第一、二章 有理数及其有理数的运算 10大题型分类 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义通过10大题型分类系统构建有理数及其运算的知识体系，以“题型示例-思路分析-规范解答-变式训练”的递进结构呈现，涵盖绝对值非负性、数轴化简、动点问题等重难点，清晰展现知识内在逻辑与应用脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的方法指导，如绝对值多解问题培养分类讨论的推理意识，数轴动点问题强化几何直观与抽象能力，规律探究题提升运算能力。每个题型配典型例题与梯度训练，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

2024 人教版七上 · 有理数 10 大核心题型 人教版七年级上册 第一章 有理数及其有理数的运算10大题型分类 题型1 绝对值的非负性综合求值 例题1 已知 |a+3|+(b-2)²+|c+1|=0，求 2a-b+c² 的值。 【分析】 题目左边由两个绝对值和一个平方组成。绝对值与平方都不小于 0，而三个非负数的和等于 0，因此每一项都必须等于 0。先分别求出 a、b、c，再代入所求式计算。 【解答】 因为 |a+3| ≥ 0，(b−2)² ≥ 0，|c+1| ≥ 0，且 |a+3|+(b−2)²+|c+1|=0， 所以 |a+3|=0，(b−2)²=0，|c+1|=0。 因此 a=−3，b=2，c=−1。 于是 2a−b+c²=2×(−3)−2+(−1)²=−6−2+1=−7。 答：2a−b+c² 的值为 −7。 例题2 已知 |x-2|+(y+1)²+|a-x-y|=0，且 |b|=|a|+2。设 E=|b-a|+|b+x|，求 E 的所有可能值及这些值的和。 【分析】 先利用“非负数之和为 0”确定 x、y、a。再由 |b|=3 得到 b 有两个可能值，必须分别代入 E 计算，最后汇总所有可能值。 【解答】 由 |x−2|+(y+1)²+|a−x−y|=0，且三项均不小于 0，得 |x−2|=0，(y+1)²=0，|a−x−y|=0。 所以 x=2，y=−1，a=x+y=1。 又因为 |b|=|a|+2=1+2=3，所以 b=3 或 b=−3。 当 b=3 时，E=|3−1|+|3+2|=2+5=7。 当 b=−3 时，E=|−3−1|+|−3+2|=4+1=5。 答：E 的所有可能值为 5、7，这些值的和为 12。 变式训练 1．若 |m+4|+|n−6|=0，求 2m+n 的值。 2．已知 |a+2|+(b−3)2=0，求 (2a+b)4 的值。 3．已知 |3x+y+1|+(2x−y+4)2=0，求 (x−y)2 的值。 4． 已知 a 与 −3 互为相反数，b>a，且 |b|=7。 （1）求 a、b 的值； （2）若 |m+a|+|n−b|=0，求 2m+n 的值。 题型2：已知绝对值求字母，分类讨论多解计算 例题1 已知 |x|=4，|y|=7，且 x<y。求 x+y 的所有可能值。 【分析】 由 |x|=4、|y|=7 可知 x、y 各有正、负两个可能值。题目又给出 x<y，因此要把四种符号组合逐一检验，保留满足大小关系的情况。 【解答】 由 |x|=4，得 x=4 或 x=−4；由 |y|=7，得 y=7 或 y=−7。 四种组合中： ① x=4，y=7 时，4<7，符合条件，x+y=11； ② x=4，y=−7 时，4<−7 不成立； ③ x=−4，y=7 时，−4<7，符合条件，x+y=3； ④ x=−4，y=−7 时，−4<−7 不成立。 答：x+y 的所有可能值为 3、11。 例题2 已知 |x|=6，|y|=2，且 x+y<0。求 x-y 的所有可能值及这些值的和。 【分析】 先由绝对值得到 x、y 的所有候选值，再利用 x+y<0 筛选。最后分别计算 x−y，并求这些可能值的和。 【解答】 由 |x|=6，得 x=6 或 x=−6；由 |y|=2，得 y=2 或 y=−2。 检验 x+y<0： 当 x=−6，y=2 时，x+y=−4<0，符合条件，此时 x−y=−8； 当 x=−6，y=−2 时，x+y=−8<0，符合条件，此时 x−y=−4； 另外两种 x=6 的情况，x+y 均大于 0，不符合条件。 所以 x−y 的所有可能值为 −8、−4，它们的和为 −8+(−4)=−12。 答：x−y=−8 或 −4；这些值的和为 −12。 变式训练 1．已知 |a+2|=4，|b|=3，且 |a−b|=|a|+|b|，求 a+b 的所有可能值。 2． 已知 |x|=4，|y|=7，且 xy<0，x+y<0，求 x−y 的值。 3． 已知 |a|=5，b2=9，且 ab>0，求 a−b 的所有可能值。 4．已知 |x|=6，|y|=2，且 |x+y|=x+y，则 x−y 的所有可能值是（　　）。 A．4 或 8　　B. −4 或 −8　　C. 4 或 −8　　D. −4 或 8 4． 已知 |x|=5，|y|=2，且 xy<0，求 的值。 题型3：依据数轴化简绝对值代数式 例题1 数轴上有两点 A、B，分别表示有理数 a、b，且 a<0<b。点 A 到原点的距离大于点 B 到原点的距离。化简：|a|+|a+b|-|b-a|。 【分析】 去绝对值前必须先判断每个绝对值内部的正负。由 a<0<b，且点 A 到原点的距离大于点 B 到原点的距离，可得 |a|>|b|=b，从而 −a>b，即 a+b<0。再判断 b−a>0。 【解答】 因为 a<0，所以 |a|=−a。 又因为 |a|>b，且 |a|=−a，所以 −a>b，即 a+b<0，因此 |a+b|=−(a+b)。 因为 b>0、a<0，所以 b−a>0，因此 |b−a|=b−a。 原式=−a−(a+b)−(b−a) =−a−a−b−b+a =−a−2b。 答：原式化简为 −a−2b。 例题2 数轴上表示 a、b、0、c 的四个点从左到右依次排列，且 a<b<0<c，b+c<0。化简：|c-a|-|a+b|+|b+c|。 【分析】 根据 a<b<0<c 和附加条件 b+c<0，依次判断 c−a、a+b、b+c 的正负，再按绝对值定义去掉绝对值符号。 【解答】 由 c>0、a<0，得 c−a>0，所以 |c−a|=c−a。 由 a<0、b<0，得 a+b<0，所以 |a+b|=−(a+b)。 题目已知 b+c<0，所以 |b+c|=−(b+c)。 原式=(c−a)−[−(a+b)]+[−(b+c)] =c−a+a+b−b−c =0。 答：原式的值为 0。 变式训练 1．已知有理数 a、b、c 满足 a<0<b<c，且 |a|>c。 （1）判断正负，用“>”或“<”填空：a+b______0；a+c______0；c−a______0。 （2）化简：|a|+|b−a|−|c+a|。 2．已知 a<b<0，化简：|b|+|a−b|−|a+b|。 3．已知 ab<0，ac>0，a+c<0，且 |b|>|c|>|a|，化简：|a+b|+|c−b|−|a−c|。 4．解方程：|x−2|+2=|x+2|。 5．观察绝对值去符号的规律，完成下列问题： （1）写成去掉绝对值符号的形式：① |18−41|=______；② |−|=______； （2）当 a>b 时，|a−b|=______；当 a<b 时，|a−b|=______； （3）计算：|1−|+|−|+|−|+…+|−|。 题型4：有理数新定义运算 例题1 规定 a⊙b=|a|-b²。求 [(−3)⊙(−2)]⊙2。 【分析】 新定义运算的关键是“每做一次运算，都重新按照定义计算”。本题有两层新运算，应先算中括号内的 (−3)⊙(−2)，再把所得结果与 2 进行第二次 ⊙ 运算。 【解答】 按定义 a⊙b=|a|−b²。 先计算：(−3)⊙(−2)=|−3|−(−2)²=3−4=−1。 再计算：(−1)⊙2=|−1|−2²=1−4=−3。 答：[ (−3)⊙(−2) ]⊙2=−3。 例题2 规定 a◇b=|a+b|+x·ab。若 2◇(−1)=5，求 (−2)◇3。 【分析】 先把 2◇(−1)=5 代入新运算定义，确定参数 x；再用同一个定义计算 (−2)◇3。注意 ab 的符号以及绝对值中的和。 【解答】 由定义 a◇b=|a+b|+x·ab， 2◇(−1)=|2+(−1)|+x×2×(−1)=1−2x。 因为 2◇(−1)=5，所以 1−2x=5，得 −2x=4，x=−2。 于是 (−2)◇3=|−2+3|+(−2)×(−2)×3 =1+12 =13。 答：(−2)◇3=13。 变式训练 1．定义一种新运算“*”：m*n=mn+mn（m，n 均为整数，且 m≠0）。求（−3）*2 的值。 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a、b，规定 a☆b=ab2−b。求（−2）☆3+3☆（−2）的值。 3．对任意非零有理数 a、b，定义 a◇b=。计算：1◇2+2◇3+3◇4+…+100◇101。 4．规定 n!=n×(n−1)×…×2×1。求 的值。 题型5：有理数规律探究（数字、数列、算式规律） 例题1 观察数列：1，−2，3，−4，5，−6，……（1）第2026个数是多少？（2）前20个数的和是多少？ 【分析】 先观察符号规律和绝对值规律：奇数项为正，偶数项为负，第 n 项的绝对值就是 n。求前 20 项和时，把相邻两项配成一组，计算更简便。 【解答】 数列为 1，−2，3，−4，5，−6，……，可见第奇数项为正，第偶数项为负，且每项的绝对值等于它的项数。 2026 是偶数，所以第 2026 个数为 −2026。 前 20 个数两两配对： (1−2)+(3−4)+⋯+(19−20)。 每一组的和都是 −1，共有 10 组，所以前 20 个数的和为 10×(−1)=−10。 答：（1）第 2026 个数是 −2026；（2）前 20 个数的和是 −10。 例题2 观察数列：2，5，10，17，26，……相邻两项的差依次为3，5，7，9，……求第10项。 【分析】 相邻两项的差依次是连续奇数 3，5，7，9，……。因此从第 5 项 26 开始，继续依次加 11、13、15、17、19，就能得到第 10 项。 【解答】 已知前几项为 2，5，10，17，26，相邻两项的差为 3，5，7，9。 按照规律，后面的差依次为 11，13，15，17，19。 所以第 6 项为 26+11=37； 第 7 项为 37+13=50； 第 8 项为 50+15=65； 第 9 项为 65+17=82； 第 10 项为 82+19=101。 答：第 10 项是 101。 变式训练 1．观察 71、72、73、74、……的个位数字变化规律，则 72026 的个位数字是（　　）。 A．1　　B. 3　　C. 7　　D. 9 2．计算：+++…+ 的值是（　　）。 A．　　B. 　　C. 　　D. 3．2025 先减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，……，依次类推，一直减去余下的 ，则最后剩下的数是（　　）。 A．1　　B. 2　　C. 　　D. 4．仿照等比数列错位相减的方法，计算 1+3+32+33+…+32024 的值是（　　）。 A．32025−1　　B. 　　C. 　　D. 题型6：数轴两点距离综合（多解问题） 例题1 数轴上点 A表示−3，点 P与A的距离为5。求点 P表示的数，并求这些可能数的积。 【分析】 数轴上“与某点距离为 5”表示可以在该点左边 5 个单位，也可以在右边 5 个单位，因此点 P 有两个位置。分别求出后再计算积。 【解答】 点 A 表示 −3。 从 −3 向右移动 5 个单位，得到 −3+5=2； 从 −3 向左移动 5 个单位，得到 −3−5=−8。 所以点 P 表示的数为 2 或 −8。 这些可能数的积为 2×(−8)=−16。 答：点 P 表示 2 或 −8；这些可能数的积为 −16。 例题2 点 A表示−4，点 B表示6。点 P到A的距离为3，点 Q到B的距离为2。求PQ距离的所有可能值。 【分析】 点 P 到 A 的距离为 3，因此 P 有两个可能位置；点 Q 到 B 的距离为 2，因此 Q 也有两个可能位置。把 P、Q 的所有位置两两组合，共有 4 种情况，分别求距离。 【解答】 点 A 表示 −4，所以点 P 表示 −4+3=−1 或 −4−3=−7。 点 B 表示 6，所以点 Q 表示 6+2=8 或 6−2=4。 分别计算： P=−1，Q=4 时，PQ=|−1−4|=5； P=−1，Q=8 时，PQ=|−1−8|=9； P=−7，Q=4 时，PQ=|−7−4|=11； P=−7，Q=8 时，PQ=|−7−8|=15。 答：PQ 距离的所有可能值为 5、9、11、15。 变式训练 1．数轴上点 A 表示 3，点 B 与点 A 的距离为 8，则点 B 表示的数是______。 2．数轴上点 A 到原点 O 的距离为 4，点 B 与点 A 的距离为 3，则点 B 表示的数所有可能值是______。 3．数轴上点 A 表示 −2，点 B 在点 A 的右侧，点 B 表示 m；点 C 到原点的距离为 3，且 AC+BC=6，求 m 的所有可能值。 4．数轴上点 A、B 分别表示 −3、5。若点 P 到 A 的距离是点 P 到 B 的距离的 3 倍，求点 P 表示的数。 题型7：数轴动点入门 例题1 点 A从−6出发，以每秒2个单位向右运动；点 B从4出发，以每秒1个单位向左运动。运动t秒后：（1）写出A、B表示的数；（2）t=2时AB多长？（3）AB=2时求t。 【分析】 先根据“初始位置 + 方向速度×时间”写出两点在 t 秒后的数。两点距离用两数之差的绝对值表示。求距离为 2 时，分“点 A 在点 B 左侧”和“点 A 在点 B 右侧”两种情况。 【解答】 （1）t 秒后，点 A 表示的数为 −6+2t，点 B 表示的数为 4−t。 （2）当 t=2 时，A 表示 −6+2×2=−2，B 表示 4−2=2，所以 AB=|−2−2|=4。 （3）当 AB=2 时分两种情况。 情况一：A 在 B 左侧，(4−t)−(−6+2t)=2，得 10−3t=2，所以 t=。 情况二：A 在 B 右侧，(−6+2t)−(4−t)=2，得 3t−10=2，所以 t=4。 两个时间都大于 0，均符合题意。 答：（1）A：−6+2t，B：4−t；（2）AB=4；（3）t= 或 4。 例题2 点 P从−5出发每秒向右1个单位，点 Q从1出发每秒向右3个单位。（1）运动t秒后两点表示的数分别是多少？（2）当PQ=14时，求t及此时两点的位置。 【分析】 两点都向右运动，但点 Q 的速度更快，因此两点间距离会在原来 6 个单位的基础上每秒增加 2 个单位。可先用相对速度直接求时间，再代回求位置。 【解答】 （1）t 秒后，点 P 表示 −5+t，点 Q 表示 1+3t。 （2）开始时 Q 在 P 右侧，初始距离为 1−(−5)=6。 Q 比 P 每秒多向右运动 3−1=2 个单位，所以 t 秒后 PQ=6+2t。 当 PQ=14 时，6+2t=14，所以 2t=8，t=4。 此时 P=−5+4=−1，Q=1+3×4=13。 答：（1）P：−5+t，Q：1+3t；（2）t=4，此时 P 表示 −1，Q 表示 13。 例题3 点 P从−8出发每秒向右4个单位，点 Q从7出发每秒向左1个单位。（1）何时相遇？相遇点表示什么数？（2）两点相距5时，求所有t。 【分析】 两点相向运动，初始距离为 15，相对速度为 5，所以先求相遇时刻。两点相距 5 既可能发生在相遇前，也可能发生在相遇后，因此必须分两段讨论。 【解答】 点 P 的位置为 −8+4t，点 Q 的位置为 7−t。 （1）开始时两点相距 7−(−8)=15，相对速度为 4+1=5，所以相遇时间为 15÷5=3（秒）。 相遇点为 −8+4×3=4。 （2）相遇前，两点距离为 15−5t。令 15−5t=5，得 t=2。 相遇后，两点距离为 5t−15。令 5t−15=5，得 t=4。 答：（1）3 秒时相遇，相遇点表示 4；（2）两点相距 5 时，t=2 或 4。 变式训练 1．数轴上点 A 表示 10。动点 P 从原点 O 出发，以 3 个单位/秒的速度向左运动；同时动点 Q 从点 A 出发，以 5 个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原速度向右返回。设运动时间为 t 秒。 （1）当 t=0.8 时，求点 Q 到原点 O 的距离； （2）当 t=2.4 时，求点 Q 到原点 O 的距离； （3）当点 Q 到原点 O 的距离为 5 时，求点 P 到原点 O 的距离。 2．数轴上点 A 向左移动 5 个单位长度到达点 B，再向右移动 9 个单位长度到达点 C。 （1）若点 A 表示 2，求点 B、C 表示的数； （2）若点 C 表示 7，求点 B、A 表示的数； （3）若点 A、C 表示的数互为相反数，求点 B 表示的数。 3．数轴上 A、B 两点对应的数分别为 a、b，且 A 在 B 的左侧，|a|=12，a+b=96，ab<0。 （1）求 a、b； （2）点 P 从 A 出发以 4 个单位/秒向右运动，同时点 Q 从 B 出发以 2 个单位/秒向左运动。①求相遇点表示的数；②求两点相距 24 个单位长度时的所有运动时间。 4．一个点从原点出发，先向左移动 3 个单位长度到达 A，再向右移动 5 个单位长度到达 B，然后再向右移动 4 个单位长度到达 C。 （1）写出 A、B、C 表示的数，并求 AB、AC； （2）若 D、E 分别为线段 AB、BC 的中点，求 DE； （3）点 P 从 A 出发以 2 个单位/秒向左运动，点 M、N 分别从 B、C 出发，以 1 个单位/秒、4 个单位/秒向右运动。写出 t 秒后 P、M、N 表示的数； （4）判断 2PN−4PM 是否随 t 变化，并求其值。 5．数轴上点 A 移动 4 个单位长度到点 B，再由点 B 移动 6 个单位长度到点 C。若点 C 表示 0，用 a、b 表示点 A、B 对应的数。 （1）点 A 表示的数可能有几个？ （2）若 a>b，求 a−b。 6．数轴上点 A 表示最大的负整数，则与点 A 相距 6 个单位长度的点表示的数是______。 题型8：有理数混合运算的简便运算 例题1 计算：+++…+。 【分析】 各分数的分母都是两个相邻正整数的积，可以把每一项拆成两个单位分数之差。展开后中间项会首尾相消，只剩第一项和最后一项。 【解答】 因为 =1−，=−，……，=−， 所以原式=(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)。 中间的 − 与 +、− 与 +，……依次相消。 原式=1−=。 答：原式的值为 。 例题2 用简便方法计算：(−24)×(−+)。 【分析】 括号内三个分数的分母 8、6、4 都能整除 24，因此把 −24 分配到每一项，能够直接约分，计算量最小。 【解答】 原式=(−24)×−(−24)×+(−24)×。 分别计算： (−24)×=−21； −(−24)×=+20； (−24)×=−18。 所以原式=−21+20−18=−19。 答：原式的值为 −19。 变式训练 1．用简便方法计算： （1）101×（−8）； （2）（−4）×7+6×7+（−2）×7。 2．计算（能简便的用简便方法）： （1）37+63−18+2； （2）（−125）÷8； （3）（−17）×（−9）+（−17）×4+（−17）×7。 3．计算：++++++++。 4．利用裂项相消法计算：+++…+。 题型9：绝对值最值 例题1 求 |x-2|+|x+5| 的最小值，并说明x在什么位置时取得。 【分析】 |x−2| 表示点 x 到 2 的距离，|x+5| 表示点 x 到 −5 的距离。点 x 到这两个定点的距离之和，不可能小于两个定点本身的距离；当点 x 位于 −5 与 2 之间时，恰好等于这段长度。 【解答】 数轴上 −5 与 2 两点之间的距离为 2−(−5)=7。 当 −5≤x≤2 时，点 x 位于两定点之间， |x−2|+|x+5|=(2−x)+(x+5)=7。 当 x<−5 或 x>2 时，点 x 位于两定点外侧，两段距离之和会大于 7。 因此原式的最小值为 7，且当 −5≤x≤2 时取得。 答：最小值为 7；x 在 −5 与 2 之间（含端点）时取得。 例题2 求 |x+2|+|x-1|+|x-5| 的最小值，并求取得最小值时x的值。 【分析】 把到最左端点 −2 和最右端点 5 的两段距离先配成一组。这两段距离之和至少为 7；另外 |x−1|≥0。若要总和恰好为 7，还必须同时使 |x−1|=0，因此 x 被唯一确定。 【解答】 |x+2|+|x−5| 表示点 x 到 −2、5 两点的距离之和，所以 |x+2|+|x−5|≥5−(−2)=7。 又因为 |x−1|≥0， 所以 |x+2|+|x−1|+|x−5|≥7。 当 x=1 时，原式=|3|+0+|−4|=3+4=7。 因此最小值 7 可以取得，并且要使 |x−1|=0，必须 x=1。 答：最小值为 7，且在 x=1 时取得。 变式训练 1．求 |x−2|+|x−3|+|x−4|+…+|x−11| 的最小值，并写出取得最小值时 x 的取值范围。 2．设 a=|x+2|，b=|x−2|，c=|x+4|，求 a+2b+c 的最小值，并写出取得最小值时 x 的取值范围。 3．求 |x−4|+|x−7| 的最小值，并写出取得最小值时 x 的取值范围。 5． 求 |x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−50| 的最小值，并写出取得最小值时 x 的取值范围。 题型10：有理数概念辨析综合易错题 例题1 下列说法正确的是（ ）。A.任何有理数的绝对值都是正数；B.相反数等于它本身的有理数只有0；C.0的倒数是0；D.若|a|=|b|，则a=b。 【分析】 本题考查绝对值、相反数、倒数和 0 的特殊性。判断选择题时应逐项检验，尤其要注意“任何”“只有”“一定”等绝对化表述。 【解答】 A 项：错误。因为 |0|=0，而 0 不是正数。 B 项：正确。一个数的相反数等于它本身，只有 0 满足。 C 项：错误。0 没有倒数。 D 项：错误。例如 a=2，b=−2 时，|a|=|b|，但 a≠b。 答：选 B。 变式训练 1．下列说法中正确的有（　　）：①一个非零有理数与它的倒数同号；②若 |a|=a，则 a>0；③符号相反的两个数互为相反数；④0 既不是正数，也不是负数；⑤每一个整数都是有理数。 A．1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 2．下列说法：①若 |a|=−a，则 a≤0；②若 a、b 互为相反数，则 |a|=|b|；③若 |a|>|b|，则 a>b；④任何有理数都有倒数。正确的个数是（　　）。 A．1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 3．下列说法正确的是（　　）。 A．两个负数的差一定是负数；B. 互为相反数的两个数的和为0；C. 若 a+b=0，则 a、b 都为0；D. 对任意有理数 a、b，都有 a−(−b)=a−b。 参考答案与规范解析 说明：以下与变式训练逐题对应，按“条件判断 → 关键步骤 → 结论”的顺序书写；每一道题均重新验算并核对答案。 题型1：绝对值非负性综合求值 1．因为 |m+4|≥0，|n−6|≥0，且二者之和为0，所以 |m+4|=0，|n−6|=0。故 m=−4，n=6。于是 2m+n=2×(−4)+6=−2。答：−2。 2．由 |a+2|+(b−3)2=0，且两项均为非负数，得 a+2=0，b−3=0，所以 a=−2，b=3。于是 2a+b=−4+3=−1，故 (2a+b)4=(−1)4=1。答：1。 3．由非负数之和为0，得 3x+y+1=0，2x−y+4=0。两式相加得 5x+5=0，所以 x=−1；代入 3x+y+1=0，得 y=2。于是 (x−y)2=(−1−2)2=9。答：9。 4．（1）a 与 −3 互为相反数，所以 a=3。又 b>a 且 |b|=7，b 只能取7，因此 b=7。 （2）|m+a|+|n−b|=0，得 m+a=0，n−b=0，所以 m=−3，n=7。于是 2m+n=−6+7=1。答：（1）a=3，b=7；（2）1。 题型2：已知绝对值求字母，分类讨论多解计算 1．|a+2|=4，所以 a=2 或−6；|b|=3，所以 b=3 或−3。条件 |a−b|=|a|+|b| 表明 a、b 异号或至少有一个为0。本题 a、b 均非0，所以保留异号组合：（a,b）=(2,−3) 或 (−6,3)。因此 a+b=−1 或−3。答：−1 或−3。 2．|x|=4、|y|=7 且 xy<0，说明 x、y 异号。又 x+y<0，而 |y|>|x|，所以绝对值较大的 y 必为负数，即 y=−7，x=4。故 x−y=4−(−7)=11。答：11。 3．|a|=5 得 a=±5；b2=9 得 b=±3。由 ab>0，a、b 同号，所以（a,b）=(5,3) 或 (−5,−3)。对应 a−b=2 或−2。答：2 或−2。 4．|x+y|=x+y 等价于 x+y≥0。由 |x|=6，|y|=2 枚举：当 x=6，y=2 或−2 时均满足 x+y≥0，此时 x−y=4 或8；当 x=−6 时，x+y<0，不合条件。因此 x−y=4 或8，选A。 5．|x|=5、|y|=2 且 xy<0，所以 x、y 异号。无论（x，y）=(5,−2) 还是 (−5,2)，都有 =−。答：−。 题型3：依据数轴化简绝对值代数式 1．因为 a<0<b<c 且 |a|>c，所以 −a>c>b>0。于是 a+b<0，a+c<0，c−a>0。又 |a|=−a，|b−a|=b−a，|c+a|=−(c+a)。原式=−a+(b−a)−[−(c+a)]=b+c−a。答：（1）<，<，>；（2）b+c−a。 2．由 a<b<0，得 |b|=−b；a−b<0，所以 |a−b|=b−a；a+b<0，所以 |a+b|=−(a+b)。原式=−b+(b−a)−[−(a+b)]=b。答：b。 3．ac>0 且 a+c<0，说明 a<0、c<0；ab<0，所以 b>0。又 |b|>|c|>|a|，即 b>−c>−a，因此 a+b>0，c−b<0；且 |c|>|a| 且二者均为负数，所以 c<a，故 a−c>0。原式=(a+b)+(b−c)−(a−c)=2b。答：2b。 4．分区间讨论。①当 x≤−2 时，|x−2|=2−x，|x+2|=−x−2，方程化为 4−x=−x−2，不成立。②当 −2≤x≤2 时，方程为 (2−x)+2=x+2，即 4−x=x+2，得 x=1，符合区间。③当 x≥2 时，方程为 (x−2)+2=x+2，即 x=x+2，不成立。答：x=1。 5．（1）①18<41，所以 |18−41|=41−18；②>，所以 |−|=−。 （2）a>b 时 |a−b|=a−b；a<b 时 |a−b|=b−a。 （3）各分数依次减小，所以原式=(1−)+(−)+…+(−)。中间项全部相消，结果=1−=。答：。 题型4：有理数新定义运算 1．按定义 m*n=mn+mn。取 m=−3，n=2： (−3)*2=(−3)2+(−3)×2=9−6=3。答：3。 2．按定义 a☆b=ab2−b。先算（−2）☆3=(−2)×32−3=−18−3=−21；再算 3☆（−2）=3×(−2)2−(−2)=12+2=14。所以总值=−21+14=−7。答：−7。 3．由定义 a◇b==−。因此 1◇2+2◇3+…+100◇101=(1−)+(−)+…+(−)。中间项相消，结果=1−=。答：。 4．由阶乘定义，50!=50×49×48!。所以 =50×49=2450。答：2450。 题型5：有理数规律探究（数字、数列、算式规律） 1．7 的正整数次幂的个位数字依次为7，9，3，1，每4项循环。2026÷4余2，所以 72026 的个位数字与 72 相同，为9。选D。 2．第 k 项可写为 ==(−)，其中 k=1,2,…,50。故原式=[(1−)+(−)+…+(−)]=(1−)=。选A。 3．每次“减去余下的 ”后，剩余量要乘 。因此最后剩下 2025×()×()×()×…×()。连乘中间因子相消，结果=2。选B。 4．设 S=1+3+32+…+32024，则 3S=3+32+…+32025。两式相减得 2S=32025−1，所以 S=。选B。 题型6：数轴两点距离综合（多解问题） 1．设点 B 表示 x。因为 AB=8，且 A 表示3，所以 |x−3|=8。于是 x−3=±8，解得 x=11 或−5。答：11 或−5。 2．点 A 到原点距离为4，所以 A=4 或−4。若 A=4，B=4±3，即1或7；若 A=−4，B=−4±3，即−1或−7。因此 B 的所有可能值为−7、−1、1、7。 3．点 C 到原点距离为3，所以 C=3 或−3。A=−2。若 C=3，则 AC=5，由 AC+BC=6 得 BC=1，所以 m=2 或4；若 C=−3，则 AC=1，故 BC=5，所以 m=2 或−8。又 B 在 A 右侧，即 m>−2，排除−8。答：m=2 或4。 4．设点 P 表示 x，则 PA=|x+3|，PB=|x−5|。由题意 |x+3|=3|x−5|。两边平方得 (x+3)2=9(x−5)2，也可直接分两种情况：x+3=3(x−5)，得 x=9；x+3=−3(x−5)，得 x=3。两值均满足原式。答：3 或9。 题型7：数轴动点入门 1．Q 从10出发以5个单位/秒向左，2秒到原点。 （1）t=0.8<2，Q=10−5×0.8=6，所以 OQ=6。 （2）t=2.4 时 Q 已返回0.4秒，OQ=5×0.4=2。 （3）OQ=5：去程时 10−5t=5，得 t=1；返程时 5(t−2)=5，得 t=3。P 始终向左，OP=3t，所以分别为3和9。答：（1）6；（2）2；（3）3 或9。 2．设 A、B、C 对应的数为 a、b、c。由题意 b=a−5，c=b+9=a+4。 （1）a=2，则 b=−3，c=6。 （2）c=7，则 b=7−9=−2，a=b+5=3。 （3）A、C 互为相反数，所以 a+c=0，即 a+(a+4)=0，得 a=−2；于是 b=a−5=−7。答：（1）B=−3，C=6；（2）B=−2，A=3；（3）B=−7。 3．A 在 B 左侧、|a|=12 且 ab<0。若 a=12，则 b=84，与 ab<0 矛盾；故 a=−12，b=108。 （1）a=−12，b=108。 （2）①初始距离为120，相向速度为4+2=6，所以相遇时间=120÷6=20秒；相遇点=−12+4×20=68。②t秒后两点距离为 |120−6t|。令 |120−6t|=24，得 120−6t=±24，所以 t=16 或24。答：相遇点68；相距24时 t=16 或24。 4．由移动过程得 A=−3，B=2，C=6。 （1）AB=5，AC=9。 （2）D==−，E==4，所以 DE=4−(−)=。 （3）t秒后 P=−3−2t，M=2+t，N=6+4t。 （4）PN=(6+4t)−(−3−2t)=9+6t，PM=(2+t)−(−3−2t)=5+3t。因此 2PN−4PM=2(9+6t)−4(5+3t)=−2，是定值，不随 t 变化。 5．C=0，且 BC=6，所以 b=6 或−6。A 与 B 相距4，因此 a=b±4，可得 a=10、2、−2、−10，共4种可能。若 a>b，说明 A 在 B 的右侧，而 AB=4，所以 a−b=4。答：（1）4个；（2）4。 6．最大的负整数是−1。与−1相距6的点为 −1+6=5 或 −1−6=−7。答：5 或−7。 题型8：有理数混合运算的简便运算 1．（1）101×(−8)=(100+1)×(−8)=−800−8=−808。 （2）提取公因数7：原式=7[(−4)+6+(−2)]=7×0=0。答：（1）−808；（2）0。 2．（1）37+63−18+2=(37+63)+(−18+2)=100−16=84。 （2）（−125）÷8=−。 （3）提取公因数−17：原式=(−17)[−9+4+7]=(−17)×2=−34。答：（1）84；（2）−；（3）−34。 3．各项分别为 ，其中 n=2,3,…,10，因为 =−。所以原式=(−)+(−)+…+(−)=−=。答：。 4．利用 ==−。因此原式从 n=3 加到50：=(−)+(−)+…+(−)。中间项相消后=+−−=−=。答：。 题型9：绝对值最值 1．共有10个定点2,3,…,11。把2与11、3与10、4与9、5与8、6与7配对，则每一对距离和分别至少为9、7、5、3、1，相加得原式≥25。当6≤x≤7时五组都能同时取等号，所以最小值为25，且 6≤x≤7。 2．a+2b+c=|x+2|+2|x−2|+|x+4|，可看作点 x 到 −4、−2、2、2 四个定点的距离和。四个点按从小到大为−4、−2、2、2，中间两个点为−2和2，所以当 −2≤x≤2 时取得最小值。取 x=0：原式=2+2×2+4=10。答：最小值10，−2≤x≤2。 3．|x−4|+|x−7|表示点 x 到4、7两点的距离和，不小于两定点间的距离7−4=3。当4≤x≤7时，原式=(x−4)+(7−x)=3。答：最小值3，4≤x≤7。 4．共有50个定点1,2,…,50。偶数个定点的距离和在两个中位数25、26之间取得最小值，所以 25≤x≤26。取 x=25：原式=(24+23+…+1)+(1+2+…+25)=24×+25×=300+325=625。答：最小值625，25≤x≤26。 题型10：有理数概念辨析综合易错题 1．逐项判断：①正确，非零有理数与其倒数的符号相同；②错误，a=0 时也有 |a|=a；③错误，例如2与−3符号相反，但并不互为相反数；④正确，0既不是正数也不是负数；⑤正确，整数都是有理数。故正确的是①④⑤，共3个，选C。 2．①正确，|a|=−a 等价于 a≤0；②正确，互为相反数的两个数绝对值相等；③错误，例如 a=−5，b=2，有 |a|>|b|，但 a<b；④错误，0没有倒数。故正确的是①②，共2个，选B。 3．A错误，例如 −2−(−5)=3>0；B正确，互为相反数的两个数的和为0；C错误，例如 a=3，b=−3 时 a+b=0，但二者均不为0；D错误，因为 a−(−b)=a+b，一般不等于 a−b。故选B。 2024 人教版七上 · 有理数 10 大核心题型 — 1 / 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $