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直. （1）求； （2）已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点. 19. 已知函数为常数. （1）若，求最小值； （2）在（1）的条件下，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 练习一 一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行直线方程的性质进行求解即可. 【详解】若，则，，此时两直线不平行，舍； 若，因为直线与直线平行， 所以有，舍去， 故选：A 2. 设，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案； 【详解】， 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题. 3. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数符号，单调性即可判断. 【详解】对于 ，当 时， ，故B错误； ，显然在定义域内 ， 即在 和 都是增函数，C正确，AD错误； 故选：C. 4. 双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由双曲线方程可得：，，设双曲线的左右焦点分别为，则， 若点在双曲线的左支上，则由双曲线的定义可知：， 所以； 若点在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可知：， 所以，因为，所以此时不成立， 综上：到右焦点的距离为， 故选：. 5. 已知为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简变换所给的对数式，根据其特点构造，通过其单调性来判断a，b，c的大小即可. 【详解】，，，令，则，，.，易知在上单调递增． 又，而，所以． 故选：A. 6. 《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺 A. 1 B. 1.25 C. 1.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式求解，即可. 【详解】由题意可知：十二个节气的日影子长为等差数列， 设为，公差为d，其前n项和为， 则，代入得：，解得：. 故选：C. 7. 设是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 详解】，， 设为该椭圆的左焦点，，所以， 于是， 显然当Q，P，A三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为. 故选：D 8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点. 【详解】由题意得若函数为不动点函数则满足 ，即，即 设， 设 所以在单调递减，且 所以在上单调递增， ，所以在上单调递减， 所以 当则 当则 所以的图像为： 要想成立，则与有交点，所以 故选：B 二、多选题：（每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分） 9. 已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使得成立的最大自然数 C. D. 中最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意：利用等差数列及，判断出，并可以分析出，再利用数列的相关知识即可判断. 【详解】根据题意：即两式相加， 解得：，故A正确. 由，可得到，所以， ，， 所以，故C正确； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B错误. 当，或时，；当时，； 由，, 所以中最小项为，故D正确. 故选：ACD. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 已知直线，.若，则实数a的值为3 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据互相垂直两直线的性质进行运算判断即可； B：根据圆的性质，结合点到直线距离公式进行运算判断即可； C：根据两圆公切线条数确定两圆的位置关系，再结合圆心距离、两圆半径和、两圆半径差之间的关系运算判断即可； D：根据圆的切线长定理，结合圆的切点弦的性质进行运算判断即可. 【详解】A：因为，所以，所以本选项说法不正确； B：圆的圆心为坐标原点，半径为， 原点到直线的距离为， 因为该圆的半径为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，因此本选项说法正确； C：，因此圆的圆心坐标为，半径为. ， 因此，且圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线， 所以这两圆相外切， 因此，所以本选项说法正确； D：圆，圆心坐标为，半径为， 因为，线段的中点坐标为 所以为直径的圆的方程为，化简为， 将圆C的方程与以为直径的圆的方程相减， 即得直线方程为， 所以本选项说法正确. 故选：BCD 11. 是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，方程有两个解 C. D. 当时，方程有且只有一个解 【答案】CD 【解析】 【分析】首先根据条件求出的表达式,再求导，分析的图像，结合图像即求解. 【详解】，将代入得，又，解得，故A错； 令，，则，为任意常数.,.. ，当时，,单调递增，当，单调递减,在处取最大值.作图如下： 则方程有两个解，即与的图像有两个交点，,则B错误； 由上图可知，，C正确；当时，与的图像有一个交点，符合题意，D正确. 故选：CD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知，在上的投影向量为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量可得，结合向量模长公式得模长即可求解. 【详解】由得， 在上的投影向量为， 所以， 故答案为： 13. 在等差数列中,,其前项和为,则___________. 【答案】110 【解析】 【分析】构造,可知是以2为首项,1为公差的等差数列,求出的通项公式,即可求得,进而求得. 【详解】解:由题知等差数列,记数列, 所以,由,可知, 所以是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以, 所以,所以. 故答案为:110 14. 已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于，两点，则直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线斜率. 【详解】因为点在抛物线上，则，解得， 即抛物线方程为， 显然过点A作圆的两条切线斜率存在， 设此切线方程为，即， 于是，解得， 设点， 不妨令直线的斜率分别为， 于是，解得， 同理， 直线的斜率， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率. 四、解答题：（共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理直接进行求解即可； （2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合（1）的结论分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知，而， 所以， 又因为，于是或； 【小问2详解】 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 16. 已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列前项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）计算等差数列和等比数列的基本量即可写出通项公式. （2）根据题意利用分组转化即可进行求和. 【小问1详解】 由已知， 设数列首项，公差为 ， 解得：， 所以 因为，， 数列是单调递增的等比数列， 设数列首项为，公比为，所以 解得：， ，所以 所以 【小问2详解】 由已知 所以 17. 已知圆的圆心在直线上，且过点 （1）求圆的方程； （2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为 （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为 ∵ 过点， 解得 ∴ 所求圆的方程为 （2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为 故由点到直线的距离公式得： 解得，所以直线l的方程为 综上所述，则直线l的方程为或 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题. 18. 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直. （1）求； （2）已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点. 【答案】（1）； （2）证明过程见解析，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得的值； （2）设直线的方程，由以为直径的圆过点，得，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知，切线斜率存在，则设切线， 联立得，即， 相切得：，即，所以 由两切线垂直得： ； 【小问2详解】 由（1）得，椭圆方程为 由题可知，直线斜率存在，设，联立得 设，由韦达定理得： 由题意为直径的圆过点，① 又 代入①式得： 或（舍去），所以过定点， 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键. 19. 已知函数为常数. （1）若，求的最小值； （2）在（1）的条件下，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可求出，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值； （2）将问题转化为证成立，令，则只需证明，构造函数，利用导数求出其最小值大于等于零即可. 【小问1详解】 由题得，则，所以， 所以 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）知：，所以要证 即证，即证， 即证， 因为，所以即证， 令，则只需证明， 由（1）知，令， 则在递增， 所以当时，取得最小值0， 所以，即， 所以原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为，然后通过换元，构造函数，利用导数求其最值即可，考查数转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $