专题十 计数原理&专题十一 数系的扩充与复数的引入-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

7.解析：因为A,B,C,D均在抛物线y=2x上，所 以A(学B(受小C(管 D(艺y0小当直线AB的斜率存在时，直线AB 的方指为-》◆=0，得 直线AB与x轴交点的横坐标为x=一y, 2 当直线AB的斜率不存在时上式仍成立.同理 可得直线CD与x轴交点的横坐标为x= -yCD,所以yyB=ycy,故@正确. 2 其他说法可以通过举反例或者计算验证对错： 取yA=1,yB=2,yc=-1,yD=一2，满足直线 AB、直线CD交x轴于一，点，且M与抛物线的 焦点重合，但yyB=2≠一2，故①错误； 此时S△r= OM|)2 SABDP 而（）-故⑤错误 由上述分析可得xp=一 2 2,xM= yAyC.IN 2 =-yByD 2 yAyB=ycyD,OM ON= |OP|2,故③错误；lya-ycI|OP|=ya-ycI Tp yAy Byc_yAyB 2 yAy Byc yAy cyD 2 2 =yB-yD ZM= yB一yD|OM,故④正确. 综上，正确的为②④： 答案：②④ 8.解析：根据抛物线的几何性质可求p的值. 因为抛物线的顶点到焦距的距离为号，故合 3,故p=6. 答案：6 9.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则 p=8,所以其焦点坐标为(4,0). 答案：(4,0) 10.解析：设P点坐标为(xoyo),P到准线的距离 为9，即xo十1=9，x0=8,代入抛物线方程，可 得yo=士4√2，则P到x轴的距离为4√2. 答案：4√2 11.解析：圆(x-1)2十y2=25的圆心为F(1,0), 故号-1即p=2,由1)+y=25,可得 {2=4x x2+2x-24=0,故x=4或x=-6(舍)， 故A4,士)，故直线方程为y=士专（红-1… 即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0, 故原点到直线AF的距离为d=41=4 55 答案：青 Is 专题十计数原理 考点一 1.C由于A,B两组是有标号的，我们首先考虑 将除甲、乙、丙、丁外的其余4人进行分配.甲、 乙必须在同组，丙、丁不能在同组，因此共有两 类可能：第一类：甲、乙都在A组.此时A组还 需要2人，B组需要4人.因为丙、丁不能同组， 所以丙、丁中必须有一个分在A组，另一个分在B 组：若丙在A组，丁在B组：A组已有{甲，乙，丙}， 还需从剩下的4人中选1人，有C=4种；若丁在 A组，丙在B组：同理有C=4种.共计4十4=8 种.第二类：甲、乙都在B组.同理对称的有8种方 案.所以，总的分配方案数为8十8=16种. 2.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人， 共有A·A=288种. 答案：288 3.解析：第一空：A=4！=24; 第二空：15+21+33+43=112. 答案：24112 4.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异， 且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数， 先研究集合中无重复数字的三位偶数； (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种； (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C8·C8= 256种； 所以集合元素个数最大值为256+72十1= 329种. 答案：329 考点二 1.A(a-√)7的展开式的通项T,+1=Ca' (-√x),r=0,1,2,…,7.令r=4,得T5= Ca3x2,所以Ca3=280,解得a=2. 2.A(x-√G)的展开式的通项T+1 Cx(-a)=(-1)rCx,令4-令=3， 解得k=2,所以在(x一√()的展开式中，x3的 系数为(-1)2C=6. 3.解析：(x+2y)中T+1=Cx(2y)'=2rCxy 受样到项需：13。 .r=1, .所求项的系数为C2=8. 答案：8 4.解析：由题意，通项为C5·(x2)5·x'=C5· x0”,则10-r=7,解得r=3,x7项的系数为 C=10. 答案：10 5.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法. (2.x-1)展开式的通项T,+1=C5(2x)5 (-1)'=(-1)C525-·x5-', 令5-r=3, 得r=2, .x3的系数为：C23(-1)2=80. 答案：80 60 6,解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数， T+1=C6x(-1)'=(-1)C6x6-r,令6-r= 3,r=3. .展开式中含x3的系数为(-1)3C8=-20. 答案：-20 7.解析：利用赋值法可求αo,利用换元法结合赋值 法可求a1十a2十a3十a4的值. 令x=0,则ao=1, 又（1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3 +16a4x, 故(1-2.x)4=a0十a1(-2.x)十a2(-2x)2+ a3(-2x)3十a4(-2x)4, 令t=-2x,则(1+t)4=ao+a1t十a2t2+a3t3 十a4t, 令t=1,则a十a1十a2十a3十a4=24, 故a1+a2十a3十a4=15 答案：115 8,解析：（侣十）的展开式的通项为工 10 10一k c(3 ·x,设第k十1项的系数最大， ()≥c 9一k 则 c()》≥c) 解得9<k<,因为k∈乙，所以长=8， 所以展开式中第9项的系数最大，为C(传)》 =5. 答案：5 9.解析：因为 的展开式的通项为T,+1 -c) =3-rC6x,r=0,1, …6, 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 10.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项 系数的和是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式 的展开式的通项公式是T+1=C5·x5·1', 令5一r=2,得r=3,则x2项的系数为C =10. 答案：10 专题十一数系的扩充与复数的引入 实战集训1 1.ACD由x=3十2i,得之=3-2i,A正确；之|= √32十2=√13≠5，B错误；z2=(3+2i)2=9+ 12i-4=5+12i,C正确；+3=6+21 之一i 3+i (6+2i)(3-i)=2∈R,D正确. 10 2.B(1-3i)2=12-2×1×3i+(3i)2=1-6i-9 =-8-6i. Is 3.C因为1=2十i,之2=1一3i,所以1十2=2十 i+1-3i=(2+1)+(1-3)i=3-2i, 则|z1十x2|=|3-2i =√J32+(-2)2=√13. 4.C由(1十5i)i=-5+i,即知虚部为1，选C. 5.A 1=1=-i 2-1-i 6.B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求 出.由i·十2=21可得，=二2+24=2+2i,所 i 以|z=√22十22=2√2，故选：B. 7.C由题知之=(1+i)(2-1),之=1中i-1-i.故 i 选择：C 8.Cx|=√1+1=√2. 9.A因为x=5+i,所以之=5-i,故i(之+x) =10i. 10.D因为之=√2i,所以之·之=2，故选D. 11.C =-1-i,则之=i(-1-i)=-i- i =1-i. 12.解析：(3+i)2=9+2+6i=8十6i. 答案：8十6i 13.解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 3+i=13+il-0=/10. i i 1 答案：√10 14.解析：本题考查了复数的运算，复数的模的 最值. 设之=a十bi(a,b∈R) x2=(2)2, ∴.(a+bi)2=(a-bi)2, 解得a=0或b=0, z≤1， ∴.应当a=0,b≤1或b=0,a≤1， |之一2一3表示复平面上之的对应点与(2， 3)的距离，可知当之位于(0,1)时，|之一2一3i 取得最小值为2√2. 答案：2√2 15.解析：设x=1+bi(b∈R,且b≠0)， 所以：+是-1+i十平=1十十2“例 1+b2 2 26 =1++(68 26 因为m∈R,所以6一1十=0，解得b=士1， 2 所以m=1+1十6=1+1=2. 答案：2 16.解析：（√5+i)·(√5-2i)=5+5i-2√5i+2 =7-√5i. 答案：7-√5i 31最新真题 分类特训 专题十计数原理 考点一计数原理、排列与组合 一、选择题 1.(2026·全国Ⅱ卷，6)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A,B两个技术攻关组，要求每组4人，其 中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有 () A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 二、填空题 2.(2025·上海卷，9)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾 均是家长，则不同的排列种数有 种 3.(2024·新课标Ⅱ卷，14)在如图的4×4方格表中选择4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格 被选中，则共有 种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 4.(2024·上海卷，10)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积 皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为 考点二二项式定理 一、选择题 1.(2026·北京卷，4)已知(a一√x)7的展开式中的x2的系数为280，则a= A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.(2024·北京卷，4)在(x-√x)4的二项展开式中，x3的系数为 A.6 B.-6 C.12 D.-12 二、填空题 3.(2026·天津卷，11)(x+2y)4的展开式中x3y的系数为 4.(2026·上海卷，6)在(x2+x)5的展开式中，x项的系数为 5.(2025·上海卷，4)在二项式(2x一1)5的展开式中，x3的系数为 6.(2025·天津卷，11)在(x一1)6的展开式中，x3项的系数为 7.(2025·北京卷，12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0= a1十a2+a3十a4= 0 8.(2024·全国甲卷，13) + 的展开式中，各项系数中的最大值为 9,(2024·天津卷，1山)在[+写) 的展开式中，常数项为 10.(2024·上海卷，6)在(x+1)”的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 63 最新真题 分类特训 专题十一 数系的扩克与复数的引入 一、选择题 1.(多选)(2026·全国I卷，9)设x=3+2i,则 A.z=3-2i B.|z|=5 C.z2=5+12i RER 2.(2026·全国Ⅱ卷，1)(1-3i)2= A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 3.(2026·北京卷，2)已知复数之1=2十i,2=1-3i,则之1十之2= A.5 B.5 C.√/13 D.13 4.(2025·全国一卷，1)(1十5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 5.(2025·全国二卷，2)已知=1+i.则 A.-i B.i C.-1 D.1 6.(2025·北京卷，2)已知复数x满足i·之十2=2i,则|z= A.√2 B.2√2 C.4 D.8 7.(2024·新课标I卷，2)若，产=1+i,则 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 8.(2024·新课标Ⅱ卷，2)已知x=一1-i,则|之|= A.0 B.1 C.2 D.2 9.(2024·全国甲卷（理），1)若之=5十i,则i(之十z)= A.10i B.2i C.10 D.2 10.(2024·全国甲卷（文），2)设之=√2i,则之·之= A.-2 B.√2 C.-2 D.2 1山.(2024·北京卷，2)若复数之满足三=一-1-i,则x A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 二、填空题 12.(2026·天津卷，10)已知i是虚数单位，化简(3+i)2= 13.(2025·天津卷，10)已知i是虚数单位，则 3+i 14.(2025·上海卷，10)已知复数之满足z2=()2,z≤1，则|之-2-3i的最小值是 15.(2024·上海卷，9)已知虚数，其实部为1，且十2=m(m∈R),则实数m为 16.(2024·天津卷，10)已知i是虚数单位，复数(5+i)·(5-2i)= 64