专题07 二次根式（期中真题汇编，宁夏专用）八年级数学上学期

专题07 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）下列各式正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）若式子有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）数，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐渐加）中，无理数的个数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）化简：　　　　　　． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 阅读上述材料解决下面问题： （1）___________，___________； （2）求的最值． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）若，则化简后的结果是　　　　　　． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）下列计算中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）下列二次根式中，最简二次根式是(       ) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）计算： （1）； （2）． 11．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）下列运算正确的是（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）下列各式中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）计算 （1） （2） 6．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）比较大小：　　　　　　　　．（填“、”或“”） 7．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）计算 （1）； （2）， （3） （4）； 8．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题： （1）的小数部分是               ； （2）若 的小数部分a， 求的值 9．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 10．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 11．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． （1）请根据题目，化简； （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 12．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 13．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）解方程（组）和计算． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 14．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）对于任意的正数、定义运算， ，计算的结果为　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）计算： （1） （2） 17．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）计算： （1） （2） 18．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． （1）计算：； （2）比较：与的大小； （3）化简：． 19．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）计算： （1） （2） 20．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）计算 （1） （2） 21．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4）． 22．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）计算 （1）； （2）． 23．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道． （1）求通道的总面积； （2）若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）？ 24．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 25．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）若最简二次根式与可以合并，则　　　　　　． 26．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）计算题 （1）； （2） 27．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 28．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： 请你根据小明的解答过程，解决如下问题： （1）__________； （2）化简：； （3）若，求的值． 29．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简：_______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．D 2．C 3．D 4．【答案】 【分析】 根据二次根式的性质即可求解． 【详解】 解： 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和二次根式的性质，分别化简各项后计算． 【详解】 解：， ，， 原式 ， 故答案为：． 6．【答案】（1），；     （2）的最小值为．      【分析】 此题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，偶次方非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据完全平方公式将化成，化成，再由二次根式性质化简即可； （）根据完全平方公式将化成，然后根据非负数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解： ； ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 7．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握． 由数轴可得，则，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】 解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 先判断，，根据 进行化简即可． 【详解】 解：，， ，， ； 故答案：． 【点睛】 本题考查了二次根式化简，掌握化简的方法是解题的关键． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先分别计算立方根及算术平方根，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）先展开，再由二次根式除法运算计算，然后由二次根式性质化简，最后由有理数乘法运算及加减运算法则计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查实数混合运算，涉及立方根、算术平方根、二次根式除法运算、二次根式性质化简、有理数乘法运算及有理数加减运算等知识，熟记实数相关运算法则是解决问题关键． 11．【答案】（1）      （2）      （3）      （4）       【分析】 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．D 4．D 5．【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）先进行乘除运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先乘法，再进行合并即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 6．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的大小比较． 将化为，进而比较即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 7．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次根式的混合计算，涉及完全平方公式和分母有理化等初中数学知识． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）先化简分子，再约分即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． (1) 小问详解： (2) 小问详解： ， (3) 小问详解： (4) 小问详解： ． 8．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查了无理数的估算，平方差公式的计算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，即可知道的小数部分， （2）与（1）同理得，则，然后代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴的小数部分是； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则的小数部分是， 即， 则． 9．【答案】（1）；     （2）1；     （3）8．      【分析】 （1）根据二次根式的性质计算即可求解； （2）根据立方根，二次根式的乘除法法则计算即可； （3）根据负整数指数幂，零指数幂的法则计算即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂和零指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键． 10．【答案】（1）③     （2）      【分析】 本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 小明从第③ 步开始出错的； 故答案为：③ ； (2) 小问详解： 原式 ． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 12．【答案】（1）③     （2）6      【分析】 本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则； （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：小明从第③ 步开始出错的； 故答案为：③ ； (2) 小问详解： 解：原式， ， ， ， ． 13．【答案】（1）或     （2）     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查解方程和方程组，二次根式的混合运算，熟练掌握平方根，立方根的定义，加减消元法以及二次根式的混合运算法则是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）加减消元法解方程组即可； （5）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （6）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得或； (2) 小问详解： ， ， 解得； (3) 小问详解： ， ，得，解得； 把代入，得，解得； ∴ ． (4) 小问详解： ， ，得，解得； 把代入，得，解得； ∴ ； (5) 小问详解： 原式 ； (6) 小问详解： 原式． 14．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算及实数的运算， （1）先进行分母有理化，然后进行二次根式的乘法运算并利用二次根式的性质化简； （2）根据负整数指数幂、绝对值的意义及立方根将原式化简，再合并即可； （3）先去括号，将二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （4）根据二次根式的除法及完全平方公式进行计算，再合并即可， 掌握相应的运算法则、性质、公式及运算顺序是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． ． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】 解：由题意得： ， 故答案为：． 16．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次根式的化简与计算，完全平方公式，平方差公式，掌握相关运算法则是解题的关键．    （1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后进行分式运算和减法． （2）先应用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后再进行加减运算． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 17．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次根式的化简与计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式． （2）先化简括号内的每个二次根式，然后进行加减运算，最后与括号外的二次根式相乘． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算及二次根式分母有理化等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中分母有理化方法计算即可得到答案； （2）采用作差法，利用分母有理化，结合二次根式性质比较大小即可得到答案； （3）利用分母有理化先化简，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， ， ，即， ； (3) 小问详解： 解： ． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先根据乘法公式计算，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）直接运用二次根式混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 21．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序为先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序是本题求解的关键． （1）先化简二次根式，再进行计算即可； （2）先化简二次根式和去括号，再进行加减计算即可； （3）先去括号，再进行加减计算即可； （4）先平方差公式和完全平方差公式的性质去括号，再进行加减计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ， (2) 小问详解： 解：原式 ， (3) 小问详解： 解：原式 ， (4) 小问详解： 解：原式 ． 22．【答案】（1）5     （2）      【分析】 本题考查二次根式加减运算，二次根式的除法，涉及二次根式性质、合并同类二次根式等知识，熟记二次根式性质及二次根式加减，除法运算规则是解决问题的关键． （1）先将分子根据二次根式性质化简，再合并同类二次根式，最后再做除法即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，最后合并同类二次根式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 23．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键． （1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． (1) 小问详解： 解：由题意得，通道的总面积为： ， 答：通道的总面积为； (2) 小问详解： 由（1）小问可知：通道的总面积为：， 购买地砖需要花费：（元）， 答：购买地砖需要花费元． 24．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除和立方根，再计算加减即可； （3）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减即可； （4）根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算即可得出答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 25．【答案】2 【分析】 根据同类二次根式的定义，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．因为本题中的两个二次根式已是最简二次根式且可以合并，所以它们的被开方数必须相等． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 解：由最简二次根式与可以合并， 得 ， 整理，得 ， 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的运算． （1）先化简二次根式，并计算二次根式的乘法，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 27．【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查了零指数幂，立方根，二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）根据零指数幂，立方根，算术平方根的运算法则计算即可； （）根据二次根式乘法法则，二次根式性质即可求解； （）根据二次根式除法法则，二次根式性质即可求解； （）根据平方差公式、完全平方公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 28．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据有理化因式的定义即可解决问题． （3）根据题干所给示例进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意，得， ， ． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 29．【答案】（1）     （2）     （3）2025      【分析】 本题考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）下列各式正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握它们的区别与联系是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一分析每个选项的计算结果是否正确． 【详解】 解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选： 2．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）若式子有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】 解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）数，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐渐加）中，无理数的个数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了求一个数的算术平方根，利用二次根式的性质化简，无理数的定义等知识点，深刻理解无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】 解：，，，是有理数， ， 是无理数， 无理数有，，，（相邻两个之间的的个数逐渐加），共个， 故选：． 4．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质即可求解． 【详解】 解： 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）化简：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和二次根式的性质，分别化简各项后计算． 【详解】 解：， ，， 原式 ， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 阅读上述材料解决下面问题： （1）___________，___________； （2）求的最值． 【答案】（1），；     （2）的最小值为．      【分析】 此题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，偶次方非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据完全平方公式将化成，化成，再由二次根式性质化简即可； （）根据完全平方公式将化成，然后根据非负数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解： ； ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握． 由数轴可得，则，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】 解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）若，则化简后的结果是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先判断，，根据 进行化简即可． 【详解】 解：，， ，， ； 故答案：． 【点睛】 本题考查了二次根式化简，掌握化简的方法是解题的关键． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了最简二次根式的定义，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】 解：A：不是最简二次根式，应化简为，故该选项不合题意； B：是最简二次根式，故该选项符合题意； C：不是最简二次根式，应化简为，故该选项不合题意； D：不是最简二次根式，应化简为，故该选项不合题意．   故选：B ． 2．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是化简二次根式，二次根式的乘法，二次根式的加减运算，本题根据二次根式的性质，二次根式的运算逐一计算即可. 【详解】 解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用二次根式的乘除法、二次根式的性质对各项进行计算和化简，即可逐个做出判断． 【详解】A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、和不是同类二次根式，不能进行合并同类二次根式的运算，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和除法、化简为二次根式，掌握运算法则并正确计算是解题的关键． 4．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据最简二次根式定义判断，最简二次根式满足两个条件：1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式，2、被开方数不含能开方开的尽的因数或者因式． 【详解】 A、被开方数是小数， 所以不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数2是开方开不尽的整数，所以是最简二次根式，符合题意； C、被开方数12含有能开方的因数4，所以不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数18含有能开方的因数9，所以不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式满足的两个条件是解题的关键． 5．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）下列计算中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次根式运算法则逐项进行计算即可． 【详解】 解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查平方根，立方根，二次根式的运算，根据相关定义和运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】 解：A、没有意义，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 7．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式混合运算，熟记二次根式加减乘除运算法则是解决问题的关键． 由二次根式加减乘除运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】 解：A、由于与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、由于与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、由二次根式除法运算法则，，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）下列二次根式中，最简二次根式是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，即可解答． 【详解】 解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】 解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 10．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先分别计算立方根及算术平方根，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）先展开，再由二次根式除法运算计算，然后由二次根式性质化简，最后由有理数乘法运算及加减运算法则计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查实数混合运算，涉及立方根、算术平方根、二次根式除法运算、二次根式性质化简、有理数乘法运算及有理数加减运算等知识，熟记实数相关运算法则是解决问题关键． 11．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）      （2）      （3）      （4）       【分析】 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的运算． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】 解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，错误； 选项B：，错误； 选项C：和不是同类二次根式，不能合并，错误； 选项D：，正确； 故选：D． 2．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）下列运算正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算性质，包括加法、化简、除法和算术平方根的定义．需根据二次根式的运算法则逐一判断． 不是同类二次根式的加减不能直接合并，化简需注意完全平方数；除法根据除法法则；算术平方根的结果为非负数． 【详解】 ∵A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误． 故选：C． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式的运算，通过化简和计算每个选项，判断其正确性.选项A、B、C均计算错误，只有D符合题意 【详解】 ∵ , ∴ A错误； ∵ , ∴ B错误； ∵ , ∴ C错误； ∵ , ∴ D正确 故选：D 4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）下列各式中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式的加减法、平方根，熟练掌握以上知识点是关键．根据二次根式性质化简各选项即可得到结果． 【详解】 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）先进行乘除运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先乘法，再进行合并即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 6．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）比较大小：　　　　　　　　．（填“、”或“”） 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的大小比较． 将化为，进而比较即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）计算 （1）； （2）， （3） （4）； 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次根式的混合计算，涉及完全平方公式和分母有理化等初中数学知识． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）先化简分子，再约分即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． (1) 小问详解： (2) 小问详解： ， (3) 小问详解： (4) 小问详解： ． 8．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题： （1）的小数部分是               ； （2）若 的小数部分a， 求的值 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查了无理数的估算，平方差公式的计算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，即可知道的小数部分， （2）与（1）同理得，则，然后代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴的小数部分是； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则的小数部分是， 即， 则． 9．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；     （2）1；     （3）8．      【分析】 （1）根据二次根式的性质计算即可求解； （2）根据立方根，二次根式的乘除法法则计算即可； （3）根据负整数指数幂，零指数幂的法则计算即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂和零指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键． 10．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③     （2）      【分析】 本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 小明从第③ 步开始出错的； 故答案为：③ ； (2) 小问详解： 原式 ． 11．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． （1）请根据题目，化简； （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 12．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③     （2）6      【分析】 本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则； （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：小明从第③ 步开始出错的； 故答案为：③ ； (2) 小问详解： 解：原式， ， ， ， ． 13．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）解方程（组）和计算． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）或     （2）     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查解方程和方程组，二次根式的混合运算，熟练掌握平方根，立方根的定义，加减消元法以及二次根式的混合运算法则是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）加减消元法解方程组即可； （5）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （6）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得或； (2) 小问详解： ， ， 解得； (3) 小问详解： ， ，得，解得； 把代入，得，解得； ∴ ． (4) 小问详解： ， ，得，解得； 把代入，得，解得； ∴ ； (5) 小问详解： 原式 ； (6) 小问详解： 原式． 14．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算及实数的运算， （1）先进行分母有理化，然后进行二次根式的乘法运算并利用二次根式的性质化简； （2）根据负整数指数幂、绝对值的意义及立方根将原式化简，再合并即可； （3）先去括号，将二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （4）根据二次根式的除法及完全平方公式进行计算，再合并即可， 掌握相应的运算法则、性质、公式及运算顺序是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． ． 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）对于任意的正数、定义运算， ，计算的结果为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】 解：由题意得： ， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次根式的化简与计算，完全平方公式，平方差公式，掌握相关运算法则是解题的关键．    （1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后进行分式运算和减法． （2）先应用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后再进行加减运算． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 17．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次根式的化简与计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式． （2）先化简括号内的每个二次根式，然后进行加减运算，最后与括号外的二次根式相乘． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． （1）计算：； （2）比较：与的大小； （3）化简：． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算及二次根式分母有理化等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中分母有理化方法计算即可得到答案； （2）采用作差法，利用分母有理化，结合二次根式性质比较大小即可得到答案； （3）利用分母有理化先化简，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， ， ，即， ； (3) 小问详解： 解： ． 19．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先根据乘法公式计算，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 20．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）直接运用二次根式混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 21．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序为先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序是本题求解的关键． （1）先化简二次根式，再进行计算即可； （2）先化简二次根式和去括号，再进行加减计算即可； （3）先去括号，再进行加减计算即可； （4）先平方差公式和完全平方差公式的性质去括号，再进行加减计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ， (2) 小问详解： 解：原式 ， (3) 小问详解： 解：原式 ， (4) 小问详解： 解：原式 ． 22．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）5     （2）      【分析】 本题考查二次根式加减运算，二次根式的除法，涉及二次根式性质、合并同类二次根式等知识，熟记二次根式性质及二次根式加减，除法运算规则是解决问题的关键． （1）先将分子根据二次根式性质化简，再合并同类二次根式，最后再做除法即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，最后合并同类二次根式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 23．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道． （1）求通道的总面积； （2）若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）？ 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键． （1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． (1) 小问详解： 解：由题意得，通道的总面积为： ， 答：通道的总面积为； (2) 小问详解： 由（1）小问可知：通道的总面积为：， 购买地砖需要花费：（元）， 答：购买地砖需要花费元． 24．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除和立方根，再计算加减即可； （3）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减即可； （4）根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算即可得出答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 25．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）若最简二次根式与可以合并，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据同类二次根式的定义，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．因为本题中的两个二次根式已是最简二次根式且可以合并，所以它们的被开方数必须相等． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 解：由最简二次根式与可以合并， 得 ， 整理，得 ， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）计算题 （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的运算． （1）先化简二次根式，并计算二次根式的乘法，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 27．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查了零指数幂，立方根，二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）根据零指数幂，立方根，算术平方根的运算法则计算即可； （）根据二次根式乘法法则，二次根式性质即可求解； （）根据二次根式除法法则，二次根式性质即可求解； （）根据平方差公式、完全平方公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 28．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： 请你根据小明的解答过程，解决如下问题： （1）__________； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据有理化因式的定义即可解决问题． （3）根据题干所给示例进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意，得， ， ． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 29．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简：_______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）2025      【分析】 本题考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $