专题08 勾股定理（期中真题汇编，宁夏专用）八年级数学上学期

专题08 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．B 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．C 13．A 14．D 15．C 16．D 17．D 18．B 19．A 20．A 21．C 22．【答案】6; 【分析】在Rt△ABC中根据勾股定理得AB=20，再根据折叠的性质得AE=AC=12，DE=DC，∠AED=∠C=90°，所以BE=AB-AE=8，设CD=x，则BD=16-x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理得到82+x2=（16-x）2，再解方程求出x即可． 【详解】在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=16， ∴AB==20， ∵△ACB沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合， ∴AE=AC=12,DE=DC,∠AED=∠C=90∘， ∴BE=AB−AE=20−12=8， 设CD=x，则BD=16−x， 在Rt△BDE中,∵BE2+DE2=BD2， ∴82+x2=(16−x)2，解得x=6， 即CD的长为6cm. 故答案为6. 【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是知道折叠的性质和勾股定理的使用. 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）首先根据勾股定理求出画弧的半径为，然后根据坐标解答即可； （2）由勾股定理求出半径，进而确定的值； （3）将的值代入计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，勾股定理，实数与数轴，代数式求值，求出的值是正确解答的关键． (1) 小问详解： 由勾股定理可得，画弧的半径为， 所以点所表示的数， ； (2) 小问详解： 由（1）可知，； (3) 小问详解： 把代入． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）先在中求出，即可通过作差求出结论． (1) 小问详解： 解：由题意，为直角三角形， 在中，， ∴的长度为； (2) 小问详解： 解：梯子的顶端下滑2m到点时，，， 在中，， ∴， ∴此时的长为． 【点睛】 本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键． 图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方即可得出结果． 【详解】 解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 26．【答案】 【分析】 此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解坐标与长度的关系． 过点作轴的垂线，交轴于点，分别求出、的长度即可． 【详解】 解：是等边三角形，， 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点， ． 根据等边三角形的性质， ，， 由于轴， 则轴 轴， ， 则， 根据所对直角边等于斜边的一半， 可知， 根据勾股定理，有， 故点的坐标为， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】 解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，无理数与数轴，根据勾股定理求出圆的半径，再根据数轴上两点之间的距离即可得出点A所表示的数． 【详解】 解：根据题意可知圆的半径为：， 即点A到的距离为：， ∵点A到原点的左侧， ∴点A所表示的数为：． 故答案为： 29．【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】 解：如图， 由数轴可知：， ∴， ∴a的值为； 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】 解：如图所示，     由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 31．【答案】15 【分析】 本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为． 故答案为：15． 32．【答案】101寸 【分析】 本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】 解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 33．【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； (1) 小问详解： 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 34．【答案】15 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】 解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为9， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：15． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，以及勾股定理，利用勾股定理求出，再分两种情况，交点在原点的右侧时，交点在原点的左侧时，结合实数与数轴关系讨论求解，即可解题． 【详解】 解：由题知， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点， 交点在原点的右侧时，表示的数为，交点在原点的左侧时，表示的数为， 则这个点表示的实数是； 故答案为：． 36．【答案】18米 【分析】 先利用勾股定理可得，再根据大树没折断前的高度等于即可得． 【详解】 解：在中，米，米， 则米， 所以大树没折断前的高度为（米）， 故答案为：18米． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 37．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴ 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 38．【答案】(Ⅰ)5;( Ⅱ)1;( Ⅲ)CM=. 【分析】 (1) 根据勾股定理可得；（2）根据折叠性质，AB=AD,所以，CD=AD-AC;（3）中，,所以，可求CM. 【详解】 解：，，, AB=, Ⅱ)折叠 且, . Ⅲ连接DM 折叠 在中，, . . 【点睛】 本题考核知识点：勾股定理，折叠. 解题关键点：熟记勾股定理. 39．【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】 本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】 解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 40．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，以及勾股定理，根据勾股定理，可得的长，进而得到交点坐标． 【详解】 解：由勾股定理，得． 又因为交点在原点的右侧时，则这个交点表示的实数是， 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，两点间距离公式． 根据等边三角形的性质，所有边长相等，点A在原点，点B坐标为，因此，点C在第二象限，设其坐标为，利用两点间距离公式，由和列出求解即可． 【详解】 解：∵点A在原点，点B坐标为， ∴， ∵等边， ∴ 设点C坐标为， 根据两点间距离公式可知，， 即， 解得：， ∴， 解得：， ∵点C在第二象限， ∴， 即点的坐标是． 故答案为：． 42．【答案】（1） 证明：， ， ；     （2）      【分析】 此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 43．【答案】（1）风筝的垂直高度为米     （2）如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：，米，，，米，米， ∴， ∴米， ∴米， 即风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 解：如图：在上取点，使得米，连接， ， 则米， 在中，由勾股定理可得米， ∴（米）， 故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米． 44．【答案】（1）证明：∵ ； 又， ， ∴， ； （2）； （3） 【分析】 此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 45．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理得到，再根据线段之间的和差计算即可． 【详解】 解：∵长方形长，长为1， ∴， ∵点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E， ∴， 设点E所表示的数为x，则 ， 解得， 故答案为：． 46．【答案】（1），；②，     （2）      【分析】 本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方法． （1）① 根据勾股定理可得答案； ② 根据图形可得答案； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，可得，，根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短，再用勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 解：① ∵边长为的正方形，设，则， 由勾股定理可得，，， 故答案为：，； ②，， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 作关于直线的对称点，连接，连接交于，如图： 由，关于直线对称可得，， ， 根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短， ， ， ， 当时，的最小值为. 47．【答案】14 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】 解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 48．【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识，先在中利用勾股定理求出线段，设，在中利用勾股定理列方程求出，最后由解答即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是由翻折得来， ∴，， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 49．【答案】（1）见解析；     （2）4．      【分析】 本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 50．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质、勾股定理在实际生活中的应用等知识点，解题的关键是将具体问题数学化．设菱形的边长为，则菱形上升到离地高度时，长为长为，最后利用勾股定理可求得x的值． 【详解】 解：设相交于点O．连杆的长为x，因为四边形是菱形，     ∴， 依题意可知． ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴，． 在直角中， ∴ 解得： ∴连杆的长为． 故答案为： 51．【答案】10 【分析】 本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解． 【详解】 解：连接交于M，连接，如图， ∵正方形 ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于， ∵正方形 ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 52．【答案】（1）     （2）     （3）点P的坐标为或      【分析】 本题主要考查折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键； （1）过点D作于点H，由折叠的性质可知：，然后可得，，则根据等积法可得，最后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）由（1）可知：，，设点，则有，由题意易得，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：过点D作于点H，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴； 故答案为； (2) 小问详解： 解：由（1）可得：； (3) 小问详解： 解：由（1）可知：，， ∴， 设点，则有， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 53．【答案】20 【分析】 本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵长方形的面积为182，正方形的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20． 54．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质作点A关于y轴的对称点D，连接，根据轴对称的性质可得，则当B、C、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 55．【答案】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）； （3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】 解：（1）略 （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 56．【答案】5 【分析】 本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理及其应用，熟练掌握长方形的性质和勾股定理等是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，，在中，由勾股定理可得，则，在 中，设则 ，由勾股定理可列出方程，即可求解． 【详解】 解： 四边形为长方形， 根据翻折的性质可得：，，， 在中，由勾股定理可得， ， 在 中，设则 ， 由勾股定理可得：， 即 解得：， 即 ， 故答案为：5． 57．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，过点作于，由三线合一可得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于，则， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 58．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与图形面积，由勾股定理得，即得两个半圆的面积的和，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴两个半圆的面积的和 ， 故答案为：． 59．【答案】 【分析】 本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由作图可知：， ∴与点D对应的数是； 故答案为：． 60．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 61．【答案】 【分析】 本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】 解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 62．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 63．【答案】（1），，     （2）5     （3）     （4）点的位置为，的周长最小值为      【分析】 本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，将军饮马等知识； （1）先求出点坐标，即可求解； （2）由两点之间距离公式即可求解； （3）由轴两点所成线段长为即可求解； （4）作点关于轴的对称点，当点在线段上时，的周长有最小值，再由两点之间距离公式和等腰直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： ∵两点坐标分别是点，， ∴点 ∴，， ∴ 故答案为：，，； (2) 小问详解： ∵两点和， ∴， 故答案为：5； (3) 小问详解： ∵点在轴上， ∴设点， ∵点D的坐标是，且， ∴， 解得， ∴点的坐标为 故答案为：； (4) 小问详解： 如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， ∵点，的坐标分别为和， ∴, ∵的周长， ∴的周长， ∴当点在线段上时，的周长有最小值， ∵点，的坐标分别为和， ∴, ∴的周长有最小值为， 过点作交轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以， ∴点． 故答案为：点的位置为，的周长最小值为． 64．【答案】（1）见解析；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； (1) 小问详解： 证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：设边上的高为x， ∵， ∴． (3) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 65．【答案】（1）     （2）t的值为或5     （3）当t的值为5或11时，平分      【分析】 （1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为或5； (3) 小问详解： 解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 66．【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，（2）10（3）84 【分析】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）① 根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】 解：（1）① 由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．【答案】（1）     （2）59      【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键； （1）利用三角形的面积求解即可； （2）先证明，再利用割补法求解四边形的面积即可． (1) 小问详解： 解：，的面积为35，是边上的高， ∴， ； (2) 小问详解： 在三角形中 ，， ， ∴四边形的面积． 9．【答案】（1）60     （2）直角三角形      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求出即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，，， ∴，，， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：在中，∵， ∴， 即是直角三角形． 10．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理求得，最后由角度和差即可求解； （）利用等面积法即可求解； 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．【答案】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【分析】 先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 12．【答案】（1）     （2）海港受台风影响，时间为5小时      【分析】 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是直角三角形，； (2) 小问详解： 解：海港受台风影响． 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为40米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为5小时． 13．【答案】（1）直角三角形；     （2）原路线千米      【分析】 （1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案； （2）本题考查勾股定理，设千米，根据勾股定理直接求解即可得到答案 (1) 小问详解： 解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设千米，则千米， 由勾股定理得：， 即 解得： 即原路线千米. 14．【答案】（1）180米     （2）珍珍的观点正确，见解析      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； (2) 小问详解： 解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 15．【答案】36 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，中，，，，则正方形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）在下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10 C. ，，1 D. 1，2，3 3．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）若中，，，，则（     ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B.  C.  D. 1 5．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若点的坐标是，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（     ）． A. 斜边长为25 B. 三角形的周长为25 C. 斜边长上的高为 D. 三角形的面积为20 7．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）下列各组数是勾股数的是（       ） A. 2，3，5 B. ，2， C. 8，15，17 D. ，， 8．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（       ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 10．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 1，2，3 D. 0.6，0.8，1 11．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A. ﹣0.4 B. ﹣ C. 1﹣ D. ﹣1 12．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，矩形纸片中，，，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 13．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A.  B.  C.  D. 6 14．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（       ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）图①是办公桌摆件，图②是其简化示意图．在图②中，四边形是长方形．若对角线，垂足为，，，，则（        ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 18．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（     ）． A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底而A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（　　）．（取3） A.  B.  C. 4 D. 3 20．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  21．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）如图，一张纸片的形状为直角三角形，其中∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，则CD的长为　　　　　　cm． 23．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点，若点表示的数为． （1）求线段的长度； （2）求的值； （3）求代数式的值． 24．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m． （1）求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度； （2）当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长． 25．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前高度是多少？ 26．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为　　　． 29．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行　　　　　　　米． 31．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为　　　　　． 32．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 33．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 34．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）一个三级台阶如图所示，和是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为9，2和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是 　　　　　． 36．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是　　　　　　． 38．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，在中，，，，在边BC上有一点M，将沿直线AM折叠，点B恰好落在AC延长线上的点D处． Ⅰ)AB的长______； Ⅱ)CD的长______； Ⅲ求CM的长． 39．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 40．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点（交点在原点右侧），则这个点表示的实数是　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）已知等边，点在坐标原点，点的坐标为，且点在第二象限，则点的坐标是　　　　　　． 42．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． （1）请用图1证明勾股定理； （2）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 43．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 44．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 45．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是　　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ①             ；               ． ②____________的线段和． （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 47．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，点E是矩形的边上一点，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知，，则　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 50．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图1，是一款汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成的菱形和螺旋杆组成，与地面平行，当螺旋杆绕点Q顺时针旋转时，B，D两点之间的距离变小，A，C两点之间的距离变大，从而顶起汽车如图2，是完全折叠状态下的“千斤顶”（B，A，D在同一条直线上），此时A到地面的距离为．“千斤顶”上升到离地面高度（C到地面的距离）的过程中，的长度缩短了．则连杆的长为　　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， （1）点C的坐标是___________； （2）求长度； （3）若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 53．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为，宽为的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为182，正方形的边长为6，则　　　　　　 54．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点．则的最小值是　　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 56．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，点E是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点C的对应点为，点D的对应点为．若点A在上，且，，则　　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图是腰长为的等腰三角形放入平面直角坐标系中，已知点的坐标为，AB=AO，则点的坐标是　　　　　　． 58．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，中，，，分别以边、为直径向形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为　　　　　　（结果中保留） 59．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是　　　　　． 60．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 61．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是　　　　　　　． 62．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 63．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在信息技术迅猛发展在的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料： 在平面直角坐标系中有两点，如何求线段的长度？在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边　　　　　　　　　，　　　　　　　　　，利用勾股定理可得，　　　　　　　　　　； 应用： （2）在平面直角坐标系中，已知两点和，线段　　　　　　　　　； （3）若点在轴上，点D的坐标是，且，求点的坐标； （4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？ 64．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，   则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 65．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图1，已知在中，，，，D是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为t，连接． （1）当秒时，则的长度为__________； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）如图2，过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出t的值． 66．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略，这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．银川市某中学八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为，小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为_______，小正方形边长为______．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，，若，的长比的长大2，求的长．请利用上面得到的结论求解． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，，，请求出的面积． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（　　）. A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 13，16，18 2．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（       ） A. 9，40，41 B.  C. 2，7，9 D. 10，20，30 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C. ，， D.  4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D. ，， 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（     ） A. 10、20、26 B. 0.5、1.2、1.3 C.  D. 6、8、10 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 8．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在中，，，在中，是边上的高，，的面积为35．求： （1）的长； （2）四边形的面积； 9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在中，于点，，，． （1）求的周长； （2）判断的形状． 10．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，若． （1）求的长； （2）过点作交于点，求的长． 11．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 12．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． （1）求的度数． （2）海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 13．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 14．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． （1）求之间的距离； （2）珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 15．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，中，，，，则正方形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】 解：在中，由勾股定理得， ， 正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）在下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10 C. ，，1 D. 1，2，3 【答案】B 【分析】 本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【详解】 解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选B． 3．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）若中，，，，则（     ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．利用勾股定理直接计算的长度． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去） 故选：C． 4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】 解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 5．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若点的坐标是，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 过点A作AC⊥OB于C，根据等边三角形的定义及性质即可求出OA和OC，再利用勾股定理即可求出结论． 【详解】 解：过点A作AC⊥OB于C， ∵是等边三角形，若点的坐标是， ∴OB=OA=4 ∴OC=2， ∴AC==， ∴A点的坐标是（2，）． 故选：B． 【点睛】 此题考查的是等边三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、勾股定理和点的坐标求法是解题关键． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（     ）． A. 斜边长为25 B. 三角形的周长为25 C. 斜边长上的高为 D. 三角形的面积为20 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出斜边长，再分别求其周长、面积，利用等面积法求斜边的高，即可求解． 【详解】 解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长是，故A不正确； 周长是，故B不正确； 设斜边的高为h，则， 解得，故C正确； 面积是，故D不正确． 故说法正确的是C选项． 故选：C． 7．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）下列各组数是勾股数的是（       ） A. 2，3，5 B. ，2， C. 8，15，17 D. ，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】 解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】 解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（       ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 【答案】B 【分析】 本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可求解． 【详解】 解：A、，6，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； C、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，10，20，26不是勾股数，故本选项不符合题意， 故选：B． 10．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 1，2，3 D. 0.6，0.8，1 【答案】A 【分析】 此题主要考查了勾股数，注意：①一组勾股数中的三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．掌握勾股数的定义是解题的关键． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】 解：A、，是勾股数，符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，不是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 11．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A. ﹣0.4 B. ﹣ C. 1﹣ D. ﹣1 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=﹣1即可解决问题. 【详解】在Rt△AOB中，AB=， ∴AB=AC=， ∴OC=AC﹣OA=﹣1， ∴点C表示的数为1﹣． 故选C． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，矩形纸片中，，，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【分析】 设，根据折叠可得，在中，根据勾股定理列方程，求出的长，进一步求的面积即可． 【详解】 解：设， 在长方形中，，，， 根据折叠，可得， 在中，根据勾股定理， 得， 解得， ， 的面积为， 故选：C． 【点睛】 本题考查了折叠问题，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A.  B.  C.  D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键； 先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论； 【详解】 ∵是翻折而成， ∴，， ∴， ∵是矩形的中心， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 在中，， 即，解得， 在中，设， 则， 即， 解得， ∴． 故选：A． 14．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（       ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理可得，即为，求出即可解决问题. 【详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， 即, ∴； 故选：D. 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）图①是办公桌摆件，图②是其简化示意图．在图②中，四边形是长方形．若对角线，垂足为，，，，则（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形是长方形， ， 在中， 由勾股定理得，， ． 16．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了翻折变换，勾股定理，坐标与图形性质．先根据点D的坐标得到，，再由折叠的性质得到，，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】 ∵四边形是长方形，点D的坐标为， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 17．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，由等腰三角形的性质得（米），然后根据勾股定理即可求得、的长度，即可得解． 【详解】 解：如图所示，过点作于， ， （米）， （米）， （米）， 绳长为（米）， 故选：D． 18．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理，折叠的性质， 先根据勾股定理求出，进而得出，再设，则，根据勾股定理可得方程，求出解即可. 【详解】 解：根据勾股定理，得， 即， ∴. 设，根据折叠得， ，则， 在中，， 即， 解得， 所以. 故选：B. 19．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底而A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（　　）．（取3） A.  B.  C. 4 D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，结合勾股定理求出答案． 【详解】 解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱底面半径为， ， 又， ， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为． 故选A． 20．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  【答案】A 【分析】 根据折叠的性质，得，，，，结合，勾股定理，求得，解答即可． 【详解】 解：∵长方形中，，，将沿折叠得到，射线恰好经过的中点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 21．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理，算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据面积公式进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 故选C 22．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）如图，一张纸片的形状为直角三角形，其中∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，则CD的长为　　　　　　cm． 【答案】6; 【分析】在Rt△ABC中根据勾股定理得AB=20，再根据折叠的性质得AE=AC=12，DE=DC，∠AED=∠C=90°，所以BE=AB-AE=8，设CD=x，则BD=16-x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理得到82+x2=（16-x）2，再解方程求出x即可． 【详解】在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=16， ∴AB==20， ∵△ACB沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合， ∴AE=AC=12,DE=DC,∠AED=∠C=90∘， ∴BE=AB−AE=20−12=8， 设CD=x，则BD=16−x， 在Rt△BDE中,∵BE2+DE2=BD2， ∴82+x2=(16−x)2，解得x=6， 即CD的长为6cm. 故答案为6. 【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是知道折叠的性质和勾股定理的使用. 23．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点，若点表示的数为． （1）求线段的长度； （2）求的值； （3）求代数式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）首先根据勾股定理求出画弧的半径为，然后根据坐标解答即可； （2）由勾股定理求出半径，进而确定的值； （3）将的值代入计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，勾股定理，实数与数轴，代数式求值，求出的值是正确解答的关键． (1) 小问详解： 由勾股定理可得，画弧的半径为， 所以点所表示的数， ； (2) 小问详解： 由（1）可知，； (3) 小问详解： 把代入． 24．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m． （1）求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度； （2）当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）先在中求出，即可通过作差求出结论． (1) 小问详解： 解：由题意，为直角三角形， 在中，， ∴的长度为； (2) 小问详解： 解：梯子的顶端下滑2m到点时，，， 在中，， ∴， ∴此时的长为． 【点睛】 本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． 25．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前高度是多少？ 【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键． 图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方即可得出结果． 【详解】 解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 26．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解坐标与长度的关系． 过点作轴的垂线，交轴于点，分别求出、的长度即可． 【详解】 解：是等边三角形，， 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点， ． 根据等边三角形的性质， ，， 由于轴， 则轴 轴， ， 则， 根据所对直角边等于斜边的一半， 可知， 根据勾股定理，有， 故点的坐标为， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】 解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故答案为：． 28．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，无理数与数轴，根据勾股定理求出圆的半径，再根据数轴上两点之间的距离即可得出点A所表示的数． 【详解】 解：根据题意可知圆的半径为：， 即点A到的距离为：， ∵点A到原点的左侧， ∴点A所表示的数为：． 故答案为： 29．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】 解：如图， 由数轴可知：， ∴， ∴a的值为； 故答案为：． 30．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】 解：如图所示，     由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为． 故答案为：15． 32．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【分析】 本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】 解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 33．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； (1) 小问详解： 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 34．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）一个三级台阶如图所示，和是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为9，2和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】 解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为9， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：15． 35．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，以及勾股定理，利用勾股定理求出，再分两种情况，交点在原点的右侧时，交点在原点的左侧时，结合实数与数轴关系讨论求解，即可解题． 【详解】 解：由题知， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点， 交点在原点的右侧时，表示的数为，交点在原点的左侧时，表示的数为， 则这个点表示的实数是； 故答案为：． 36．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是　　　　　　　　　． 【答案】18米 【分析】 先利用勾股定理可得，再根据大树没折断前的高度等于即可得． 【详解】 解：在中，米，米， 则米， 所以大树没折断前的高度为（米）， 故答案为：18米． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 37．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴ 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 38．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，在中，，，，在边BC上有一点M，将沿直线AM折叠，点B恰好落在AC延长线上的点D处． Ⅰ)AB的长______； Ⅱ)CD的长______； Ⅲ求CM的长． 【答案】(Ⅰ)5;( Ⅱ)1;( Ⅲ)CM=. 【分析】 (1) 根据勾股定理可得；（2）根据折叠性质，AB=AD,所以，CD=AD-AC;（3）中，,所以，可求CM. 【详解】 解：，，, AB=, Ⅱ)折叠 且, . Ⅲ连接DM 折叠 在中，, . . 【点睛】 本题考核知识点：勾股定理，折叠. 解题关键点：熟记勾股定理. 39．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】 本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】 解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 40．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点（交点在原点右侧），则这个点表示的实数是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，以及勾股定理，根据勾股定理，可得的长，进而得到交点坐标． 【详解】 解：由勾股定理，得． 又因为交点在原点的右侧时，则这个交点表示的实数是， 故答案为：． 41．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）已知等边，点在坐标原点，点的坐标为，且点在第二象限，则点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，两点间距离公式． 根据等边三角形的性质，所有边长相等，点A在原点，点B坐标为，因此，点C在第二象限，设其坐标为，利用两点间距离公式，由和列出求解即可． 【详解】 解：∵点A在原点，点B坐标为， ∴， ∵等边， ∴ 设点C坐标为， 根据两点间距离公式可知，， 即， 解得：， ∴， 解得：， ∵点C在第二象限， ∴， 即点的坐标是． 故答案为：． 42．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． （1）请用图1证明勾股定理； （2）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ；     （2）      【分析】 此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 43．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为米     （2）如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：，米，，，米，米， ∴， ∴米， ∴米， 即风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 解：如图：在上取点，使得米，连接， ， 则米， 在中，由勾股定理可得米， ∴（米）， 故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米． 44．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）证明：∵ ； 又， ， ∴， ； （2）； （3） 【分析】 此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 45．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理得到，再根据线段之间的和差计算即可． 【详解】 解：∵长方形长，长为1， ∴， ∵点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E， ∴， 设点E所表示的数为x，则 ， 解得， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ①             ；               ． ②____________的线段和． （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【答案】（1），；②，     （2）      【分析】 本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方法． （1）① 根据勾股定理可得答案； ② 根据图形可得答案； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，可得，，根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短，再用勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 解：① ∵边长为的正方形，设，则， 由勾股定理可得，，， 故答案为：，； ②，， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 作关于直线的对称点，连接，连接交于，如图： 由，关于直线对称可得，， ， 根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短， ， ， ， 当时，的最小值为. 47．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】 解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 48．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，点E是矩形的边上一点，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知，，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识，先在中利用勾股定理求出线段，设，在中利用勾股定理列方程求出，最后由解答即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是由翻折得来， ∴，， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 49．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；     （2）4．      【分析】 本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 50．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图1，是一款汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成的菱形和螺旋杆组成，与地面平行，当螺旋杆绕点Q顺时针旋转时，B，D两点之间的距离变小，A，C两点之间的距离变大，从而顶起汽车如图2，是完全折叠状态下的“千斤顶”（B，A，D在同一条直线上），此时A到地面的距离为．“千斤顶”上升到离地面高度（C到地面的距离）的过程中，的长度缩短了．则连杆的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质、勾股定理在实际生活中的应用等知识点，解题的关键是将具体问题数学化．设菱形的边长为，则菱形上升到离地高度时，长为长为，最后利用勾股定理可求得x的值． 【详解】 解：设相交于点O．连杆的长为x，因为四边形是菱形，     ∴， 依题意可知． ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴，． 在直角中， ∴ 解得： ∴连杆的长为． 故答案为： 51．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解． 【详解】 解：连接交于M，连接，如图， ∵正方形 ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于， ∵正方形 ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 52．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， （1）点C的坐标是___________； （2）求长度； （3）若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）点P的坐标为或      【分析】 本题主要考查折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键； （1）过点D作于点H，由折叠的性质可知：，然后可得，，则根据等积法可得，最后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）由（1）可知：，，设点，则有，由题意易得，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：过点D作于点H，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴； 故答案为； (2) 小问详解： 解：由（1）可得：； (3) 小问详解： 解：由（1）可知：，， ∴， 设点，则有， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 53．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为，宽为的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为182，正方形的边长为6，则　　　　　　 【答案】20 【分析】 本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵长方形的面积为182，正方形的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20． 54．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点．则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质作点A关于y轴的对称点D，连接，根据轴对称的性质可得，则当B、C、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 55．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）； （3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】 解：（1）略 （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 56．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，点E是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点C的对应点为，点D的对应点为．若点A在上，且，，则　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理及其应用，熟练掌握长方形的性质和勾股定理等是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，，在中，由勾股定理可得，则，在 中，设则 ，由勾股定理可列出方程，即可求解． 【详解】 解： 四边形为长方形， 根据翻折的性质可得：，，， 在中，由勾股定理可得， ， 在 中，设则 ， 由勾股定理可得：， 即 解得：， 即 ， 故答案为：5． 57．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图是腰长为的等腰三角形放入平面直角坐标系中，已知点的坐标为，AB=AO，则点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，过点作于，由三线合一可得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于，则， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 58．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，中，，，分别以边、为直径向形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为　　　　　　（结果中保留） 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与图形面积，由勾股定理得，即得两个半圆的面积的和，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴两个半圆的面积的和 ， 故答案为：． 59．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由作图可知：， ∴与点D对应的数是； 故答案为：． 60．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 61．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】 解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 62．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 63．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在信息技术迅猛发展在的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料： 在平面直角坐标系中有两点，如何求线段的长度？在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边　　　　　　　　　，　　　　　　　　　，利用勾股定理可得，　　　　　　　　　　； 应用： （2）在平面直角坐标系中，已知两点和，线段　　　　　　　　　； （3）若点在轴上，点D的坐标是，且，求点的坐标； （4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？ 【答案】（1），，     （2）5     （3）     （4）点的位置为，的周长最小值为      【分析】 本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，将军饮马等知识； （1）先求出点坐标，即可求解； （2）由两点之间距离公式即可求解； （3）由轴两点所成线段长为即可求解； （4）作点关于轴的对称点，当点在线段上时，的周长有最小值，再由两点之间距离公式和等腰直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： ∵两点坐标分别是点，， ∴点 ∴，， ∴ 故答案为：，，； (2) 小问详解： ∵两点和， ∴， 故答案为：5； (3) 小问详解： ∵点在轴上， ∴设点， ∵点D的坐标是，且， ∴， 解得， ∴点的坐标为 故答案为：； (4) 小问详解： 如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， ∵点，的坐标分别为和， ∴, ∵的周长， ∴的周长， ∴当点在线段上时，的周长有最小值， ∵点，的坐标分别为和， ∴, ∴的周长有最小值为， 过点作交轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以， ∴点． 故答案为：点的位置为，的周长最小值为． 64．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，   则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】（1）见解析；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； (1) 小问详解： 证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：设边上的高为x， ∵， ∴． (3) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 65．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图1，已知在中，，，，D是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为t，连接． （1）当秒时，则的长度为__________； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）如图2，过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出t的值． 【答案】（1）     （2）t的值为或5     （3）当t的值为5或11时，平分      【分析】 （1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为或5； (3) 小问详解： 解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 66．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略，这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．银川市某中学八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为，小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为_______，小正方形边长为______．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，，若，的长比的长大2，求的长．请利用上面得到的结论求解． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，，，请求出的面积． 【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，（2）10（3）84 【分析】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）① 根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】 解：（1）① 由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（　　）. A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 13，16，18 【答案】D 【分析】 由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可； 【详解】 A、， ∴能构成直角三角形，故本选项错误； B、， ∴能构成直角三角形，故本选项错误； C、， ∴能构成直角三角形，故本选项错误； D、， ∴能构成直角三角形，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（       ） A. 9，40，41 B.  C. 2，7，9 D. 10，20，30 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可． 【详解】 解：A．， 能构成直角三角形，故该选项符合题意； B．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； D．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C. ，， D.  【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D． 【详解】 解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意； ，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【分析】 本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 5．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D. ，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（     ） A. 10、20、26 B. 0.5、1.2、1.3 C.  D. 6、8、10 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理逐一验证各组数是否满足两短边的平方和等于长边的平方． 分别计算每个选项中三个数的平方，验证是否满足两数平方和等于第三个数的平方，若不满足则不能构成直角三角形． 【详解】 解：对于选项A：，，， 不能构成直角三角形． 对于选项B：，，， 能构成直角三角形． 对于选项C：，，， 能构成直角三角形． 对于选项D：，，， 能构成直角三角形． 故选A． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果两条较小边的平方和等于最大边的平方，此时的三角形是直角三角形，此为本题解题的关键． 利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、，，，故不能构成直角三角形， B、，，，故能构成直角三角形， C、，，，故不能构成直角三角形， D、，，，故不能构成直角三角形， 故选：B． 8．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在中，，，在中，是边上的高，，的面积为35．求： （1）的长； （2）四边形的面积； 【答案】（1）     （2）59      【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键； （1）利用三角形的面积求解即可； （2）先证明，再利用割补法求解四边形的面积即可． (1) 小问详解： 解：，的面积为35，是边上的高， ∴， ； (2) 小问详解： 在三角形中 ，， ， ∴四边形的面积． 9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在中，于点，，，． （1）求的周长； （2）判断的形状． 【答案】（1）60     （2）直角三角形      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求出即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，，， ∴，，， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：在中，∵， ∴， 即是直角三角形． 10．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，若． （1）求的长； （2）过点作交于点，求的长． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理求得，最后由角度和差即可求解； （）利用等面积法即可求解； 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【分析】 先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 12．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． （1）求的度数． （2）海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 【答案】（1）     （2）海港受台风影响，时间为5小时      【分析】 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是直角三角形，； (2) 小问详解： 解：海港受台风影响． 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为40米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为5小时． 13．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）直角三角形；     （2）原路线千米      【分析】 （1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案； （2）本题考查勾股定理，设千米，根据勾股定理直接求解即可得到答案 (1) 小问详解： 解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设千米，则千米， 由勾股定理得：， 即 解得： 即原路线千米. 14．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． （1）求之间的距离； （2）珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】（1）180米     （2）珍珍的观点正确，见解析      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； (2) 小问详解： 解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 15．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 【答案】36 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $