江苏扬中市第二高级中学2026-2027学年高三上学期期初数学复习检测

**基本信息** 初高三开学数学复习检测，融合量子计算、碳14衰变等科技与实际情境，通过集合、函数性质等基础题，指数型保积函数新定义等创新题，概率统计应用等综合题构建能力梯度，适配高三一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数奇偶性、幂函数、立体几何|碳14衰变问题结合半衰期计算，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|复数、不等式、立体几何动点|量子计算欧拉公式情境，考查复数几何意义与推理意识| |填空题|3/15|函数零点、球面距离、分段函数|地球北纬纬线球面距离计算，培养空间观念与应用意识| |解答题|5/77|新定义函数、导数、概率统计、立体几何|指数型保积函数证明（数学思维），概率交换产品模型（数据观念），贴合高考命题趋势|

江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期初高三数学复习检测 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，若的必要条件，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 2．已知函数是偶函数，则函数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于 （ ） A． B． C． D． 4．已知，，则的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则其图象大致是 （ ） 6．古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间，当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持一定的水平，设为，当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数，已知碳14的半衰期为年，即经过年，碳14含量就会变为原来的，现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为，由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 7．设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为 （ ） A． B． C． D． 8．函数，若存在正数，使得，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述，瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子叠加与演化提供了重要的数学基础.其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，依据欧拉公式，则下列结论正确的是 （ ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内对应点面积的最大值为 10．已知，下列结论正确的是 （ ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，为线段上的动点（含端点），则 （ ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若函数有两个零点，则的取值范围是 . 13．已知为地球北纬纬线上两点，球面距离等于地球半径，则两点经度差的余弦值为 14．已知函数的定义域为R，满足，且当时，，有以下三个结论：①；②当时，方程在区间有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点.其中所有正确结论的序号是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合 16．定义：若函数满足为指数型保积函数，定义域.（1）求证：任意指数函数都是指数型保积函数； （2）若为指数型保积函数，且存在使得，求证：； （3）若为指数型保积函数，且在单调递增，求证：对任意； （4）设为指数型保积函数，，不等式对任意实数恒成立，求实数取值范围. 17．已知函数为正实数）. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数的最小值为1，求的取值范围. 18．甲、乙两盒各装有12件产品，甲盒含5件次品，乙盒含4件次品. （1）从甲盒随机不放回取5件，设次品数为，求的分布列与数学期望； （2）随机交换甲乙盒中3件产品后，分别从两盒各随机取3件，设取出的6件产品中次品总数为，求； （3）甲乙两人轮流有放回抽取，规则：甲先从甲盒抽取；抽到次品得1分并继续抽，抽到正品立刻换对方抽取另一盒，求前12轮次（各抽取6次）结束后，甲乙两人得分期望值之差. 19．如图，在三棱锥中，，且平面 （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期初高三数学复习检测 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，若的必要条件，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 2．已知函数是偶函数，则函数的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于 （ D ） A． B． C． D． 4．已知，，则的大小关系是 （ A ） A． B． C． D． 5．已知函数，则其图象大致是 （ B ） 6．古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间，当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持一定的水平，设为，当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数，已知碳14的半衰期为年，即经过年，碳14含量就会变为原来的，现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为，由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（参考数据：）（ D ） A． B． C． D． 7．设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为 （ A ） A． B． C． D． 8．函数，若存在正数，使得，则的最小值为 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述，瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子叠加与演化提供了重要的数学基础.其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，依据欧拉公式，则下列结论正确的是 （ ABC ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内对应点面积的最大值为 10．已知，下列结论正确的是 （ AD ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，为线段上的动点（含端点），则 （ ABD ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若函数有两个零点，则的取值范围是 . 13．已知为地球北纬纬线上两点，球面距离等于地球半径，则两点经度差的余弦值为 14．已知函数的定义域为R，满足，且当时，，有以下三个结论：①；②当时，方程在区间有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点.其中所有正确结论的序号是 ①② . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合 15．解：（1）由，即 ， 当时，， 所以； （2）有（1）知， 因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，，与题意不符， 当时，，此时需满足无解， 综上，实数的值为0； （3）集合 16．定义：若函数满足为指数型保积函数，定义域.（1）求证：任意指数函数都是指数型保积函数； （2）若为指数型保积函数，且存在使得，求证：； （3）若为指数型保积函数，且在单调递增，求证：对任意； （4）设为指数型保积函数，，不等式对任意实数恒成立，求实数取值范围. 16．（1）证明：设， 因为左边， 左右两边相等，故任意指数函数都是指数型保积函数； （2）已知使得，令，则， ； （3）上的递增函数， 当，故； （4）设，，即为R上的增函数， 不等式对任意实数恒成立， 恒成立， 则 17．已知函数为正实数）. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数的最小值为1，求的取值范围. 17．解：（1）当时，， 则， 所以， 因此所求的切线方程为； （2）， ①当，即时， 因为，所以， 所以函数在上单调递增； ②当，即时， 令，则， 因此，当， 所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为. 综上：当时，函数在是单调递增， 当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为； （3）当时，函数在是单调递增， 则的最小值为，满足题意 当时，由（2）知函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为；则的最小值为，而，不合题意， 所以的取值范围是 18．甲、乙两盒各装有12件产品，甲盒含5件次品，乙盒含4件次品. （1）从甲盒随机不放回取5件，设次品数为，求的分布列与数学期望； （2）随机交换甲乙盒中3件产品后，分别从两盒各随机取3件，设取出的6件产品中次品总数为，求； （3）甲乙两人轮流有放回抽取，规则：甲先从甲盒抽取；抽到次品得1分并继续抽，抽到正品立刻换对方抽取另一盒，求前12轮次（各抽取6次）结束后，甲乙两人得分期望值之差. 18．解：（1）服从超几何分布，总体，次品数，抽取样本量，取值， 根据概率公式：， 计算总组合数； ； ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 由超几何分布期望公式； （2）交换产品不改变甲乙两盒总次品数量：， 设交换后甲盒次品数，乙盒次品数， 设从甲盒取3件次品数，乙盒取3件次品数， 单盒超几何抽取期望， 由由期望线性性：； （3）甲从甲盒有放回抽取，单轮得1分的概率为，得0分的概率为，故甲单轮得分的期望为， 故乙从乙盒有放回抽取，单轮得分的期望为， 12轮中甲乙各抽取6次，期望差值为： 19．如图，在三棱锥中，，且平面 （1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（1）证明：中点，则， 因为平面，且交于，故， 因为，故， 又因为， 故； （2）取的中点的中点，连接，如下图所示： 的中点，， 由（1）知，， 故, 又为等边三角形，故， 建立空间直角坐标系，如下图所示： ， ， , , 设为平面的法向量， ， 令，， 所以点到面的距离为； （3）设存在点， 则， 所以， 设为平面的法向量， ， 令，， 同理可得平面的法向量， 设二面角为，， ， 整理解得， 所以， 所以存在点，使得二面角的正切值为 5 学科网（北京）股份有限公司 $