2.7 有理数的混合运算 易错专题 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版2024 · 有理数的混合运算 · 第2章 有理数 2.7有理数的混合运算 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版2024 第2章 有理数 第7课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题打破教材顺序，按有理数混合运算的真实错因重新聚合易错题，聚焦乘方符号、运算顺序、符号变号、相反数倒数代入、运算律与简便计算、新定义运算、综合应用七类典型失误。每类设精讲例题搭配即时巩固，文末附综合检测题组查漏补缺。 目录 易错点1：混淆−aⁿ与(−a)ⁿ 易错点2：运算顺序颠倒（先乘方再乘除后加减） 易错点3：符号法则与去括号变号错 易错点4：相反数、倒数、绝对值整体代入漏分类 易错点5：简便运算与运算律用错 易错点6：新定义运算代入出错 易错点7：程序框图与统筹优化中的混合运算 易错点1：混淆−aⁿ与(−a)ⁿ 学习目标 · 区分−aⁿ与(−a)ⁿ的底数 · 掌握有理数乘方的符号法则 纠错指引 −aⁿ 的负号是运算符号、底数是 a，先算 aⁿ 再取负；(−a)ⁿ 的底数是 −a。务必先看负号是否在括号内，再算幂。 精讲例题 例题1．（2024秋•封开县期末）·【基础】计算：﹣22+|﹣1|＝　 　 ． 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 把−2²误算成(−2)²=4 · 负号在运算位不算进底数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•端州区期末）·【基础】下列计算正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣3 B． C． D． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 即时巩固2．（2025秋•秦淮区期末）·【基础】计算： （1）﹣32+27÷（﹣3）2； （2）． 即时巩固3．（2025秋•沈阳期末）·【基础】（1）计算：； （2）用简便方法计算：199×（﹣25）． 易错点2：运算顺序颠倒（先乘方再乘除后加减） 学习目标 · 记住先乘方、再乘除、后加减 · 有括号先算括号内 纠错指引 严格按'乘方→乘除→加减'顺序，同级从左到右；带括号先算括号里。不要看到加减就先算。 精讲例题 例题2．（2025秋•黄石港区期末）·【基础】计算下列各题： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣15）； （2）18+32÷（﹣2）3﹣（﹣4）2×5． 易错倾向标签：易算错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 先算加减后算乘除 · 忽略括号导致顺序错乱 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2024秋•玉田县期末）·【基础】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0． 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0． 丙：（36﹣12）361216． 丁：（﹣3）23＝9÷1＝9． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 即时巩固5．（2025秋•歙县期中）·【基础】算式“1+2﹣3×4÷5＝0”是不成立的，请在此算式中添加一组括号，使这个算式成立． 　 　 ． 即时巩固6．（2025秋•江门期末）·【基础】计算：； 易错点3：符号法则与去括号变号错 学习目标 · 掌握减法变加相反数 · 理清多重符号化简 纠错指引 减去一个数等于加上它的相反数；括号前是负号，去括号后各项都要变号。先定符号再算数值。 精讲例题 例题3．（2025秋•芝罘区期中）·【基础】下面计算正确的是（　　） A．（﹣2）+3＝﹣（3﹣2） B．2﹣（﹣3）＝2﹣3 C．（﹣2）×0＝﹣2 D．（﹣4）÷（﹣2）＝4÷2 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 2−(−3)错算成2−3 · 忽略相反数变号 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固7．（2025秋•渝中区校级期中）·【基础】下列运算正确的是（　　） A．﹣3﹣1＝﹣2 B．4+（﹣6）＝2 C．﹣5×（﹣2）＝﹣10 D． 即时巩固8．（2024秋•惠民县期中）·【基础】陈老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下：甲任写一个有理数传给乙；乙把这个数的相反数传给丙；丙把他得到的数减去2后传给丁；丁把他得到的数乘，报出答案，根据游戏规则，若甲传给乙的数是a，以下说法错误的是（　　） A．乙传给丙的数是﹣a B．丙传给丁的数是﹣a﹣2 C．丁报出的答案是 D．丙传给丁的数一定是负数 即时巩固9．（2025秋•温江区校级月考）·【基础】下列变形，运用加法运算律错误的是（　　） A．（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8） B．4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3 C．[5+（﹣2）]+4＝[5+（﹣4）]+2 D．（﹣1）+（）＝（）+（﹣1） 易错点4：相反数、倒数、绝对值整体代入漏分类 学习目标 · 记住相反数和为0、倒数积为1 · 含绝对值要分正负讨论 纠错指引 先化简已知条件（a+b=0，cd=1，|m|=2则m=±2），代入时负数平方要加括号，分类讨论不能漏。 精讲例题 例题4．（2025•海淀区校级开学）·【基础】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2，则a+b+cd+m4＝　 　 ． 易错倾向标签：易漏解｜易算错 【本题核心易错点】 · |m|=2只取正值漏−2 · 代入负数平方漏括号 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固10．（2024秋•固始县期末）·【基础】已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　 　 ． 即时巩固11．（2024秋•泸州校级期末）·【基础】若a，b互为相反数（b不为0），c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值是 　 　 ． 易错点5：简便运算与运算律用错 学习目标 · 会用乘法分配律及其逆用 · 掌握凑整与提公因式 纠错指引 除法化乘法后可用分配律；提公因数要括全；凑整（如199=200−1）注意符号与每一项都乘。 精讲例题 例题5．（2025春•丹东期中）·【基础】计算：4.3×202.5+7.6×202.5﹣1.9×202.5＝　 　 ． 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 分配律逆用漏提公因数 · 凑整漏乘常数项 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固12．（2026春•宿城区期末）·【基础】计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为（　　） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 易错点6：新定义运算代入出错 学习目标 · 读懂新运算规则再代入 · 嵌套运算由内向外算 纠错指引 严格按定义式代入，负号、平方、绝对值都要带入规则计算；嵌套新运算先算括号内一层，再代回。 精讲例题 例题6．（2024秋•沾化区期末）·【基础】小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规则如下：对于任意有理数a、b，都有a※b＝a2﹣3b，如：1※3＝12﹣3×3＝﹣8．则﹣5※（﹣2※3）的值为 　 　 ． 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 代入负号漏加括号 · 嵌套新运算顺序错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固13．（2024秋•兰州期末）·【基础】用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，a☆b＝ab﹣b2，例如：（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣3）☆2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13 即时巩固14．（2025秋•朝阳区校级期末）·【基础】现定义一种新运算“*”，规定m*n，则3*（﹣3）的值等于 　 　 ． 即时巩固15．（2025秋•滨海县校级期中）·【基础】定义一种新运算：a*b＝a2﹣3b，如2*1＝22﹣3×1＝1，则（3*2）*（﹣1）的结果为 　 　 ． 即时巩固16．（2024秋•湖北校级期末）·【基础】对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝2a2﹣3|b|，则2☆（﹣3）＝　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点7：程序框图与统筹优化中的混合运算 学习目标 · 按程序框图逐步列式 · 统筹问题先排最短工序 纠错指引 程序题把输入值一步步代入运算框；统筹优化先修时间短的、长工序并行，注意单位与'静置'可重叠。 精讲例题 例题7．（2025秋•新抚区期末）·【提升】综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 易错倾向标签：易算错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 程序框图跳步代入 · 统筹漏算静置重叠时间 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固17．（2024秋•莱阳市期末）·【基础】按如图所示程序输入x＝3，则输出的结果是（　　） A．5 B．﹣1 C．11 D．15 即时巩固18．（2025秋•庆云县期中）·【提升】德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 时间 强度方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 1250 1100 1000 750 800 高强度 1700 2000 2250 2000 1250 休息 0 0 0 0 0 小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（　　） A．若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B．若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C．小博这5天最少共跑步3050m D．小博这5天最多共跑步5600m 即时巩固19．（2026•海淀区一模）·【提升】陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于30min即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客． （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们三人的服务． 即时巩固20．（2026春•海淀区校级月考）·【提升】随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成　 　 个单位的家务工作． 即时巩固21．（2025•门头沟区二模）·【提升】某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如表： 货物 A B C D E 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③C→A→E→B→D中，赔付最少的是　 　 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付　 　 元． 即时巩固22．（2025•朝阳区校级模拟）·【提升】车间里有五台车床同时出现故障： 已知第一台至第五台修复的时间如表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 5 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C； ②D→A→C→E→B； ③C→A→E→B→D中， 经济损失最少的是　 　 （填序号）； （2）如果两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为　 　 元． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 本专题错因自查清单 ☐ 混淆−aⁿ与(−a)ⁿ ☐ 运算顺序颠倒 ☐ 去括号漏变号 ☐ 绝对值代入漏分类 ☐ 运算律用错 ☐ 新定义代入错 ☐ 程序统筹漏步 过关测试（综合检测） 1．（2026•锡林郭勒盟一模）·【基础】日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 2．（2025秋•宜兴市校级月考）·【基础】取一个自然数，若它是奇数，则加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数5，经过下面5步运算可得1，如图所示．如果自然数m恰好经过4步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024秋•盂县期末）·【基础】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题， 甲：9﹣42÷8＝1÷8； 乙：24﹣4×32＝24﹣4×6＝0； 丙：； 丁：． 你认为做对的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2024秋•任城区期末）·【基础】在数学课上，老师让A、B、C、D，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（　　） A．9﹣32÷8＝0÷8＝0 B．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 C． D． 5．（2024•高州市校级模拟）·【基础】下列式子计算正确的是（　　） A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（）×5＝8×（）＝﹣4 C．﹣321 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0 6．（2025秋•思明区校级期中）·【提升】在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算53×24，将乘数53记入上行，乘数24记入右行，然后用乘数53的每位数字乘以乘数24的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得1272．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．a的值小于3 B．b的值为7 C．a为奇数 D．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣5 7．（2025秋•靖江市期中）·【基础】对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．则计算3⊙（﹣2）的值为 　 　 ． 8．（2025秋•大祥区期末）·【基础】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　 　 ． 9．（2025秋•新乡期末）·【基础】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 　 　 ． 10．（2024秋•成都期末）·【基础】24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是±24的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 　 　 ． 11．（2024秋•宜州区期末）·【基础】观察下列等式①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102，则（﹣5）3+（﹣6）3+（﹣7）3+⋯+（﹣10）3＝ 　 　 ． 12．（2024秋•建华区期末）·【基础】有一运算程序如下： 若输出的值是25，则输入的值可以是 　 　 ． 13．（2025秋•安定区期末）·【基础】（1）﹣2﹣（﹣8）+（﹣10）； （2）﹣14+|3﹣5|+16÷（﹣2）． 14．（2025秋•遂川县期末）·【基础】计算：． 苏科版2024 · 有理数的混合运算 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 有理数的混合运算 · 第2章 有理数 2.7有理数的混合运算 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版2024 第2章 有理数 第7课时 本专题打破教材顺序，按有理数混合运算的真实错因重新聚合易错题，聚焦乘方符号、运算顺序、符号变号、相反数倒数代入、运算律与简便计算、新定义运算、综合应用七类典型失误。每类设精讲例题搭配即时巩固，文末附综合检测题组查漏补缺。 目录 易错点1：混淆−aⁿ与(−a)ⁿ 易错点2：运算顺序颠倒（先乘方再乘除后加减） 易错点3：符号法则与去括号变号错 易错点4：相反数、倒数、绝对值整体代入漏分类 易错点5：简便运算与运算律用错 易错点6：新定义运算代入出错 易错点7：程序框图与统筹优化中的混合运算 易错点1：混淆−aⁿ与(−a)ⁿ 学习目标 · 区分−aⁿ与(−a)ⁿ的底数 · 掌握有理数乘方的符号法则 纠错指引 −aⁿ 的负号是运算符号、底数是 a，先算 aⁿ 再取负；(−a)ⁿ 的底数是 −a。务必先看负号是否在括号内，再算幂。 精讲例题 例题1．（2024秋•封开县期末）·【基础】计算：﹣22+|﹣1|＝　 　 ． 【分析】先算乘方，再算加减，即可解答． 【解答】解：﹣22+|﹣1| ＝﹣4+1 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 教学提示：先让学生口算−2²，多数会答4；用'负号在运算位'对比(−2)²，板演强调先幂后负。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 把−2²误算成(−2)²=4 · 负号在运算位不算进底数 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•端州区期末）·【基础】下列计算正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣3 B． C． D． 【分析】利用有理数的减法，乘除法，乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、﹣5﹣2＝﹣7，故A不符合题意； B、﹣23＝﹣2×3×3＝﹣18，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、（）2，故D不符合题意； 故选：C． 教学提示：让学生改错B选项−2³，指出应为−8而非−18，澄清'乘方是连乘不是乘指数'。 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 即时巩固2．（2025秋•秦淮区期末）·【基础】计算： （1）﹣32+27÷（﹣3）2； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答； （2）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）﹣32+27÷（﹣3）2 ＝﹣9+27÷9 ＝﹣9+3 ＝﹣6； （2） ＝（）×（﹣12） 121212 ＝﹣6﹣8+10 ＝﹣4． 教学提示：−3²与(−3)²并排板书，问'底数分别是谁'，防把−3²算成9。 即时巩固3．（2025秋•沈阳期末）·【基础】（1）计算：； （2）用简便方法计算：199×（﹣25）． 【分析】（1）先独立算乘方，然后再从左到右一次运算即可． （2）把199换成（200﹣1）与（﹣25）相乘即可． 【解答】解：（1）﹣12026+24÷（﹣4）+32×|| ＝﹣1+（﹣6）+9 ＝﹣1﹣6+3 ＝﹣7+3 ＝﹣4； （2）199×（﹣25） ＝（200﹣1）×（﹣25） ＝200×（﹣25）﹣1×（﹣25） ＝﹣5000+25 ＝﹣4975． 教学提示：−1²⁰²⁶强调指数在1上、负号在外，结果为−1；指数偶次不改变负号在外的事实。 易错点2：运算顺序颠倒（先乘方再乘除后加减） 学习目标 · 记住先乘方、再乘除、后加减 · 有括号先算括号内 纠错指引 严格按'乘方→乘除→加减'顺序，同级从左到右；带括号先算括号里。不要看到加减就先算。 精讲例题 例题2．（2025秋•黄石港区期末）·【基础】计算下列各题： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣15）； （2）18+32÷（﹣2）3﹣（﹣4）2×5． 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣15） ＝12+18﹣7﹣15 ＝30﹣7﹣15 ＝23﹣15 ＝8； （2）18+32÷（﹣2）3﹣（﹣4）2×5 ＝18+32÷（﹣8）﹣16×5 ＝18+（﹣4）﹣80 ＝14﹣80 ＝﹣66． 教学提示：(−2)³=−8、(−4)²=16是两部陷阱，让学生先圈出所有乘方再逐步算，忌跳步。 易错倾向标签：易算错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 先算加减后算乘除 · 忽略括号导致顺序错乱 即时巩固 即时巩固4．（2024秋•玉田县期末）·【基础】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0． 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0． 丙：（36﹣12）361216． 丁：（﹣3）23＝9÷1＝9． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】按照有理数的混合运算顺序，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：甲：9﹣32÷8 ＝9﹣9÷8 ＝9 ， 故甲做错了； 乙：24﹣（4×32） ＝24﹣（4×9） ＝24﹣36 ＝﹣12， 故乙做错了； 丙：（36﹣12） ＝（36﹣12） ＝3612 ＝24﹣8 ＝16； 故丙做对了； 丁：（﹣3）23 ＝93 ＝9×3×3 ＝81， 故丁做错了； 综上所述，我认为做对的同学是丙， 故选：C． 教学提示：甲错在9−3²÷8=0÷8，应先算除得9−2；让学生逐人判错并说理由。 即时巩固5．（2025秋•歙县期中）·【基础】算式“1+2﹣3×4÷5＝0”是不成立的，请在此算式中添加一组括号，使这个算式成立． 　 　 ． 【分析】根据有理数的混合运算顺序进行计算，即可解答． 【解答】解：（1+2﹣3）×4÷5 ＝0×4÷5 ＝0÷5 ＝0， 故答案为：（1+2﹣3）×4÷5＝0． 教学提示：引导逆向思考——哪段加括号能得0；用'(1+2−3)=0'示范，培养括号改变顺序的直觉。 即时巩固6．（2025秋•江门期末）·【基础】计算：； 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解： ＝1+8×（）﹣2×5 ＝1+（﹣1）﹣10 ＝﹣10． 教学提示：含绝对值与乘方的混合，先算括号内与乘方，再乘除后加减，强调同级顺序。 易错点3：符号法则与去括号变号错 学习目标 · 掌握减法变加相反数 · 理清多重符号化简 纠错指引 减去一个数等于加上它的相反数；括号前是负号，去括号后各项都要变号。先定符号再算数值。 精讲例题 例题3．（2025秋•芝罘区期中）·【基础】下面计算正确的是（　　） A．（﹣2）+3＝﹣（3﹣2） B．2﹣（﹣3）＝2﹣3 C．（﹣2）×0＝﹣2 D．（﹣4）÷（﹣2）＝4÷2 【分析】根据有理数的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣2）+3＝+（3﹣2），故A不符合题意； B、2﹣（﹣3）＝2+3，故B不符合题意； C、（﹣2）×0＝0，故C不符合题意； D、（﹣4）÷（﹣2）＝4÷2，故D符合题意； 故选：D． 教学提示：2−(−3)=2+3是核心，用'减变加相反'口诀；D项两负相除得正最易忽视。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 2−(−3)错算成2−3 · 忽略相反数变号 即时巩固 即时巩固7．（2025秋•渝中区校级期中）·【基础】下列运算正确的是（　　） A．﹣3﹣1＝﹣2 B．4+（﹣6）＝2 C．﹣5×（﹣2）＝﹣10 D． 【分析】根据有理数的加减法和乘除法法则解答即可． 【解答】解：A．﹣3﹣1＝﹣4，故本选项不符合题意； B．4+（﹣6）＝﹣2，故本选项不符合题意； C．﹣5×（﹣2）＝10，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 教学提示：−3−1=−4、−5×(−2)=10，集中练'同号得正、异号得负'与减法规律。 即时巩固8．（2024秋•惠民县期中）·【基础】陈老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下：甲任写一个有理数传给乙；乙把这个数的相反数传给丙；丙把他得到的数减去2后传给丁；丁把他得到的数乘，报出答案，根据游戏规则，若甲传给乙的数是a，以下说法错误的是（　　） A．乙传给丙的数是﹣a B．丙传给丁的数是﹣a﹣2 C．丁报出的答案是 D．丙传给丁的数一定是负数 【分析】根据相反数，有理数的减法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、乙传给丙的数是﹣a，故A不符合题意； B、丙传给丁的数是﹣a﹣2，故B不符合题意； C、丁报出的答案（﹣a﹣2）a﹣1，故C不符合题意； D、丙传给丁的数不一定是负数，故D符合题意； 故选：D． 教学提示：游戏链−a→−a−2→乘，D项'丙传给丁必为负'是陷阱，举a=0反例证伪。 即时巩固9．（2025秋•温江区校级月考）·【基础】下列变形，运用加法运算律错误的是（　　） A．（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8） B．4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3 C．[5+（﹣2）]+4＝[5+（﹣4）]+2 D．（﹣1）+（）＝（）+（﹣1） 【分析】根据加法交换律和结合律，即可解答． 【解答】解：A、（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8），故A不符合题意； B、4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3，故B不符合题意； C、[5+（﹣2）]+4＝（5+4）+（﹣2），故C符合题意； D、（﹣1）+（）＝（）+（﹣1），故D不符合题意； 故选：C． 教学提示：C项[5+(−2)]+4变[5+(−4)]+2偷换数字，训练'加法结合律只换结合不换数'。 易错点4：相反数、倒数、绝对值整体代入漏分类 学习目标 · 记住相反数和为0、倒数积为1 · 含绝对值要分正负讨论 纠错指引 先化简已知条件（a+b=0，cd=1，|m|=2则m=±2），代入时负数平方要加括号，分类讨论不能漏。 精讲例题 例题4．（2025•海淀区校级开学）·【基础】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2，则a+b+cd+m4＝　 　 ． 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值等知识进行计算、求解． 【解答】解：由题意得， a+b＝0，cd＝1，m＝±2， ∴a+b+cd+m4 ＝0+1+（±2）4 ＝1+16＝17． 故答案为：17． 教学提示：m=±2是分类关键，m⁴均为16；强调'绝对值代入必须讨论正负两种'。 易错倾向标签：易漏解｜易算错 【本题核心易错点】 · |m|=2只取正值漏−2 · 代入负数平方漏括号 即时巩固 即时巩固10．（2024秋•固始县期末）·【基础】已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　 　 ． 【分析】根据相反数，倒数的意义可得m+n＝0，cd＝1，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵m、n互为相反数，c、d互为倒数， ∴m+n＝0，cd＝1， ∴m+n+3cd﹣10 ＝0+3×1﹣10 ＝0+3﹣10 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 教学提示：m+n=0、cd=1直接代入，cd=1易错写成−1；提醒倒数乘积为1。 即时巩固11．（2024秋•泸州校级期末）·【基础】若a，b互为相反数（b不为0），c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值是 　 　 ． 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，m＝±2，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a，b互为相反数（b不为0），c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2， 当m＝2时，23﹣18﹣1+0＝7； 当m＝﹣2时，（﹣2）3﹣18﹣1+0＝﹣9； 综上所述，的值是﹣9或7， 故答案为：﹣9或7． 教学提示：m=±2分两种，结果−9或7；让学生写'当m=2时…当m=−2时…'防漏解。 易错点5：简便运算与运算律用错 学习目标 · 会用乘法分配律及其逆用 · 掌握凑整与提公因式 纠错指引 除法化乘法后可用分配律；提公因数要括全；凑整（如199=200−1）注意符号与每一项都乘。 精讲例题 例题5．（2025春•丹东期中）·【基础】计算：4.3×202.5+7.6×202.5﹣1.9×202.5＝　 　 ． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，通过乘法分配律逆用即可解答． 【解答】解：原式＝（4.3+7.6﹣1.9）×202.5 ＝10×202.5 ＝2025； 故答案为：2025． 教学提示：逆用分配律(4.3+7.6−1.9)×202.5，先算系数和=10，避免逐项乘再加减。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 分配律逆用漏提公因数 · 凑整漏乘常数项 即时巩固 即时巩固12．（2026春•宿城区期末）·【基础】计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为（　　） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 【解答】解：原式＝2026×（32+42+72） ＝2026×（3+7）2 ＝2026×100 ＝202600 故选：C． 教学提示：3²+4²+7²=(3+7)²是错因，强调'平方和≠和平方'，提公因式2026后算。 易错点6：新定义运算代入出错 学习目标 · 读懂新运算规则再代入 · 嵌套运算由内向外算 纠错指引 严格按定义式代入，负号、平方、绝对值都要带入规则计算；嵌套新运算先算括号内一层，再代回。 精讲例题 例题6．（2024秋•沾化区期末）·【基础】小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规则如下：对于任意有理数a、b，都有a※b＝a2﹣3b，如：1※3＝12﹣3×3＝﹣8．则﹣5※（﹣2※3）的值为 　 　 ． 【分析】按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ﹣5※（﹣2※3） ＝﹣5※[（﹣2）2﹣3×3] ＝﹣5※（4﹣9） ＝﹣5※（﹣5） ＝（﹣5）2﹣3×（﹣5） ＝25+15 ＝40， 故答案为：40． 教学提示：嵌套−5※(−2※3)先算内层(−2)²−9=−5，再−5※(−5)=40，强调由内向外。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 代入负号漏加括号 · 嵌套新运算顺序错 即时巩固 即时巩固13．（2024秋•兰州期末）·【基础】用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，a☆b＝ab﹣b2，例如：（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣3）☆2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：（﹣3）☆2 ＝（﹣3）2﹣22 ＝9﹣4 ＝5， 故选：B． 教学提示：a☆b=ab−b²，代入(−3)☆2得(−3)²−2²，提醒第二项也是b²非b。 即时巩固14．（2025秋•朝阳区校级期末）·【基础】现定义一种新运算“*”，规定m*n，则3*（﹣3）的值等于 　 　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：3*（﹣3） ， 故答案为：． 教学提示：新运算'*'定义含分式，3*(−3)先算括号内，注意负号与除法顺序。 即时巩固15．（2025秋•滨海县校级期中）·【基础】定义一种新运算：a*b＝a2﹣3b，如2*1＝22﹣3×1＝1，则（3*2）*（﹣1）的结果为 　 　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：（3*2）*（﹣1） ＝（32﹣3×2）*（﹣1） ＝（9﹣6）*（﹣1） ＝3*（﹣1） ＝32﹣3×（﹣1） ＝9+3 ＝12， 故答案为：12． 教学提示：(3*2)*(−1)先算3*2=3，再3*(−1)=12，嵌套由内向外，平方别漏。 即时巩固16．（2024秋•湖北校级期末）·【基础】对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝2a2﹣3|b|，则2☆（﹣3）＝　 　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2☆（﹣3）＝2×22﹣3×|﹣3| ＝2×4﹣3×3 ＝8﹣9 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 教学提示：2☆(−3)=2×2²−3×|−3|，含绝对值，先算2²=4与|−3|=3再代入。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点7：程序框图与统筹优化中的混合运算 学习目标 · 按程序框图逐步列式 · 统筹问题先排最短工序 纠错指引 程序题把输入值一步步代入运算框；统筹优化先修时间短的、长工序并行，注意单位与'静置'可重叠。 精讲例题 例题7．（2025秋•新抚区期末）·【提升】综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【分析】任务1：根据正数和负数的实际意义列式计算即可； 任务2：根据正数和负数的实际意义列式计算即可； 任务3：根据题意列式计算即可． 【解答】解：任务1：由题意可得：﹣3+6+2.5﹣4﹣10＝﹣8.5（km）， ∴饭店在小丽家的西边8.5m处． 任务2：由题意可得：8+（6﹣3）×2＝14（元）， 答：礼品店到蛋糕店所需费用14元； 任务3：由题意可得：水果店到饮料店费用：8+（4﹣3）×2＝10（元）； 饮料店到饭店费用：8+（10﹣3）×2＝22（元）， ∴总车费：8+14+8+10×0.8+22×0.7＝53.4（元）． 答：礼品店到蛋糕店用8折券，饮料店到饭店用7折券，最低总车费为53.4元． 教学提示：综合实践用正负数表示方向，分段列式；车费折扣分段计算，强调'列式即关键'。 易错倾向标签：易算错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 程序框图跳步代入 · 统筹漏算静置重叠时间 即时巩固 即时巩固17．（2024秋•莱阳市期末）·【基础】按如图所示程序输入x＝3，则输出的结果是（　　） A．5 B．﹣1 C．11 D．15 【分析】按照程序进行计算，即可解答． 【解答】解：当x＝3时，3×（﹣3）+8＝﹣9+8＝﹣1＜0， 当x＝﹣1时，（﹣1）×（﹣3）+8＝3+8＝11＞0， 故选：C． 教学提示：程序框图x=3代入得3×(−3)+8=−1，因<0继续代入−1，训练'逐步代入不跳步'。 即时巩固18．（2025秋•庆云县期中）·【提升】德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 时间 强度方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 1250 1100 1000 750 800 高强度 1700 2000 2250 2000 1250 休息 0 0 0 0 0 小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（　　） A．若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B．若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C．小博这5天最少共跑步3050m D．小博这5天最多共跑步5600m 【分析】理解题意中的规则，计算出跑步路程，比较结果即可． 【解答】解：A．若小博每天都选择“低强度”方案，则5天共跑步：1250+1100+1000+750+800＝4900m，结论正确，故不符合题意； B．∵“高强度”要求前一天必须“休息”，第一天可选择“高强度”方案，小博第2天休息， ∴第3天选择“高强度”方案，要使跑步最多，小博第一天必选择“高强度”方案，因此他这5天最多共跑步：1700+0+2250+750+800＝5500m，结论正确，故不符合题意； C.5天最少跑步，则必须选择“低强度”方案，由于第1天不能休息且不能连续两天及以上时间休息，若选择第2天、第4天休息时，共跑步：1250+0+1000+0+800＝3050m，若选择第2天、第5天休息，共跑步：1250+0+1000+750+0＝3000m，所以，这5天最少跑步为3000m，结论错误，符合题意； D.5天最多跑步，则第1天必须选择“高强度”方案，若后面不休息，共跑步：1700+1100+1000+750+800＝5350m，若选择第2天休息，共跑步：1700+0+2250+750+800＝5500m，若选择第3天休息，共跑步：1700+1100+0+2000+800＝5600m，若选择第4天休息，共跑步：1700+1100+1000+0+800＝4600m，所以，这5天最多跑步为5600m，结论正确，不符合题意； 故选：C． 教学提示：统筹先排'高强度前必休息'约束，枚举每天方案比总路程，培养约束意识。 即时巩固19．（2026•海淀区一模）·【提升】陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于30min即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客． （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们三人的服务． 【分析】先做会产生“长静置”的工序：优先做会触发R静置的工序，让顾客进入等待状态，理发师利用这段时间做其他人工工序．人工工序必须串行，静置工序可并行：同一时间只能做1项人工工序，但多个顾客的R静置可以和其他顾客的人工工序同时进行． 【解答】解：（1）拆解两人的工序与耗时 爸爸：仅D工序，20min（无静置）， 妈妈：C（25）→R（≥30）→D（20）， 理论串行总耗时：25+30+20＝75 min； （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①0～10min：完成陈老师的工序A，耗时10min，结束后陈老师开始第一次静置，最早40min可以做B， ②10～35min：完成妈妈的工序C，耗时25min，结束后妈妈开始静置，最早为65min可以做D， ③35～40min：短暂空闲5min，等待陈老师第一次静置完成， ④40～60min：完成陈老师的工序B，耗时20min，结束后陈老师开始第二次静置，最早90min可做D， ⑤60～80min：完成爸爸的工序D，耗时20min，爸爸理发完成， ⑥80～100min：完成妈妈的工序D，耗时20min，妈妈理发完成， ⑦100～120min：完成陈老师的工序D，耗时20min，陈老师理发完成， 总时间为120min，该安排为最优安排，故最短时间为120 min． 故答案为：（1）75；（2）120． 教学提示：理发工序'静置'可并行，让理发师做他人人工工序，画时间轴找最短安排。 即时巩固20．（2026春•海淀区校级月考）·【提升】随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成　 　 个单位的家务工作． 【分析】要得到24小时内的最大工作量，需先计算不同模式单次满电的工作量和周期耗时，通过计算不同安排的总工作量，即可得到最大值． 【解答】解：由题意得，机器人初始为满电状态， “快速模式”：单次工作量5×3＝15（单位），单次耗时＝3+2＝5（小时）， “节能模式”：单次工作量4×6＝24（单位），单次耗时＝6+2＝8（小时）， 安排2次“快速模式”，再安排2次“节能模式”，总耗时为＝3+2+3+2+6+2+6＝24（小时）， 总工作量为：15+15+24+24＝78（单位）； 验证其他安排： 若全为“快速模式”，最多可安排5次工作，总耗时＝3+（5﹣1）×（3+2）＝23（小时），总工作量5×15＝75； 若全为“节能模式”，最多可安排3次工作，总耗时＝6+2×8＝22（小时），总工作量3×24＝72； ∴其他混合安排的总工作量均小于78个单位， ∴24小时内最大完成工作量为78个单位． 故答案为：78． 教学提示：机器人比较'快速/节能'单次周期与工作量，枚举2快+2节能得78，验证其他更小。 即时巩固21．（2025•门头沟区二模）·【提升】某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如表： 货物 A B C D E 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③C→A→E→B→D中，赔付最少的是　 　 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付　 　 元． 【分析】（1）把三种顺序所需配送时间分别求出来，把结果进行比较，最小的即为赔付最少的配送顺序； （2）要想赔付时间最少就要使总的配送时间最少，因此配送时间最长的货物放在最后配送，最少时间放在第一时间配送，因此确定了每名配送员最先配送以及最后配送的货物之后即可求出最少赔付的方案． 【解答】解：（1）三种配送所花费时间如下：①7×5+8×4+10×3+5×2+9＝116（分钟）， ②7×5+5×4+9×3+10×2+8＝110（分钟），③9×5+5×4+10×3+8×2+7＝118（分钟）， ∵110＜116＜118， ∴第②种赔付最少， 故答案为：②； （2）要想赔付最少，就要使总的配送时间最少，因此配送时间最长的货物放在最后配送，最少时间放在第一时间配送， ∴一名配送员配送顺序是A→B→E，另一名配送员配送的顺序是D→C， ∴最少赔付的金额为：（5×3+8×2+10+7×2+9）×1＝64（元）， 故答案为：64． 教学提示：配送赔付按'后面每件都等前面'加权，长时延放最后；两人时分摊长短工序。 即时巩固22．（2025•朝阳区校级模拟）·【提升】车间里有五台车床同时出现故障： 已知第一台至第五台修复的时间如表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 5 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C； ②D→A→C→E→B； ③C→A→E→B→D中， 经济损失最少的是　 　 （填序号）； （2）如果两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为　 　 元． 【分析】（1）要使经济损失最少，就要使总停产的时间最短，所以要先修复时间最短的，即修复时间由短到长； （2）要使最少经济损失，就要使总修复时间短的，因此时间长的放在最后，且每名修理工都从最少时间开始修起，最后修理的是17分钟和31分钟． 【解答】解：（1）要使经济损失最少，就要使总停产的时间最短，因此先修复时间短，让机器尽快恢复运转， ∴按照时间为5分钟、6分钟、11分钟、17分钟、31分钟进行，即A→D→C→E→B， 故选：②； （2）要使最少经济损失，就要总修复时间最短，因此修复时间长的放在最后， ∴一名修理工修理5分钟、11分钟、31分钟，另一名修理工修理6分钟、17分钟， ∴五台机器总停产时间为：（5×3+11×2+17）+5×2+31＝97（分钟）， ∴损失的金额为97×10＝970（元）， 故答案为：970． 教学提示：车床修复先修短的让机器早复产，两人时各从短到长、长工序收尾，算总停产×10。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 【附录‑备用题库】 17．（2024秋•莱州市期末）·【基础】用科学计算器进行计算，按键顺序依次为：，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（　　） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 1．（2026•邯郸开学）·【基础】一根钢管长15米，截去全长的，根据算式15所求的问题是（　　） A．截去多少米 B．剩下多少米 C．截去的比剩下的多多少米 D．剩下的比截去的多多少米 13．（2025秋•绥化期中）·【基础】一种彩电降价后是960元，这种彩电原价是（　　）元． A．960×（1） B．960÷（1） C．960×（1） D．960÷（1） 14．（2025春•浙江月考）·【基础】记十进制数a在p进制下表示为ap，若234b+1﹣234b﹣1＝70，则234b＝（　　） A．154 B．155 C．156 D．157 19．（2024•竞赛）·【提升】Jill有一些黑色、灰色、白色的单位立方体．她用其中的27个立方体构建了一个3×3×3的大立方体．她希望这个大立方体的表面上，为黑色，为灰色，为白色．她最少用了A个黑色小立方体，最多用了B个黑色小立方体．请问B﹣A的值为多少？（　　） A．1 B．3 C．6 D．7 E．9 43．（2024秋•东台市期中）·【基础】观察以下一系列等式： ①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； ②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； ③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； ④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；… 利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　 　 ． 34．（2025秋•万州区校级期中）·【提升】若一个四位自然数的千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数为“腾飞数”；若千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“跨越数”．例如：6375是“腾飞数”；4283是“跨越数”．则最小的“跨越数”是　 　 ；若P、Q分别是“腾飞数”、“跨越数”，且它们的个位数字均为1，P、Q各数位上的数字之和分别记为G（P）和G（Q），若能被11整除，则的最小值为　 　 ． 44．（2024秋•铁西区期中）·【提升】如图是一个运算程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为　 　 ． 过关测试（综合检测） 1．（2026•锡林郭勒盟一模）·【基础】日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算． 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 教学提示：二进制110101=1×2⁵+1×2⁴+0×2³+1×2²+0×2+1，按位加权求和得53。 2．（2025秋•宜兴市校级月考）·【基础】取一个自然数，若它是奇数，则加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数5，经过下面5步运算可得1，如图所示．如果自然数m恰好经过4步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】首先根据题意，应用逆推法，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【解答】解：进行逆推得， ∴符合条件的m的值为6，16，7，共3个， 故选：B． 教学提示：逆推法——从1倒推4步得m可能为6、16、7，训练'逆向枚举不漏'。 3．（2024秋•盂县期末）·【基础】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题， 甲：9﹣42÷8＝1÷8； 乙：24﹣4×32＝24﹣4×6＝0； 丙：； 丁：． 你认为做对的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】按照有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：甲：9﹣42÷8＝9﹣16÷8＝9﹣2＝7，故甲不正确； 乙：24﹣4×32＝24﹣4×9＝24﹣36＝﹣12，故乙不正确； 丙：，故丙正确； 丁：（﹣3）23＝9×3×3＝81，故丁不正确； 所以，我认为做对的同学是丙， 故选：C． 教学提示：甲错在9−4²÷8先算减；丁错在(−3)²÷3=9÷3非9；对比示范两种典型错。 4．（2024秋•任城区期末）·【基础】在数学课上，老师让A、B、C、D，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（　　） A．9﹣32÷8＝0÷8＝0 B．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 C． D． 【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、9﹣32÷8 ＝9﹣9÷8 ＝9 ， 故A不符合题意； B、24﹣（4×32） ＝24﹣（4×9） ＝24﹣36 ＝﹣12， 故B不符合题意； C、（36﹣12） ＝（36﹣12） ＝3612 ＝24﹣8 ＝16， 故C符合题意； D、（﹣3）23 ＝93 ＝9×3×3 ＝81， 故D不符合题意； 故选：C． 教学提示：同15题变式，聚焦'先乘方再除'与'负数平方后为正'，让学生重写正确过程。 5．（2024•高州市校级模拟）·【基础】下列式子计算正确的是（　　） A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（）×5＝8×（）＝﹣4 C．﹣321 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣1）6×32＝1×9＝9，故A不符合题意； B、8÷（）×5＝8×（﹣10）×5＝﹣400，故B不符合题意； C、﹣3291，故C符合题意； D、4﹣（﹣8）÷2＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，故D不符合题意； 故选：C． 教学提示：A项(−1)⁶×3²=9易错在忘(−1)偶次为1；B项连除从左到右，勿先约分。 6．（2025秋•思明区校级期中）·【提升】在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算53×24，将乘数53记入上行，乘数24记入右行，然后用乘数53的每位数字乘以乘数24的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得1272．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．a的值小于3 B．b的值为7 C．a为奇数 D．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣5 【分析】设4a的十位数字是m，个位数字是n，列出符合条件的方程组即可求解； 【解答】解：如图，设4a的十位数字是m，个位数字是n， ∴b＝7，a+m＝a+1，4a＝10m+n，b﹣5＝n． ∴b＝7，m＝1，n＝2，故B正确． ∴2＝4a﹣10＞0． 又∵a为正整数， ∴a＝3，故A错误，C正确． ∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣5＝101b+10（a+1）+b﹣5，故D正确． 故选：A． 教学提示：铺地锦格子列方程组求a、b，引导从斜行求和推出各位数字，勿被图迷惑。 7．（2025秋•靖江市期中）·【基础】对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．则计算3⊙（﹣2）的值为 　 　 ． 【分析】根据新运算“⊙”的定义计算即可． 【解答】解：3⊙（﹣2）＝|3+（﹣2）|+|3﹣（﹣2）| ＝1+5 ＝6． 故答案为：6． 教学提示：|a+b|+|a−b|代入3、−2，分步算两个绝对值再相加，强调绝对值非负。 8．（2025秋•大祥区期末）·【基础】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　 　 ． 【分析】通过观察、计算，归纳出每行数字的个数和每行最后数字的规律． 【解答】解：由题意得， 第1行数字个数为：2×1﹣1＝1， 第2行数字个数为：2×2﹣1＝3， 第3行数字个数为：2×3﹣1＝5， …， ∴第m行数字个数为：2m﹣1； 且第1行最后数字为：1＝12， 第2行最后数字为：4＝22， 第3行最后数字为：9＝32， …， ∴第m行最后数字为m2， ∵442＝1936，452＝2025， ∴442＜2024＜452， ∴2024在第45行， ∵第45行最后一个数字是2025，共有2×45﹣1＝89个数字， ∴2024是第45行第88个数， ∴m＝45，n＝88， ∴m+n＝45+88＝133． 故答案为：133． 教学提示：数阵第m行m²个数、末位m²，2024在45行第88个，用平方数定位行号。 9．（2025秋•新乡期末）·【基础】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 　 　 ． 【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×1＝32+16+0+4+0+1＝53， 故答案为：53． 教学提示：同2题二进制转化，强调'从末位为第0位'按2ⁿ加权，避免位权错。 10．（2024秋•成都期末）·【基础】24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是±24的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 　 　 ． 【分析】根据题意，写出一个结果是24的算式即可，答案不唯一． 【解答】解：（1+2）×23＝24， 故答案为：（1+2）×23（本题答案不唯一）． 教学提示：24点鼓励多解，(1+2)×2³=24；引导枚举乘方与括号组合，注意每个数用一次。 11．（2024秋•宜州区期末）·【基础】观察下列等式①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102，则（﹣5）3+（﹣6）3+（﹣7）3+⋯+（﹣10）3＝ 　 　 ． 【分析】根据题目中的例子，可知13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，然后将所求式子变形，再计算即可． 【解答】解：由题意可得， （﹣5）3+（﹣6）3+（﹣7）3+⋯+（﹣10）3 ＝﹣53﹣63﹣73﹣…﹣103 ＝﹣（53+63+73+…+103） ＝﹣[（13+23+33+…+103）﹣（13+23+33+43）] ＝﹣[（1+2+…+10）2﹣（1+2+3+4）2] ＝﹣（552﹣102） ＝﹣（3025﹣100） ＝﹣2925， 故答案为：﹣2925． 教学提示：(−5)³+…=−(5³+…+10³)，用立方和公式(1+…+n)²，注意负号整体提出。 12．（2024秋•建华区期末）·【基础】有一运算程序如下： 若输出的值是25，则输入的值可以是 　 　 ． 【分析】由题可得（x+1）2＝25，由此即可求出x的值． 【解答】解：根据题意可得： （x+1）2＝25， x+1＝±5， 解得x1＝4，x2＝﹣6． 故答案为4或﹣6． 教学提示：程序输出25即(x+1)²=25，x+1=±5得x=4或−6，强调'平方根有两个'。 13．（2025秋•安定区期末）·【基础】（1）﹣2﹣（﹣8）+（﹣10）； （2）﹣14+|3﹣5|+16÷（﹣2）． 【分析】（1）按从左到右的顺序依次计算即可，即可解答； （2）按从左到右的顺序依次计算即可，即可解答． 【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣8）+（﹣10） ＝﹣2+8﹣10 ＝6﹣10 ＝﹣4； （2）﹣14+|3﹣5|+16÷（﹣2） ＝﹣1+2+（﹣8） ＝1﹣8 ＝﹣7． 教学提示：−1⁴=−1非1，绝对值|3−5|=2；两小题都考'负号在幂外'，对比练习。 14．（2025秋•遂川县期末）·【基础】计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解： ＝﹣3+4﹣（）×9 ＝﹣3+4 ＝1． 教学提示：先算乘方再算括号，注意负号与分数运算，分步板书避免符号丢失。 苏科版2024 · 有理数的混合运算 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $