专题04 二次函数（期中真题汇编，宁夏专用）九年级数学上学期

专题04 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．C 2．A 3．C 4．【答案】 【分析】 根据二次函数的定义即可求出m的值． 【详解】 根据题意可知且， ∴． 故答案为：-3． 【点睛】 本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 5．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数，根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．A 3．B 4．B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．A 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为， 故答案为：． 11．【答案】（1）新抛物线解析式为；     （2）点在这个新抛物线上．      【分析】 本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． (1) 小问详解： 解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 12．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】 解：将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 14．【答案】1 【分析】 根据二次函数关于极值的性质求解． 【详解】 解：，开口向下，时，取得最大值； 故答案为：1． 【点睛】 本题考查二次函数的解析式——顶点式；掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题的关键．将，两点代入抛物线求出和，即可得解． 【详解】 解：，是抛物线上的两点， ，， ， 故答案为：． 16．【答案】< 【分析】 本题考查了求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将两个点分别代入二次函数的解析式求出，的值，比较大小即可得． 【详解】 解：将点代入得：， 将点代入得：， ∵， ∴． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位， 平移后的抛物线顶点坐标为， 平移后抛物线的表达式． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，平移后解析式的变化规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 19．【答案】（或） 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，先对进行左移操作，再对整个函数进行下移操作来求解平移后的解析式． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位，得到； 再向下平移个单位，得到， 展开可得． 故答案为：（或）． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．C 9．C 10．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可． 【详解】 解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】（1）四，     （2）顶点坐标为，对称轴为直线x＝1      【分析】 （1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． (1) 小问详解： 嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； (2) 小问详解： ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点睛】 本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 12．【答案】（1）     （2）该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．      【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式， （1）由题意抛物线与轴交于两点，利用待定系数法求出的值，得出函数解析式即可； （2）利用配方法化为顶点式求得对称轴与顶点坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ ， 解得 ， ∴所求抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 13．【答案】（1）① ③ ；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：① ③ ． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 14．【答案】②③ ④  【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，二次函数与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数图象可得二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴可得，，由此二次函数对称轴直线为，可得，再根据二次函数图象与坐标轴的交点等知识进行判定即可求解． 【详解】 解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴，故① 错误； ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，故② 正确； ∵， ∴，故③ 正确； ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故④ 正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故⑤ 错误； 综上所述，正确的有②③ ④ ， 故答案为：②③ ④ ． 15．【答案】 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值大小．根据“开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大”进行求解即可． 【详解】 解：∵，开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 根据题意设出抛物线的顶点形式，将代入即可确定出解析式． 【详解】 解：根据题意设， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为． 故答案为： 【点睛】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线对应的函数表达式为， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故此抛物线对应的函数表达式为． 18．【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）当时，随的增大而增大．      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式转化以及二次函数的增减性与开口方向、对称轴的关系是解题的关键． （1）对于求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过将二次函数解析式化为顶点式来求解． （2）根据二次函数的开口方向和对称轴，确定随增大而增大的区间． (1) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵二次函数中，，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 19．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4）； （2）P点坐标为（1＋，3）或（1－，3）或（0，－3）或（2，－3）． 【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝6，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）把A（－1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3． ∵y＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴顶点坐标为（1，－4）． （2）∵A（－1，0）、B（3，0），∴AB＝4． 设P（x，y），则S△PAB＝AB•|y|＝2|y|＝6， ∴|y|＝3， ∴y＝±3． ①当y＝3时，x2－2x－3＝3，解得：x1＝1＋，x2＝1－， 此时P点坐标为（1＋，3）或（1－，3）； ②当y＝－3时，x2－2x－3＝－3，解得：x1＝0，x2＝2， 此时P点坐标为（0，－3）或（2，－3）． 综上所述，P点坐标为（1＋，3）或（1－，3）或（0，－3）或（2，－3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）设出点P的坐标，找出关于y的方程． 20．【答案】（1）     （2）当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的应用． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质求出函数最值． (1) 小问详解： 解：设与之间的函数关系式为，将、代入得， ， 解得， ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：依题意得，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，， 答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴函数图象的开口向上，对称轴是直线， ∵，且当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 22．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，熟悉函数与坐标轴的交点坐标的求法是解决问题的关键． （1）根据抛物线对称轴得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据，可得出点C的纵坐标，根据面积公式从而可以求得点C的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线， ∴， 将，代入抛物线得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ∵， 的纵坐标应为5， 把代入函数得， 解得，， 点C的坐标为或． 23．【答案】③ ⑤ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．① 根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；② 根据时的函数值即可判断；③ 根据对称轴是直线即可判断；④ 根据时的函数值即可判断；⑤ 根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】 解：① 由条件可知，对称轴，， ， ， 故① 错误； ②二次函数的图象过， ， ，故② 错误； 对称轴， ， ， 故③ 正确； ④ 由图象知，当时，， 即 故④ 错误； ⑤二次函数的图象过，， 一元二次方程的解是，， 故⑤ 正确． 故答案为：③ ⑤ ． 24．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式可得其顶点坐标； （2）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． (1) 小问详解： 解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将点，代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点的坐标为． (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 25．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，面积问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）令，，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）首先可求得所在的直线表达式为，再过点作轴，交于点，设点坐标为，则点坐标为，再由可得BCN面积的最大值． (1) 小问详解： 解：把， 代入，得 ，解得 ∴二次函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：∵，当，，则 ∴， ∴ ∴ (3) 小问详解： 设所在的直线表达式为， 把点，的坐标代入得 ，解得 所在的直线表达式为． 过点作轴，交于点， 设点坐标为，则点坐标为． ∴ ∴ ∵， ∴当时，． 把代入，得． 26．【答案】（1）     （2）点P的坐标为或；     （3）的周长最小为，点的坐标为      【分析】 （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，连接交直线于点，易得，则此时的周长最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：将两点代入可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4； ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴两点关于对称轴直线对称， 令，则， ∴， 连接交直线于点， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 27．【答案】（1）抛物线图象如图，      （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键． （1）再利用描点法画函数图象； （2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可， （3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴ ∵时，，当时，， ∴ ， 解得 ， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴当时， 当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，． 28．【答案】① ②② ① 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值与系数、、的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等特征，分别分析每个结论涉及的系数、、的符号及数量关系，再逐一判断结论的正确性． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为直线，即， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∵，，， ∴，故① 正确． ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故② 正确． 当时，，由图象知时，，即； 把代入得，故③ 错误． 当时，，由图象知时，，即， ∴不成立，故④ 错误． 故答案为：① ② ． 29．【答案】① ② ④ 【分析】 题目主要考查二次函数的性质，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握． 由，和坐标都满足函数，① 是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，② 也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③ 是错误的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④ 也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤ 是不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【详解】 解：① ∵，和坐标都满足函数， ∴① 是正确的； ② 从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此② 也是正确的； ③ 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③ 是错误的； ④ 函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④ 也是正确的； ⑤ 从图象上看，当或，函数值要大于当时的， 因此⑤ 是不正确的； 故答案为：① ② ④ 30．【答案】（1）     （2）存在，点的坐标为     （3）、、或      【分析】 （1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：将、代入中， 得： ，解得： ， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得： ，解得： ， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． (3) 小问详解： 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ② 当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③ 当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 31．【答案】（1）     （2），     （3）或或      【分析】 本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． (1) 小问详解： 解：把点、代入解析式， 得 ， 解得： ， 故抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． (3) 小问详解： 解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】 解：∵抛物线 与x轴有交点，即二次方程 有实数根． 其中 , , ． ∴． 解得 ． 故答案为 ． 8．【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点的对称点是点， ∴关于的方程的解是，． 故答案为：，． 9．【答案】或 【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 10．【答案】m≤1且m≠0． 【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围. 【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数， ∴m≠0， 由题意可知：△≥0， ∴4﹣4m≥0， ∴m≤1 ∴m≤1且m≠0 故答案为m≤1且m≠0． 【点睛】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键. 11．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】 解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 根据图像中二次函数与轴的交点，即可得到答案． 【详解】 解：由图象可得二次函数与轴的交点为， 故的解为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根，熟知上述概念是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 由二次函数求出A、两点坐标，再求出点C的坐标，即可求出、得值，然后根据面积公式即可得出答案． 【详解】 ， 令 ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标是解题的关键． 14．【答案】（1），     （2）     （3）对称轴是直线，则当时，随的增大而减小      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程以及不等式的关系，利用数形结合思想是关键． （1）方程的解就是二次函数与轴的交点的横坐标； （2）不等式的解就是使函数图象在轴下方部分自变量的范围； （3）根据函数图象首先求得对称轴，然后根据函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：根据函数图象可得：方程的两个根是，； (2) 小问详解： 解：根据函数图象可得：不等式的解集为 (3) 小问详解： 解：根据函数图象可得：对称轴是直线，则当时，随的增大而减小． 15．【答案】（1）画出二次函数图象如图：    （2）当x＜1或x＞3时，y的值大于0；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【分析】 （1）利用描点法画出二次函数图象； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的性质求解． 【详解】 （1）略 （2）当x＜1或x＞3时，y的值大于0； （3）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 16．【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0）；（2）27 【详解】试题分析：（1）令y=0，则有x2－2x－8＝0，解这个方程即可得A、B两点的横坐标，从而得到这两点的坐标； （2）求出抛物线顶点P坐标，再根据A、B的坐标，即可解决问题． 试题解析：（1）当y＝0时， x2－2x－8＝1， x１=4，x２=－2， ∴A（－2，0），Ｂ（4，0）， （2）y＝x2－2x－8＝（x－１）2－9， ∴P（1，－9）， ∴S＝AB×｜yＰ ｜=×[4-（-2）]×9=27. 17．【答案】 【分析】 此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 考点05 实际问题与二次函数 1．C 2．【答案】（1）； （2）能，理由： ∵货运卡车的宽为2.4m， ∴当时，， ， 这辆货运卡车能通过隧道． 【分析】 （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）根据题意可以求得当时的的值，然后与4.4比较即可解答本题． 【详解】 解：（1）由题意可得：顶点E的坐标为（0，6）， ∴设抛物线的解析式为：， 由已知可得：点的坐标为在此抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．【答案】（1）；（2）当时，最大利润是192元． 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 解：（1）设， 把与代入得： ，解得： ， 则； （3）由题意可得： 此时当时，最大，但又时，随的增大而增大， 当售价不低于22元且不高于28元时， 有，（元， 答：该饰品销售单价定为28元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型． 4．【答案】15秒时，最高点的高度是1135米. 【详解】试题分析：先求出二次函数h= -5t2+150t+10的顶点坐标，即可得到结果. ∵. 故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米. 考点：二次函数的应用 点评：二次函数的应用是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，尤其是综合题，一般难度较大，需多加注意. 5．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意当水位下降1米时，求解时对应的x的值，然后即可得到的长，即水面宽度． 【详解】 解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为， 设抛物线解析式， 将A点坐标代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴， 即水面宽度为米． 故答案为：． 6．【答案】（1）480、3360；     （2）水果在原售价的基础上应涨价5元．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每天的销售量某水果批发价每千克涨价的钱数，可求出每天的销售量，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可求出每天销售该种水果获得的总利润； （2）设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要使顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为（元，每天的销售量为（千克）， 每天共盈利（元） 故答案为：480，3360； (2) 小问详解： 解：设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到实惠， ． 答：水果批发价每千克应涨价5元． 7．【答案】（1）y关于x的函数表达式为；     （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分．      【分析】 （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解； （2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可． (1) 小问详解： 解：由表格得： ， 顶点坐标为， ， ， 解得：， ． (2) 小问详解： 解：由表格得 当时，， 原拱门中：（）； 新拱门中： 当时， 解得：，， （）， ， ． 故答案：． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键． 9．【答案】（1）件，每件服装应降价20元     （2）每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每件服装应降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据总利润单件利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每件服装应降价x元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； (2) 小问详解： 解：设每件衣服应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 10．【答案】（1）     （2）该男生在此项考试中得优秀      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 11．【答案】（1），     （2）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元      【分析】 本题考查了二次函数解析式的求法，最大值的求法，读懂题意列出函数关系式是解答关键. （1）设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为，求出它的解析式，再利用销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售来求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式来求解. (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为， 又图象过点、， ∴ ∴函数关系式为． ∵销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售， ∴． ∴每天的销售利润为， 即； (2) 小问详解： 解：由（1）得： ， ∵，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元． 12．【答案】（1）关于的函数表达式为：     （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令，则， 解得舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分．      【分析】 （1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）550元     （3）当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据总利润单件利润销售量，即可列出方程，即可求解； （3）设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，根据题意，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式， 将代入，得： ， 解得 ∴每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2) 小问详解： 解：由题意，得：， 整理得， 解得， 又∵，要尽快减少库存，且y随x增大而减小， ∴ 答：应将销售单价定为50元； (3) 小问详解： 解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元， 由题意，得：． ∵，， ∴当时，w取得最大值为6250， 答：当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 14．【答案】（1）     （2）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．      【分析】 （1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式； （2）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． (1) 小问详解： 设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点． 把这两点的坐标代入一次函数， 得 ， 解得 ， ∴一次函数的关系式为； (2) 小问详解： 根据题意，则， 整理得：； ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题． 15．【答案】（1）；     （2）销售单价应定为30元     （3）当销售单价为35元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大，最大利润是2 250元      【分析】 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）利用二次函数最值求法得出答案． (1) 小问详解： 解：   ， ∴销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； (3) 小问详解： ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 16．【答案】 【分析】 根据题意，得到．设抛物线的解析式为，确定抛物线的解析式为：．确定，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 故， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：， 根据题意，离开水面处，得， 故， 故， 当时，， 解得，， 故，， 故之间的距离为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】 解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意； D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】 解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如，逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A、当时，是二次函数，故本选项不符合题意； B、不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）若函数是二次函数，则m的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数的定义即可求出m的值． 【详解】 根据题意可知且， ∴． 故答案为：-3． 【点睛】 本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）如果是关于x的二次函数，则　　　　　　　 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数，根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为． 故选：A． 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了二次函数的顶点式的性质．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，写出答案即可． 【详解】 解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：A 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）由二次函数可知（       ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知抛物线经过（﹣2，），（0，），（）三点，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出（）关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】 解：∵，2>0， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小；（）关于直线的对称点是(，)， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答． 5．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（       ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 【答案】A 【分析】 根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】 解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2， 故选：A． 【点睛】 考点：二次函数图象与几何变换． 6．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】 解：的顶点坐标为， 故选：． 7．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）二次函数的图像的顶点坐标是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】 解：二次函数的图像的顶点坐标是． 故选：A 8．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（     ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】 解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）抛物线的顶点坐标为(   　　　) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． （1）请你写出这个新抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】（1）新抛物线解析式为；     （2）点在这个新抛物线上．      【分析】 本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． (1) 小问详解： 解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 12．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】 解：将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知点、在抛物线上，则、的大小关系为：　　　　　　　　　（填写“”“”或“”） 【答案】 【分析】 分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知二次函数，当　　　　　　时，取得最大值. 【答案】1 【分析】 根据二次函数关于极值的性质求解． 【详解】 解：，开口向下，时，取得最大值； 故答案为：1． 【点睛】 本题考查二次函数的解析式——顶点式；掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是　　　　　　　．（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题的关键．将，两点代入抛物线求出和，即可得解． 【详解】 解：，是抛物线上的两点， ，， ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知点，在二次函数的图象上，则　　　　　　　　　　．（填“”，“”或“”） 【答案】< 【分析】 本题考查了求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将两个点分别代入二次函数的解析式求出，的值，比较大小即可得． 【详解】 解：将点代入得：， 将点代入得：， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位， 平移后的抛物线顶点坐标为， 平移后抛物线的表达式． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，平移后解析式的变化规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 19．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是　　　　　　　． 【答案】（或） 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，先对进行左移操作，再对整个函数进行下移操作来求解平移后的解析式． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位，得到； 再向下平移个单位，得到， 展开可得． 故答案为：（或）． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：已知与， ∴过，过， ∴A、C选项不符合题意； 当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意； 当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 其图象的开口向上 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为7 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】 根据解析式，可判定抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】 解：∵中， ∴抛物线开口向下， 为顶点， 故函数的最大值为7， 对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故A，B，C错误，D正确， 故选：D． 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）对于二次函数的性质描述正确的是 （       ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系．根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】 A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意； B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意； C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意； D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】 解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，随的增大而增大；⑤．正确的说法有（     ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数的性质．根据抛物线开口向上得出，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出，根据图象与x轴的交点坐标得出方程的根，把代入求出，根据抛物线的对称轴和图象得出当时，y随x的增大而增大，根据图象和x轴有两个交点得出． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴，∴① 正确； ∵图象与x轴的交点坐标是，， ∴方程的根是，，∴② 正确； 把代入得：，∴③ 错误； ∵图象与x轴的交点坐标是，， ∴抛物线的对称轴为直线， 则，当1时，y随x的增大而增大，∴④ 正确； ∵图象和x轴有两个交点， ∴，∴⑤ 正确； 正确的说法有：① ② ④ ⑤ ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对① 进行判断；根据时，，可对② 进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③ 进行判断；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入可判断④ ；利用二次函数的最值则可对⑤ 进行判断． 【详解】 解：① ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故① 正确； ② 当时，， ∴， 故② 错误； ③ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同， ∴时，，即， 故③ 错误； ④ ∵， ∴， 将代入得， 故④ 正确； ⑤ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴， ∴（为实数且）， 故⑤ 正确． 综上，正确的有① ④ ⑤ ，一共3个． 故选：C． 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要综合考查一次函数图象与二次函数图象，解题的关键在于熟练掌握函数图象的性质．根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】 解：A. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； B. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； C. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故符合题意； D. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故不符合题意． 故选：C 9．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】 A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C.   ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是　　　　　　　　　　　（答案不唯一）． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可． 【详解】 解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 （1）嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 【答案】（1）四，     （2）顶点坐标为，对称轴为直线x＝1      【分析】 （1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． (1) 小问详解： 嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； (2) 小问详解： ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点睛】 本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）如图，抛物线与轴交于两点．    （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标． 【答案】（1）     （2）该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．      【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式， （1）由题意抛物线与轴交于两点，利用待定系数法求出的值，得出函数解析式即可； （2）利用配方法化为顶点式求得对称轴与顶点坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ ， 解得 ， ∴所求抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 13．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是          ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是          ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）① ③ ；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：① ③ ． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】②③ ④  【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，二次函数与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数图象可得二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴可得，，由此二次函数对称轴直线为，可得，再根据二次函数图象与坐标轴的交点等知识进行判定即可求解． 【详解】 解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴，故① 错误； ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，故② 正确； ∵， ∴，故③ 正确； ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故④ 正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故⑤ 错误； 综上所述，正确的有②③ ④ ， 故答案为：②③ ④ ． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是　　．（用“<”号连接） 【答案】 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值大小．根据“开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大”进行求解即可． 【详解】 解：∵，开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是　　　． 【答案】 【分析】 根据题意设出抛物线的顶点形式，将代入即可确定出解析式． 【详解】 解：根据题意设， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为． 故答案为： 【点睛】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 17．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线对应的函数表达式为， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故此抛物线对应的函数表达式为． 18．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知二次函数． （1）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当取何值时．随的增大而增大？ 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）当时，随的增大而增大．      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式转化以及二次函数的增减性与开口方向、对称轴的关系是解题的关键． （1）对于求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过将二次函数解析式化为顶点式来求解． （2）根据二次函数的开口方向和对称轴，确定随增大而增大的区间． (1) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵二次函数中，，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）设点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4）； （2）P点坐标为（1＋，3）或（1－，3）或（0，－3）或（2，－3）． 【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝6，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）把A（－1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3． ∵y＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴顶点坐标为（1，－4）． （2）∵A（－1，0）、B（3，0），∴AB＝4． 设P（x，y），则S△PAB＝AB•|y|＝2|y|＝6， ∴|y|＝3， ∴y＝±3． ①当y＝3时，x2－2x－3＝3，解得：x1＝1＋，x2＝1－， 此时P点坐标为（1＋，3）或（1－，3）； ②当y＝－3时，x2－2x－3＝－3，解得：x1＝0，x2＝2， 此时P点坐标为（0，－3）或（2，－3）． 综上所述，P点坐标为（1＋，3）或（1－，3）或（0，－3）或（2，－3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）设出点P的坐标，找出关于y的方程． 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的应用． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质求出函数最值． (1) 小问详解： 解：设与之间的函数关系式为，将、代入得， ， 解得， ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：依题意得，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，， 答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元． 21．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴函数图象的开口向上，对称轴是直线， ∵，且当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上方的抛物线上有一点C，且，求点C的坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，熟悉函数与坐标轴的交点坐标的求法是解决问题的关键． （1）根据抛物线对称轴得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据，可得出点C的纵坐标，根据面积公式从而可以求得点C的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线， ∴， 将，代入抛物线得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ∵， 的纵坐标应为5， 把代入函数得， 解得，， 点C的坐标为或． 23．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有　　　　　　　　． 【答案】③ ⑤ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．① 根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；② 根据时的函数值即可判断；③ 根据对称轴是直线即可判断；④ 根据时的函数值即可判断；⑤ 根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】 解：① 由条件可知，对称轴，， ， ， 故① 错误； ②二次函数的图象过， ， ，故② 错误； 对称轴， ， ， 故③ 正确； ④ 由图象知，当时，， 即 故④ 错误； ⑤二次函数的图象过，， 一元二次方程的解是，， 故⑤ 正确． 故答案为：③ ⑤ ． 24．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式可得其顶点坐标； （2）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． (1) 小问详解： 解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将点，代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点的坐标为． (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 25．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，已知抛物线与x轴交于， 两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），连接、，求面积的最大值； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，面积问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）令，，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）首先可求得所在的直线表达式为，再过点作轴，交于点，设点坐标为，则点坐标为，再由可得BCN面积的最大值． (1) 小问详解： 解：把， 代入，得 ，解得 ∴二次函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：∵，当，，则 ∴， ∴ ∴ (3) 小问详解： 设所在的直线表达式为， 把点，的坐标代入得 ，解得 所在的直线表达式为． 过点作轴，交于点， 设点坐标为，则点坐标为． ∴ ∴ ∵， ∴当时，． 把代入，得． 26．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使周长最小，若存在，求出点Q坐标和周长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）点P的坐标为或；     （3）的周长最小为，点的坐标为      【分析】 （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，连接交直线于点，易得，则此时的周长最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：将两点代入可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4； ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴两点关于对称轴直线对称， 令，则， ∴， 连接交直线于点， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 27．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）抛物线图象如图，      （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键． （1）再利用描点法画函数图象； （2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可， （3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴ ∵时，，当时，， ∴ ， 解得 ， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴当时， 当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，． 28．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是　　　　　　． 【答案】① ②② ① 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值与系数、、的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等特征，分别分析每个结论涉及的系数、、的符号及数量关系，再逐一判断结论的正确性． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为直线，即， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∵，，， ∴，故① 正确． ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故② 正确． 当时，，由图象知时，，即； 把代入得，故③ 错误． 当时，，由图象知时，，即， ∴不成立，故④ 错误． 故答案为：① ② ． 29．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 题目主要考查二次函数的性质，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握． 由，和坐标都满足函数，① 是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，② 也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③ 是错误的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④ 也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤ 是不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【详解】 解：① ∵，和坐标都满足函数， ∴① 是正确的； ② 从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此② 也是正确的； ③ 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③ 是错误的； ④ 函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④ 也是正确的； ⑤ 从图象上看，当或，函数值要大于当时的， 因此⑤ 是不正确的； 故答案为：① ② ④ 30．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）存在，点的坐标为     （3）、、或      【分析】 （1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：将、代入中， 得： ，解得： ， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得： ，解得： ， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． (3) 小问详解： 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ② 当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③ 当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 31．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2），     （3）或或      【分析】 本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． (1) 小问详解： 解：把点、代入解析式， 得 ， 解得： ， 故抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． (3) 小问详解： 解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】 解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 2．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）已知二次函数为常数，且的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：由函数图象可知，， ， ， 故A，B正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， 故C正确； 抛物线经过， 当时，，故D不正确． 故选：D． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）二次函数与的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　　 A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】利用△=b2-4ac≥0，且二次项系数不等于0求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数与y=kx2-8x+8的图象与x轴有交点， ∴△=b2-4ac=64-32k≥0，k≠0， 解得：k≤2且k≠0． 故选D． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键． 4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（       ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】C 【分析】 根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 【详解】 解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 故选：C． 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 5．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用和所对应的的值可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】 解：∵当时，，当时，， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）抛物线的部分图象如图所示，交x轴于，对称轴是直线，若，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，再结合函数图象即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵抛物线交x轴于，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴由图象可得，若，则x的取值范围是， 故选：B． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）若抛物线与轴有交点，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】 解：∵抛物线 与x轴有交点，即二次方程 有实数根． 其中 , , ． ∴． 解得 ． 故答案为 ． 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 4 3 0 … 则关于x的一元二次方程的根为　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点的对称点是点， ∴关于的方程的解是，． 故答案为：，． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是　　　　　． 【答案】或 【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 　　　　　． 【答案】m≤1且m≠0． 【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围. 【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数， ∴m≠0， 由题意可知：△≥0， ∴4﹣4m≥0， ∴m≤1 ∴m≤1且m≠0 故答案为m≤1且m≠0． 【点睛】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键. 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】 解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）抛物线如图所示，则一元二次方程的解为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据图像中二次函数与轴的交点，即可得到答案． 【详解】 解：由图象可得二次函数与轴的交点为， 故的解为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根，熟知上述概念是解题的关键． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为　　　　． 【答案】 【分析】 由二次函数求出A、两点坐标，再求出点C的坐标，即可求出、得值，然后根据面积公式即可得出答案． 【详解】 ， 令 ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标是解题的关键． 14．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程式的两个根． （2）写出不等式的解集． （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 【答案】（1），     （2）     （3）对称轴是直线，则当时，随的增大而减小      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程以及不等式的关系，利用数形结合思想是关键． （1）方程的解就是二次函数与轴的交点的横坐标； （2）不等式的解就是使函数图象在轴下方部分自变量的范围； （3）根据函数图象首先求得对称轴，然后根据函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：根据函数图象可得：方程的两个根是，； (2) 小问详解： 解：根据函数图象可得：不等式的解集为 (3) 小问详解： 解：根据函数图象可得：对称轴是直线，则当时，随的增大而减小． 15．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；    (2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？ (3)根图表说明：当x取何值时，y随着x的增大而增大？ 【答案】（1）画出二次函数图象如图：    （2）当x＜1或x＞3时，y的值大于0；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【分析】 （1）利用描点法画出二次函数图象； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的性质求解． 【详解】 （1）略 （2）当x＜1或x＞3时，y的值大于0； （3）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 16．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0）；（2）27 【详解】试题分析：（1）令y=0，则有x2－2x－8＝0，解这个方程即可得A、B两点的横坐标，从而得到这两点的坐标； （2）求出抛物线顶点P坐标，再根据A、B的坐标，即可解决问题． 试题解析：（1）当y＝0时， x2－2x－8＝1， x１=4，x２=－2， ∴A（－2，0），Ｂ（4，0）， （2）y＝x2－2x－8＝（x－１）2－9， ∴P（1，－9）， ∴S＝AB×｜yＰ ｜=×[4-（-2）]×9=27. 17．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，，，连接，点P在线段上，过点P作交于点Q，连接．设，的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由矩形的性质结合等腰直角三角形的判定和性质可得出，再根据平行线的性质结合等腰三角形的判定和性质即得出．求出底边上的高，即求点Q到的距离，结合三角形面积公式即得出y与x函数关系，最后由二次函数的图象和性质即得出答案． 【详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵是等腰直角三角形， ∴点Q到的距离，即为底边上的高， ∴， 即y与x函数关系为二次函数，且顶点为． 故选C． 【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式； （2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ 【答案】（1）； （2）能，理由： ∵货运卡车的宽为2.4m， ∴当时，， ， 这辆货运卡车能通过隧道． 【分析】 （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）根据题意可以求得当时的的值，然后与4.4比较即可解答本题． 【详解】 解：（1）由题意可得：顶点E的坐标为（0，6）， ∴设抛物线的解析式为：， 由已知可得：点的坐标为在此抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量（件）与每件饰品的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件． （1）请求出与的函数关系式； （2）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）；（2）当时，最大利润是192元． 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 解：（1）设， 把与代入得： ，解得： ， 则； （3）由题意可得： 此时当时，最大，但又时，随的增大而增大， 当售价不低于22元且不高于28元时， 有，（元， 答：该饰品销售单价定为28元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h= -5t2+150t+10表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 【答案】15秒时，最高点的高度是1135米. 【详解】试题分析：先求出二次函数h= -5t2+150t+10的顶点坐标，即可得到结果. ∵. 故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米. 考点：二次函数的应用 点评：二次函数的应用是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，尤其是综合题，一般难度较大，需多加注意. 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为　　　　　　米（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意当水位下降1米时，求解时对应的x的值，然后即可得到的长，即水面宽度． 【详解】 解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为， 设抛物线解析式， 将A点坐标代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴， 即水面宽度为米． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克， （1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为___________千克，每天共盈利___________元； （2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）480、3360；     （2）水果在原售价的基础上应涨价5元．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每天的销售量某水果批发价每千克涨价的钱数，可求出每天的销售量，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可求出每天销售该种水果获得的总利润； （2）设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要使顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为（元，每天的销售量为（千克）， 每天共盈利（元） 故答案为：480，3360； (2) 小问详解： 解：设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到实惠， ． 答：水果批发价每千克应涨价5元． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为；     （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分．      【分析】 （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． （1）拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 2 3 6 8 10 12 竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系． （2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解； （2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可． (1) 小问详解： 解：由表格得： ， 顶点坐标为， ， ， 解得：， ． (2) 小问详解： 解：由表格得 当时，， 原拱门中：（）； 新拱门中： 当时， 解得：，， （）， ， ． 故答案：． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五．一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）若设假设每件服装降价x元，则每天销量为_____：要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 【答案】（1）件，每件服装应降价20元     （2）每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每件服装应降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据总利润单件利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每件服装应降价x元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； (2) 小问详解： 解：设每件衣服应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 10．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】（1）     （2）该男生在此项考试中得优秀      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 11．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1），     （2）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元      【分析】 本题考查了二次函数解析式的求法，最大值的求法，读懂题意列出函数关系式是解答关键. （1）设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为，求出它的解析式，再利用销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售来求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式来求解. (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为， 又图象过点、， ∴ ∴函数关系式为． ∵销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售， ∴． ∴每天的销售利润为， 即； (2) 小问详解： 解：由（1）得： ， ∵，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． 【答案】（1）关于的函数表达式为：     （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令，则， 解得舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分．      【分析】 （1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）固原市新华百货连锁超市“双11”打算促销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图线段所示． （1）写出每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． （2）如果该超市每个星期想获得4000元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）当每件玩具的销售单价定为多少元时，该超市每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】（1）     （2）550元     （3）当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据总利润单件利润销售量，即可列出方程，即可求解； （3）设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，根据题意，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式， 将代入，得： ， 解得 ∴每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2) 小问详解： 解：由题意，得：， 整理得， 解得， 又∵，要尽快减少库存，且y随x增大而减小， ∴ 答：应将销售单价定为50元； (3) 小问详解： 解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元， 由题意，得：． ∵，， ∴当时，w取得最大值为6250， 答：当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．      【分析】 （1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式； （2）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． (1) 小问详解： 设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点． 把这两点的坐标代入一次函数， 得 ， 解得 ， ∴一次函数的关系式为； (2) 小问详解： 根据题意，则， 整理得：； ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题． 15．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；     （2）销售单价应定为30元     （3）当销售单价为35元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大，最大利润是2 250元      【分析】 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）利用二次函数最值求法得出答案． (1) 小问详解： 解：   ， ∴销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； (3) 小问详解： ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 16．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）如图是一个涵洞的截面，其涵洞边缘是拋物线．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 根据题意，得到．设抛物线的解析式为，确定抛物线的解析式为：．确定，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 故， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：， 根据题意，离开水面处，得， 故， 故， 当时，， 解得，， 故，， 故之间的距离为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）若函数是二次函数，则m的值为　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）如果是关于x的二次函数，则　　　　　　　 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）由二次函数可知（       ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知抛物线经过（﹣2，），（0，），（）三点，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（       ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 6．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）二次函数的图像的顶点坐标是（        ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（     ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）抛物线的顶点坐标为(   　　　) A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． （1）请你写出这个新抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在这个新抛物线上． 12．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知点、在抛物线上，则、的大小关系为：　　　　　　　　　（填写“”“”或“”） 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知二次函数，当　　　　　　时，取得最大值. 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是　　　　　　　．（用“”、“”或“”填空） 16．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知点，在二次函数的图象上，则　　　　　　　　　　．（填“”，“”或“”） 17．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是　　　　　　　． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 其图象的开口向上 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为7 D. 当时，随的增大而增大 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）对于二次函数的性质描述正确的是 （       ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，随的增大而增大；⑤．正确的说法有（     ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是　　　　　　　　　　　（答案不唯一）． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 （1）嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）如图，抛物线与轴交于两点．    （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标． 13．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是          ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是          ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有　　　　　　． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是　　．（用“<”号连接） 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是　　　． 17．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 18．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知二次函数． （1）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当取何值时．随的增大而增大？ 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）设点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 21．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　　　 ． 22．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、两点，对称轴是直线． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上方的抛物线上有一点C，且，求点C的坐标． 23．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 25．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，已知抛物线与x轴交于， 两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），连接、，求面积的最大值； 26．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使周长最小，若存在，求出点Q坐标和周长，若不存在，请说明理由． 27．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 28．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是　　　　　　． 29．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有　　　　　　． 30．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 31．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D. 或 2．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）已知二次函数为常数，且的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）二次函数与的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　　 A.  B. 且 C.  D. 且 4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（       ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 5．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）抛物线的部分图象如图所示，交x轴于，对称轴是直线，若，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）若抛物线与轴有交点，则的取值范围为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 4 3 0 … 则关于x的一元二次方程的根为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是　　　　　． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为　　　　　 12．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）抛物线如图所示，则一元二次方程的解为　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为　　　　． 14．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程式的两个根． （2）写出不等式的解集． （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 15．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；    (2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？ (3)根图表说明：当x取何值时，y随着x的增大而增大？ 16．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 17．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是　　　　　　　． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，，，连接，点P在线段上，过点P作交于点Q，连接．设，的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式； （2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量（件）与每件饰品的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件． （1）请求出与的函数关系式； （2）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大?最大利润是多少? 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h= -5t2+150t+10表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为　　　　　　米（结果保留根号） 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克， （1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为___________千克，每天共盈利___________元； （2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？ 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． （1）拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 2 3 6 8 10 12 竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系． （2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五．一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）若设假设每件服装降价x元，则每天销量为_____：要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 10．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 11．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）固原市新华百货连锁超市“双11”打算促销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图线段所示． （1）写出每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． （2）如果该超市每个星期想获得4000元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）当每件玩具的销售单价定为多少元时，该超市每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 15．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 16．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）如图是一个涵洞的截面，其涵洞边缘是拋物线．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是　　　　　　　　米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $