江苏镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练4

江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练4 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设､是不同的直线，､､是不同的平面，有以下四个命题：①，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中假命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 2．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是 （ ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 3．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 4．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时，少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 （ ） 5．已知定义在上的可导函数满足，且当时，，若 ，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．若函数 （ ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥中，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，三棱锥的体积为，过点，过点，则三棱锥外接球的体积为 （ ） A． B． C． D． 8．已知函数，当关于实数的方程有6个根时，实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．若，则 （ ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是 （ ） A．有且仅有一个零点 B．在区间上单调递减，在区间上单调递增 C．关于的方程有两个不同的实数解 D．曲线 有两条经过点的切线 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中正确的是 （ ） A． B．的图象关于对称 C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知二次函数满足，且，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为___________. 13．若函数__________. 14．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足．表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48) 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围. 16．已知函数. （1）讨论函数的极值点；（2）若极大值大于1，求的取值范围. 17．已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线. 18．设函数． （1）解不等式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，. （Ⅰ）证明：⊥平面； （Ⅱ）求二面角大小； （Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练4 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设､是不同的直线，､､是不同的平面，有以下四个命题：①，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中假命题的序号是（ C ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【详解】对于①：，，则或和相交，故①是假命题； 对于②：在正方体中，平面为平面， 平面为平面，直线为，满足，，但； 故②是假命题； 对于③：若，，则或，故③是假命题； 对于④：因为，过作平面与相交则交线与平行，且交线在内， 因为，则交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得， 故④是真命题，所以假命题有①②③，故选：C. 2．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是 （ D ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 3．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是 （ D ） A. B. C. D. 4．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时，少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 （ C ） 5．已知定义在上的可导函数满足，且当时，，若 ，则的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 6．若函数 （ D ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥中，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，三棱锥的体积为，过点，过点，则三棱锥外接球的体积为 （ D ） A． B． C． D． 8．已知函数，当关于实数的方程有6个根时，实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．若，则 （BCD） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是 （ABD） A．有且仅有一个零点 B．在区间上单调递减，在区间上单调递增 C．关于的方程有两个不同的实数解 D．曲线 有两条经过点的切线 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中正确的是 （ACD） A． B．的图象关于对称 C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知二次函数满足，且，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为___________. 【详解】因为为二次函数，设，由，可得， 又， 所以，解得，则， 因为不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 令，，则在上单调递减， 所以，当时，，.所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．若函数_____2_____. 【详解】当x＞0时，由f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），可得f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1）， 两式相加得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），则f（x+3）＝﹣f（x）， ∴当x＞0时，f（x+6）＝﹣f（x+3）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x）， 即x＞0时，f（x）是周期为6的周期函数，又， ∴f（2021）＝f（5）＝﹣f（2）＝f（﹣1）=2，故答案为：2 14．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足．表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到__6876___年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48) 【详解】∵，∴当时，，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的，由题意可知：，两边同时取以2为底的对数得：， ∴，， ∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：；6876． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由，两边同时取以2为底的对数得：，∴，属于中档题. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围. 15．解：（1）当时，，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数最小值为. （2）在区间上，>0恒成立， 等价于恒成立，即，恒成立， 因为函数，， 所以当时，函数取最大值，即 所以. 16．已知函数. （1）讨论函数的极值点；（2）若极大值大于1，求的取值范围. 16．解：. （1）当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，极大值点为；当时，在单调递增，无极值点； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，极大值点为. （2）由（1）知，当和时，无极大值，不成立. 当时，极大值，解得， 由于，所以. 当，极大值，得. 令，则，，， 所以在上单调递增，而，所以的解为，则. 所以的取值范围为. 17．已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线. 17．解：（1）函数的定义域为， ，因为函数的定义域为，所以， 因此函数在和上是单调增函数； 当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点； 当时，， 因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点 综上所述，函数的定义域内有2个零点； （2）因为是的一个零点，所以 ，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为. 设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为， 当切线斜率等于直线的斜率时，即， 切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线. 【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 18．设函数． （1）解不等式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 18．解：（1）， 则不等式， 可转化为或， 解得或，即， 所以不等式的解集为． （2）当时，， 所以方程等价于， 令，，则， 则方程可转化，即， 由已知可得关于的方程在上有解， 令，， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以的值域为， 所以，即， 所以实数的取值范围是． 19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，. （Ⅰ）证明：⊥平面； （Ⅱ）求二面角大小； （Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 19．解：（Ⅰ）因为 平面. 所以，，又. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得 所以,,. 所以,, 所以,,所以平面. （Ⅱ）设平面的法向量为，因为. 所以，即，令， 则.于是. 因为⊥平面，所以为平面的法向量，又. 所以.因为所求二面角为钝角， 所以二面角大小为. （Ⅲ）解：设，， ， 设平面的法向量， 则，即 ， 令，，. 于是，如果直线平面， 那么，解得 . 所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面. 【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $