专题06 轴对称（期中真题汇编，宁夏专用）八年级数学上学期

专题06 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．D 8．【答案】21 【分析】 本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】 解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 考点02 线段的垂直平分线 1．A 2．C 3．C 4．【答案】的周长是26 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，根据的周长为18得出，再求出三角形周长即可． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴的周长 ． 5．【答案】（1） 解：如图，点即为所求      （2）      【分析】 （1）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）先根据线段垂直平分数线性质和等腰三角形的性质得出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，掌握基本作图是解题的关键． 6．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】 本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 7．【答案】12 【分析】 本题考查中垂线的性质，连接，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是12； 故答案为：12 8．【答案】， 【分析】 此题主要考查线段的垂直平分线及角平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出，，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）可知：， ∴， ∴垂直平分．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）根据，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．【答案】（1）如图所示，直线即为所求．      （2）四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知点为中点， ∵， ∴， 在中，，为边上中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 平行四边形是菱形．      【分析】 本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的性质得，则，进而可证四边形是平行四边形，再由，可得四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．【答案】如图所示， 【分析】 本题主要考查角平分线和垂直平分线性质的应用，熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 要找到满足条件的点，需结合垂直平分线和角平分线的性质，确定点既在的垂直平分线上，又在的角平分线上，其交点即为所求． 【详解】 略 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．C 3．B 4．D 5．【答案】 【分析】 根据关于y轴对称的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为： 【点睛】 本题考查轴对称性质和坐标系，理解轴对称的性质是解题关键． 6．【答案】（1）如图，即为所求；     （2） 如图，点即为所求； 【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1）如图，为所作，，，；     （2） 如图，为所作，，，． ． 【分析】 本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出各顶点的坐标，然后描点即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出各顶点的坐标，然后描点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．【答案】 【分析】 本题考查轴对称与坐标变化，涉及平面直角坐标系中对称点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得答案． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 9．【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的特点，点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，据此即可求得答案． 【详解】 解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 10．【答案】（1） 如图，即为所求作： ，，；     （2） 点即为所求； 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 11．【答案】5 【分析】 本题主要考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据题意再添加一个正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可． 【详解】 解：当分别填涂编号为1、6、7、8、13的正方形，可以与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，因此这样的添涂方法共有5种．如图所示： 故答案为：5． 12．【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示，、      （2） 如图，即为所求 【分析】 本题考查了坐标与图形－轴对称变换，根据题意得出坐标轴的位置是解本题的关键． （1）根据点A的坐标画出坐标系，写出点B和点C的坐标即可； （2）根据轴对称的性质分别作出点的对应点，连线即可． (1) 小问详解： 解：略． (2) 小问详解： 解：略． 13．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出和的值，再计算，最后求立方根即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ，， ， 的立方根为． 故答案为：． 14．【答案】5 【分析】 本题考查坐标与轴对称，代数式求值，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，， ∴； 故答案为：5 15．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）轴，      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据两点坐标特点，判断出对称轴，进而求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知：， 故对称轴为轴， ∵， ∴． 16．【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征．解题关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，S与关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】 解：由平面镜成像可知，S与关于y轴对称， ∵， ∴， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2） 所作如图所示：      （3）5      【分析】 本题主要考查轴对称的性质及图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质及图形与坐标是解题的关键； （1）根据平面直角坐标系可直接进行求解； （2）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （3）根据割补法可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了代数式求值，平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，征熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 由题意得出，代入计算即可． 【详解】 解：由题意得， ∴， 故答案为： ． 19．【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解一元一次方程． 根据关于轴对称的点的坐标特征，列方程求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 20．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）；；      【分析】 （）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】 解：由图和题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 22．【答案】（1），，；     （2） 如图， ∴即为所求；     （3） 如图， 此时点即为所求．      【分析】 本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平面直角坐标系即可求解； （）作，，关于轴对称点，，，然后连接即可； （）连接，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得，，，； (2) 小问详解： 解：作，，关于轴对称点，，，连接各点， (3) 小问详解： 解：连接，交轴于点，则点即为所求， 理由：∵与对称， ∴， ∴， ∴根据“两点之间线段最短”可得，的和最小． 23．【答案】（1）见解析,     （2）      【分析】 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； (2) 小问详解： 解：． 24．【答案】（1）     （2） 如图所示， 【分析】 本题考查了三角形的面积公式，坐标与图形，画轴对称图形； （1）根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，，． ∴,到的距离为，轴， ∴的面积是． (2) 小问详解： 略 25．【答案】 【分析】 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a，b的值，代入代数式，可得答案． 【详解】 解：由点和点关于轴对称，得 ，， 解得，， 则． 26．【答案】（1） 如图所示，      （2），，      【分析】 本题考查了画轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特点； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 27．【答案】（1） 如图所示，     （2） 如图所示，即为所求；      （3）     （4）4      【分析】 考查平面直角坐标系，关于坐标轴对称的点的特征，割补法求三角形面积，比较基础，注意三角形面积的求解方法． （1）根据A、C两点的坐标建立直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （4）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）中作图可得，； (4) 小问详解： 解：的面积． 28．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形面积和勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）先找到点关于轴的对称点，连接与轴交于点，再根据对称性和勾股定理求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． (3) 小问详解： 如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 此时最短， 根据对称性，有， ， 根据勾股定理，， 故此时的最短距离为． 29．【答案】（1） 如图，即为所求作：      （2）4      【分析】 此题主要考查了坐标与图形-轴对称变换. （1）利用轴对称性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法计算面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为. 30．【答案】（1）如图，平面直角坐标系即为所求作． （2）如图，△A1B1C1；即为所求作． （3）（5，4） 【分析】 （1）根据B，C两点坐标，分别确定横轴与纵轴的位置，即可作出平面直角坐标系； （2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再依次连接即可得出图形； （3）根据轴对称与坐标变换的性质，由点A的坐标即可得出结果． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵点A的坐标为（-5，4）， ∴点A关于y轴对称点的坐标（5，4）． 【点睛】 本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中的坐标特点及轴对称与坐标变换之间的规律． 31．【答案】（1）如图所示： ；     （2）     （3）点即为所求： 【分析】 本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． (1) 小问详解： 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： (2) 小问详解： 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 32．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）      【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，作轴对称图形，利用网格求三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用网格和轴对称的性质作出轴对称图形即可； （2）利用网格和割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． 考点04 等腰三角形 1．A 2．C 3．D 4．【答案】证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， ∴， 在和中， ． ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 利用“”证明即可得到：． 【详解】 略 5．【答案】 【分析】 先由三角形高的定义得到，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，则． 【详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，证明从而求出的度数是解题的关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中等边对等角的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质证得和，再通过证得、，进而证得的周长等于，计算求解即可． 【详解】 解：和的角平分线交于点， 、， ， 、， 、， 的周长为， 故答案为：． 7．【答案】56° 【分析】AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据性质得到∠B=∠C，∠ADB=90°，即可求出答案. 【详解】解：∵AB=AC ∴△ABC为等腰三角形 ∴∠B=∠C ∵D是BC的中点 ∴AD也是△ABC的高 ∴∠ADB=90° ∵∠ADB+∠B﹢∠BAD=90°+∠C﹢34°=180° ∴∠C=56° 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定及性质. 8．【答案】1 【分析】 由题意得出和是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解决问题． 【详解】 解：∵中，，，， ∴，， ∵是高，， ∴， ∴． 9．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 10．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得出，进而根据含角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】 解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 12．【答案】（1） 证明：∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵, ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”．     （2）是；      【分析】 本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）过点B作的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点B作的中线，     则， ∴与是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”， ∴其钻石分割线必过顶点． 13．【答案】（1）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边     （2） 证明：如图2，延长到点E，使，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 垂直平分， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质． （1）在线段上取一点E，使，连接，证明垂直平分，推出，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可； （2）延长到点E，使，连接，推出，得到，根据，进一步计算即可求解． (1) 小问详解： 证明：在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等） ．（在同一三角形中，等边对等角） ， ． 又， ， ， ，（在同一三角形中，等角对等边） ， ． 故答案为：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边； (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴；     （2）当或时，是等腰三角形      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质和三角形的判定证明即可； （2）分为三种情况：① 当时，，根据，得出此时不符合；② 当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③ 当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ① 当时，， ∵点D不与B、C重合，则， ∴此时不符合题意； ② 当时，即， ∵， ∴； ∴； ③ 当时，， ∴， ∴； 综上，当或时，是等腰三角形． 15．【答案】100° 【详解】试题分析：∵100°＞90°，∴100°的角是顶角，故答案为100°． 考点：等腰三角形的性质． 16．【答案】（1） 证明：由题意得：，， ， ， ， ， ； ， ， ， 四边形是平行四边形；     （2）8     （3）6      【分析】 （1）根据题意得，，再由含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质列出相应方程求解即可； （3）由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 由（1）得：， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：若四边形为矩形．则， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． ∴当时，四边形为矩形． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．C 2．B 3．【答案】（1）轮船在B处时与小岛M的距离为9海里     （2）① 9海里，南偏东； ②是直角三角形，证明如下： 由①得：是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识． （1）根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解； （2）①证明是等边三角形，即可求解；②由①得：是等边三角形，可得， 即可求解． (1) 小问详解： 解：据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：轮船在B处时与小岛M的距离为9海里； (2) 小问详解： 解：①如图， ∵， ∴， 又 ∵ ∴是等边三角形， ∴，， ∴轮船与小岛M的距离是9海里，小岛M在轮船的南偏东方向上． ② 略 4．【答案】（1）① 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°， ∴∠BAC−∠MAC＝∠MAN−∠MAC，即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）； ② ∵△BAM≌△CAN， ∴BM＝CN， ∴AB＝BC＝BM＋CM＝CN＋CM； （2）解：AB＝CN＋CM不成立，AB＝CN−CM， 由（1）可知，∠BAC＝∠MAN， ∴∠BAC＋∠MAC＝∠MAN＋∠MAC，即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴BM＝CN， ∴AB＝BC＝BM−CM＝CN−CM． 【分析】 （1）① 据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，证明△BAM≌△CAN； ② 根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （2）仿照（1）证明△BAM≌△CAN（SAS），得出BM＝CN，则可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据已知可得，根据得出，则，即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形的角平分线， ∴，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形 ∴ ∵AD是△ABC的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】 先根据等边三角形和角平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形外角和内角的关系求出，即可证明，从而得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了三角形的边长问题，掌握等腰三角形的性质以及判定定理、等边三角形的性质、角平分线的性质、等边对等角、三角形外角和内角的关系是解题的关键． 7．【答案】 【分析】 本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．先证明，得到，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和，最后与等边三角形内角相加就得到结果． 【详解】 解：是等边三角形， ， 在与中， 故答案为： ． 8．【答案】（1） 解：点N运动到点C， 理由：当点M运动到点C时，, ∵点N的速度为, ∴点N的运动路程为， ∵, ∴, ∴点N运动到点C．     （2）点、运动4秒时，可得到等边     （3）、运动的时间为3秒、秒、15秒或18秒      【分析】 本题考查的是等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． （1）求出点N运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程即可； （3）分两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得，, ∵, ∴是等边三角形， ∴， ∴时，为等边三角形， ∴, 解得，， 则点M，N运动4秒后，可得到等边； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当秒时，点N是的中点，则为直角三角形， 当秒时，点M是的中点，则为直角三角形， 综上所述，M，N运动的时间为4.8秒或3秒或15秒或18秒时，为直角三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、它不是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它是轴对称图形． 故选：D． 2．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形，会判断轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合逐一进行判断即可得出答案． 【详解】 解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接，利用轴对称的性质解答即可． 【详解】 解：连接， 点分别以、为对称轴，画出对称点、， ，， ，， ， ， 故选D． 【点睛】 本题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 4．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=（　　） A. 50° B. 35° C. 30° D. 40° 【答案】D 【详解】 ． 故选D． 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）下列四个企业的标志是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意可得，，从而得到，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】 解：四边形为长方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 8．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】21 【分析】 本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】 解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D. 垂直平分线段 【答案】C 【分析】 本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，线段垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．利用基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分，从而得出；根据已知条件不能判断． 【详解】 解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 没有条件能得出，故C错误，符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　　） A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm 【答案】C 【分析】 根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】 解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 故选：C． 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 4．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．如果，的周长为18，求的周长． 【答案】的周长是26 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，根据的周长为18得出，再求出三角形周长即可． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴的周长 ． 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求      （2）      【分析】 （1）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）先根据线段垂直平分数线性质和等腰三角形的性质得出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，掌握基本作图是解题的关键． 6．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：　　　　　（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】 本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查中垂线的性质，连接，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是12； 故答案为：12 8．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，求的度数和长． 【答案】， 【分析】 此题主要考查线段的垂直平分线及角平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出，，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）可知：， ∴， ∴垂直平分．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）根据，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求．      （2）四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知点为中点， ∵， ∴， 在中，，为边上中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 平行四边形是菱形．      【分析】 本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的性质得，则，进而可证四边形是平行四边形，再由，可得四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动（如图），现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】如图所示， 【分析】 本题主要考查角平分线和垂直平分线性质的应用，熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 要找到满足条件的点，需结合垂直平分线和角平分线的性质，确定点既在的垂直平分线上，又在的角平分线上，其交点即为所求． 【详解】 略 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（            ） A. （3，－2 ） B. （ －3，2） C. （－3，－2 ） D. （ 3，2） 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，−2）． 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）点关于轴的对称点是点，点关于轴的对称点是点，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查看点关于坐标轴对称的坐标特点，掌握关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 先求点A关于y轴的对称点B，再求点B关于x轴的对称点C的坐标即可． 【详解】 解：∵点关于y轴的对称点是B， ∴； ∵点关于x轴的对称点是C， ∴． 故选C． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在平面直角坐标系内点与点关于y轴对称，则的值为（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特征，掌握关于y轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数、纵坐标相等成为解题的关键． 先根据关于y轴对称点的坐标特征列二元一次方程组求得m、n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】 解：∵平面直角坐标系内点与点关于y轴对称， ∴ ，解得： ， ∴． 故选B． 4．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）已知的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为（   ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解． 【详解】∵AB//x轴，点A的坐标为(1,2)， ∴点B的横坐标为2， ∵AB=5， ∴点B在点A的左边时，横坐标为1−5=−4， 点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6， ∴点B的坐标为(−4,2)或(6,2)． 故选D. 【点睛】此题考查坐标与图形-轴对称，解题关键在于掌握运算法则. 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）点关于轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于y轴对称的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为： 【点睛】 本题考查轴对称性质和坐标系，理解轴对称的性质是解题关键． 6．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）如图，中，点．在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出点 ，使得的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）如图，即为所求；     （2） 如图，点即为所求； 【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）在直角坐标系中的位置如图所示： （1）作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． （2）作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】（1）如图，为所作，，，；     （2） 如图，为所作，，，． ． 【分析】 本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出各顶点的坐标，然后描点即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出各顶点的坐标，然后描点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）若点与点关于轴对称，则点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称与坐标变化，涉及平面直角坐标系中对称点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得答案． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 9．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于 y 轴的对称点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的特点，点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，据此即可求得答案． 【详解】 解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，三个顶点都在格点上． （1）画出关于y轴对称的，并写出的各顶点坐标； （2）在x轴上找一点P，使最小； 【答案】（1） 如图，即为所求作： ，，；     （2） 点即为所求； 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 11．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）在的方格中有三个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添涂方法共有　　　　　　种． 【答案】5 【分析】 本题主要考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据题意再添加一个正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可． 【详解】 解：当分别填涂编号为1、6、7、8、13的正方形，可以与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，因此这样的添涂方法共有5种．如图所示： 故答案为：5． 12．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，在正方形网格中，若点的坐标为，按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点和点的坐标； （2）作出关于轴的对称图形．（不用写作法） 【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示，、      （2） 如图，即为所求 【分析】 本题考查了坐标与图形－轴对称变换，根据题意得出坐标轴的位置是解本题的关键． （1）根据点A的坐标画出坐标系，写出点B和点C的坐标即可； （2）根据轴对称的性质分别作出点的对应点，连线即可． (1) 小问详解： 解：略． (2) 小问详解： 解：略． 13．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）已知点与点关于轴对称，则的立方根是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出和的值，再计算，最后求立方根即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ，， ， 的立方根为． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）已知点与关于轴对称，则　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查坐标与轴对称，代数式求值，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，， ∴； 故答案为：5 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）轴，      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据两点坐标特点，判断出对称轴，进而求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知：， 故对称轴为轴， ∵， ∴． 16．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是，则此时对应的虚像火焰顶部的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征．解题关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，S与关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】 解：由平面镜成像可知，S与关于y轴对称， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在平面直角坐标系内的位置如图． （1）分别写出点的坐标； （2）请在这个平面直角坐标系内画出，使与关于轴对称； （3）求的面积． 【答案】（1）     （2） 所作如图所示：      （3）5      【分析】 本题主要考查轴对称的性质及图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质及图形与坐标是解题的关键； （1）根据平面直角坐标系可直接进行求解； （2）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （3）根据割补法可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知：． 18．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）已知点和点关于x轴对称，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了代数式求值，平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，征熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 由题意得出，代入计算即可． 【详解】 解：由题意得， ∴， 故答案为： ． 19．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解一元一次方程． 根据关于轴对称的点的坐标特征，列方程求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 20．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（        ），（        ），（        ）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）；；      【分析】 （）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】 解：由图和题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 22．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是个单位长度． （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图㾗迹）． 【答案】（1），，；     （2） 如图， ∴即为所求；     （3） 如图， 此时点即为所求．      【分析】 本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平面直角坐标系即可求解； （）作，，关于轴对称点，，，然后连接即可； （）连接，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得，，，； (2) 小问详解： 解：作，，关于轴对称点，，，连接各点， (3) 小问详解： 解：连接，交轴于点，则点即为所求， 理由：∵与对称， ∴， ∴， ∴根据“两点之间线段最短”可得，的和最小． 23．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析,     （2）      【分析】 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； (2) 小问详解： 解：． 24．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）的面积是_____； （2）在坐标系中作出关于y轴对称的； 【答案】（1）     （2） 如图所示， 【分析】 本题考查了三角形的面积公式，坐标与图形，画轴对称图形； （1）根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，，． ∴,到的距离为，轴， ∴的面积是． (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）已知点和点关于轴对称，求的值 【答案】 【分析】 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a，b的值，代入代数式，可得答案． 【详解】 解：由点和点关于轴对称，得 ，， 解得，， 则． 26．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）画出及关于轴的对称图形； （2）直接写出、、的坐标； 【答案】（1） 如图所示，      （2），，      【分析】 本题考查了画轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特点； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 27．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标； （4）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，     （2） 如图所示，即为所求；      （3）     （4）4      【分析】 考查平面直角坐标系，关于坐标轴对称的点的特征，割补法求三角形面积，比较基础，注意三角形面积的求解方法． （1）根据A、C两点的坐标建立直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （4）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）中作图可得，； (4) 小问详解： 解：的面积． 28．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是1，的顶点都是格点． （1）在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）________； （3）在轴上有一点，使得最短，求出此时的最短距离． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形面积和勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）先找到点关于轴的对称点，连接与轴交于点，再根据对称性和勾股定理求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． (3) 小问详解： 如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 此时最短， 根据对称性，有， ， 根据勾股定理，， 故此时的最短距离为． 29．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）如图，中，点，，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求作：      （2）4      【分析】 此题主要考查了坐标与图形-轴对称变换. （1）利用轴对称性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法计算面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为. 30．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点B坐标为（﹣3，0），点C坐标为（﹣2，﹣2）； （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy； （2）画出△ABC分别关于x轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A关于y轴对称点的坐标． 【答案】（1）如图，平面直角坐标系即为所求作． （2）如图，△A1B1C1；即为所求作． （3）（5，4） 【分析】 （1）根据B，C两点坐标，分别确定横轴与纵轴的位置，即可作出平面直角坐标系； （2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再依次连接即可得出图形； （3）根据轴对称与坐标变换的性质，由点A的坐标即可得出结果． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵点A的坐标为（-5，4）， ∴点A关于y轴对称点的坐标（5，4）． 【点睛】 本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中的坐标特点及轴对称与坐标变换之间的规律． 31．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图所示： ；     （2）     （3）点即为所求： 【分析】 本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． (1) 小问详解： 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： (2) 小问详解： 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 32．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： （1）画出关于轴的对称图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）      【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，作轴对称图形，利用网格求三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用网格和轴对称的性质作出轴对称图形即可； （2）利用网格和割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（       ） A. 40° B. 45° C. 60° D. 70° 【答案】A 【分析】 根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数． 【详解】 解：∵AE∥BD， ∴∠CBD=∠E=35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA=70°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠CBA=70°， ∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°． 故选A． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°． 2．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 【详解】 解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 4．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， ∴， 在和中， ． ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 利用“”证明即可得到：． 【详解】 略 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，是一边上的高，，，，求的度数． 【答案】 【分析】 先由三角形高的定义得到，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，则． 【详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，证明从而求出的度数是解题的关键． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，中，，，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中等边对等角的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质证得和，再通过证得、，进而证得的周长等于，计算求解即可． 【详解】 解：和的角平分线交于点， 、， ， 、， 、， 的周长为， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAD＝34°，则∠C＝　　　　　　　　　°． 【答案】56° 【分析】AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据性质得到∠B=∠C，∠ADB=90°，即可求出答案. 【详解】解：∵AB=AC ∴△ABC为等腰三角形 ∴∠B=∠C ∵D是BC的中点 ∴AD也是△ABC的高 ∴∠ADB=90° ∵∠ADB+∠B﹢∠BAD=90°+∠C﹢34°=180° ∴∠C=56° 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定及性质. 8．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，中，，是高，，若，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 由题意得出和是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解决问题． 【详解】 解：∵中，，，， ∴，， ∵是高，， ∴， ∴． 9．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是　　　　　度． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 10．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 11．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，在中，A，，是的中点，于点．若，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得出，进而根据含角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】 解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 12．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“钻石三角形” （2）如图②，在 中，，，则           “钻石三角形”(填“是”或“不是”)．若是，则其“钻石分割线”必过顶点       (填“”“”或“”)；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵, ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”．     （2）是；      【分析】 本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）过点B作的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点B作的中线，     则， ∴与是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”， ∴其钻石分割线必过顶点． 13．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在中，是锐角，于点D，且，，，求的长． 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（依据1） ．（依据2） ， ． 又， ， ， ，（依据3） ， ． （1）上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么？ 依据1：                                                               依据2：                                                               依据3：                                                               （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 解：如图2，延长到点E，使，连接． …… 请根据小亮的思路写出完整的解题过程． 【答案】（1）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边     （2） 证明：如图2，延长到点E，使，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 垂直平分， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质． （1）在线段上取一点E，使，连接，证明垂直平分，推出，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可； （2）延长到点E，使，连接，推出，得到，根据，进一步计算即可求解． (1) 小问详解： 证明：在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等） ．（在同一三角形中，等边对等角） ， ． 又， ， ， ，（在同一三角形中，等角对等边） ， ． 故答案为：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边； (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D与B、C点不重合），连接，作，交线段于点E． （1）若，求证：； （2）在点D的运动过程中，的形状也在改变．请判断当∠BDA等于多少度时，是等腰三角形（直接写出结论，不用说明理由）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴；     （2）当或时，是等腰三角形      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质和三角形的判定证明即可； （2）分为三种情况：① 当时，，根据，得出此时不符合；② 当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③ 当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ① 当时，， ∵点D不与B、C重合，则， ∴此时不符合题意； ② 当时，即， ∵， ∴； ∴； ③ 当时，， ∴， ∴； 综上，当或时，是等腰三角形． 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　　　　　　　　　　　　． 【答案】100° 【详解】试题分析：∵100°＞90°，∴100°的角是顶角，故答案为100°． 考点：等腰三角形的性质． 16．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（）过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当t为多少时，四边形为菱形? （3）当t为多少时，四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：由题意得：，， ， ， ， ， ； ， ， ， 四边形是平行四边形；     （2）8     （3）6      【分析】 （1）根据题意得，，再由含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质列出相应方程求解即可； （3）由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 由（1）得：， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：若四边形为矩形．则， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． ∴当时，四边形为矩形． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，且满足，那么这个三角形一定是（       ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【分析】 根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形． 故选：B 【点睛】 本题考查的是非负数的性质以及等边三角形的判定，属较简单题目． 3．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，一轮船从A港口出发，以27海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得小岛M在北偏东的方向上．20分钟后，轮船到达B处，此时测得小岛M在北偏东的方向上． （1）求轮船在B处时与小岛M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经20分钟后到达C处． ①此时轮船与小岛M的距离是                  海里，小岛M在轮船的                  方向上． ②判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）轮船在B处时与小岛M的距离为9海里     （2）① 9海里，南偏东； ②是直角三角形，证明如下： 由①得：是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识． （1）根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解； （2）①证明是等边三角形，即可求解；②由①得：是等边三角形，可得， 即可求解． (1) 小问详解： 解：据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：轮船在B处时与小岛M的距离为9海里； (2) 小问详解： 解：①如图， ∵， ∴， 又 ∵ ∴是等边三角形， ∴，， ∴轮船与小岛M的距离是9海里，小岛M在轮船的南偏东方向上． ② 略 4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）（多选）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意点（不含端点B，C），连接AM，以A为边作等边△AMN，并连接CN， ①求证：△ABM≌△ACN； ②求证：AB＝CN+CM； （2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）① 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°， ∴∠BAC−∠MAC＝∠MAN−∠MAC，即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）； ② ∵△BAM≌△CAN， ∴BM＝CN， ∴AB＝BC＝BM＋CM＝CN＋CM； （2）解：AB＝CN＋CM不成立，AB＝CN−CM， 由（1）可知，∠BAC＝∠MAN， ∴∠BAC＋∠MAC＝∠MAN＋∠MAC，即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴BM＝CN， ∴AB＝BC＝BM−CM＝CN−CM． 【分析】 （1）① 据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，证明△BAM≌△CAN； ② 根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （2）仿照（1）证明△BAM≌△CAN（SAS），得出BM＝CN，则可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，是等边三角形的角平分线，是上的一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据已知可得，根据得出，则，即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形的角平分线， ∴，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）（多选）如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的角平分线，延长AC到E，使得CE=CD．求证：AD=ED 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形 ∴ ∵AD是△ABC的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】 先根据等边三角形和角平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形外角和内角的关系求出，即可证明，从而得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了三角形的边长问题，掌握等腰三角形的性质以及判定定理、等边三角形的性质、角平分线的性质、等边对等角、三角形外角和内角的关系是解题的关键． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，是等边三角形，若，，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．先证明，得到，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和，最后与等边三角形内角相加就得到结果． 【详解】 解：是等边三角形， ， 在与中， 故答案为： ． 8．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）当点运动到点时，点运动到什么位置?请通过计算说明． （2）点、运动几秒时，可得到等边？ （3）点、运动几秒时，可得到?请直接写出结果． 【答案】（1） 解：点N运动到点C， 理由：当点M运动到点C时，, ∵点N的速度为, ∴点N的运动路程为， ∵, ∴, ∴点N运动到点C．     （2）点、运动4秒时，可得到等边     （3）、运动的时间为3秒、秒、15秒或18秒      【分析】 本题考查的是等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． （1）求出点N运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程即可； （3）分两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得，, ∵, ∴是等边三角形， ∴， ∴时，为等边三角形， ∴, 解得，， 则点M，N运动4秒后，可得到等边； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当秒时，点N是的中点，则为直角三角形， 当秒时，点M是的中点，则为直角三角形， 综上所述，M，N运动的时间为4.8秒或3秒或15秒或18秒时，为直角三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=（　　） A. 50° B. 35° C. 30° D. 40° 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）下列四个企业的标志是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为　　　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D. 垂直平分线段 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　　） A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm 4．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．如果，的周长为18，求的周长． 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的度数． 6．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：　　　　　（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，求的度数和长． 9．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 10．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 11．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动（如图），现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置．（尺规作图，保留作图痕迹） 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（            ） A. （3，－2 ） B. （ －3，2） C. （－3，－2 ） D. （ 3，2） 2．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）点关于轴的对称点是点，点关于轴的对称点是点，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在平面直角坐标系内点与点关于y轴对称，则的值为（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 4．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）已知的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为（   ） A.  B. 或 C.  D. 或 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）点关于轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·宁夏银川某校·期中）如图，中，点．在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出点 ，使得的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 7．（25-26学年八上·宁夏一贯制学校·期中）在直角坐标系中的位置如图所示： （1）作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． （2）作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． 8．（25-26学年八上·宁夏银川永宁县第四中学·期中）若点与点关于轴对称，则点的坐标是　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于 y 轴的对称点坐标是　　　　　　． 10．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，三个顶点都在格点上． （1）画出关于y轴对称的，并写出的各顶点坐标； （2）在x轴上找一点P，使最小； 11．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）在的方格中有三个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添涂方法共有　　　　　　种． 12．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）如图，在正方形网格中，若点的坐标为，按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点和点的坐标； （2）作出关于轴的对称图形．（不用写作法） 13．（25-26学年八上·宁夏银川第二十六中学·期中）已知点与点关于轴对称，则的立方根是　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）已知点与关于轴对称，则　　　　　　． 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； 16．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是，则此时对应的虚像火焰顶部的坐标是　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在平面直角坐标系内的位置如图． （1）分别写出点的坐标； （2）请在这个平面直角坐标系内画出，使与关于轴对称； （3）求的面积． 18．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）已知点和点关于x轴对称，则的值为　　　　　． 19．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（        ），（        ），（        ）． 21．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·宁夏银川兴庆区银川第九中学·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是个单位长度． （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图㾗迹）． 23．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 24．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）的面积是_____； （2）在坐标系中作出关于y轴对称的； 25．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）已知点和点关于轴对称，求的值 26．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）画出及关于轴的对称图形； （2）直接写出、、的坐标； 27．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川兴庆区银川景博学校·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标； （4）求的面积． 28．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川北塔中学·期中）如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是1，的顶点都是格点． （1）在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）________； （3）在轴上有一点，使得最短，求出此时的最短距离． 29．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第二十中学·期中）如图，中，点，，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的． （2）求的面积． 30．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点B坐标为（﹣3，0），点C坐标为（﹣2，﹣2）； （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy； （2）画出△ABC分别关于x轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A关于y轴对称点的坐标． 31．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 32．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川一中·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： （1）画出关于轴的对称图形； （2）求的面积． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（       ） A. 40° B. 45° C. 60° D. 70° 2．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，是一边上的高，，，，求的度数． 6．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，中，，，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为　　　　　　． 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAD＝34°，则∠C＝　　　　　　　　　°． 8．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，中，，是高，，若，则　　　　　． 9．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是　　　　　度． 10．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 11．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，在中，A，，是的中点，于点．若，求的长． 12．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“钻石三角形” （2）如图②，在 中，，，则           “钻石三角形”(填“是”或“不是”)．若是，则其“钻石分割线”必过顶点       (填“”“”或“”)；若不是，请说明理由． 13．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在中，是锐角，于点D，且，，，求的长． 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（依据1） ．（依据2） ， ． 又， ， ， ，（依据3） ， ． （1）上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么？ 依据1：                                                               依据2：                                                               依据3：                                                               （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 解：如图2，延长到点E，使，连接． …… 请根据小亮的思路写出完整的解题过程． 14．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D与B、C点不重合），连接，作，交线段于点E． （1）若，求证：； （2）在点D的运动过程中，的形状也在改变．请判断当∠BDA等于多少度时，是等腰三角形（直接写出结论，不用说明理由）． 15．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（）过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当t为多少时，四边形为菱形? （3）当t为多少时，四边形为矩形． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·宁夏银川第三十八中学·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，且满足，那么这个三角形一定是（       ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 3．（25-26学年八上·宁夏固原第八中学·期中）如图，一轮船从A港口出发，以27海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得小岛M在北偏东的方向上．20分钟后，轮船到达B处，此时测得小岛M在北偏东的方向上． （1）求轮船在B处时与小岛M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经20分钟后到达C处． ①此时轮船与小岛M的距离是                  海里，小岛M在轮船的                  方向上． ②判断的形状，并说明理由． 4．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）（多选）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意点（不含端点B，C），连接AM，以A为边作等边△AMN，并连接CN， ①求证：△ABM≌△ACN； ②求证：AB＝CN+CM； （2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明． 5．（25-26学年八上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，是等边三角形的角平分线，是上的一点，且，求的度数． 6．（25-26学年八上·宁夏吴忠第三中学·期中）（多选）如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的角平分线，延长AC到E，使得CE=CD．求证：AD=ED 7．（25-26学年八上·宁夏回族自治区吴忠第四中学·期中）如图，是等边三角形，若，，，则　　　　　． 8．（25-26学年八上·宁夏回族自治区银川第十三中学·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）当点运动到点时，点运动到什么位置?请通过计算说明． （2）点、运动几秒时，可得到等边？ （3）点、运动几秒时，可得到?请直接写出结果． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $