专题07 相似（期中真题汇编，宁夏专用）九年级数学上学期

专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．D 9．D 10．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握黄金分割点的定义，正确列出式子． 根据黄金分割点的定义，当时，是较长部分，与的比值等于黄金分割比，由此可求． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为： 11．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由题意设，，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据比例的性质，将分子用分母表示，然后利用分母和求解． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 13．【答案】2 【分析】 本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例，则可以列出比例式，代入数值求解即可得到答案； 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 14．【答案】 【分析】 根据黄金分割点的定义得到，进行计算即可求解． 【详解】 解：∵点是的黄金分割点（），， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 15．【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点的知识，需要根据黄金分割点的定义，结合已知条件求出的长度．黄金分割点的定义是较长部分与整体的比等于黄金分割比，需注意为较长部分，因此需正确应用公式进行计算． 【详解】 解：点是线段的黄金分割点，且， ， ． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可，解题的关键是由题意列出比例式求解． 【详解】 解：设它的实际长度是， 根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了比例的相关知识，灵活运用设比例系数法是解题的关键；设，那么，然后代入原式即可求得答案． 【详解】 解：设， ， ， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的变形与代入计算是解题的关键．根据已知的比例关系，将用表示出来，再代入所求式子进行计算． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，根据相似图形的对应角相等求出的度数，再根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 20．【答案】9 【分析】 本题主要考查了成比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即）． 由成比例线段的定义，列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴ ，即，解得：． 故答案为9． 21．【答案】 【分析】 将所求分式拆分变形，结合已知比例关系代入计算即可得到结果． 【详解】 解： 22．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例关系设参数表示、、，再利用已知条件求出参数值，最后代入所求表达式计算． 【详解】 解：设 ， 则 ，，， 由 ， 可得：， 整理可得：， 解得：， ，，， 可得： 故答案为：． 23．【答案】或 【分析】 本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】 解：设米，则米， 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，舞台的长为或． 故答案为：或． 24．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质；由已知比例，可设，（其中），然后代入所求表达式进行计算． 【详解】 解：设，（），则 所以 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可求得，再求出，再进一步求解即可． 【详解】 解：点和点均为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 27．【答案】2 【分析】 此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．D 3．B 4．【答案】 【分析】 本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据平行截线列出比例式，再代入求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由，得，再通过比例的性质即可解答本题． 【详解】 ，， ， ， ， ， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．【答案】6 【详解】试题分析：根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可求出BC． ∴=，即= 解得：BC=6． 故答案为6． 【考点】相似三角形的判定与性质． 9．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定定理． （1）借助平行线的性质得到，进而证明； （2）根据（1）中的相似三角形写出相似比求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， ， 即， 解得． 10．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据可得，则，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定及相似三角形的性质的运用．根据已知条件推出，，得到，得，根据已知数据即可求解的长度． 【详解】 解:∵ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 12．【答案】3 【分析】 由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】 解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ， ∵AC=2，AD=1， ∴， 解得DB=3． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边． 13．【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 根据，得出，进而可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 先用勾股定理计算，再利用折叠的性质和相似求出线段的长． 【详解】 解：， ， 由折叠可知：， 若， ∥， ， ， ， 解得：， 若， ， ， ， ， 解得： 故答案为或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质和勾股定理，解题的关键是找出相似三角形，列出比例线段． 15．【答案】（1） 证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 16．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 【详解】 17．【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【分析】 （1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【详解】 （1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 18．【答案】20 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质．明确相似三角形的判定条件是解题的关键．证明，则即可得到答案． 【详解】 解：由题意知，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 故答案为：20． 19．【答案】（1）；     （2） 解：，理由如下： 由（1）同理可得： ∵，，，， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 此题考查的是勾股定理，相似三角形的判定； （1）先证明是等腰直角三角形，求出，再根据邻补角和勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1）     （2） ① 点如图所示， ； ② 点如图所示， ．      【分析】 本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）① 如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； ② 如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解． (1) 小问详解： 解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 21．【答案】 【分析】 本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 由平移的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质求得，即可得解． 【详解】 解：由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即移动的距离是 故答案为：． 22．【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直以及角度运算得到，再通过角平分线得到，进而可证； （2）先通过等面积法得到，求出，，再通过勾股定理求出，然后通过相似三角形的比例式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴． 23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE， ∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD∥EF； （2）6． 【分析】 （1）根据平行四边的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【详解】 解：（1）略 （2）∵四边形BEFD是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴， ∴CE===6． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 24．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 25．【答案】（1） 与相似；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质和已知条件得出，因此，再由公共角，即可得出． （2）根据已知求得，根据利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 26．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）3 【分析】 （1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27.【答案】证明：∵AD∥BC ∴∠GED=∠GBC ∵∠G=∠G ∴△GED∽△GBC ∴= ∵AE=DE ∴= (2) EF=1． 【分析】 （1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论． （2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长. 【详解】 解：（1）略 (2) ∵AD∥BC ∴△AEF∽△CBF ∴= 由（1）问得：= ∴= 设EF=x，∵GE=2，BF=3 ∴ ∴x1=1，x2= -6（不合题意，舍去） ∴EF=1． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例性质. 28．【答案】0.8s或者2s 【详解】设同时运动ts时两个三角形相似， 当△PCQ∽△BCA，则 ， ，t=0.8； 当△PCQ∽△ACB，则，，t=2． 答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作交于M，证明可得，则可推出；证明，可得，则可推出，进而得到，则． 【详解】 解：如图所示，过点D作交于M， ∵是的中线， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．【答案】15 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得出相等角，证明，然后利用对应边成比例即可． 【详解】 解：如图所示， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：15． 31．【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 【分析】 （1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）略 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接，    ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．C 3．【答案】5 【分析】 本题考查对相似三角形性质的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解，熟知：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，是解题的关键． 【详解】 解：如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的倍， 故答案为：5． 4．【答案】分别是30厘米和45厘米. 【分析】根据已知的三边对应成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周长之比,由和的周长之差为15厘米,可出△ABC和△DEF的周长的方程，可求出答案. 【详解】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.               ① .. 由题意可得：         ② 由① 式得                   ③ 将③ 式代入① 式得： ... 将 代入② 式得： ... 答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,要求学生掌握相似三角形的相似比,周长比及面积比之间的关系,即相似三角形的对应边之比与周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方. 5．【答案】秒和2秒 【分析】 本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】 解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 6．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】 （1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】 解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】 此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 7．【答案】（1），     （2）为0．2或3秒     （3）为2或      【分析】 此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）利用勾股定理求解即可． （3）分情况讨论，和，代入求解即可． (1) 小问详解： 解：用含的代数式表示，； 故答案为，． (2) 小问详解： 解：在中，根据勾股定理得，， ， 解得：或， 当为0．2或3秒时，的长度等于． (3) 小问详解： 解：以点为顶点的三角形与相似，且， ①， ， ， ， ②， ， ， ， 即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似． 8．【答案】（1）2秒或秒后可使的长为     （2）秒可使与边平行．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使与边平行，得出，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． (2) 小问详解： 解：设秒后可使与边平行， ∴ ∴， ∵，， ∴即， 解得：． 秒可使与边平行． 9．【答案】（1）     （2）秒或秒     （3）秒或秒      【分析】 （）由题意得，，，再根据等腰三角形的定义列出方程即可求解； （）根据三角形的面积列出方程解答即可求解； （）分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴当为等腰三角形时，， 即， 解得， 答：当时，为等腰三角形； (2) 小问详解： 解：当的面积等于时，， 即， 整理得，， 解得， 答：秒或秒后，的面积等于； (3) 小问详解： 解：① 若，则， 即， 解得； ② 若，则， 即， 解得； 综上，秒或秒后以为顶点的三角形与相似． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．【答案】这棵树的高度为 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 3．【答案】6 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】 解：由题意知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：6． 4．【答案】（1）12米     （2）米      【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． (1) 小问详解： 解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． (2) 小问详解： 解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 5．【答案】（1）旗杆的高度为6米     （2）小水坑F到小明的距离的长为米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． (2) 小问详解： 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 6．【答案】4.2米 【分析】 本题考查了物高与影长成正比，过D作于点E，连接 求解即可． 【详解】 解：过D作于点E，连接，    由题意知 又∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴（米） 答：树高为米． 7．【答案】7.5 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．根据题意证，根据线段比例关系求出即可求出的长． 【详解】 解：，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：7.5 考点06 位似 1．A 2．【答案】（1） 即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 3．【答案】（1） 画图如下： 即为所求．     （2）8      【分析】 （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可； （2）利用割补法结合三角形面积计算公式解答即可． 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． (1) 小问详解： ∵，以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为 ∴ (2) 小问详解： 的面积为：． 4．【答案】（1） 即为所求：      （2）如图所示，即为所求图形，     （3）和是位似图形，位似中心坐标为      【分析】 本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即； (3) 小问详解： 解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 5．【答案】（1） 如图所示：即为所求；      （2） 如图所示：即为所求． 由图可知坐标为      【分析】 本题考查了几何的轴对称变换和位似变换，解决本题的关键是准确找到变换后的对应点． （1）找到、、关于轴对称的点，再连接相应的点； （2）将、、绕点旋转，再将对应点到点的距离扩大倍，得到、、，连接、、． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）若，则下列变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）下列各组线段，能成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A. 1cm，2cm，20cm，40cm B. 1cm，2cm，3cm，4cm C. 4cm，2cm，1cm，3cm D. 5cm，10cm，15cm，20cm 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列四组线段中，成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（       ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. cm，，， 9．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知，且，那么k的值是（     ） A. 2 B.  C. 2或0 D. 2或 10．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）若，则　　　　　　． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）若，且，则等于　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）已知点是的黄金分割点（），，则　　　　　．（结果保留根号） 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）已知点是线段的黄金分割点，那么的长为　　　　　． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）在比例尺为的徐州交通旅游图上，新元大道的长约为，它的实际长度约为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）已知 ，则　　　　　　； 18．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）若，则　　　　　． 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，四边形四边形，则的度数是　　　　　． 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知线段、、、成比例，，，，则线段的长为　　　　． 21．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知，，则　　　　　　． 23．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为　　　　　　（保留根号）． 24．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）若，则　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，点和点均为线段的黄金分割点，，则　　　　　． 26．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）若，则　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）已知，则的值为 　　　　　　　　 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，则的长为（     ）． A. 12 B. 8 C. 15 D. 9 3．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在中，若， ，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线分别交直线a，b，c于点，，，则的长为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）承天寺塔，位于银川古城西南部，为宁夏现存唯一有文献可考始建年代的西夏古塔．如图是承天寺塔及其部分示意图，已知，若，则的值为　　　　　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，，，，则（     ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，下列条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在正方形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，连接交于点，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=　　　　　． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，中，D、E分别在上，且，，，． （1）求证：； （2）求的长． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在中，，求的长． 11．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在梯形中，，，对角线．若，求的长． 12．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，与中，，；证明：． 14．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点恰好落在AB上，且恰为直角三角形，则此时CD的长为　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 17．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 18．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在中，点为中点，，则的长度为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：             ，             ； （2）判断与是否相似，并证明你的结论． 20．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． （1）在图①中，______；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 21．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，在中，，平分，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）（多选）如图．在ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G． （1）求证：BD∥EF ． （2）若，BE=4，求EC的长． 24．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　　　　　　　　．（写出一种情况即可） 25．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 26．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 27．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）（多选）如图（10），梯形中，，点是边的中点， 连结交于点，的延长线交的延长线于点． 1.求证： 2.若，，求线段的长 28．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 29．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个矩形，使，则　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．    探究发现 如图1，在中，，．    （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是(　　) A. 1∶9 B. 1∶25 C. 9∶25 D. 3∶5 2．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（       ） A. 4 B. 1 C. 1或4 D. 2 3．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的　　　　　　　　　　倍． 4．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）已知和中，有,且和的周长之差为15厘米，求和的周长. 5．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 6．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：    （1）用含t的代数式表示                  ，                  ； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 8．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． （1）问点、同时出发，几秒后可使的长为？ （2）问点、同时出发，几秒后可使与边平行？ 9．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，在中，，，，点从点开始，沿边以的速度向点运动；点从点开始，沿边以的速度向点运动，当点运动到点时，运动停止，如果分别从两点同时出发．设动点运动时间为秒． （1）当为何值时，为等腰三角形； （2）几秒后的面积等于？ （3）几秒后以为顶点的三角形与相似？ 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（     ） A. 14 B. 15.6 C. 14.6 D. 15 2．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 3．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为　　　　　　　　米． 4．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． （1）第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； （2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 5．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？ 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高　　　　　　m． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点O位似，且，则点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． （1）画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）内有一点在中的对应点的坐标为___________ （3）___________ 3．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； （2）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求的面积． 4．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． （3）判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并求出的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）若，则下列变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据比例的性质，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：由得， A.由得，不符合题意；        B. 不符合题意；        C. 符合题意；        D. 由得，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）下列各组线段，能成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断． 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【详解】 解：由题可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 故选：． 3．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】 解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 4．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A. 1cm，2cm，20cm，40cm B. 1cm，2cm，3cm，4cm C. 4cm，2cm，1cm，3cm D. 5cm，10cm，15cm，20cm 【答案】A 【分析】两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段进行，据此判断即可 【详解】解：所给选项，只有A中，1×40＝2×20，四条线段成比例， 故选A． 【点睛】本题考查成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）下列四组线段中，成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【分析】 本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】 A．，，，不成比例，故本选项不符合题意； B．，，，不成比例，故本选项不符合题意； C．，，，，不成比例，故本选项不符合题意； D．，，两者相等，成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质、代数式求值等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 由比例的基本性质可得，然后代入化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选D． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质可得，，据此可得答案． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴四个选项中，只有C选项中的式子正确， 故选：C． 8．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（       ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. cm，，， 【答案】D 【分析】 此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】 解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知，且，那么k的值是（     ） A. 2 B.  C. 2或0 D. 2或 【答案】D 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论． 当时，利用比的等比性质求解；当时，则，再代入求值即可． 【详解】 解：① 当时，由等比性质可得： 即：； ② 当时，则， ∴， 所以k的值是2或， 故选：D． 10．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握黄金分割点的定义，正确列出式子． 根据黄金分割点的定义，当时，是较长部分，与的比值等于黄金分割比，由此可求． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为： 11．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由题意设，，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）若，且，则等于　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据比例的性质，将分子用分母表示，然后利用分母和求解． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例，则可以列出比例式，代入数值求解即可得到答案； 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 14．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）已知点是的黄金分割点（），，则　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 根据黄金分割点的定义得到，进行计算即可求解． 【详解】 解：∵点是的黄金分割点（），， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 15．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）已知点是线段的黄金分割点，那么的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点的知识，需要根据黄金分割点的定义，结合已知条件求出的长度．黄金分割点的定义是较长部分与整体的比等于黄金分割比，需注意为较长部分，因此需正确应用公式进行计算． 【详解】 解：点是线段的黄金分割点，且， ， ． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）在比例尺为的徐州交通旅游图上，新元大道的长约为，它的实际长度约为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可，解题的关键是由题意列出比例式求解． 【详解】 解：设它的实际长度是， 根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）已知 ，则　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查了比例的相关知识，灵活运用设比例系数法是解题的关键；设，那么，然后代入原式即可求得答案． 【详解】 解：设， ， ， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的变形与代入计算是解题的关键．根据已知的比例关系，将用表示出来，再代入所求式子进行计算． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，四边形四边形，则的度数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，根据相似图形的对应角相等求出的度数，再根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）已知线段、、、成比例，，，，则线段的长为　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了成比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即）． 由成比例线段的定义，列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴ ，即，解得：． 故答案为9． 21．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将所求分式拆分变形，结合已知比例关系代入计算即可得到结果． 【详解】 解： 22．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）已知，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例关系设参数表示、、，再利用已知条件求出参数值，最后代入所求表达式计算． 【详解】 解：设 ， 则 ，，， 由 ， 可得：， 整理可得：， 解得：， ，，， 可得： 故答案为：． 23．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为　　　　　　（保留根号）． 【答案】或 【分析】 本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】 解：设米，则米， 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，舞台的长为或． 故答案为：或． 24．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质；由已知比例，可设，（其中），然后代入所求表达式进行计算． 【详解】 解：设，（），则 所以 故答案为：． 25．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，点和点均为线段的黄金分割点，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可求得，再求出，再进一步求解即可． 【详解】 解：点和点均为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 27．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）已知，则的值为 　　　　　　　　 【答案】2 【分析】 此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据计算得的长，进一步计算即得答案． 【详解】 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，则的长为（     ）． A. 12 B. 8 C. 15 D. 9 【答案】D 【分析】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴，解得：． 故选D． 3．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在中，若， ，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．根据得到，根据平行线分线段成比例得到，根据即可求出的长． 【详解】 解：∵ ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线分别交直线a，b，c于点，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据平行截线列出比例式，再代入求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）承天寺塔，位于银川古城西南部，为宁夏现存唯一有文献可考始建年代的西夏古塔．如图是承天寺塔及其部分示意图，已知，若，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由，得，再通过比例的性质即可解答本题． 【详解】 ，， ， ， ， ， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 2．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，，，，则（     ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质．根据平行线的性质证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 4．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，下列条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】 解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定；        C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 5．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定条件，需要逐一分析每个选项，判断是否满足相似三角形的条件即可． 【详解】 解：A项：∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意； B项：∵，， ∴，不符合题意； C项：∵，， ∴，不符合题意； D项：无法得出和相似，符合题意． 故选：D． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在正方形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，连接交于点，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形与折叠问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 先对由勾股定理求解，然后求出，再由折叠的性质得到为等腰直角三角形，即可求解，最后由求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴同理可得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=　　　　　． 【答案】6 【详解】试题分析：根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可求出BC． ∴=，即= 解得：BC=6． 故答案为6． 【考点】相似三角形的判定与性质． 9．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第二十一中学·期中）如图，中，D、E分别在上，且，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定定理． （1）借助平行线的性质得到，进而证明； （2）根据（1）中的相似三角形写出相似比求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， ， 即， 解得． 10．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据可得，则，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在梯形中，，，对角线．若，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定及相似三角形的性质的运用．根据已知条件推出，，得到，得，根据已知数据即可求解的长度． 【详解】 解:∵ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 12．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】 解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ， ∵AC=2，AD=1， ∴， 解得DB=3． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边． 13．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，与中，，；证明：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 根据，得出，进而可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点恰好落在AB上，且恰为直角三角形，则此时CD的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先用勾股定理计算，再利用折叠的性质和相似求出线段的长． 【详解】 解：， ， 由折叠可知：， 若， ∥， ， ， ， 解得：， 若， ， ， ， ， 解得： 故答案为或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质和勾股定理，解题的关键是找出相似三角形，列出比例线段． 15．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 16．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 【详解】 17．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【分析】 （1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【详解】 （1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 18．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如图，在中，点为中点，，则的长度为　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质．明确相似三角形的判定条件是解题的关键．证明，则即可得到答案． 【详解】 解：由题意知，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 故答案为：20． 19．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：             ，             ； （2）判断与是否相似，并证明你的结论． 【答案】（1）；     （2） 解：，理由如下： 由（1）同理可得： ∵，，，， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 此题考查的是勾股定理，相似三角形的判定； （1）先证明是等腰直角三角形，求出，再根据邻补角和勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． （1）在图①中，______；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【答案】（1）     （2） ① 点如图所示， ； ② 点如图所示， ．      【分析】 本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）① 如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； ② 如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解． (1) 小问详解： 解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 21．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 由平移的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质求得，即可得解． 【详解】 解：由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即移动的距离是 故答案为：． 22．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，在中，，平分，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直以及角度运算得到，再通过角平分线得到，进而可证； （2）先通过等面积法得到，求出，，再通过勾股定理求出，然后通过相似三角形的比例式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴． 23．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）（多选）如图．在ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G． （1）求证：BD∥EF ． （2）若，BE=4，求EC的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE， ∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD∥EF； （2）6． 【分析】 （1）根据平行四边的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【详解】 解：（1）略 （2）∵四边形BEFD是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴， ∴CE===6． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 24．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　　　　　　　　．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 25．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 【答案】（1） 与相似；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质和已知条件得出，因此，再由公共角，即可得出． （2）根据已知求得，根据利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 26．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）3 【分析】 （1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）（多选）如图（10），梯形中，，点是边的中点， 连结交于点，的延长线交的延长线于点． 1.求证： 2.若，，求线段的长 【答案】证明：∵AD∥BC ∴∠GED=∠GBC ∵∠G=∠G ∴△GED∽△GBC ∴= ∵AE=DE ∴= (2) EF=1． 【分析】 （1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论． （2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长. 【详解】 解：（1）略 (2) ∵AD∥BC ∴△AEF∽△CBF ∴= 由（1）问得：= ∴= 设EF=x，∵GE=2，BF=3 ∴ ∴x1=1，x2= -6（不合题意，舍去） ∴EF=1． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例性质. 28．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 【答案】0.8s或者2s 【详解】设同时运动ts时两个三角形相似， 当△PCQ∽△BCA，则 ， ，t=0.8； 当△PCQ∽△ACB，则，，t=2． 答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似． 29．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川银川一中集团学校·期中）如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作交于M，证明可得，则可推出；证明，可得，则可推出，进而得到，则． 【详解】 解：如图所示，过点D作交于M， ∵是的中线， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个矩形，使，则　　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得出相等角，证明，然后利用对应边成比例即可． 【详解】 解：如图所示， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：15． 31．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．    探究发现 如图1，在中，，．    （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 【分析】 （1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）略 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接，    ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是(　　) A. 1∶9 B. 1∶25 C. 9∶25 D. 3∶5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可得. 【详解】∵△ABC∽△DEF，BC＝3，EF＝5， ∴相似比为， ∴△ABC与△DEF的面积比为32：52， 即△ABC与△DEF的面积比为9：25， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比与相似比的关系是解题的关键. 2．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（       ） A. 4 B. 1 C. 1或4 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据点是边的中点可得，然后根据相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】 解：∵点是边的中点，， ∴， 根据题意得当时， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3．（25-26学年九上·宁夏一贯制学校·期中）如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的　　　　　　　　　　倍． 【答案】5 【分析】 本题考查对相似三角形性质的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解，熟知：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，是解题的关键． 【详解】 解：如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的倍， 故答案为：5． 4．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）已知和中，有,且和的周长之差为15厘米，求和的周长. 【答案】分别是30厘米和45厘米. 【分析】根据已知的三边对应成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周长之比,由和的周长之差为15厘米,可出△ABC和△DEF的周长的方程，可求出答案. 【详解】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.               ① .. 由题意可得：         ② 由① 式得                   ③ 将③ 式代入① 式得： ... 将 代入② 式得： ... 答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,要求学生掌握相似三角形的相似比,周长比及面积比之间的关系,即相似三角形的对应边之比与周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方. 5．（25-26学年九上·宁夏银川灵武第三中学·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】 本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】 解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 6．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】 （1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】 解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】 此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：    （1）用含t的代数式表示                  ，                  ； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1），     （2）为0．2或3秒     （3）为2或      【分析】 此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）利用勾股定理求解即可． （3）分情况讨论，和，代入求解即可． (1) 小问详解： 解：用含的代数式表示，； 故答案为，． (2) 小问详解： 解：在中，根据勾股定理得，， ， 解得：或， 当为0．2或3秒时，的长度等于． (3) 小问详解： 解：以点为顶点的三角形与相似，且， ①， ， ， ， ②， ， ， ， 即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似． 8．（25-26学年九上·宁夏银川第三中学·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． （1）问点、同时出发，几秒后可使的长为？ （2）问点、同时出发，几秒后可使与边平行？ 【答案】（1）2秒或秒后可使的长为     （2）秒可使与边平行．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使与边平行，得出，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． (2) 小问详解： 解：设秒后可使与边平行， ∴ ∴， ∵，， ∴即， 解得：． 秒可使与边平行． 9．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）如图，在中，，，，点从点开始，沿边以的速度向点运动；点从点开始，沿边以的速度向点运动，当点运动到点时，运动停止，如果分别从两点同时出发．设动点运动时间为秒． （1）当为何值时，为等腰三角形； （2）几秒后的面积等于？ （3）几秒后以为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）     （2）秒或秒     （3）秒或秒      【分析】 （）由题意得，，，再根据等腰三角形的定义列出方程即可求解； （）根据三角形的面积列出方程解答即可求解； （）分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴当为等腰三角形时，， 即， 解得， 答：当时，为等腰三角形； (2) 小问详解： 解：当的面积等于时，， 即， 整理得，， 解得， 答：秒或秒后，的面积等于； (3) 小问详解： 解：① 若，则， 即， 解得； ② 若，则， 即， 解得； 综上，秒或秒后以为顶点的三角形与相似． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（     ） A. 14 B. 15.6 C. 14.6 D. 15 【答案】B 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】 解：如图， 据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ∴树高为． 故选：B． 2．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 3．（25-26学年九上·宁夏自治区中卫中宁县·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为　　　　　　　　米． 【答案】6 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】 解：由题意知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：6． 4．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． （1）第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； （2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】（1）12米     （2）米      【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． (1) 小问详解： 解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． (2) 小问详解： 解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 5．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】（1）旗杆的高度为6米     （2）小水坑F到小明的距离的长为米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． (2) 小问详解： 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 6．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？ 【答案】4.2米 【分析】 本题考查了物高与影长成正比，过D作于点E，连接 求解即可． 【详解】 解：过D作于点E，连接，    由题意知 又∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴（米） 答：树高为米． 7．（25-26学年九上·宁夏回族自治区区银川第二十中学·期中）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高　　　　　　m． 【答案】7.5 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．根据题意证，根据线段比例关系求出即可求出的长． 【详解】 解：，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：7.5 考点06 位似 1．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点O位似，且，则点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 由与关于点O位似，且，得到与的相似比为1：2，由点E的坐标为，即可得到答案． 【详解】 解：∵与关于点O位似，且， ∴与的相似比为1：2， ∵点E的坐标为， ∴点的坐标为或， 即或， 故选：A 【点睛】 此题考查了位似，根据位似得到与的相似比为1：2，是解题的关键． 2．（25-26学年九上·宁夏银川景博学校·期中）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． （1）画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）内有一点在中的对应点的坐标为___________ （3）___________ 【答案】（1） 即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 3．（25-26学年九上·宁夏银川第二十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； （2）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求的面积． 【答案】（1） 画图如下： 即为所求．     （2）8      【分析】 （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可； （2）利用割补法结合三角形面积计算公式解答即可． 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． (1) 小问详解： ∵，以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为 ∴ (2) 小问详解： 的面积为：． 4．（25-26学年九上·宁夏银川外国语实验学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． （3）判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 即为所求：      （2）如图所示，即为所求图形，     （3）和是位似图形，位似中心坐标为      【分析】 本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即； (3) 小问详解： 解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 5．（25-26学年九上·宁夏回族自治区银川第十五中学·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并求出的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求；      （2） 如图所示：即为所求． 由图可知坐标为      【分析】 本题考查了几何的轴对称变换和位似变换，解决本题的关键是准确找到变换后的对应点． （1）找到、、关于轴对称的点，再连接相应的点； （2）将、、绕点旋转，再将对应点到点的距离扩大倍，得到、、，连接、、． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $