专题02 一元二次方程（期中真题汇编，宁夏专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）下列是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 1、2、 B. 1、2、4 C. 1、、4 D. 1、、 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（     ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 4．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（     ） A. 0 B. 2 C.  D. 2或 6．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（     ） A.  B. 2 021 C.  D. 2 022 13．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为　　　　　． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）一元二次方程化为一般形式后的二次项系数为　　　　　　　　　　，一次项系数为　　　　　　　　　　，常数项为　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）方程是一元二次方程，则　　　　　　. 19．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为　　　　　　　. 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）已知是方程的一个根，则实数c的值是 　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）若a是方程的一个根，则式子的值为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）若一元二次方程的常数项为0，则的值为　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为　　　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）用配方法解方程，配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）将方程配方，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）一元二次方程配方为，则k的值是　　　　　　． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）解方程． 7．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ （3）[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 8．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）用适当的方法解下列方程． 9．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）小明在学习了配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下： 解： ． （1）上述解方程的过程中，小明从第______步开始出现错误（填序号），这一步的依据是______． （2）请正确用配方法解方程． 10．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． （1）请用含x的代数式表示的长             （直接写出结果）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） （3）求出山羊活动范围面积S的最大值． 11．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为-3． 根据以上材料，解答下列问题： （1）当_____时，的值最大，且最大值为_____； （2）用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值； （3）求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A.  B.  C. 且 D. 且 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为（    ） A. 且 B.  C. 且 D.  4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A.  B. 且 C.  D. 且 6．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A. 且 B.  C. 且 D.  7．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（       ） A.  B.  C.  D. 7或8 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知：关于x的方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0． （1）求证：无论k取何值，方程都有实根． （2）若x=-1是该方程的一个根，求k的值； 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 14．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）一元二次方程 的根的情况是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）解方程：． 17．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）（多选）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 18．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）定义运算：．例如：，则方程的根的情况为　　　　　　　　 19．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是　　　　　． 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 4．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）关于的一元二次方程的一个根地，则另一个根是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(       ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）解方程： （1）； （2）． 7．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 8．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）解方程 （1）； （2）； （3）． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）解方程： （1）； （2）． 10．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知实数满足，则的值为　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）一元二次方程的根是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）等腰的两边长恰为方程的两实数根，则等腰的周长为　　　　　　 16．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）解方程 （1）． （2） 17．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）解下列方程 （1） （2） 18．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 20．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） 21．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）已知关于一元二次方程． （1）若，求此方程的解； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 22．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）解方程 （1） （2） 23．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）用适当方法解下列方程． （1）； （2） 24．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）已知，的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 25．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）计算 （1） （2） 26．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）解一元二次方程： （1）（2x+1）2＝9； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）x2﹣6x+12＝0； （4）3x（2x+1）＝4x+2． 27．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）选择适当的方法解方程． （1）； （2）． 28．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．   …第一步 移项，合并同类项，得．   …第二步 系数化为1，得．   …第三步 任务： （1）小明的解法从第______步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 29．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）解方程 （1）； （2）； （3）（配方法）． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）已知方程的两个根分别是，，则的值是（       ） A. 18 B. 5 C. 20 D. 21 2．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）关于x的方程有两个根为、，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）若关于的一元二次方程的两个根是，则　　　　　． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 6．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围． （2）当时，求另一个根的值． 9．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知是一元二次方程的两个根，则　　　　　　． 10．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知一元二次方程的两根为m，n，则　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　　　　 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为，求另一个实数根； （3）若方程的两个实数根，满足，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点01 一元二次方程的概念 1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 11．A 12．C 13．B 14．【答案】 【分析】 将代入方程求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根, ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键． 15．【答案】 【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可． 【详解】把代入一元二次方程得， 所以. 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键． 16．【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握概念是解题关键． 需将方程化为标准形式，再确定各项系数． 【详解】 解：由原方程，移项得， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 17．【答案】3 【分析】 根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】 解：由题意可知，且， 解得：，且， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0． 18．【答案】-2 【分析】根据一元二次方程的定义得到：=2且m-2≠0，由此可以求得m的值. 【详解】解：由题意可得：=2且m-2≠0 解得： 故答案为：-2. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，注意一元二次方程的二次项系数不能为0是本题的解题关键. 19．【答案】 【分析】 把代入方程即可得到答案. 【详解】 解：把代入方程， 得4+6+m+1=0， 解得． 故答案为: 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解,掌握一元二次方程的解的含义是解本题的关键. 20．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】 解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的解和代数式求值，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查方程根的定义和代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由于 是方程 的一个根，代入方程可得 ，然后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 24．【答案】1或 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即，同时常数项为0，即，求解的值． 【详解】 解：∵一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得 或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ， 即当时，；当时，， 故的值为1或； 故答案为1或． 25．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 26．【答案】1 【分析】 把代入，然后解一次方程即可． 【详解】 解：把代入得：，解得：， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 27．【答案】11 【分析】 本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，将代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键． 【详解】 解：将代入方程，得：， 解得：． 当时，原方程为， 解得：， ∵， ∴此等腰三角形的三边为5、5、1， ∴此等腰三角形的周长为：． 故答案为：11． 考点02 配方法 1．C 2．D 3．A 4．A 5．【答案】１ 【分析】 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】 解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 7．【答案】（1）4     （2）12     （3）25      【分析】 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． (1) 小问详解： 解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． (2) 小问详解： 解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 8．【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解决即可． 【详解】 解： ， ． 9．【答案】（1）② ；等式的性质     （2） 解：， 移项，得 ， ， 配方，得，即， ∴， ∴，．      【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． (1) 小问详解： 解：上述过程中，从第②步开始出现了错误， 方程再将二次项系数化为1时，等号两边同时乘以，而等号右边没有乘以， 则这一步的依据是：等式的性质； (2) 小问详解： 略 10．【答案】（1）     （2）     （3）山羊活动范围面积S的最大值是平方米      【分析】 此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． (1) 小问详解： 依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 依题意得：， ∴， ∴； (3) 小问详解： 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 11．【答案】（1），     （2）时，的值最小，且最小值为     （3） 证明：∵ ∵， ∴，即多项式的值总为正数．      【分析】 本题考查了配方法的应用； （1）根据非负数的性质可得，进而求得的最大值； （2）根据题中给出的例题，利用完全平方公式进行配方后，再根据平方项的非负性求其最小值即可； （3）利用配方法将多项式化成后，再结合平方的非负性即可求证． (1) 小问详解： 解：∵， ∴当时，的值最大，且最大值为； 故答案为：，． (2) 小问详解： 解： ∵无论为何值， 当，即时，的值最小，且最小值为． (3) 小问详解： 略 考点03 公式法 1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D 9．【答案】证明：关于x的方程， 这里，，． ． ∵， ∴． ∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系、根的判别式等知识点是解决本题的关键．先计算根的判别式，再利用非负数的性质得结论． 【详解】 略 10．【答案】且且 【分析】 根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 11．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；根据根与系数的关系，方程有两个实数根时判别式大于或等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 12．【答案】（1）证明：当k≠0时， ∵方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0， ∴Δ=（4k-3）2-4k（3k-3）=4k2-12k+9=（2k-3）2， ∴Δ=（2k-3）2≥0， 当k=0时，3x-3=0， 解得x=1． ∴无论k取何值，方程都有实根； （2）． 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ=（2k-3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）把x=-1代入方程求解即可． 【详解】 （1） 略 （2）把x=-1代入方程得k+4k-3+3k-3=0， ， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 13．【答案】（1）     （2） 解：， 无论为何值，方程总有两个实数根．      【分析】 本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出再判断即可． (1) 小问详解： 解：将代入一元二次方程． 得， 解得：． (2) 小问详解： 略 14．【答案】无实数根 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式为．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．求出的值即可判断． 【详解】 解：∵， ∴， ∴原方程无实数根． 故答案为：无实数根． 15．【答案】k＞－且k≠0 【详解】由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞-1/4 且k≠0． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用公式法求解即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， ． 17．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2) △ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【分析】 （1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】 （1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 18．【答案】没有实数根 【分析】 本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】 解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴方程没有实数根， 故答案为：没有实数根． 19．【答案】且 【分析】 根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】 关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，一元二次方程有实数根”是解题的关键． 20．【答案】等腰三角形 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，等腰三角形的定义，计算一元二次方程根的判别式，进而得出，即可求解． 【详解】 解：由题意可知： ∴ ∴该三角形是等腰三角形． 考点04 因式分解法 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）根据提取公因式法解一元二次方程，进行求解即可； （2）根据十字相乘法解一元二次方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ， 即或， 解得：，． (2) 小问详解： 解： ， 即或， 解得：，． 7．【答案】， 【分析】 把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】 解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 8．【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，正确地运用方法求解一元二次方程是解决本题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可； （3）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 即， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 9．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 10．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 解； ， 故答案为：． 12．【答案】， 【分析】 本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，熟练掌握换元法，进行等量替换是解题的关键． 设，将原方程化为，利用因式分解法解关于的方程，再求解即可． 【详解】 解：设，则原方程可化为：， ， 解得：，， 当时，即：，解得：， 当时，即：，解得：， 综上所述，原方程的解为：，． 13．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解； （2）运用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴或， ∴或． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 14．【答案】或 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 15．【答案】15 【分析】 本题主要考查等腰三角形的定义及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；先求出一元二次方程的两个根，然后再根据等腰三角形的定义可进行求解． 【详解】 解：解方程得：， 当腰长为3时，则底边长为6，那么，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为6时，则底边长为3，符合三角形三边关系，所以该等腰的周长为； 故答案为15． 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的因式分解法解法，熟练掌握十字相乘法等因式分解的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，． 17．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用直接开平方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． (2) 小问详解： 解：， 两边同时开平方，得， ∴或， ∴，． 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，； 19．【答案】（1），另一个根为3     （2） 证明：由题意得， ， ∴原方程总有两个实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程求出k的值，进而解原方程求出方程的另一根即可得到答案； （2）只需要证明即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程的一个根为1， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为3； (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或 解得， 21．【答案】（1），     （2）且      【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键 ． （1）把代入，解方程即可； （2）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零且二次项系数不为零，据此解答即可． (1) 小问详解： 解： 当 时，原方程变为： 解得 ，； (2) 小问详解： 解： 原方程化为一般形式： ∵有两个不相等实数根的条件是： ∴ ， 综上， 的取值范围为且． 22．【答案】（1）,      （2）,       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ，， ∴, ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ∴, ． 23．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）先把方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）整理后，提取公因式得到，然后解两个一元一次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， 因式分解得， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴． 24．【答案】（1）5     （2）当时，四边形是菱形，菱形的边长为      【分析】 本题主要考查菱形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）把代入方程求解m，然后再解方程，求出平行四边形的边长，进而问题得解． （2）根据菱形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：把代入方程得：， 解之得：， 当时，方程为， 解得：， 即的长为2，的长为， ∴平行四边形的周长为：． (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴由题意可得此方程有两个相等的实数根，即， ∴， 即， 解得：， 当时，方程为， 解得：， ∴当时，四边形是菱形，菱形的边长为． 25．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）先确定一元二次方程各项的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解方程的根； （2）通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：由得，， 这里，，， ， ， ，； (2) 小问详解： 由得，， 或， ，． 26．【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣2；（2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（3）方程没有实数解；（4）x1＝﹣，x2＝． 【分析】 （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）根据判别式的意义判断方程没有实数解； （4）先移项得到3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】 解：（1）2x+1＝±3， 所以x1＝1，x2＝﹣2； （2）x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， x+2＝±， 所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣； （3）△＝（﹣6）2﹣4×1×12＜0， 所以方程没有实数解； （4）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， 2x+1＝0或3x﹣2＝0， 所以x1＝﹣，x2＝． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解方程． 27．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴ 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 28．【答案】（1）一     （2） 解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，．      【分析】 本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，再提取公因式，因式分解即可求解； （2）将方程左边进行因式分解，化为，再解一元一次方程即可求解； （3）先移项得，再把方程两边都加上4得，左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．D 3．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个根是 ∴， ∴， 故答案为：2． 4．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系得到，然后利用整体代入得方法即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系，已知式子的值求得代数式的值，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 5．【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 6．【答案】3 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】 解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，设另一根为，根据两根之和为，进行求解即可． 【详解】 解：设另一根为，则：， ∴； 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴另一个根的值是1． 9．【答案】2023 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】 解：由题意得： ，即：， ， ， 故答案为：2023． 10．【答案】7； 【分析】 由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，整体代入计算即可求出值． 【详解】 ∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， 则． 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系为，． 11．【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； 根据根与系数的关系，得到，，先展开，再代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，是方程的根， ，， ， ∵， ∴， 解得． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过恒等式 计算所求值． 【详解】 解：对于一元二次方程 ，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （）根据列出不等式解答即可求解； （）把代入方程可求出或，再把的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可； （）根据一元二次方程根和系数的关系得，，即得，解方程求出的值，再结合（）的取值范围即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得； (2) 小问详解： 解：∵方程的一个实数根为， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 综上，另一个实数根为或； (3) 小问详解： 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）下列是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 1、2、 B. 1、2、4 C. 1、、4 D. 1、、 【答案】D 【分析】 将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】 解：∵一元二次方程可化为：， ∴二次项系数为1、一次项系数为、常数项为． 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（     ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】 解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程； ②中有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上③ 和④ 是一元二次方程， 故选：C． 4．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（     ） A. 0 B. 2 C.  D. 2或 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】 解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故选：B． 6．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A：不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 7．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程＂只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程＂的定义． 根据一元二次方程的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】 解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． A、，当时，方程变为，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程； B、，含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程； C、，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时是整式方程，符合一元二次方程的定义； D、，其中是分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程． 综上，只有选项C是一元二次方程． 故选：C． 8．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】 解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】 解：A、是分式方程，故本选项不合题意； B、是一元三次方程，故本选项不合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、是二元二次方程，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 10．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查识别一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程为一元二次方程逐一判断即可． 【详解】 A、，这里没有说明，如果时，方程不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、经整理后为，化简后未知数的最高次数是，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、，经整理后为，该方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，同时它也是整式方程，所以它是一元二次方程，该选项符合题意； D、，方程中含有分式 和，它是分式方程，不是整式方程，因此也不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 11．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】 解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 12．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（     ） A.  B. 2 021 C.  D. 2 022 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 13．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程是一元二次方程，符合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选：． 14．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将代入方程求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根, ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为　　　　　． 【答案】 【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可． 【详解】把代入一元二次方程得， 所以. 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）一元二次方程化为一般形式后的二次项系数为　　　　　　　　　　，一次项系数为　　　　　　　　　　，常数项为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握概念是解题关键． 需将方程化为标准形式，再确定各项系数． 【详解】 解：由原方程，移项得， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 17．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】 解：由题意可知，且， 解得：，且， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0． 18．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）方程是一元二次方程，则　　　　　　. 【答案】-2 【分析】根据一元二次方程的定义得到：=2且m-2≠0，由此可以求得m的值. 【详解】解：由题意可得：=2且m-2≠0 解得： 故答案为：-2. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，注意一元二次方程的二次项系数不能为0是本题的解题关键. 19．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 把代入方程即可得到答案. 【详解】 解：把代入方程， 得4+6+m+1=0， 解得． 故答案为: 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解,掌握一元二次方程的解的含义是解本题的关键. 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）已知是方程的一个根，则实数c的值是 　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】 解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 21．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的解和代数式求值，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）若a是方程的一个根，则式子的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查方程根的定义和代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由于 是方程 的一个根，代入方程可得 ，然后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）若一元二次方程的常数项为0，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即，同时常数项为0，即，求解的值． 【详解】 解：∵一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得 或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ， 即当时，；当时，， 故的值为1或； 故答案为1或． 25．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 把代入，然后解一次方程即可． 【详解】 解：把代入得：，解得：， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 27．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，将代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键． 【详解】 解：将代入方程，得：， 解得：． 当时，原方程为， 解得：， ∵， ∴此等腰三角形的三边为5、5、1， ∴此等腰三角形的周长为：． 故答案为：11． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 【答案】C 【详解】 x2+6x+4=0， 移项，得x2+6x=-4， 配方，得x2+6x+32=－4+32， 即（x+3）2=5． 故选C． 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）用配方法解方程，配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案. 【详解】解：方程即为， 在方程的两边都加上9，得， 即. 故选D. 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键. 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）将方程配方，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加9，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤① 把常数项移到等号的右边；② 把二次项的系数化为1；③ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】 解：， ， ， ． 故选：A． 5．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）一元二次方程配方为，则k的值是　　　　　　． 【答案】１ 【分析】 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】 解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）解方程． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 7．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ （3）[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 【答案】（1）4     （2）12     （3）25      【分析】 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． (1) 小问详解： 解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． (2) 小问详解： 解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 8．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）用适当的方法解下列方程． 【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解决即可． 【详解】 解： ， ． 9．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）小明在学习了配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下： 解： ． （1）上述解方程的过程中，小明从第______步开始出现错误（填序号），这一步的依据是______． （2）请正确用配方法解方程． 【答案】（1）② ；等式的性质     （2） 解：， 移项，得 ， ， 配方，得，即， ∴， ∴，．      【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． (1) 小问详解： 解：上述过程中，从第②步开始出现了错误， 方程再将二次项系数化为1时，等号两边同时乘以，而等号右边没有乘以， 则这一步的依据是：等式的性质； (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． （1）请用含x的代数式表示的长             （直接写出结果）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） （3）求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）山羊活动范围面积S的最大值是平方米      【分析】 此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． (1) 小问详解： 依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 依题意得：， ∴， ∴； (3) 小问详解： 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 11．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为-3． 根据以上材料，解答下列问题： （1）当_____时，的值最大，且最大值为_____； （2）用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值； （3）求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】（1），     （2）时，的值最小，且最小值为     （3） 证明：∵ ∵， ∴，即多项式的值总为正数．      【分析】 本题考查了配方法的应用； （1）根据非负数的性质可得，进而求得的最大值； （2）根据题中给出的例题，利用完全平方公式进行配方后，再根据平方项的非负性求其最小值即可； （3）利用配方法将多项式化成后，再结合平方的非负性即可求证． (1) 小问详解： 解：∵， ∴当时，的值最大，且最大值为； 故答案为：，． (2) 小问详解： 解： ∵无论为何值， 当，即时，的值最小，且最小值为． (3) 小问详解： 略 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且△≥0，即， 解得， ∴m的取值范围是且． 故选：D． 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为（    ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且 ∴且 故选：A． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式不正即可求得m的范围，注意二次项系数不为零． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且； 故选：B． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【详解】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 6．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0且a+2≠0， ∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0， 解得：a≤且a≠-2， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况．先算出，再判断该方程有两个不相等的实数根，据此即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 则该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（       ） A.  B.  C.  D. 7或8 【答案】D 【分析】 两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：① 一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，② 两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解． 【详解】 ① 一边为腰一边为底，当4为底时，有 ，解得，此时 解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去； 同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系 故m=7 ② 方程两根都为腰，此时 即，解得m=8 综上所述，m=7或8 故选D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的判别式，关键是分情况讨论一元二次方程解的情况． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】证明：关于x的方程， 这里，，． ． ∵， ∴． ∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系、根的判别式等知识点是解决本题的关键．先计算根的判别式，再利用非负数的性质得结论． 【详解】 略 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且且 【分析】 根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 11．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；根据根与系数的关系，方程有两个实数根时判别式大于或等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知：关于x的方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0． （1）求证：无论k取何值，方程都有实根． （2）若x=-1是该方程的一个根，求k的值； 【答案】（1）证明：当k≠0时， ∵方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0， ∴Δ=（4k-3）2-4k（3k-3）=4k2-12k+9=（2k-3）2， ∴Δ=（2k-3）2≥0， 当k=0时，3x-3=0， 解得x=1． ∴无论k取何值，方程都有实根； （2）． 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ=（2k-3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）把x=-1代入方程求解即可． 【详解】 （1） 略 （2）把x=-1代入方程得k+4k-3+3k-3=0， ， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 【答案】（1）     （2） 解：， 无论为何值，方程总有两个实数根．      【分析】 本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出再判断即可． (1) 小问详解： 解：将代入一元二次方程． 得， 解得：． (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）一元二次方程 的根的情况是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】无实数根 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式为．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．求出的值即可判断． 【详解】 解：∵， ∴， ∴原方程无实数根． 故答案为：无实数根． 15．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】k＞－且k≠0 【详解】由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞-1/4 且k≠0． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用公式法求解即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， ． 17．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）（多选）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2) △ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【分析】 （1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】 （1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 18．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）定义运算：．例如：，则方程的根的情况为　　　　　　　　 【答案】没有实数根 【分析】 本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】 解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴方程没有实数根， 故答案为：没有实数根． 19．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】 关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，一元二次方程有实数根”是解题的关键． 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第七中学·期中）已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，等腰三角形的定义，计算一元二次方程根的判别式，进而得出，即可求解． 【详解】 解：由题意可知： ∴ ∴该三角形是等腰三角形． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 【答案】A 【分析】 先求出方程的解，分为两种情况：① 当2为底，5为腰时，② 当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可． 【详解】 解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0 解得：， 当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12； 当5为底，2为腰时，则无法构成三角形， 故选：A 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 4．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）关于的一元二次方程的一个根地，则另一个根是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的根及其解法，理解方程的解满足方程是解答的关键．将已知方程的根代入方程中求出参数k，再解方程求另一根即可． 【详解】 解：∵方程的一个根是， ∴，解得， ∴ 原方程化为，即， ∴，解得，， ∴ 另一根为． 故选：C． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第四中学·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(       ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 【答案】B 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原五原中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）根据提取公因式法解一元二次方程，进行求解即可； （2）根据十字相乘法解一元二次方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ， 即或， 解得：，． (2) 小问详解： 解： ， 即或， 解得：，． 7．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【分析】 把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】 解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 8．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，正确地运用方法求解一元二次方程是解决本题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可； （3）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 即， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区吴忠第三中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 10．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知实数满足，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 11．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 解； ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 【答案】， 【分析】 本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，熟练掌握换元法，进行等量替换是解题的关键． 设，将原方程化为，利用因式分解法解关于的方程，再求解即可． 【详解】 解：设，则原方程可化为：， ， 解得：，， 当时，即：，解得：， 当时，即：，解得：， 综上所述，原方程的解为：，． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解； （2）运用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴或， ∴或． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）一元二次方程的根是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 15．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）等腰的两边长恰为方程的两实数根，则等腰的周长为　　　　　　 【答案】15 【分析】 本题主要考查等腰三角形的定义及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；先求出一元二次方程的两个根，然后再根据等腰三角形的定义可进行求解． 【详解】 解：解方程得：， 当腰长为3时，则底边长为6，那么，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为6时，则底边长为3，符合三角形三边关系，所以该等腰的周长为； 故答案为15． 16．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）解方程 （1）． （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的因式分解法解法，熟练掌握十字相乘法等因式分解的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，． 17．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用直接开平方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． (2) 小问详解： 解：， 两边同时开平方，得， ∴或， ∴，． 18．（25-26学年九上·宁夏固原第六中学·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，； 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】（1），另一个根为3     （2） 证明：由题意得， ， ∴原方程总有两个实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程求出k的值，进而解原方程求出方程的另一根即可得到答案； （2）只需要证明即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程的一个根为1， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为3； (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或 解得， 21．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）已知关于一元二次方程． （1）若，求此方程的解； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1），     （2）且      【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键 ． （1）把代入，解方程即可； （2）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零且二次项系数不为零，据此解答即可． (1) 小问详解： 解： 当 时，原方程变为： 解得 ，； (2) 小问详解： 解： 原方程化为一般形式： ∵有两个不相等实数根的条件是： ∴ ， 综上， 的取值范围为且． 22．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）,      （2）,       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ，， ∴, ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ∴, ． 23．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）用适当方法解下列方程． （1）； （2） 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）先把方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）整理后，提取公因式得到，然后解两个一元一次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， 因式分解得， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴． 24．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）已知，的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）5     （2）当时，四边形是菱形，菱形的边长为      【分析】 本题主要考查菱形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）把代入方程求解m，然后再解方程，求出平行四边形的边长，进而问题得解． （2）根据菱形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：把代入方程得：， 解之得：， 当时，方程为， 解得：， 即的长为2，的长为， ∴平行四边形的周长为：． (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴由题意可得此方程有两个相等的实数根，即， ∴， 即， 解得：， 当时，方程为， 解得：， ∴当时，四边形是菱形，菱形的边长为． 25．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）先确定一元二次方程各项的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解方程的根； （2）通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：由得，， 这里，，， ， ， ，； (2) 小问详解： 由得，， 或， ，． 26．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）解一元二次方程： （1）（2x+1）2＝9； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）x2﹣6x+12＝0； （4）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣2；（2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（3）方程没有实数解；（4）x1＝﹣，x2＝． 【分析】 （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）根据判别式的意义判断方程没有实数解； （4）先移项得到3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】 解：（1）2x+1＝±3， 所以x1＝1，x2＝﹣2； （2）x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， x+2＝±， 所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣； （3）△＝（﹣6）2﹣4×1×12＜0， 所以方程没有实数解； （4）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， 2x+1＝0或3x﹣2＝0， 所以x1＝﹣，x2＝． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解方程． 27．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）选择适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴ 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 28．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．   …第一步 移项，合并同类项，得．   …第二步 系数化为1，得．   …第三步 任务： （1）小明的解法从第______步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 【答案】（1）一     （2） 解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，．      【分析】 本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）解方程 （1）； （2）； （3）（配方法）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，再提取公因式，因式分解即可求解； （2）将方程左边进行因式分解，化为，再解一元一次方程即可求解； （3）先移项得，再把方程两边都加上4得，左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）已知方程的两个根分别是，，则的值是（       ） A. 18 B. 5 C. 20 D. 21 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．直接应用根与系数关系即可求解． 【详解】 解：∵ 方程 的两根为 ， ∴ 由根与系数的关系，得 ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）关于x的方程有两个根为、，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键 根据一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可 【详解】 解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区固原第八中学·期中）若关于的一元二次方程的两个根是，则　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个根是 ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系得到，然后利用整体代入得方法即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系，已知式子的值求得代数式的值，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 6．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】 解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，设另一根为，根据两根之和为，进行求解即可． 【详解】 解：设另一根为，则：， ∴； 故答案为：． 8．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围． （2）当时，求另一个根的值． 【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴另一个根的值是1． 9．（25-26学年九上·宁夏吴忠同心县第二中学·期中）已知是一元二次方程的两个根，则　　　　　　． 【答案】2023 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】 解：由题意得： ，即：， ， ， 故答案为：2023． 10．（25-26学年九上·宁夏吴忠利通区扁担沟中心学校·期中）已知一元二次方程的两根为m，n，则　　　　　　　． 【答案】7； 【分析】 由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，整体代入计算即可求出值． 【详解】 ∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， 则． 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系为，． 11．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； 根据根与系数的关系，得到，，先展开，再代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，是方程的根， ，， ， ∵， ∴， 解得． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过恒等式 计算所求值． 【详解】 解：对于一元二次方程 ，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为，求另一个实数根； （3）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （）根据列出不等式解答即可求解； （）把代入方程可求出或，再把的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可； （）根据一元二次方程根和系数的关系得，，即得，解方程求出的值，再结合（）的取值范围即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得； (2) 小问详解： 解：∵方程的一个实数根为， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 综上，另一个实数根为或； (3) 小问详解： 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $