黑龙江省大庆市萨尔图区八年级数学下学期单元作业（北师大版八年级下册第四章因式分解）

大庆市八年级数学下学期单元作业 （北师大版八年级下册第四章因式分解） 【应用场景】本作业属于单元整合作业，适用于黑龙江省大庆市（六三学制）使用北京师范大学出版社《义务教育教科书·数学》八年级下册的初中学生，考查范围为第四章“因式分解”（第1节 因式分解、第2节 提公因式法、第3节 公式法），不涉及考查范围外的内容。作业可同时发挥课前预习、课中检测、课后反馈功能。 一、作业目标 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域提出：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。结合大庆市八年级学生学情与北师大版教材编排，本单元作业设置以下目标： 1. 理解因式分解的意义，能辨析因式分解与整式乘法的互逆关系，感受因式分解“化繁为简”的结构价值。 2. 掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式，能按“一提、二套、三检查”的顺序将多项式分解到不能再分解为止，形成规范的运算步骤。 3. 能借助因式分解解决面积、容积等实际问题，能解释因式分解结果的几何意义，发展模型观念与应用意识，体会数形结合、转化与化归等基本思想。 4. 经历观察、猜想、验证、证明的探究过程，发展运算能力、推理能力与创新意识，增强用数学眼光观察现实世界的意识。 二、作业内容 同学们：本作业是“因式分解”单元整合作业，共9题，总分100分，建议用时45分钟。作业分A、B、C三个层次：A层为基础巩固题，全体同学必做；B层为综合提升题，绝大多数同学完成；C层为拓展探究题，学有余力的同学选做。请独立完成，书写规范，保留必要的过程。 表1 题型题量及时间安排表 题组 题号 主要题型 题量 分值 建议用时 对应目标 A层·基础巩固 第1—5题 选择、填空、解答 5 40 15分钟 目标1、2 B层·综合提升 第6—7题 情境解答题 2 40 20分钟 目标2、3 C层·拓展探究 第8—9题 探究题、开放题 2 20 10分钟 目标3、4 合计 — — 9 100 45分钟 — （一）A层·基础巩固（★ 全体必做，共40分，建议15分钟） 第1题（选择题，4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 第2题（填空题，每小题4分，共12分）在横线上填上适当的结果，使等式成立： （1）分解因式： （2）分解因式： （3）分解因式： 第3题（解答题，每小题4分，共8分）用提公因式法把下列各式因式分解： （1）；　　（2）。 第4题（解答题，每小题4分，共12分）用公式法把下列各式因式分解： （1）；　　（2）；　　（3）。 第5题（解答题，4分）把因式分解，写出完整的分解过程。 （二）B层·综合提升（★★ 绝大多数同学必做，共40分，建议20分钟） 第6题（原创·新情境，共24分）情景一：校园环保手工活动 某校环保社团计划利用废旧卡纸制作长方体收纳盒，践行“变废为宝”的环保理念。 问题1（8分）社团要裁剪两块小矩形卡纸作为收纳盒的侧面，两块卡纸的面积分别为 平方厘米和 平方厘米（a、b为正整数）。请你用提公因式法表示两块卡纸的总面积，并指出其中的公因式。 问题2（8分）社团需从卡纸中裁剪出三个小矩形作为收纳盒的隔板，每个小矩形的宽均为 厘米，长分别为 厘米、 厘米和 厘米。 （1）用提公因式法表示三个隔板的总面积； （2）若 a=5，b=2，求单个隔板的平均面积。 问题3（8分）收纳盒的容积为 立方厘米。先提公因式，再用完全平方公式因式分解；若 ，求容积的最简值。 第7题（原创·新情境，共16分）情景二：社区绿化工程设计 某社区规划一块长为 (2m+n) 米、宽为 (m+2n) 米的矩形绿地，需在其中划分不同功能区。 问题1（6分）绿化区需种植两种灌木，其占地面积分别为 平方米和 平方米。用提公因式法分别分解两个面积表达式；若 ，，比较两块区域的面积大小。 问题2（6分）休闲区设计为边长为 米的正方形，其中心需留出边长为 米的正方形硬化路面。用平方差公式表示休闲区的绿化面积；若 ，说明因式分解结果的几何意义。 问题3（4分）社区计划在绿地四周铺设宽度为 米的鹅卵石小径，剩余绿地面积为 平方米。先判断该多项式是否存在公因式，再选择合适的方法因式分解；若 ，求小径宽度与剩余绿地边长的关系。 （三）C层·拓展探究（★★★ 选做，共20分，建议10分钟） 第8题（探究题·原创，共10分）数与形的对话 （1）（4分）如图1，用两个边长分别为 a、b 的正方形纸片和两个长 a、宽 b 的矩形纸片拼成一个大正方形（大正方形边长为 a+b）。请你用两种不同的方法表示拼成的大正方形的面积，并由此验证完全平方公式 。 图1 完全平方公式拼图验证示意图　 （2）（6分）观察下列等式： ，　　，　　，…… ①（2分）请你再写出一个符合上述规律的等式； ②（4分）猜想并证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。 第9题（开放题·原创，10分）请你当“编题小能手” 请从下面的生活情境中任选一个（也可自创情境），自编一道能用因式分解解决的数学问题，并写出完整解答： ①学校操场边有一块长方形花坛，需要分成若干小区域； ②家中房间要铺正方形地砖，需要计算用料； ③工厂要把一块长方形钢板裁成若干小块。 要求：问题表述清晰，数据合理，能体现提公因式法或公式法，解答完整。 三、作业实施建议 1. 使用时机与分层安排。本作业为单元整合作业，建议在学完第四章“因式分解”后使用；也可拆分使用：A层用于第1—3课时的课后巩固，B层用于单元复习课，C层作为学有余力学生的拓展任务或周末探究作业。 2. 分层要求与弹性。A层为达标底线，全体学生必做；B层面向绝大多数学生，学困生可在教师或同伴支持下完成问题1；C层不强制，完成情况作为进阶评价依据。教师可根据班级学情适当增减题目，控制总时长不超过45分钟。 3. 实施方式。可安排为课后书面作业，建议学生独立完成；B层情境题可结合小组交流，C层开放题鼓励学生用图形、表格等方式呈现思路。若条件允许，第6题可结合社团活动、综合实践课开展动手操作。 4. 批改与反馈。批改时重点关注：因式分解步骤是否规范（一提、二套、三检查）、符号处理是否正确、结果是否分解彻底；对B层情境题中学生暴露的“把实际问题转化为代数式”的困难，在课堂上补充建模指导。可采用等级加评语的评价方式，及时讲评典型错误。 5. 资源与环境。作业所需素材均为生活常见情境，无需额外教具；第8题（1）可指导学生用正方形、长方形纸片动手拼图验证，实现做中学。 四、参考答案与解析 （一）A层·基础巩固 第1题：B。 解析：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。A、C是整式乘法运算；D变形后 仍含有加减运算，不是整式的积；B把 化为 两个整式的积，符合因式分解的定义，故选B。 第2题：（1）2a-b；（2）3x+4y，3x-4y；（3）m+4。 解析：（1），公因式为 3ab；（2）；（3）。 第3题： 解析：（1）公因式为 4x²，提出后另一因式为 (x-2y)；（2）公因式为 2(x-y)，注意提出公因式后另一因式为 (a+3b)。 第4题： 解析：（1）逆用平方差公式 ；（2）（3）逆用完全平方公式。判断能否用公式法，先观察项数与符号特征：两项且符号相反考虑平方差；三项且有两个平方项、中间项为二者乘积的2倍考虑完全平方。 第5题： 解析：先提公因式 a，再用平方差公式继续分解，体现“一提、二套、三检查”，注意分解到不能再分解为止。 （二）B层·综合提升 第6题： 问题1： 公因式为4。解析：两块卡纸面积之和为 8a+12b，各项系数8、12的最大公因数为4，字母部分不含相同的字母因式，故提公因式4，得 4(2a+3b)。（评分：正确列式并分解得6分，正确指出公因式得2分。） 问题2： 当 a=5，b=2 时，(a-b)²=9，总面积=10×9=90（平方厘米），单个隔板平均面积=90÷3=30（平方厘米）。 解析：三个小矩形宽均为 (a-b)，长分别为 5(a-b)、3(a-b)、2(a-b)，故面积分别为 5(a-b)²、3(a-b)²、2(a-b)²；把 (a-b) 看作一个整体提公因式，体会整体思想。（评分：正确表示总面积得4分，正确代入计算平均面积得4分。） 问题3： 当 a=b+3 时，a-b=3，容积=3×(3+1)²=3×16=48（立方厘米）。 解析：先提公因式 (a-b)，括号内 (a-b)²+2(a-b)+1 符合完全平方公式，得 (a-b+1)²；再代入求值。（评分：正确提公因式得3分，正确用完全平方公式得3分，正确求值得2分。） 第7题： 问题1： 当 m=2，n=1 时，第一块面积=3×2×1×(2+2×1)=6×4=24（平方米）；第二块面积=3×2²×1²×(3×2-4×1)=12×2=24（平方米），两块区域面积相等。 解析：确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母取各项相同字母的最低次幂。（评分：每个表达式正确分解各得2分，代入计算并比较得2分。） 问题2： 几何意义：休闲区绿化面积等于4个长为 m、宽为 n 的全等矩形的面积之和（大正方形面积减去中心小正方形面积后，剩余部分可等积拼成4个长为 m、宽为 n 的矩形）。 解析：逆用平方差公式进行因式分解，再解释结果的几何意义，体会数形结合思想。（评分：正确用平方差公式分解得4分，正确解释几何意义得2分。） 问题3： x²+6mx+9m² 各项系数1、6、9的最大公因数为1，且各项不含相同的字母因式，故不存在公因式；直接逆用完全平方公式： 当 x=m 时，剩余绿地边长为 x+3m=4m，小径宽度 x=m，故小径宽度是剩余绿地边长的 1/4。 解析：注意先“查公因式”再“套公式”；代入后得到边长关系。（评分：正确判断无公因式并分解得2分，正确分析边长关系得2分。） （三）C层·拓展探究 第8题： （1）方法一：大正方形的面积为 (a+b)²；方法二：大正方形的面积等于四个小图形的面积之和，即 a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²。两种方法表示的是同一个正方形的面积，故 (a+b)²=a²+2ab+b²，公式得证。 （2）①例如：9²-7²=32=8×4。（答案不唯一） ②猜想：任意两个连续奇数的平方差能被8整除。 证明：设两个连续奇数为 2n+1、2n-1（n为正整数），则 因为 8n 是8的整数倍，所以任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。 解析：（2）用平方差公式将平方差转化为积的形式，8n 是8的倍数，整除关系得证；注意两个连续奇数可设为 2n-1 与 2n+1。（评分：正确写出符合规律的等式得2分，猜想正确得1分，证明完整正确得3分。） 第9题：评分参考（答案不唯一，以下为示例） 示例：学校操场边有一块长方形花坛，面积为 平方米（a>b，a、b为正整数），请你写出花坛长和宽可能的表达式，并说明理由。 因为 a>b，所以 3a+2b>3a-2b，故长可以为 (3a+2b) 米，宽可以为 (3a-2b) 米。 评分标准：情境选取合理、数据自洽得2分；问题表述清晰、能体现因式分解方法得4分；解答正确、步骤完整得4分。 五、作业评价标准 本作业采用“分层评价、等级评定”的方式，教师可按表2从四个维度综合评定，并参照分值比例换算总分：优秀90—100分，良好75—89分，合格60—74分，待提高60分以下。 表2 作业评价标准 评价维度 权重 优秀 良好 合格 待提高 知识技能 30% 能准确辨析因式分解，熟练确定公因式，准确识别平方差与完全平方公式 概念清楚，方法选择偶有失误 基本概念正确，方法运用不够熟练 概念模糊，方法掌握不到位 运算过程 30% 严格按“一提、二套、三检查”分解，结果彻底、符号准确、书写规范 步骤较规范，个别遗漏或未分解彻底 能按步骤操作，存在符号或结果错误 步骤混乱，错误较多 应用与建模 25% 能准确将实际问题转化为代数式并正确求解，能解释几何意义 能建模求解，表达略有欠缺 能在提示下完成建模，计算有误 难以建立实际问题与代数式的联系 探究与表达 15% 观察猜想合理、证明严谨，开放题情境新颖、解答完整 能完成探究任务，表述基本完整 部分完成探究任务，过程不完整 未能有效完成探究与开放任务 评语建议：教师可在等级基础上，结合学生书写规范、独立完成情况给出激励性评语，如“你能把复杂的表达式化繁为简，真棒！再注意分解要彻底”“你能用因式分解解决实际问题，模型意识很强”“开放题很有创意，继续加油”。对C层完成出色的学生，可在班级展示其作品，发挥榜样作用。 学科网（北京）股份有限公司 $