专题01 四边形（期中真题汇编，宁夏专用）九年级数学上学期

专题01 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）矩形中，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等即可求解，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及其应用． 【详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 2．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）下列命题中，正确的个数是（　　） ①若三条线段的比为1：1：，则它们组成一个等腰三角形； ②两条对角线相等的平行四边形是矩形； ③对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ④两个邻角相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 利用等腰三角形的判定及矩形的判定方法分别判断后即可确定答案． 【详解】 解：① 根据三条线段的比为1：1：，则可得到该三角形的两边相等，所以它们组成一个等腰三角形，正确； ② 两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确； ③ 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确； ④ 两个邻角相等的平行四边形是矩形，正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定及矩形的判定方法，属于基础题，比较简单． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，矩形的两条对角线的一个交角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边为（ ） A. 12cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 【答案】C 【详解】 解：如图：在矩形ABCD中，AC=BD， ∵AC+BD=24， ∴AC=BD=12， ∵∠AOB=60°， 在矩形ABCD中，OA=OB， ∴是等边三角形， ∴OA=OB=AB=6， 故选：C． 4．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】 根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 5．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则的长是（   ）． A. 4 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明为等边三角形是解题关键．根据矩形的性质结合题意可证明为等边三角形，即得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选D． 6．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】 解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 7．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）直角三角形斜边上的中线长为，则斜边为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】 解：∵直角三角形斜边上的中线长为， ∴斜边长为． 故答案是：． 8．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．证明是等边三角形，则，进而可求． 【详解】 解：∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． (1) 小问详解： 解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． (2) 小问详解： 在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，E是BC的中点， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】 本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形；     （2）10      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 12．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，且，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意得到的长，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是　　　　　． 【答案】 【分析】 由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 14．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形．     （2）      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 矩形的面积． 15．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长和的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴；     （2）的长为，的面积      【分析】 本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是掌握图形翻折前后边长和角度不变． （1）根据矩形的性质可知，，可得，再由图形折叠的性质，可得，由此可得，即可证明； （2）设边长，则可得，在中使用勾股定理求解即可，再根据三角形的面积公式计算面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即，解得， ∴的长为； ∵是由折叠得到， ∴，， ∴． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）下列命题是假命题的是（　） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形 【答案】C 【分析】 根据矩形、菱形的判定定理即可作出判断． 【详解】 解：A、四个角相等的四边形，则每个角均为，是矩形，故为真命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故为真命题，不符合题意； C、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题为假命题，符合题意； D、对角线垂直的平四边形是菱形，故为真命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形、菱形的判定定理，正确理解定理是关键． 【详解】 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）下列说法不正确的是（     ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 菱形的中点四边形是矩形 【答案】B 【分析】 本题主要考查了矩形、菱形的定义与性质等知识点，掌握矩形和菱形的相关知识是解题的关键． 根据矩形、菱形的定义与性质逐项判断即可． 【详解】 解：A．四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意； B．由矩形的对角线相等但不一定互相垂直（仅正方形的对角线互相垂直），故B选项“矩形的对角线互相垂直且相等”不正确，符合题意． C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； D．菱形的中点四边形是矩形（因菱形的对角线互相垂直，中点四边形对边平行且邻边垂直），正确，不符合题意． 故选B． 3．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 由菱形ABCD性质得AB=BC结合∠ABC=60°，则ΔABC为等边三角形AB=BC=AC=4 由菱形的性质有DO=BO，AO=CO=AC=2，且AO⊥BO，得RtΔAOB，由勾股定理得OB=． 【详解】 设AC与BD交于O，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°， 则ΔABC为等边三角形， AB=BC=AC=4， 由菱形的性质有DO=BO，AO=CO=AC=2，且AO⊥BO， 在RtΔAOB中， 由勾股定理得OB=， BD=2OB=4， 故选择：B． 【点睛】 本题考查菱形的对角线长问题，掌握菱形的性质，结合∠ABC=60°，会证等边三角形，会用勾股定理解决菱形对角线长问题． 4．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（       ） A.  B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【分析】 利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】 解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 5．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，且求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵， ， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】 本题主要考查了菱形的判定．根据，可得，即可求证． 【详解】 略 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）菱形的两条对角线的和为26，则菱形的面积S与一对角线的长x之间的函数关系式为　　　　　　. 【答案】S=−x2+13x 【分析】表示另一对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式整理即可得解． 【详解】∵菱形的两条对角线的和为26，一对角线的长x， ∴菱形的另一对角线的长为26−x， ∴菱形的面积S=x(26−x)=−x2+13x， 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质. 7．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）菱形的两对条角线长分别为10cm、24cm，则它的周长为　　　　　　cm． 【答案】52 【分析】 根据菱形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】 ∵四边形ABCD为菱形， ∴AO=AC=5cm，BO=BD=12cm，且AC⊥BD， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm）， ∴菱形的周长=4AB=52cm， 故答案为：52. 【点睛】 本题考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线垂直且互相平分是关键. 8．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形为　　　形． 【答案】菱 【分析】 作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 9．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【分析】 此题考查菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．根据线段垂直平分线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和菱形的判定解答即可． 【详解】 略 10．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】 过点作于E，于F，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 12．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 【分析】 先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】 略 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接，． （1）由②得与的数量关系是______； （2）由③作图过程得到是______线； （3）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）     （2）角平分线     （3） 根据步骤④ 可得， 根据步骤② 可得，且为的角平分线， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形．      【分析】 本题考查了尺规作图，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系． （1）根据圆的半径相等可知； （2）根据描述可知为的角平分线； （3）根据作图过程得到，，为的角平分线，得到等角与等边，证明即可． (1) 小问详解： 解：由步骤② “以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点”，根据圆的半径相等可知， 故与的数量关系是． (2) 小问详解： 步骤③ 的作图方法是“分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线”， 这是角平分线的尺规作图方法， 故为的角平分线． (3) 小问详解： 略 14．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意知，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴；     （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵在中，D为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形；      【分析】 （1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，是矩形的一条对角线，延长至点E，使得，延长至点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，即可得证； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，．                                                      ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形．                                         ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形．     （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．                                                     ∴是矩形．      【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第时，点P的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是找出点P运动规律．先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】 解：的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点每运动8秒回到点位置， 点移动到第秒时，落在中点，即点， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB长是3，则PM +PB的最小值为 　　　　　　　． 【答案】． 【详解】 如图，连接BD，交AC于点P′，连接BE， 四边形ABCD是菱形， AB=AD，，BE=DE 是等边三角形，点D是点B关于AC的对称点，则BP′=DP′， 当P于P′重合时PM+PB的值最小，最小值为MD， M是AB的中点，是等边三角形， DM⊥AB， 在Rt△DMB中，BD=3，BM=1.5，根据勾股定理可得DM=， 即PM +PB的最小值为． 故答案为：． 考点：菱形点的性质；轴对称的性质；勾股定理． 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，证明四边形是菱形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是菱形，从而可得出，再利用勾股定理求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】 解：∵将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，， ∴，， ∵为重合的对角线， ∴平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：（负值舍去）， 又， ∴， 解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 连接BD，利用正方形的面积等于对角线的积的一半计算即可． 【详解】 如图，连接BD，     正方形ABCD中，，则BD=AC=2， 正方形的面积为=， 故选B． 2．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）在平面中，下列说法正确的是（       ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】根据平行四边形,矩形,菱形和筝形的定义即可解题. 【详解】解：A. 四边相等的四边形是菱形,正确        B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此选项错误, C. 四个角相等的四边形是矩形, 故此选项错误, D. 对角线互相垂直的四边形是菱形, 故此选项错误, 综上,选择A. 【点睛】本题考查了平行四边形和特殊的平行四边形的定义,属于简单题,熟悉特殊的平行四边形的定义是解题关键. 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 任意两个矩形相似 B. 任意两个菱形相似 C. 任意两个正方形相似 D. 以上说法都正确 【答案】C 【分析】 本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例．根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 【详解】 ∵ 相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为与的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为的菱形与一个内角为的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 4．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）下列说法：①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相垂直平分；③矩形的对角线相等，并且互相平分；④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，其中正确的是（        ） A. ①，② B. ①，②，③ C. ②，③，④ D. ①，②，③，④ 【答案】D 【分析】 根据平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】 ① 平行四边形的对角线互相平分，正确； ② 菱形的对角线互相垂直平分，正确； ③ 矩形的对角线相等，并且互相平分，正确； ④ 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，正确． 所以① ② ③ ④ 都正确． 故选D． 【点睛】 本题主要考查特殊四边形对角线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为(     ) A. 2 B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【详解】试题解析：∵∠C=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∵点P的速度是每秒cm，点Q的速度是每秒1cm， ∴BP=tcm，BQ=（6-t）cm， ∵四边形QPBP′为菱形， ∴t×=， 解得t=2． 故选A． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.菱形的性质． 7．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）下列说法中不正确的是（     ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直平分 D. 正方形是特殊的矩形 【答案】C 【分析】 本题考查了正方形、菱形、平行四边形和矩形的性质，熟练运用菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定是本题的关键．利用菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定可求解． 【详解】 解：A、平行四边形的对角线互相平分，选项说法正确； B、四边相等的四边形是菱形，选项说法正确； C、矩形的对角线互相平分且相等，选项说法错误； D、正方形是特殊的矩形，选项说法正确； 故选：C． 8．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（   ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 由题意易证四边形为矩形，得出，．又易证为等腰直角三角形，得出，再结合勾股定理即得出，可确定④ 正确；根据正方形为轴对称图形，对角线也为对称轴，即得出，从而得出，可确定① 正确；由题意易证，得出，可确定② 正确；根据，结合对顶角相等可求出，即得出，可判断③ 正确． 【详解】 解：如图，延长交于点G，延长交于点H， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，故④ 正确； ∵四边形为正方形，即为轴对称图形， ∴， ∴，故① 正确； ∵为正方形对角线，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，故② 正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故③ 正确． 综上可知正确的为① ② ③ ④ ． 故选D． 【点睛】 本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的　　　　　　（填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】 本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】 解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③ ④ ，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 10．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）已知中，平分，交于E，交于F． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1） 解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形．     （2）时，四边形是正方形．      【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 11．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）正方形的面积是4，则它的对角线长是　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、勾股定理质、二次根式的性质．熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．根据正方形的性质可求得其边长，再根据勾股定理可求得其对角线的长． 【详解】 解：∵正方形的面积是4， ∴它的边长是， 根据勾股定理得到则它的对角线长． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】 连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为12， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长度． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由已知可得，由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵正方形的边长为12，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 14．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为　　　　　　． 【答案】16 【分析】 根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可． 【详解】 解：∵B=60°，AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=4 ∴正方形ACEF的周长=4×4=16． 故答案为16． 【点睛】 题考查菱形与正方形的性，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；     （2）四边形是菱形，理由见解析；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 16．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）综合与实践 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； 【初步探究】 （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是 　     　 ；与的位置关系为 　     　 ；，，三者的数量关系为 　     　 ； 【探索发现】 （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，，则的长为 　     　 ． 【答案】（1）； （2）， 理由：∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴； （3）3 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，，； （2） 略 （3）在正方形中，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．【答案】厘米 【分析】 本题考查直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】 解：∵直角三角形斜边上的中线长为， ∴斜边长为． 故答案是：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．证明是等边三角形，则，进而可求． 【详解】 解：∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． (1) 小问详解： 解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． (2) 小问详解： 在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，E是BC的中点， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】 本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 11．【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形；     （2）10      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 12．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意得到的长，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 14．【答案】（1） 四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形．     （2）      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 矩形的面积． 15．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴；     （2）的长为，的面积      【分析】 本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是掌握图形翻折前后边长和角度不变． （1）根据矩形的性质可知，，可得，再由图形折叠的性质，可得，由此可得，即可证明； （2）设边长，则可得，在中使用勾股定理求解即可，再根据三角形的面积公式计算面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即，解得， ∴的长为； ∵是由折叠得到， ∴，， ∴． 考点02 菱形 1．C 2．B 3．B 4．A 5．【答案】证明：∵， ， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】 本题主要考查了菱形的判定．根据，可得，即可求证． 【详解】 略 6．【答案】S=−x2+13x 【分析】表示另一对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式整理即可得解． 【详解】∵菱形的两条对角线的和为26，一对角线的长x， ∴菱形的另一对角线的长为26−x， ∴菱形的面积S=x(26−x)=−x2+13x， 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质. 7．【答案】52 【分析】 根据菱形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】 ∵四边形ABCD为菱形， ∴AO=AC=5cm，BO=BD=12cm，且AC⊥BD， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm）， ∴菱形的周长=4AB=52cm， 故答案为：52. 【点睛】 本题考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线垂直且互相平分是关键. 8．【答案】菱 【分析】 作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 9．【答案】证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【分析】 此题考查菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．根据线段垂直平分线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和菱形的判定解答即可． 【详解】 略 10．【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】 过点作于E，于F，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 11．【答案】5 【分析】 根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 12．【答案】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 【分析】 先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】 略 13．【答案】（1）     （2）角平分线     （3） 根据步骤④ 可得， 根据步骤② 可得，且为的角平分线， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形．      【分析】 本题考查了尺规作图，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系． （1）根据圆的半径相等可知； （2）根据描述可知为的角平分线； （3）根据作图过程得到，，为的角平分线，得到等角与等边，证明即可． (1) 小问详解： 解：由步骤② “以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点”，根据圆的半径相等可知， 故与的数量关系是． (2) 小问详解： 步骤③ 的作图方法是“分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线”， 这是角平分线的尺规作图方法， 故为的角平分线． (3) 小问详解： 略 14．【答案】（1） 证明：由题意知，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴；     （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵在中，D为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形；      【分析】 （1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．【答案】（1） 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，即可得证； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 16．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，．                                                      ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形．                                         ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形．     （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．                                                     ∴是矩形．      【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是找出点P运动规律．先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】 解：的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点每运动8秒回到点位置， 点移动到第秒时，落在中点，即点， 故答案为：． 18．【答案】． 【详解】 如图，连接BD，交AC于点P′，连接BE， 四边形ABCD是菱形， AB=AD，，BE=DE 是等边三角形，点D是点B关于AC的对称点，则BP′=DP′， 当P于P′重合时PM+PB的值最小，最小值为MD， M是AB的中点，是等边三角形， DM⊥AB， 在Rt△DMB中，BD=3，BM=1.5，根据勾股定理可得DM=， 即PM +PB的最小值为． 故答案为：． 考点：菱形点的性质；轴对称的性质；勾股定理． 19．【答案】 【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，证明四边形是菱形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是菱形，从而可得出，再利用勾股定理求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】 解：∵将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，， ∴，， ∵为重合的对角线， ∴平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：（负值舍去）， 又， ∴， 解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 考点03 正方形 1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．【答案】对 【分析】 本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】 解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③ ④ ，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 10．【答案】（1） 解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形．     （2）时，四边形是正方形．      【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 11．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、勾股定理质、二次根式的性质．熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．根据正方形的性质可求得其边长，再根据勾股定理可求得其对角线的长． 【详解】 解：∵正方形的面积是4， ∴它的边长是， 根据勾股定理得到则它的对角线长． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】 连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为12， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由已知可得，由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵正方形的边长为12，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 14．【答案】16 【分析】 根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可． 【详解】 解：∵B=60°，AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=4 ∴正方形ACEF的周长=4×4=16． 故答案为16． 【点睛】 题考查菱形与正方形的性，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．【答案】（1）见解析；     （2）四边形是菱形，理由见解析；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 16．【答案】（1）； （2）， 理由：∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴； （3）3 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，，； （2） 略 （3）在正方形中，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）矩形中，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）下列命题中，正确的个数是（　　） ①若三条线段的比为1：1：，则它们组成一个等腰三角形； ②两条对角线相等的平行四边形是矩形； ③对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ④两个邻角相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，矩形的两条对角线的一个交角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边为（ ） A. 12cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 4．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则的长是（   ）． A. 4 B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）直角三角形斜边上的中线长为，则斜边为　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 12．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，且，则　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是　　　　　． 14．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 15．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长和的面积． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）下列命题是假命题的是（　） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）下列说法不正确的是（     ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 菱形的中点四边形是矩形 3．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 4．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（       ） A.  B. 4 C. 7 D. 14 5．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，且求证：四边形是菱形． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）菱形的两条对角线的和为26，则菱形的面积S与一对角线的长x之间的函数关系式为　　　　　　. 7．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）菱形的两对条角线长分别为10cm、24cm，则它的周长为　　　　　　cm． 8．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形为　　　形． 9．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 10．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为　　　　　　 11．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接，． （1）由②得与的数量关系是______； （2）由③作图过程得到是______线； （3）求证：四边形是菱形． 14．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，是矩形的一条对角线，延长至点E，使得，延长至点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 17．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第时，点P的坐标为　　　　　． 18．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB长是3，则PM +PB的最小值为 　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积为　　　　　　　． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ） A. 4 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）在平面中，下列说法正确的是（       ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 任意两个矩形相似 B. 任意两个菱形相似 C. 任意两个正方形相似 D. 以上说法都正确 4．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）下列说法：①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相垂直平分；③矩形的对角线相等，并且互相平分；④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，其中正确的是（        ） A. ①，② B. ①，②，③ C. ②，③，④ D. ①，②，③，④ 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为(     ) A. 2 B.  C. 2 D. 4 7．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）下列说法中不正确的是（     ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直平分 D. 正方形是特殊的矩形 8．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（   ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的　　　　　　（填“对”或“不对”） 10．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）已知中，平分，交于E，交于F． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 11．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）正方形的面积是4，则它的对角线长是　　　　　　　　　　　　　　　 12．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长度． 14．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 16．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）综合与实践 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； 【初步探究】 （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是 　     　 ；与的位置关系为 　     　 ；，，三者的数量关系为 　     　 ； 【探索发现】 （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，，则的长为 　     　 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $