江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学（概率与统计）复习自测练习

**基本信息** 2026年暑假高中数学概率与统计复习自测卷，以党史知识竞赛、新能源汽车销量等现实情境为载体，融合二项分布、线性回归等核心知识，考查数据处理与模型构建能力，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项分布、正态分布、条件概率|结合小赵旅游等生活化情境，辨析概率概念| |多选题|3/18|独立事件、正态分布性质|通过近视人数抽样问题，考查逻辑推理| |填空题|3/15|组合数、线性回归、传球概率|设置骰子传球游戏，体现数学抽象| |解答题|5/77|频率分布直方图、独立性检验、回归分析|以奖学金数据、新能源销量为背景，综合考查数据观念与模型应用|

2026年暑假高中数学（概率与统计）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法中正确的是 （ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 2．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为 （ ） A. 的值为 B. 估计这组数据的众数为 C. 估计成绩低于分的有人 D. 估计这组数据的第百分位数为 3．若样本数据的平均数为4，方差为2，则样本数据的平均数为 （ ） A． B． C． D． 4．用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则c等于 （ ） A. B. C. 2 D. 5．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是 （ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 6．如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为 （ ） A． B． C． D． 7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为 （ ） A. B. C. D. 8．某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（ ） 参考数据：若，则，． A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，当，，可以认为，某校高中有学生1000人，近视人数有400人，从中随机抽取100人，记这100人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查100人，这100人中近视人数为随机变量，则 （ ） 附：当随机变量服从正态分布，则， ， A． B． C．随机变量的取值在之间的概率大于 D． 10．下列命题中，正确的命题是 （ ） A 若事件，满足，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 若事件，满足，，，则与独立 D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5 11．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是 （ ） A. ，是对立事件 B. ，是独立事件 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12． .（结果用组合数表示） 13．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 14．8名同学围成一圈玩传球游戏，初始是求在甲同学手中，每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人，经过三轮，求回到甲手中的概率是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，认为专业一等奖学金（奖金额3000元），专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次，图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图. （1）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数； （2）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83 （3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金金额为，求随机变量的分布列和期望. 附： 16．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份x 2020 2021 2022 2023 2024 销量y（万台） 1.00 1.40 1.70 1.90 2.00 某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 10 48 女性车主 2 总计 60 （1）求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关； （2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关． 参考公式： 相关系数；，其中 参考数据：. 备注：若，则可判断y与x线性相关． 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 243 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：，，． （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列． ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式：，． 18．小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山，涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，已知小明与父母一起爬山的概率为（1）判断“小明与父母爬山”与“小明选择甲路线”是否为相互独立事件，并说明理由；（2）求小明与父母一起选择乙路线登山的概率；（3）求小明选择甲路线登山的概率；（4）已知小明从乙路线登山，求他与父母一起登山的概率. 19．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． （1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（概率与统计）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法中正确的是 （ B ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 详解】对于①：随机变量服从二项分布，则，故①正确；对于②：随机变量服从正态分布且，则，故②正确；对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，故④错误．故选：B 2．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为 （ C ） A. 的值为 B. 估计这组数据的众数为 C. 估计成绩低于分的有人 D. 估计这组数据的第百分位数为 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，所以，解得，A对；对于B选项，由频率分布直方图可知，估计这组数据的众数为，B对；对于C选项，由频率分布直方图可知，估计成绩低于分的人数为，C错；对于D选项，前个矩形的面积之和为，前个矩形的面积之和为，设这组数据的第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得，D对.故选：C. 3．若样本数据的平均数为4，方差为2，则样本数据的平均数为 （ C ） A． B． C． D． 4．用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则c等于 （ C ） A. B. C. 2 D. 【详解】由回归模型，可得，即， 因为变换后得到线性回归方程为，可得，所以.故选：B. 5．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是 （ C ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C 6．如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为 （ A ） A． B． C． D． 7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则，设事件表示答对某个题， 则，设事件表示将有思路的题目做对，则，故选：B 8．某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（ A ） 参考数据：若，则，． A. B. C. D. 【详解】由随机变量服从正态分布，所以同理；由随机变量服从正态分布，，所以 .故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，当，，可以认为，某校高中有学生1000人，近视人数有400人，从中随机抽取100人，记这100人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查100人，这100人中近视人数为随机变量，则 （ BCD ） 附：当随机变量服从正态分布，则， ， A． B． C．随机变量的取值在之间的概率大于 D． 10．下列命题中，正确的命题是 （ AC ） A 若事件，满足，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 若事件，满足，，，则与独立 D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5 【详解】对于A：因为，∴，故A正确． 对于B：因为，，则，，故B错误． 对于C：若，则与独立，则与独立，故C正确． 对于D：男生成绩设为，∴， ，∴．女生成绩设为，∴， ，∴． 所以，则，故D错误．故选：AC 11．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是 （ AD ） A. ，是对立事件 B. ，是独立事件 C. D. 【详解】A：由题意知，每次只摸出一个球，，，则，所以对立，故A正确； B：，，则，所以不相互独立，故B错误； C：，故C错误； D：，，所以，故D正确.故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12． .（结果用组合数表示） 13．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 【详解】， ， 由条件可知，得， 所以，故答案为：. 14．8名同学围成一圈玩传球游戏，初始是求在甲同学手中，每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人，经过三轮，求回到甲手中的概率是 . 【详解】每次抛掷的点数有6种情形，3轮共有；设3轮每次抛掷的点数分别为，依题意有：（1），运用隔板法有种；（2），可分两类有种和有种，因此满足题意的情形共有，所求的概率为 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，认为专业一等奖学金（奖金额3000元），专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次，图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图. （1）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数； （2）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83 （3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金金额为，求随机变量的分布列和期望. 附： 15．解：（1）获得三等奖学金的频率 ， 故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为人； （2）每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有 人， 其中获得一、二等奖学金学生有 人， 每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有 人， 其中获得一、二等奖学金学生有 人 ， 列联表如下： “非努力型”学生 “努力型”学生 总计 获得一、二等奖学金学生 92 36 128 未获得一、二等奖学金学生 248 24 372 总计 440 60 500 ， 故有的把握认为获得一、二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关； （3）的可能值为0，600，1500，3000， ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 600 1500 3000 0.424 0.32 0.198 0.058 16．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份x 2020 2021 2022 2023 2024 销量y（万台） 1.00 1.40 1.70 1.90 2.00 某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 10 48 女性车主 2 总计 60 （1）求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关； （2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关． 参考公式： 相关系数；，其中 参考数据：. 备注：若，则可判断y与x线性相关． 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．解：（1）由表格知：，， ， 有， 则y与x线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 38 10 48 女性车主 2 10 12 总计 40 20 60 提出假设：购车车主是否购置新能源乘用车与性别无关由列联表数据得： ，因为， 故有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关． 17．入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 243 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：，，． （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列． ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式：，． 17．解：（1）剔除第10天数据的， ， ，， 所以， 故，所以． （2）由题意可知， 其中， 所以， 又， 所以是首项为的常数列，故， 所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故，即. （3）①当为偶数时，单调递减，最大值为； 当为奇数时，单调递增，最小值为； 综上：数列的最大值为，最小值为. ②证明：对任意总存在正整数，（其中表示取整函数）， 当时，， 所以数列收敛. 【点睛】思路点睛：本题第2小问求的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于的递推式，再利用数列的构造法即可得解. 18．小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山，涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，已知小明与父母一起爬山的概率为（1）判断“小明与父母爬山”与“小明选择甲路线”是否为相互独立事件，并说明理由；（2）求小明与父母一起选择乙路线登山的概率；（3）求小明选择甲路线登山的概率；（4）已知小明从乙路线登山，求他与父母一起登山的概率. 18．解：（1）设“小明与父母一起爬山”为事件，“小明选择甲路线”为事件，“小明不和父母一起爬山” 为事件，“小明选择乙路线”为事件， 已知，则，， 那么， 根据全概率公式； 根据条件概率公式，可得， 因为， 所以“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件； （2）小明与父母一起选择乙路线登山的概率为， 因为，所以； （3）由（1）可知，根据全概率公式； （4）先求，根据全概率公式， 再根据贝叶斯公式. 19．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． （1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 19．解：（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 4 学科网（北京）股份有限公司 $