14.选必2 第四章 数列-【高中数学】6年(2021-2026)高考真题按章分类

【高中数学人教A版(2019)】 6年高考真题-按章分类 ( 2021—2026 ) 选择性必修第二册 第四章 数列 20个单选题 + 3个多选题 + 14个填空题 + 20个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)记为等比数列的前n项和.若，，则(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 2.(2021高考·北京)已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 3.(2021高考·北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm)，且长与宽之比都相等，已知，，，则( ) A.64 B.96 C.128 D.160 4.(2022高考·全国)已知等比数列的前3项和为168，，则(  ) A.14 B.12 C.6 D.3 5.(2022高考·全国)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中，则(  ) A. B. C. D. 6.(2022高考·北京)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2023高考·全国)记为等差数列的前项和.若，则(  ) A.25 B.22 C.20 D.15 8.(2023高考·全国)设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则(  ) A. B. C.15 D.40 9.(2023高考·全国)已知等差数列的公差为，集合，若，则(  ) A.－1 B. C.0 D. 10.(2023高考·全国)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则(  ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 11.(2023高考·全国)记为等比数列的前n项和，若，，则(  ) A.120 B.85 C. D. 12.(2024高考·全国)记为等差数列的前项和，已知，，则( ) A. B. C. D. 13.(2024高考·全国)已知等差数列的前项和为，若，则( ) A. B. C.1 D. 14.(2025高考·全国二卷)记为等差数列的前n项和，若则(  ) A. B. C. D. 15.(2025高考·天津)，则数列的前项和为(  ) A.112 B.48 C.80 D.64 16.(2025高考·北京)已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则(  ) A. B. C.16 D.18 17.(2026高考·北京)已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 18.(2026高考·天津)已知是数列的前n项的和，且，，则(  ) A.68 B.56 C.-3 D.-4 19.(2026高考·全国一卷)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列.将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 20.(2026高考·上海)下列数列中是等差数列也是等比数列的是(  ) A.1，-1，1，-1，1 B.1，2，3，4，5 C.5，5，5，5，5 D.1，2，3，5，7 二、多选题 21.(2021高考·全国)设正整数，其中，记.则(  ) A. B. C. D. 22.(2025高考·全国二卷)记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则(  ) A. B. C. D. 23.(2026高考·全国二卷)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则(  ) A. B. C. D. 三、填空题 24.(2022高考·全国)记为等差数列的前n项和.若，则公差__________. 25.(2022高考·北京)已知数列各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论： ①的第2项小于3 ②为等比数列； ③为递减数列 ④中存在小于的项. 其中所有正确结论的序号是__________. 26.(2023高考·全国)记为等比数列的前项和.若，则的公比为__________. 27.(2023高考·全国)已知为等比数列，，，则__________. 28.(2024高考·全国)记为等差数列的前n项和，若，，则 . 29.(2024高考·北京)设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 30.(2024高考·上海)无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 . 31.(2025高考·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 32.(2025高考·上海)已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 . 33.(2026高考·北京)已知公差为的等差数列的前项和为.若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________. 34.(2026高考·上海)已知为等比数列，，，则__________。 35.(2026高考·上海)已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________。 36.(2026高考·全国二卷)记为等差数列的前项和.若，，则__________。 37.(2026高考·全国一卷)设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________。 四、解答题 38.(2021高考·全国)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若。 (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 39.(2021高考·全国)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知。 (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式。 40.(2021高考·全国)记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列。 41.(2021高考·全国)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 42.(2021高考·全国)已知数列满足， (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的前20项和。 43.(2021高考·天津)已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64.是公比大于0的等比数列，。 (I)求和的通项公式； (II)记， (i)证明是等比数列； (ii)证明 44.(2022高考·全国)已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且。 (1)证明：； (2)求集合中元素个数。 45.(2022高考·全国)记为数列的前n项和，已知。 (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值。 46.(2022高考·全国)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列。 (1)求的通项公式； (2)证明：。 47.(2022高考·天津)设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求。 48.(2023高考·全国)记为等差数列的前项和，已知。 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和。 49.(2023高考·全国)设为数列的前n项和，已知。 (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和。 50.(2023高考·全国)设等差数列的公差为，且.令，记分别为数列的前项和。 (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求。 51.(2023高考·全国)已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，。 (1)求的通项公式； (2)证明：当时，。 52.(2023高考·北京)已知数列的项数均为m，且 的前n项和分别为，并规定.对于，定义，其中，表示数集M中最大的数。 (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得。 53.(2023高考·天津)已知是等差数列，. (1)求的通项公式和. (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， (Ⅰ)当时，求证：； (Ⅱ)求的通项公式及其前项和. 54.(2024高考·全国)已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 55.(2024高考·全国)记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 56.(2024高考·天津)已知数列是公比大于0的等比数列.其前项和为.若. (1)求数列前项和； (2)设，. (ⅰ)当时，求证：； (ⅱ)求. 57.(2026高考·天津)已知等差数列与等比数列满足：，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数. (i)求； (ii)求。 选择性必修第二册 第四章 数列 ---- 参考答案及解析 ---- 一、单选题 1.A ∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴. 2.C 若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以，对于，，取数列各项为(，，则，所以n的最大值为11。 3.C 由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以。 4.D 设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以. 5.D 【方法一】：常规解法，因为，所以，，得到，同理，可得，又因为 ，故，；以此类推，可得，，A错误。，B错误。，得，C错误。，得，D正确。 【方法二】：特值法，不妨设则D正确。 6.C 设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数，若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”，所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件。 7.C 方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即，又，解得：，所以。 方法二：，，所以，，从而，于是，所以。 8.C 由题知，即，即，即，由题知，所以，所以。 9.B 依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，。 10.C 方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确。 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件。 11.C 方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以 。 方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去. 12.B 由，则，则等差数列的公差，故. 13.D 方法一：利用等差数列的基本量。由，根据等差数列的求和公式，，又. 方法二：利用等差数列的性质。根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故. 方法三：特殊值法。不妨取等差数列公差，则，则. 14.B 设等差数列的公差为d，则由题可得 ，所以，B入选。 15.C 因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式，所以，令，，设数列的前n项和为，则数列的前项和为数列的前项和为，C入选。 16.C 设等差数列的公差为，因为成等比数列，且，所以，即，解得或(舍去)，所以，C入选。 17.A 由题意，，是无穷数列，验证充分性：当存在常数，使时，，，显然成立，验证必要性：当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，当时，，，此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，但不存在这样的固定常数，∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件。 18.C 由，得，即；，即；因为，所以；，即，所以；，即，所以。 19.B 由已知，，，，，设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，此时可取，，，，，，满足要求。 20.C 设该数列为，则该数列满足，其中.则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意，C入选。 二、多选题 21.ACD ，，所以，，A正确。取，，，而，则，即，B错误。，所以，，，所以，，因此，，C正确。，故，D正确。 22.AD 对A，由题意得，结合，解得或(舍去)，A正确。对B，则，B错误。对C，，故C错误；对D，，，则，D正确，故选：AD。 23.ACD 由等比数列的公比为，则，即.因为，所以，即.因为，所以，所以，即，所以A正确.因为，则，B错误。，，C正确。，当n为奇数时，；当n为偶数时，因为；所以，所以，即，D正确。 三、填空题 24.2 由可得，化简得，即，解得。 25.①③④ 由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错。当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对。假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对。 26. 若，则由得，则，不合题意.所以。当时，因为，所以，即，即，即，解得。 27. 设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则。 28.95 因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则. 29.①③④ 对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列，但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，，若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解： 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解，当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即，否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 30. 由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即. 31.2 法一：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，当时，，即，则，显然不成立，舍去；当时，则，两式相除得，即，则，所以，所以该等比数列公比为2，故答案为：。 法二：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，所以，，所以，则，所以，所以该等比数列公比为2，故答案为：2。 法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，因为，又，所以，所以，所以该等比数列公比为，故答案为：. 32.12 根据等差数列的求和公式，.故答案为：. 33.；(答案不唯一，满足即可) 等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵ ，，∴ .由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值. 34.54 设数列的公比为，则，则。 35. 根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，且，是单调递增的，所以必须满足，所以，所以. 36.24 由等差数列通项公式，代入可得，解得.因为，所以，故。 37. 令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论，若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为。 四、解答题 38.【答案】(1) (2)7 【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：。 (2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为。 39.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)【方法一】：由已知得，且，，取，由得，由于为数列的前n项积，所以，所以，所以，由于所以，即，其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列; 【方法二】： 由已知条件知，①于是，②由①②得，③又，④由③④得。令，由，得。所以数列是以为首项，为公差的等差数列。 【方法三】： 由，得，且，，，又因为，所以，所以。在中，当时，，故数列是以为首项，为公差的等差数列。 【方法四】：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且。下面用数学归纳法证明.当时显然成立.假设当时成立，即，那么当时， 。综上，猜想对任意的都成立，即数列是以为首项，为公差的等差数列。 (2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，，当n=1时，，当n≥2时，，显然对于n=1不成立，∴。 40.【答案】证明见解析 【解析】证明： ∵数列是等差数列，设公差为 ∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列。 41.【答案】证明见面解析 【解析】选①②作条件证明③： 【方法一】：待定系数法+与关系式，设，则，当时，；当时， ；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故。 【方法二】：待定系数法，设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立.则有，解得.所以，选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列，选②③作条件证明①： 【方法一】：定义法，设，则，当时，；当时， ；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列。 【方法二】：求解通项公式，因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意。 42.【答案】(1) (2)300 【解析】(1)【方法一】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是。 【方法二】：奇偶分类讨论，由题意知，所以.由(为奇数)及(为偶数)可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2，所以，则。 【方法三】：累加法，由题意知数列满足.所以，，则 ，所以，数列的通项公式。 (2)【方法一】：奇偶分类讨论。 【方法二】：分组求和，由题意知数列满足，所以，所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，从而数列的前20项和为：。 43.【答案】(I)， (II)(i)(ii)证明见解析 【解析】(I)因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64，所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得(负值舍去)，所以。 (II)(i)由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列。 (ii)由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以。 44.【答案】(1)证明见解析 (2)9 【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证。 (2)由(1)知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为。 45.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列。 (2)【方法一】：二次函数的性质由(1)可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，。 【方法二】：邻项变号法，由(1)可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有则当或时，。 46.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴当时，，∴，整理得：，即，∴，显然对于也成立，∴的通项公式。 (2) ∴ 。 47.【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】(1)设公差为d，公比为，则，由可得(舍去)，所以。 (2)证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以。 (3)因为，所以 ，设所以，则，作差得，所以，所以 。 48.【答案】(1) (2) 【解析】(1)设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以。 (2)因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：。 49.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以。 (2)因为，所以，，两式相减得，，，即，。 50.【答案】(1) (2) 【解析】(1)，，解得，，又，，即，解得或(舍去)，。 (2) 为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或(舍去)当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，。 51.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是。 (2)方法1：由(1)知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此， 所以当时，。 方法2：由(1)知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，。 52.【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【解析】(1)由题意可知：，当时，则，故；当时，则，故；当时，则故；当时，则，故；综上所述：，，，。 (2)由题意可知：，且，因为，且，则对任意恒成立，所以，又因为，则，即，可得，反证：假设满足的最小正整数为，当时，则；当时，则，则 ，又因为，则，假设不成立，故，即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以。 (3)因为均为正整数，则均为递增数列，(ⅰ)若，则可取，满足 使得；(ⅱ)若，则，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得，则，可得，这与相矛盾，故对任意，均有.①若存在正整数，使得，即，可取，满足，使得；②若不存在正整数，使得，因为，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，满足，使得；(ⅲ)若，定义，则，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得，则，可得，这与相矛盾，故对任意，均有，①若存在正整数，使得，即，可取，即满足，使得；②若不存在正整数，使得，因为，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，满足，使得，综上所述：存在使得。 53.【答案】(1)， (2)(Ⅰ)证明见解析 【解析】(1)由题意可得，解得，则数列的通项公式为，求和得。 (2)(Ⅱ)，前项和为 (Ⅰ)由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，据此可得，综上可得：。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，则数列的公比满足，当时，，所以，所以，即，当时，，所以，所以数列的通项公式为，其前项和为：。 54.【答案】(1) (2) 【解析】 (1)因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故. (2)由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和 . 55.【答案】(1) (2) 【解析】(1)当时，，解得.当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. (2),所以故，所以，. 56.【答案】(1) (2)(i)证明见详解 (ⅱ) 【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，即，可得，整理得，解得或(舍去)，所以. (2)(i)由(1)可知，且，当时，则，即，可知，，可得，当且仅当时，等号成立，所以； (ii)由(1)可知：，若，则；若，则，当时，，可知为等差数列，可得，所以，且，符合上式，综上所述：. 57.【答案】(1) (2)(i)；(ii). 【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或(公比不能为0，舍去)，所以 (2)(i)由(1)知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，小于的正偶数有个，由得，，所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，所以。 (ii)当时，中小于等于的项有个，又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，所以，所以，从到共有项，又为奇数时，所以，所以令①，则②，①-②得，所以，所以。 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学人教A版(2019)】 6年高考真题-按章分类 ( 2021—2026 ) 选择性必修第二册 第四章 数列 20个单选题 + 3个多选题 + 14个填空题 + 20个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)记为等比数列的前n项和.若，，则(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 1.A ∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴. 2.(2021高考·北京)已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.C 若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以，对于，，取数列各项为(，，则，所以n的最大值为11。 3.(2021高考·北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm)，且长与宽之比都相等，已知，，，则( ) A.64 B.96 C.128 D.160 3.C 由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以。 4.(2022高考·全国)已知等比数列的前3项和为168，，则(  ) A.14 B.12 C.6 D.3 4.D 设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以. 5.(2022高考·全国)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中，则(  ) A. B. C. D. 5.D 【方法一】：常规解法，因为，所以，，得到，同理，可得，又因为 ，故，；以此类推，可得，，A错误。，B错误。，得，C错误。，得，D正确。 【方法二】：特值法，不妨设则D正确。 6.(2022高考·北京)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.C 设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数，若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”，所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件。 7.(2023高考·全国)记为等差数列的前项和.若，则(  ) A.25 B.22 C.20 D.15 7.C 方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即，又，解得：，所以。 方法二：，，所以，，从而，于是，所以。 8.(2023高考·全国)设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则(  ) A. B. C.15 D.40 8.C 由题知，即，即，即，由题知，所以，所以。 9.(2023高考·全国)已知等差数列的公差为，集合，若，则(  ) A.－1 B. C.0 D. 9.B 依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，。 10.(2023高考·全国)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则(  ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 10.C 方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确。 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件。 11.(2023高考·全国)记为等比数列的前n项和，若，，则(  ) A.120 B.85 C. D. 11.C 方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以 。 方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去. 12.(2024高考·全国)记为等差数列的前项和，已知，，则( ) A. B. C. D. 12.B 由，则，则等差数列的公差，故. 13.(2024高考·全国)已知等差数列的前项和为，若，则( ) A. B. C.1 D. 13.D 方法一：利用等差数列的基本量。由，根据等差数列的求和公式，，又. 方法二：利用等差数列的性质。根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故. 方法三：特殊值法。不妨取等差数列公差，则，则. 14.(2025高考·全国二卷)记为等差数列的前n项和，若则(  ) A. B. C. D. 14.B 设等差数列的公差为d，则由题可得 ，所以，B入选。 15.(2025高考·天津)，则数列的前项和为(  ) A.112 B.48 C.80 D.64 15.C 因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式，所以，令，，设数列的前n项和为，则数列的前项和为数列的前项和为，C入选。 16.(2025高考·北京)已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则(  ) A. B. C.16 D.18 16.C 设等差数列的公差为，因为成等比数列，且，所以，即，解得或(舍去)，所以，C入选。 17.(2026高考·北京)已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.A 由题意，，是无穷数列，验证充分性：当存在常数，使时，，，显然成立，验证必要性：当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，当时，，，此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，但不存在这样的固定常数，∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件。 18.(2026高考·天津)已知是数列的前n项的和，且，，则(  ) A.68 B.56 C.-3 D.-4 18.C 由，得，即；，即；因为，所以；，即，所以；，即，所以。 19.(2026高考·全国一卷)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列.将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 19.B 由已知，，，，，设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，此时可取，，，，，，满足要求。 20.(2026高考·上海)下列数列中是等差数列也是等比数列的是(  ) A.1，-1，1，-1，1 B.1，2，3，4，5 C.5，5，5，5，5 D.1，2，3，5，7 20.C 设该数列为，则该数列满足，其中.则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意，C入选。 二、多选题 21.(2021高考·全国)设正整数，其中，记.则(  ) A. B. C. D. 21.ACD ，，所以，，A正确。取，，，而，则，即，B错误。，所以，，，所以，，因此，，C正确。，故，D正确。 22.(2025高考·全国二卷)记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则(  ) A. B. C. D. 22.AD 对A，由题意得，结合，解得或(舍去)，A正确。对B，则，B错误。对C，，故C错误；对D，，，则，D正确，故选：AD。 23.(2026高考·全国二卷)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则(  ) A. B. C. D. 23.ACD 由等比数列的公比为，则，即.因为，所以，即.因为，所以，所以，即，所以A正确.因为，则，B错误。，，C正确。，当n为奇数时，；当n为偶数时，因为；所以，所以，即，D正确。 三、填空题 24.(2022高考·全国)记为等差数列的前n项和.若，则公差__________. 24.2 由可得，化简得，即，解得。 25.(2022高考·北京)已知数列各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论： ①的第2项小于3 ②为等比数列； ③为递减数列 ④中存在小于的项. 其中所有正确结论的序号是__________. 25.①③④ 由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错。当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对。假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对。 26.(2023高考·全国)记为等比数列的前项和.若，则的公比为__________. 26. 若，则由得，则，不合题意.所以。当时，因为，所以，即，即，即，解得。 27.(2023高考·全国)已知为等比数列，，，则__________. 27. 设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则。 28.(2024高考·全国)记为等差数列的前n项和，若，，则 . 28.95 因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则. 29.(2024高考·北京)设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 29.①③④ 对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列，但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，，若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解： 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解，当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即，否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 30.(2024高考·上海)无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 . 30. 由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即. 31.(2025高考·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 31.2 法一：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，当时，，即，则，显然不成立，舍去；当时，则，两式相除得，即，则，所以，所以该等比数列公比为2，故答案为：。 法二：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，所以，，所以，则，所以，所以该等比数列公比为2，故答案为：2。 法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，因为，又，所以，所以，所以该等比数列公比为，故答案为：. 32.(2025高考·上海)已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 . 32.12 根据等差数列的求和公式，.故答案为：. 33.(2026高考·北京)已知公差为的等差数列的前项和为.若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________. 33.；(答案不唯一，满足即可) 等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵ ，，∴ .由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值. 34.(2026高考·上海)已知为等比数列，，，则__________。 34.54 设数列的公比为，则，则。 35.(2026高考·上海)已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________。 35. 根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，且，是单调递增的，所以必须满足，所以，所以. 36.(2026高考·全国二卷)记为等差数列的前项和.若，，则__________。 36.24 由等差数列通项公式，代入可得，解得.因为，所以，故。 37.(2026高考·全国一卷)设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________。 37. 令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论，若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为。 四、解答题 38.(2021高考·全国)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若。 (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 38.【答案】(1) (2)7 【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：。 (2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为。 39.(2021高考·全国)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知。 (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式。 39.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)【方法一】：由已知得，且，，取，由得，由于为数列的前n项积，所以，所以，所以，由于所以，即，其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列; 【方法二】： 由已知条件知，①于是，②由①②得，③又，④由③④得。令，由，得。所以数列是以为首项，为公差的等差数列。 【方法三】： 由，得，且，，，又因为，所以，所以。在中，当时，，故数列是以为首项，为公差的等差数列。 【方法四】：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且。下面用数学归纳法证明.当时显然成立.假设当时成立，即，那么当时， 。综上，猜想对任意的都成立，即数列是以为首项，为公差的等差数列。 (2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，，当n=1时，，当n≥2时，，显然对于n=1不成立，∴。 40.(2021高考·全国)记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列。 40.【答案】证明见解析 【解析】证明： ∵数列是等差数列，设公差为 ∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列。 41.(2021高考·全国)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 41.【答案】证明见面解析 【解析】选①②作条件证明③： 【方法一】：待定系数法+与关系式，设，则，当时，；当时， ；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故。 【方法二】：待定系数法，设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立.则有，解得.所以，选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列，选②③作条件证明①： 【方法一】：定义法，设，则，当时，；当时， ；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列。 【方法二】：求解通项公式，因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意。 42.(2021高考·全国)已知数列满足， (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的前20项和。 42.【答案】(1) (2)300 【解析】(1)【方法一】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是。 【方法二】：奇偶分类讨论，由题意知，所以.由(为奇数)及(为偶数)可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2，所以，则。 【方法三】：累加法，由题意知数列满足.所以，，则 ，所以，数列的通项公式。 (2)【方法一】：奇偶分类讨论。 【方法二】：分组求和，由题意知数列满足，所以，所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，从而数列的前20项和为：。 43.(2021高考·天津)已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64.是公比大于0的等比数列，。 (I)求和的通项公式； (II)记， (i)证明是等比数列； (ii)证明 43.【答案】(I)， (II)(i)(ii)证明见解析 【解析】(I)因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64，所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得(负值舍去)，所以。 (II)(i)由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列。 (ii)由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以。 44.(2022高考·全国)已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且。 (1)证明：； (2)求集合中元素个数。 44.【答案】(1)证明见解析 (2)9 【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证。 (2)由(1)知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为。 45.(2022高考·全国)记为数列的前n项和，已知。 (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值。 45.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列。 (2)【方法一】：二次函数的性质由(1)可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，。 【方法二】：邻项变号法，由(1)可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有则当或时，。 46.(2022高考·全国)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列。 (1)求的通项公式； (2)证明：。 46.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴当时，，∴，整理得：，即，∴，显然对于也成立，∴的通项公式。 (2) ∴ 。 47.(2022高考·天津)设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求。 47.【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】(1)设公差为d，公比为，则，由可得(舍去)，所以。 (2)证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以。 (3)因为，所以 ，设所以，则，作差得，所以，所以 。 48.(2023高考·全国)记为等差数列的前项和，已知。 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和。 48.【答案】(1) (2) 【解析】(1)设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以。 (2)因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：。 49.(2023高考·全国)设为数列的前n项和，已知。 (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和。 49.【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以。 (2)因为，所以，，两式相减得，，，即，。 50.(2023高考·全国)设等差数列的公差为，且.令，记分别为数列的前项和。 (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求。 50.【答案】(1) (2) 【解析】(1)，，解得，，又，，即，解得或(舍去)，。 (2) 为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或(舍去)当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，。 51.(2023高考·全国)已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，。 (1)求的通项公式； (2)证明：当时，。 51.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是。 (2)方法1：由(1)知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此， 所以当时，。 方法2：由(1)知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，。 52.(2023高考·北京)已知数列的项数均为m，且 的前n项和分别为，并规定.对于，定义，其中，表示数集M中最大的数。 (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得。 52.【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【解析】(1)由题意可知：，当时，则，故；当时，则，故；当时，则故；当时，则，故；综上所述：，，，。 (2)由题意可知：，且，因为，且，则对任意恒成立，所以，又因为，则，即，可得，反证：假设满足的最小正整数为，当时，则；当时，则，则 ，又因为，则，假设不成立，故，即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以。 (3)因为均为正整数，则均为递增数列，(ⅰ)若，则可取，满足 使得；(ⅱ)若，则，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得，则，可得，这与相矛盾，故对任意，均有.①若存在正整数，使得，即，可取，满足，使得；②若不存在正整数，使得，因为，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，满足，使得；(ⅲ)若，定义，则，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得，则，可得，这与相矛盾，故对任意，均有，①若存在正整数，使得，即，可取，即满足，使得；②若不存在正整数，使得，因为，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，满足，使得，综上所述：存在使得。 53.(2023高考·天津)已知是等差数列，. (1)求的通项公式和. (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， (Ⅰ)当时，求证：； (Ⅱ)求的通项公式及其前项和. 53.【答案】(1)， (2)(Ⅰ)证明见解析 【解析】(1)由题意可得，解得，则数列的通项公式为，求和得。 (2)(Ⅱ)，前项和为 (Ⅰ)由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，据此可得，综上可得：。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，则数列的公比满足，当时，，所以，所以，即，当时，，所以，所以数列的通项公式为，其前项和为：。 54.(2024高考·全国)已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 54.【答案】(1) (2) 【解析】 (1)因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故. (2)由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和 . 55.(2024高考·全国)记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 55.【答案】(1) (2) 【解析】(1)当时，，解得.当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. (2),所以故，所以，. 56.(2024高考·天津)已知数列是公比大于0的等比数列.其前项和为.若. (1)求数列前项和； (2)设，. (ⅰ)当时，求证：； (ⅱ)求. 56.【答案】(1) (2)(i)证明见详解 (ⅱ) 【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，即，可得，整理得，解得或(舍去)，所以. (2)(i)由(1)可知，且，当时，则，即，可知，，可得，当且仅当时，等号成立，所以； (ii)由(1)可知：，若，则；若，则，当时，，可知为等差数列，可得，所以，且，符合上式，综上所述：. 57.(2026高考·天津)已知等差数列与等比数列满足：，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数. (i)求； (ii)求。 57.【答案】(1) (2)(i)；(ii). 【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或(公比不能为0，舍去)，所以 (2)(i)由(1)知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，小于的正偶数有个，由得，，所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，所以。 (ii)当时，中小于等于的项有个，又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，所以，所以，从到共有项，又为奇数时，所以，所以令①，则②，①-②得，所以，所以。 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $