重难点19 数列的综合应用（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以题型为纲构建“方法-知识-应用”三维训练体系，聚焦数列综合问题的系统性突破，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比综合|1例+3变式|方程思想与性质转化|从基本量运算到综合应用| |数学文化问题|1例+3变式|模型构造（等差/等比）|实际问题数学化表达| |通项公式求解|1例+3变式|递推关系分类处理|前n项和与通项转化| |不等式问题|2题型各1例+3变式|放缩法与参数分离|数列性质与不等式证明结合| |求和|1例+3变式|公式法与错位相减等|不同结构数列求和策略| |交汇问题|1例+3变式|跨知识整合（函数/向量等）|数列与其他知识联系| |新定义问题|1例+3变式|信息迁移与照章办事|创新情境下的知识应用|

重难点19 数列的综合应用 【全国通用】 【题型1 等差数列、等比数列综合】 2 【题型2 数列中的数学文化问题】 3 【题型3 数列的通项公式的求解】 4 【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 5 【题型5 数列中的不等式证明】 6 【题型6 数列求和】 7 【题型7 数列与其他知识的交汇问题】 8 【题型8 数列中的新定义、新情景问题】 9 1、数列的综合应用 数列是高考的重点内容和热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的重点、热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等知识。 从近三年的高考情况来看，高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题也是高考的一个重要趋势，这类问题综合性强，难度大，需要学会灵活求解。 考点1 数列的综合应用 知识点1 等差、等比数列的交汇问题的解题策略 1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路： (1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用. (2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化. 知识点2 数列的数学文化问题 1．数列的数学文化问题的解题步骤： (1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意； (2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型； (3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题. 知识点3 数列的新定义、新情景问题 1．数列的新定义、新情景问题的求解策略 (1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. (2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 知识点4 数列的综合应用 1．数列与不等式交汇问题的解题策略 (1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. (2)数列与不等式交汇问题的答题模板 第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式； 第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和； 第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围； 第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤. 2．数列与函数交汇问题的解题策略 数列与函数综合问题的主要类型及解题策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性. 3．子数列问题的解题策略 子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维. 4．数列中结构不良题的解法 (1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解. (2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答. 【题型1 等差数列、等比数列综合】 【例1】（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 【变式1-1】（2026·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式1-2】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【变式1-3】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型2 数列中的数学文化问题】 【例2】（2026·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式2-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【变式2-3】（2026·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型3 数列的通项公式的求解】 【例3】（2026·云南·一模）已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·河北邯郸·三模）已知数列中，，（为常数，），且，，是公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式3-3】（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 【例4】（2026·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2026·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【变式4-3】（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【题型5 数列中的不等式证明】 【例5】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【变式5-1】（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，为的前n项和，证明：. 【变式5-2】（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【变式5-3】（2026·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【题型6 数列求和】 【例6】（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列满足，，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型7 数列与其他知识的交汇问题】 【例7】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知平面向量，.若，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【变式7-2】（2026·云南·三模）某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. (1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； (2)记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 【变式7-3】（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【题型8 数列中的新定义、新情景问题】 【例8】（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【变式8-1】（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【变式8-2】（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【变式8-3】（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由； (2)若是“组差数列”，且为定值，证明：； (3)记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 2．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 3．（2026·河南·一模）一个商人初始持有2枚硬币，每天他都能使持有的硬币数量翻倍，且在每天结束时上缴1枚硬币的税收，那么第8天结束后商人手上持有的硬币数量为（） A．129 B．256 C．257 D．512 4．（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 6．（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南新乡·三模）已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、多选题 9．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）设等比数列，记其公比，前项和为，若，，成等差数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．是等差数列，且公差为 D． 10．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B．若数列满足，则数列为等比数列 C． D．若数列满足，其前n项和为，则 11．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知数列的前项和为，，，，且数列，为等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 D．设，则，且 三、填空题 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则___________． 13．（2026·湖北荆州·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为___________. 14．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为___________． 四、解答题 15．（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 16．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 17．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 18．（2026·甘肃白银·三模）某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组． (1)记为前2次发送的总得分，求． (2)设为第次发送使用激光模组的概率． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，求数列的前项和． 19．（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点19 数列的综合应用 【全国通用】 【题型1 等差数列、等比数列综合】 2 【题型2 数列中的数学文化问题】 5 【题型3 数列的通项公式的求解】 7 【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 9 【题型5 数列中的不等式证明】 12 【题型6 数列求和】 15 【题型7 数列与其他知识的交汇问题】 18 【题型8 数列中的新定义、新情景问题】 22 1、数列的综合应用 数列是高考的重点内容和热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的重点、热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等知识。 从近三年的高考情况来看，高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题也是高考的一个重要趋势，这类问题综合性强，难度大，需要学会灵活求解。 考点1 数列的综合应用 知识点1 等差、等比数列的交汇问题的解题策略 1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路： (1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用. (2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化. 知识点2 数列的数学文化问题 1．数列的数学文化问题的解题步骤： (1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意； (2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型； (3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题. 知识点3 数列的新定义、新情景问题 1．数列的新定义、新情景问题的求解策略 (1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. (2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 知识点4 数列的综合应用 1．数列与不等式交汇问题的解题策略 (1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. (2)数列与不等式交汇问题的答题模板 第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式； 第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和； 第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围； 第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤. 2．数列与函数交汇问题的解题策略 数列与函数综合问题的主要类型及解题策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性. 3．子数列问题的解题策略 子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维. 4．数列中结构不良题的解法 (1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解. (2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答. 【题型1 等差数列、等比数列综合】 【例1】（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 【答案】D 【解题思路】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【解答过程】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（2026·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【解题思路】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可. 【解答过程】由题意可得成等差数列，成等比数列， 得到，，故， 若，则，解得， 可得，即，故A正确. 故选：A． 【变式1-2】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设数列的公比为，根据等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求解. 【解答过程】（1）设数列的公比为， 因为是首项为1的等比数列且成等差数列， 所以，所以，即， 解得，所以 （2）由（1）． ，① 则，② ①－②得， 所以. 【变式1-3】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【解答过程】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 【题型2 数列中的数学文化问题】 【例2】（2026·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【解答过程】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C. 【变式2-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【解题思路】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【解答过程】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B. 【变式2-3】（2026·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值. 【解答过程】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 所以，即，化简得 解得：或(舍) 故选：C. 【题型3 数列的通项公式的求解】 【例3】（2026·云南·一模）已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用累加法，即可求解. 【解答过程】因为，当时，， 两式相减得到，即， 又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则， 当时，， 所以，又时，满足， 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【解答过程】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以 ，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C. 【变式3-2】（2026·河北邯郸·三模）已知数列中，，（为常数，），且，，是公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件得到方程，求出，从而累加法可得通项公式，检验后得到答案； （2）裂项相消法得到，相加可得答案 【解答过程】（1）， 又，故，， 因为，，成等比数列，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去；故. 当时，由于，，…，， 相加可得. 又，，故. 当时，上式也成立， 所以. （2）由（1）可得，， 所以数列的前项和 . 【变式3-3】（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【解答过程】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 【例4】（2026·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造等比数列得，由题意对于任意的恒成立，故只需求出即可. 【解答过程】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 【变式4-1】（2026·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解. 【解答过程】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以， 所以， 由有，即， 解得， 所以使成立的的最大值是， 故选：C. 【变式4-2】（2026·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 【变式4-3】（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【解答过程】（1）已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. （2）不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. 【题型5 数列中的不等式证明】 【例5】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解题思路】（1）根据递推关系及的关系求得、，再由等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求，即可证. 【解答过程】（1）因为，， 当时，，又，所以或，又，则. 当时，因①；所以②， ①②：，化简：， 由，，故， 所以是以2为首项，公差为1的等差数列，则. （2），证明： 由，得， 所以， 又，所以，得证. 【变式5-1】（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，为的前n项和，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，即可求得答案； （2）结合（1）的结果可得的表达式，说明为等比数列，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可证明结论. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 由，得，解得， 故； （2）证明：，则， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 由于随着n的增大而增大，，故是关于n的增函数， 故， 又，故, 综上可知. 【变式5-2】（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得. 【解答过程】（1）设数列的公比为（）. 因为 ，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）证明：由，得， 两式相减，得，所以， 则. 【变式5-3】（2026·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【答案】(1)不是等比数列，且； (2)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【解答过程】（1）因为，且对任意的，， 当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即，所以， 又因为， 故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列， 当时，，即， 综上所述，. （2）证明：设等差数列的公差为，由题意可知，且，， ，， 所以，，， 因为、、成等比数列，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以 ，故原不等式得证. 【题型6 数列求和】 【例6】（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列满足，，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由递推关系可得为常数列，得，利用裂项相消求和. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以数列为常数列， 又，所以，所以， 则， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（2026·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，由题意得出，可得出，进而可得出关于的方程，结合可得出的值，进而可求出的值，可得出这两个数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项和. 【解答过程】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中， 由题意，即，即，整理得， 因为，所以，故， 所以，则，故， 又因为, 所以数列的前项和为 . 故选：A. 【变式6-2】（2026·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用的关系求的通项公式； （2）由题设写出的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【解答过程】（1）当时，，得， 当时，，得，整理得， 所以从开始成公比为3的等比数列，则. 综上，； （2）由（1）得， 当时，， 当时，， 则， 两式相减，得， 所以也满足该式， 故. 【变式6-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系可得，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）由（1），根据对数的运算性质和等差数列前项求和公式计算可得，进而 ，结合裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）由，得， 相减可得，故. 当时，， 又，解得，所以， 因此对任意的，都有， 故为等比数列，且公比为3， 故. （2）. 故. ， 所以数列的前项和为. 【题型7 数列与其他知识的交汇问题】 【例7】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知平面向量，.若，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助可得，再利用等比数列求和公式与等差数列求和公式计算即可得解. 【解答过程】由，则有， 即，则 . 故选：A. 【变式7-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【解答过程】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 【变式7-2】（2026·云南·三模）某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. (1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； (2)记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）由二项分布求解即可； （2）（i）由第天选择投放点甲的概率为即可求解；（ii）构造数列，由等比数列的定义即可求解. 【解答过程】（1）任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为， 由题意可得，， 所以. （2）（i）第天选择投放点甲的概率为， 整理得. （ii）因为， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得. 【变式7-3】（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【解答过程】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 【题型8 数列中的新定义、新情景问题】 【例8】（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 【变式8-1】（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【解答过程】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 故选：B. 【变式8-2】（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①； ②. 【解题思路】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）是，理由如下： 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 【变式8-3】（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由； (2)若是“组差数列”，且为定值，证明：； (3)记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这四项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【解答过程】（1）(1)是，理由如下： 当时，， 当时，，， 所以， 所以数列是以为公差的等差数列，且， 所以是“组差数列”； （2）证明：因为是“组差数列”， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得： ， 所以，即； （3）证明：因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 对于任意正整数，均存在非负整数和整数，使得， 此时，， 设这四项中的最小值为， 因为，所以， 从而， ， 令，由对任意的实数均成立，则. 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【解题思路】由等差数列前项的性质求得，再根据等差数列通项公式的变形表示出，由等比数列的性质求得，从而可得数列的项． 【解答过程】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以， 所以． 故选：A. 2．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【解题思路】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【解答过程】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 故选：A. 3．（2026·河南·一模）一个商人初始持有2枚硬币，每天他都能使持有的硬币数量翻倍，且在每天结束时上缴1枚硬币的税收，那么第8天结束后商人手上持有的硬币数量为（） A．129 B．256 C．257 D．512 【答案】C 【解题思路】找到每天硬币数量的递推关系，再通过递推或通项公式求解第8天的硬币数即可. 【解答过程】设第天结束时商人持有的硬币数为，初始状态为. 由已知可得则， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 通项为：，即， 当时，. 故选：C. 4．（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【解答过程】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则. 故选：B. 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【解题思路】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【解答过程】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 6．（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据等差数列的通项公式求出的通项，得到与的递推关系，再利用推导数列的通项公式，最后逐一验证各选项即可. 【解答过程】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误. 故选：C. 7．（2026·河南新乡·三模）已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】题设中的递推关系即为，据此可求及，根据对任意的恒成立，可求实数的取值范围. 【解答过程】由可得， 而，故即， 即， 因为对任意的恒成立，故对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 而，故对任意的恒成立， 由化简可得对任意的恒成立， 而，而当时，故. 故选：B. 8．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解题思路】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【解答过程】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）设等比数列，记其公比，前项和为，若，，成等差数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．是等差数列，且公差为 D． 【答案】ABD 【解题思路】先利用等差中项条件推导公比的三次方的值，再根据等比数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的判定逐个验证选项． 【解答过程】对于A，若，则等比数列前n项和， 此时， 则， 因为，所以， 与，，成等差数列矛盾，所以． 因为，，成等差数列，所以， 代入等比数列前n项和公式， 两边约去，可得， 整理等式得， 因为，两边同除得， 令，则方程变为，解得或， 结合，即，可得，故选项A正确； 对于B，由题意知，数列是首项为，公比为的等比数列， 其前项和为，故选项B正确； 对于C，， 因为，所以， 可得公差为，故选项C错误； 对于D，因为， 所以， ， 则，故选项D正确． 故选：ABD. 10．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B．若数列满足，则数列为等比数列 C． D．若数列满足，其前n项和为，则 【答案】ACD 【解题思路】对于A，代入递推公式计算；对于B，由推出，根据等差数列定义证明；对于C，根据B选项是等差数列求出的通项公式，再根据等差数列前项和公式求解；对于D，利用裂项相消法求和. 【解答过程】对于A，由得， ，所以，A正确； 对于B，由得，所以， 所以，所以， 所以，所以数列是等差数列，不是等比数列，B错误； 对于C，由B选项可知， 又，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以 ，C正确； 对于D，由C选项可知，， 所以， 所以， 又单调递增，当时，，所以，D正确. 故选：ACD. 11．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知数列的前项和为，，，，且数列，为等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 D．设，则，且 【答案】ABD 【解题思路】由数列，为等差数列可得，，进而求出，进而得到即可判断；对于B，先利用裂项相消法求出，进而判断即可；对于C，转化问题为恒成立，设，数列的第项最大，利用即可求解判断；对于D，易验证，再根据裂项相消法求解判断即可. 【解答过程】对于A，由数列，为等差数列， 则，， 即，， 而，则，，解得， 则， ， 即，则数列，为等差数列，满足题意，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ， 而，则，故B正确； 对于C，由，，则，而， 由，则，即恒成立， 设，假设数列的第项最大， 则，即，解得， 而，则，即数列的最大项为，则，故C错误； 对于D，由C知，，而， 则， 所以 ， 而，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则___________． 【答案】 【解题思路】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【解答过程】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：． 13．（2026·湖北荆州·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】先根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，利用裂项相消法求出，再利用导数求的最大值即可. 【解答过程】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 所以 ， 对于任意，成立，只需即可， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 14．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为___________． 【答案】1013 【解题思路】通过该概念的性质求出为等比数列以及为等差数列并求出具体表达式，最后代入到中求解. 【解答过程】由题意，，， 所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 由题意，，， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， .所以， . 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【解答过程】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 16．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； （2）由（1）可得，，， 所以， 所以 . 17．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【解答过程】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 18．（2026·甘肃白银·三模）某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组． (1)记为前2次发送的总得分，求． (2)设为第次发送使用激光模组的概率． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合题意求相应的概率和期望； （2）（ⅰ）根据题意可得，整理可得，结合等比数列求数列的通项公式；（ⅱ）可得，根据分组求和法结合裂项相消法运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以. （2）（ⅰ）由题意可知：，且， 可得，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知：， 则 ， 所以. 19．（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 【答案】(1)数列不是2阶等差数列；数列是2阶等差数列； (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据二阶差分数列及2阶等差数列的定义逐一判断即可； （2）（ⅰ）取，根据二阶等差数列的定义证明即可； （ⅱ）由（ⅰ）可知，利用累加法可得，中，，可求得，从而得，代入，利用放缩法可得，利用错位相减即可得证. 【解答过程】（1）由数列的阶差分数列可得： 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为， 此差不是不为0的常数， 故数列不是2阶等差数列； 数列的一阶差分数列为 二阶差分数列为， 故数列是2阶等差数列； （2）（ⅰ）证明：取，则有， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以数列为二阶等差数列； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知， 令， 则， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 即， 当时，， ， ， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以， 在中，取， 得，所以 即，解得， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以, 所以，得证. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $