第章2 有理数的运算 知识点 2026-2027学年人教版数学七年级上册

人教版（2024）七年级数学上册 第二章《有理数的运算》 知识点 一、本章整体定位 项目 内容 所属领域 “数与代数” 前置知识 第一章：正数与负数、有理数的概念、数轴、相反数、绝对值、有理数的大小比较 本章主线 运算：加法→减法→乘法→除法→乘方→混合运算→科学记数法→近似数 两条暗线 ①”转化（化归）“思想：减法转化为加法，除法转化为乘法；②”数系扩充要保持运算律不变”的思想 后续作用 第三章代数式求值、第四章整式的加减、第五章一元一次方程的一切计算基础 核心素养落脚点 运算能力（首要）、推理意识、模型观念、数据意识 本章知识结构（小结的知识框图） 有理数的运算 ┌─────────┼──────────┐ 加法与减法 乘法与除法 乘方 （加法交换律、结合律）（乘法交换、结合、分配律）（相同因数积） ↑ ↑ │ 减法转化为加法 除法转化为乘法 乘方是乘法的简便运算 └─────────┼──────────┘ ↓ 混合运算（顺序） 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 同级从左到右；括号：小 → 中 → 大 ─────────────── 表示与近似 科学记数法 · 近似数 二、2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 1. 加法法则（四种情形，必须完整记忆） 设 a, b 为有理数： ① 同号两数相加：取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 (-3)+(-5) = -(3+5) = -8； (+4)+(+7) = +(4+7) = 11 ② 绝对值不相等的异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。 (-9)+(+4) = -(9-4) = -5； (+6)+(-2) = +(6-2) = 4 ③ 互为相反数的两个数相加得 0：a + (-a) = 0。（这是②的特殊情形，也是简化运算的重要依据） ④ 一个数同 0 相加，仍得这个数：a + 0 = 0 + a = a。 操作口诀：先定符号，再算绝对值。这是全章一切有理数运算的共同思路。 2. 加法运算律（在有理数范围内仍然成立） · 加法交换律：a + b = b + a · 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 注意：交换加数位置时，必须连同它前面的符号一起移动（把”+ 号与数”看成一个整体）。 3. 多个有理数相加的处理 多个有理数相加时，可以任意交换加数的位置、任意结合，常用五种简化策略： 策略 做法 例子 相反数结合法 互为相反数先加 (-7)+3.5+7 = 3.5 同号结合法 正数与正数、负数与负数分别相加 先合正、再合负，最后异号相加 凑整法 先加能得整数的数 (-3.7)+2.6+(-6.3) = (-10)+2.6 同分母结合法 分母相同（或易通分）的先加 2/5 + (-3/7) + 3/5 拆分法 带分数拆成整数部分与分数部分分别相加 3又1/4 + (-2又3/4) 4. 和的符号与绝对值大小的关系（重要推论） · a>0, b>0 ⇒ a+b>0；a<0, b<0 ⇒ a+b<0 · 异号相加时，和的符号由绝对值较大的加数决定；当两数绝对值相等时和为 0。 · 由此可得：若 a+b>0 且 a<0，则必有 b>0 且 |b|>|a|（这类逆向判断题常考）。 5. 绝对值的非负性的初步应用 |a| ≥ 0，a² ≥ 0（乘方后可用）。若几个非负数的和为 0，则每一个都为 0。 例如：|a+3| + (b-2)² = 0 ⇒ a = -3, b = 2（此题型在学完乘方后出现）。 2.1.2 有理数的减法 1. 减法法则（核心：转化为加法） 减去一个数，等于加上这个数的相反数： a - b = a + (-b) 要点： · 减法本身没有交换律和结合律，所以必须先转化成加法，再用加法运算律。 · 转化时做到”两变”：减号变加号，减数变它的相反数（被减数不变）。 · 10 - (-6) = 10 + 6 = 16； -7 - 3 = -7 + (-3) = -10 · 差的大小关系：a - b > 0 ⇔ a > b；a - b = 0 ⇔ a = b；a - b < 0 ⇔ a < b。由此可得一种比较有理数大小的方法——作差法。 2. 有理数的加减混合运算 标准步骤： 1. 统一成加法：把所有减法按法则写成加法； 1. 省略加号和括号：在和式里可以把加号及各加数的括号省略。 · (-8)+(-7)+(+5)+(-3) → -8 - 7 + 5 - 3 1. 两种读法（都要会）： · 按”和”的意义读：读作”负 8、负 7、正 5、负 3 的和”； · 按运算意义读：读作”负 8 减 7 加 5 减 3”。 1. 运用加法交换律、结合律简化计算（注意带着符号搬家）； 1. 从左到右算出结果。 3. 用绝对值表示数轴上两点的距离 由绝对值的几何意义（数轴上表示数 a 的点到原点的距离是 |a|），可得表示 a, b 的两点之间的距离为 |a - b| = |b - a|（大数减小数，结果非负）。例如表示 -3 与 5 的两点距离为 |5 - (-3)| = 8。 易混辨析：|a - b| 是距离（非负）；而 a - b 是差（可正可负），它表示的是”a 比 b 多多少”。 4. 实际问题建模 收入／支出、上升／下降、向东／向西、盈利／亏损等具有相反意义的量，用正负数表示后，总变化量就是这些数的代数和。 阅读与思考：正负术 我国古代早已使用正负数并给出加减法则，称为”正负术”（同名相除、异名相益、正无入负之、负无入正之），其本质与今天的”同号、异号”法则一致，说明负数及其运算是我国传统数学的重要贡献。 三、2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 1. 乘法法则 ① 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ② 任何数与 0 相乘，都得 0。 同样遵循”先定符号，再算绝对值”。 2. 多个有理数相乘时积的符号 · 几个不等于 0的数相乘：积的符号由负因数的个数决定——负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正（简称”奇负偶正”），再把绝对值相乘。 · 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0（此时不再讨论符号）。 · 推论：若若干个数的积不为 0，则其中每个因数都不为 0；反之，若积为 0，则至少有一个因数为 0（“零因子”性质，用于后续方程求解）。 3. 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数。即若 ab = 1，则 a 与 b 互为倒数。 · 0 没有倒数（因为任何数与 0 相乘都得 0，不可能得 1）； · 求倒数的方法：分数 p/q 的倒数是 q/p；整数 n 的倒数是 1/n；带分数要先化成假分数再求倒数；小数先化成分数； · 符号不变：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； · 倒数等于本身的数是 1 和 -1。 4. 乘法运算律（在有理数范围内仍成立） · 交换律：ab = ba · 结合律：(ab)c = a(bc) · 分配律：a(b + c) = ab + ac（唯一能把乘法与加法联系起来的运算律，是简便运算的核心） 分配律的两种用法都要熟练： · 展开用：(-24) × (1/3 - 1/4 + 1/6) = (-24) × 1/3 - (-24) × 1/4 + (-24) × 1/6 · 逆用（提取公因数）：3.14 × (-7) + 3.14 × (-3) = 3.14 × (-10) 重要提醒：除法没有分配律！一般地 a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c。只有形如 (b + c) ÷ a = (b + c)/a = b/a + c/a（即除数在右边、被除数是和）才可以拆开。这是本章最高频的错误之一。 5. 运算中的形式处理 · 带分数参与乘除运算，必须先化成假分数； · 小数与分数混合时，通常统一成分数便于约分； · 多个分数连乘时，先定符号，再约分，最后相乘。 探究与发现：从数系扩充看有理数乘法法则 这是本章最具思想含量的一节，不是重复背法则，而是回答”为什么负负得正”。 1. 数系扩充的基本原则 每次数系的扩充（自然数→整数→有理数），都是为了解决原有数系中无法解决的问题（如不够减、不能整除）；而扩充时必须坚持一条原则： 原来在非负有理数范围内成立的运算律（交换律、结合律、分配律），在扩充后的有理数范围内仍然成立。 2. 用分配律推导”新规定”的合理性 教材以 1×(-1)、0×(-1)、(-1)×(-1) 为例进行推理： · 若分配律成立，则 1×(-1) + 1×1 = 1×[(-1)+1] = 1×0 = 0，而 1×1 = 1，所以 1×(-1) = -1（即 1×(-1) = -(1×1)）； · 同理 0×(-1) + 0×1 = 0×0 = 0，得 0×(-1) = 0； · 对于 (-1)×(-1)：(-1)×(-1) + (-1)×1 = (-1)×[(-1)+1] = (-1)×0 = 0，而 (-1)×1 = -1，所以 (-1)×(-1) = 1。 一般地，对任意正数 a, b： (-a)×b + a×b = [(-a)+a]×b = 0×b = 0 ⇒ (-a)×b = -(ab) (-a)×(-b) + (-a)×b = (-a)×[(-b)+b] = 0 ⇒ (-a)×(-b) = ab 3. 结论与启示 · “异号为负、负负得正”不是人为随意规定的，而是为了保证乘法分配律在引入负数后仍然成立所必然得出的结果； · 这也解释了为什么绝对值部分仍然沿用小学的乘法（保持与原运算的一致性）； · 反过来想：如果规定 (-3)×(-4) = -12，就会破坏分配律，整个运算体系将自相矛盾。 2.2.2 有理数的除法 1. 除法法则（两种表述，本质相同） 法则一（转化为乘法，最常用）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) （b ≠ 0） 法则二（直接定号）：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 2. 必须牢记的三点 · 0 不能作除数（a/0 无意义）；但 0 可以作被除数，0 ÷ a = 0（a ≠ 0）； · 除法是乘法的逆运算，因此除法可完全转化为乘法来做，这样就能使用乘法运算律； · 分数形式的符号规则：(-a)/b = a/(-b) = -(a/b)，(-a)/(-b) = a/b（即分子、分母、分数值三者中改变其中两个的符号，值不变）。 3. 乘除混合运算 先把所有除法统一成乘法（连同符号一起处理），确定积的符号（奇负偶正），再约分计算。同级运算从左到右进行。 四、2.3 有理数的乘方 2.3.1 乘方（含有理数的混合运算） 1. 乘方的意义与各部分名称 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。 a × a × … × a（n个）= aⁿ · a 叫作底数，n 叫作指数，aⁿ 读作”a 的 n 次方”或”a 的 n 次幂”； · 指数 n 表示相同乘数的个数（本节课只涉及正整数指数）； · 一个数可以看作这个数本身的一次方，如 5 = 5¹，指数 1 通常省略不写； · 平方（二次方）、立方（三次方）有特殊读法：a² 读作”a 的平方”，a³ 读作”a 的立方”。 2. 幂的符号法则（由乘法法则推出） 底数 幂的符号 正数 任何正整数次幂都是正数 负数 奇次幂是负数，偶次幂是正数 0 任何正整数次幂都是 0 推论：任何有理数的偶次幂都是非负数，即 a²ⁿ ≥ 0。 3. 最容易出错的地方：(-a)ⁿ 与 -aⁿ 式子 底数 意义 举例 (-a)ⁿ -a n 个 (-a) 相乘 (-3)² = 9 -aⁿ a aⁿ 的相反数 -3² = -9 · 当底数是负数或分数时，必须用括号把整个底数括起来，否则意义完全不同： · (-2/3)² = 4/9，而 -2/3² = -4/9（后者写法不规范，应避免）。 · 规律：n 为偶数时 (-a)ⁿ = aⁿ（互为相反数的两数的偶次幂相等）；n 为奇数时 (-a)ⁿ = -aⁿ。 4. 有理数的混合运算顺序 顺序规则： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 1. 同级运算，从左到右进行； 1. 有括号，先做括号内的运算，按小括号→中括号→大括号依次进行； 1. 若式中含有绝对值符号，先算绝对值里面的（绝对值相当于一层括号）。 规范做法：观察（找乘方、括号、绝对值）→ 标记（先标出各乘方的符号与值）→ 转化（除法变乘法）→ 按序计算 → 能用运算律简算的要简算。 5. 常用简算技巧 · 除法统一为乘法后，用乘法交换律、结合律先约分； · 逆用分配律提取公因数； · 凑整、凑 0、凑 1； · 拆数：如 99 × (-5) = (100 - 1) × (-5)。 2.3.2 科学记数法 1. 定义 把一个大于 10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。（对于小于 -10 的负数，先写出其相反数的科学记数法形式，再在前面添负号，如 -567000000 = -5.67 × 10⁸。） 2. 确定 a 和 n 的两种方法 · 定 a：把原数的小数点移到左起第一个不是 0 的数字的后面； · 定 n： ① n = 原数的整数位数减 1； ② n = 小数点向左移动的位数。 例：3721 = 3.721 × 10³（整数 4 位，n = 3）。 3. 还原 把 a × 10ⁿ 的小数点向右移动 n 位，位数不够用 0 补足。如 3.6 × 10⁵ = 360000。 4. 注意点 · 科学记数法只改变数的书写形式，不改变数的大小； · a 必须满足 1 ≤ a < 10（a 可以是负数吗？教材针对大于 10 的正数定义，负数情形通过添负号处理）； · 常与近似数结合考查：如 3.14 × 10⁴ = 31400，末位数字 4 在百位上，故精确到百位。 2.3.3 近似数 1. 准确数与近似数 · 准确数：与实际完全符合的数（如人数、个数、定义的换算关系：1 小时 = 60 分）； · 近似数：与实际非常接近但不完全相等的数（如测量值、统计估算值、π ≈ 3.14、除不尽的结果）。 产生近似数的原因：测量工具精度有限、实际无法或不必要得到精确值、计算中四舍五入等。 2. 精确度（本节核心） 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 · 小数形式：1.6 精确到十分位（0.1）；1.60 精确到百分位（0.01）。末尾的 0 表示精确度，不能随意去掉（1.6 与 1.60 精确度不同）。 · 整数形式：要看最后一个数字所在的数位。200 若精确到个位，表示 199.5～200.5 之间；若说”约 200（精确到百位）“，则表示 150～250 之间。 · 带单位（万、亿）的形式：先还原成以”个”为单位的数，再看末位数字所在数位。如 2.40 万 = 24000，“0”在百位，故精确到百位。 · 科学记数法形式：a × 10ⁿ 要看 a 的最后一位在还原后的数中所占的数位。如 3.10 × 10⁵ = 310000，精确到千位。 3. 用四舍五入法取近似数 确定要精确到的数位 → 看它后面一位数字 → 小于 5 舍去，大于或等于 5 向前一位进 1 → 用”≈“连接。 注意：保留几位小数时，末尾的 0 必须写出（如 1.8971 精确到 0.01 得 1.90，不能写 1.9）。 关于”有效数字”：旧版人教版曾单列”近似数和有效数字”，现行教材本节只要求掌握”精确到哪一位”与四舍五入取近似数。“有效数字”的说法在一些练习中会出现，了解即可，不作为本章必需掌握的内容，复习时应以教材和教师要求为准。 五、数学活动（第二章） 活动 1：整理家庭收支账目 · 用正数记收入、负数记支出，列出账目表； · 用有理数加减法计算每日结余、周（月）总结余；用除法求日均支出、月均收入； · 体会正负数与有理数运算在理财中的应用，提出合理支出建议。 活动 2：填幻方 · 洛书（三阶幻方）：1～9 填入 3×3 方格，使每行、每列、两条对角线上的三个数之和都等于 15； · 关键数量关系：九个数的总和 ÷ 3 = 幻和；中心数 = 幻和 ÷ 3； · 拓展：把一组含负数的 9 个有理数（如 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4）填入幻方，方法相同（总和为 0，则幻和为 0，中心数为 0）。 六、小结：方法、思想与易错清单 1. 三种数学思想 · 转化（化归）思想：减法→加法，除法→乘法，新知→旧知； · 数形结合：用数轴理解加减的实际意义、用 |a-b| 表示两点距离； · 从特殊到一般 / 保持运算律的一致性：由具体算式归纳法则，用分配律说明法则的合理性（数系扩充的基本准则）。 2. 全章运算的统一程序 一看（运算种类与括号）→ 二定（结果的符号）→ 三算（绝对值的运算）→ 四查（顺序与符号） 3. 易错点速查表 易错处 正确做法 异号相加符号取错 取绝对值较大者的符号，绝对值是大减小 减法直接交换 先化成加法：a-b=a+(-b)，减法无交换律、结合律 省略括号后代数和读错 分清”……的和”与”……减……加……“两种读法 多个因数相乘漏判 0 有因数 0 则积为 0，不再谈符号 除法乱用分配律 a÷(b+c) ≠ a÷b + a÷c 带分数直接乘除 先化假分数 -2⁴ 与 (-2)⁴ 前者 = -16，后者 = 16；底数是负数或分数必须加括号 混合运算跳步 先算所有乘方并写在旁边，再代入原式 科学记数法 a 的范围 必须 1≤a<10，n = 整数位数 - 1 近似数精确度 带单位或科学记数法要先还原再看末位数位；末尾 0 不能省 4. 复习提示：本章复习题包含多步混合运算与收支、温差、时差、海拔等实际应用，应按”一看二定三算四查”限时完成，并把错题按”符号错／顺序错／抄错数／不会简算”四类归类。 七、综合与实践：进位制的认识与探究 活动目标：认识进位制，理解不同进位制数之间的转换及进制数的加法运算，体会古代文明与现代科技的联系。 1. 基本概念 · 进位制：为了记数和运算方便而约定的记数系统。“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，所用数码为 0, 1, 2, …, n-1。 · 十进制：基数 10，数码 0～9；二进制：基数 2，数码 0、1；八进制：基数 8，数码 0～7。 · 位值原理（十进制示例）：3721 = 3×10³ + 7×10² + 2×10¹ + 1×10⁰（规定当 a≠0 时，a⁰ = 1）。 · 区分不同进位制的方法：在数的右下角标明基数，如 (1011)₂；十进制数一般不标注基数。 2. 其他进位制转十进制（按权展开法） 把该数写成”各数位上的数字 × 基数的幂”之和，再按十进制运算算出结果。 (1011)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 3. 十进制转其他进位制（除基取余法 / 拆成基数的幂之和） 把原数表示成数码与基数的幂的乘积之和，从高位到低位确定各数位数字。 · 89 = 64 + 16 + 8 + 1 = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰，故 89 = (1011001)₂； · 89 = 1×8² + 3×8¹ + 1×8⁰，故 89 = (131)₈。 发现：同一个数字在不同位置上表示不同的数值；不同进位制的基数不同，所用数码个数也不同；二、八、十六进制之间可通过”分组”快速互化（拓展）。 4. 二进制数的加法 法则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（即”逢二进一”）。 计算后再转回十进制，结果与直接用十进制相加一致——这验证了”同一数量在不同记数系统下运算结果一致”。 5. 为什么计算机用二进制 只用 0、1 两个数码，正好对应电路的”断”与”通”两种状态，物理实现简单、抗干扰能力强、运算规则简单、与逻辑运算天然对应。 6. 生活中的其他进位制 七进制（一星期 7 天）、十二进制（一年 12 个月）、六十进制（1 小时 = 60 分，1 分 = 60 秒；角度 1° = 60′，1′ = 60″）。六十进制加法：秒（分）满 60 向上一位进 1，借 1 当 60。 7. 延伸任务 · 电子存储容量单位：字节（Byte）及其倍数关系（KB、MB、GB、TB，相邻多为 2¹⁰ = 1024 倍）； · ICME-14 大会标识中的八卦记数：阳爻记 1、阴爻记 0，把卦象看作二进制数再转换为八进制、十进制； · 撰写一篇关于进位制的意义、运算、特点、适用范围及互化方法的小论文。 活动过程：组建 5～8 人小组→方案构思→分工实施→形成研究报告→展示交流与多元评价（自评、互评、师评）。报告参考形式：活动主题、成员与分工、选题意义、研究方案、研究过程、研究成果、收获与体会、评价。 最后提醒 本章的”会算”只是底线，“算得准、算得巧、说得清道理”才是目标。每天练 5～8 道混合运算（要求写清每一步依据），并把错题按”符号错／顺序错／抄错数／不会简算”四类归类，是突破本章最有效的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $