16.选必3 第六章 计数原理-【高中数学】6年(2021-2026)高考真题按章分类

【高中数学人教A版(2019)】 6年高考真题-按章分类 ( 2021—2026 ) 选择性必修第三册 第六章 计数原理 10个单选题 + 0个多选题 + 17个填空题 + 0个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(  ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 2.(2022高考·北京)若，则(  ) A.40 B.41 C. D. 3.(2023高考·全国)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(  ) A. B. C. D. 4.(2023高考·全国)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(  ) A.120 B.60 C.30 D.20 5.(2023高考·全国)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(    ) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 6.(2023高考·全国)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(  ) A.种 B.种 C.种 D.种 7.(2024高考·全国)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A. B. C. D. 8.(2024高考·北京)在的展开式中，的系数为( ) A. B. C. D. 9.(2026高考·北京)在的展开式中，若的系数是280，则实数(  ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 10.(2026高考·全国二卷)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有(  ) A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 二、填空题 11.(2021高考·天津)在的展开式中，的系数是__________. 12.(2022高考·全国)的展开式中的系数为__________(用数字作答). 13.(2023高考·全国)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种(用数字作答)。 14.(2023高考·天津)在的展开式中，项的系数为__________. 15.(2024高考·全国)的展开式中，各项系数中的最大值为 . 16.(2024高考·全国)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 . 17.(2024高考·全国)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 . 18.(2024高考·天津)在的展开式中，常数项为 . 19.(2024高考·上海)在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 . 20.(2025高考·北京)已知，则 ； . 21.(2025高考·天津)在的展开式中，项的系数为 . 22.(2025高考·上海)在二项式的展开式中，的系数为 . 23.(2025高考·上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种. 24.(2026高考·天津)展开式中的系数为__________。 25.(2026高考·上海)已知，则展开式中的系数为__________。 26.(2026高考·上海)的二项展开式中，的系数为____________。 27.(2026高考·上海)在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法。 选择性必修第三册 第六章 计数原理 ---- 参考答案及解析 ---- 一、单选题 1.C 将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为。 2.B 令，则，令，则，故。 3.D 依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为。 4.B 不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种。 5.C 首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种。 6.D 根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种。 7.B 解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 8.A 的二项展开式为，令，解得，故所求即为. 9.A 二项式的展开式的通项为，其中.令，解得，则项的系数为.∵ ，，且已知的系数为，∴ ，即，解得。 10.C 情况1：甲、乙两人都在A小组，安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组.若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人；B组已有{丁}，还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为，若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为，所以当甲、乙在A组时，方案数为种。 情况2：甲、乙两人都在 B 小组，甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ，所以当甲、乙在B组时，方案数为 种.故所有分配方案共有种。 二、填空题 11. 160 的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是。 12.-28 因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28 13.64 (1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种。 14.60 展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为。 15.5 由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 16. 从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，故，故，故， 若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为. 17.24；112 由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：，，，，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 18.20 因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为. 19.10 令，，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则，. 20.1；15 令，则，又，故，令，则，令，则，故故答案为：. 21. 展开式的通项公式为，当时，，即展开式中的系数为，故答案为：. 22.80 由通项公式，令，得，可得项的系数为，故答案为：. 23.288 先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法，故答案为：288. 24.8 根据二项式定理，展开式的通项公式为，当时，，因此的系数为。 25.10 由题意，在中，通项，当即时，，∴展开式中的系数为。 26.18 二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故答案为：。 27.6 由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，则一共有种选法，故答案为：6。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学人教A版(2019)】 6年高考真题-按章分类 ( 2021—2026 ) 选择性必修第三册 第六章 计数原理 10个单选题 + 0个多选题 + 17个填空题 + 0个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(  ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 1.C 将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为。 2.(2022高考·北京)若，则(  ) A.40 B.41 C. D. 2.B 令，则，令，则，故。 3.(2023高考·全国)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(  ) A. B. C. D. 3.D 依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为。 4.(2023高考·全国)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(  ) A.120 B.60 C.30 D.20 4.B 不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种。 5.(2023高考·全国)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(    ) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 5.C 首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种。 6.(2023高考·全国)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(  ) A.种 B.种 C.种 D.种 6.D 根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种。 7.(2024高考·全国)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A. B. C. D. 7.B 解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 8.(2024高考·北京)在的展开式中，的系数为( ) A. B. C. D. 8.A 的二项展开式为，令，解得，故所求即为. 9.(2026高考·北京)在的展开式中，若的系数是280，则实数(  ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 9.A 二项式的展开式的通项为，其中.令，解得，则项的系数为.∵ ，，且已知的系数为，∴ ，即，解得。 10.(2026高考·全国二卷)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有(  ) A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 10.C 情况1：甲、乙两人都在A小组，安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组.若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人；B组已有{丁}，还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为，若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为，所以当甲、乙在A组时，方案数为种。 情况2：甲、乙两人都在 B 小组，甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ，所以当甲、乙在B组时，方案数为 种.故所有分配方案共有种。 二、填空题 11.(2021高考·天津)在的展开式中，的系数是__________. 11. 160 的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是。 12.(2022高考·全国)的展开式中的系数为__________(用数字作答). 12.-28 因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28 13.(2023高考·全国)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种(用数字作答)。 13.64 (1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种。 14.(2023高考·天津)在的展开式中，项的系数为__________. 14.60 展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为。 15.(2024高考·全国)的展开式中，各项系数中的最大值为 . 15.5 由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 16.(2024高考·全国)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 . 16. 从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，故，故，故， 若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为. 17.(2024高考·全国)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 . 17.24；112 由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：，，，，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 18.(2024高考·天津)在的展开式中，常数项为 . 18.20 因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为. 19.(2024高考·上海)在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 . 19.10 令，，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则，. 20.(2025高考·北京)已知，则 ； . 20.1；15 令，则，又，故，令，则，令，则，故故答案为：. 21.(2025高考·天津)在的展开式中，项的系数为 . 21. 展开式的通项公式为，当时，，即展开式中的系数为，故答案为：. 22.(2025高考·上海)在二项式的展开式中，的系数为 . 22.80 由通项公式，令，得，可得项的系数为，故答案为：. 23.(2025高考·上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种. 23.288 先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法，故答案为：288. 24.(2026高考·天津)展开式中的系数为__________。 24.8 根据二项式定理，展开式的通项公式为，当时，，因此的系数为。 25.(2026高考·上海)已知，则展开式中的系数为__________。 25.10 由题意，在中，通项，当即时，，∴展开式中的系数为。 26.(2026高考·上海)的二项展开式中，的系数为____________。 26.18 二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故答案为：。 27.(2026高考·上海)在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法。 27.6 由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，则一共有种选法，故答案为：6。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $