第8天 数列的通项公式与递推关系每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦数列通项与递推关系，通过14道典型题覆盖多种递推形式及综合应用，强化知识逻辑与解题思维 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |递推求通项|3题（1,3,5）|涉及差、商、和型递推，结合最小项分析|从递推关系到通项公式的转化，体现数学抽象与推理| |Sn与an关系|2题（2,12）|前n项和与通项互化，结合不等式求解|Sn与an的内在联系，培养运算能力与数据意识| |差分数列|1题（9）|定义新数列，结合等差数列求原数列|差分数列与原数列的生成关系，发展逻辑思维| |周期数列|1题（4）|递推式求余数周期，结合项的计算|周期规律的发现与应用，体现数学眼光| |综合应用|7题（6,7,8,10,11,13,14）|数列与函数、不等式、取整函数结合|知识交叉融合，培养数学语言表达与应用意识|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第8天 数列的通项公式与递推关系 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2025·温州评估)已知数列{an}满足a1=-,-=2,则数列{an}中的最小项为(　　) A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 2.(2025·临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+nan=1,则满足Sn>0.99时,n的最小值为(　　) A.49 B.50 C.99 D.100 3.(2025·重庆八中检测)已知Sn为数列{an}的前n项和,且a1=4,an+1=,则S37的值为(　　) A.47 B.53 C.57 D.64 4.(2025·滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1,以后各项由an+2=an+1+an(n∈N*)给出.若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn},则b2 024+b2 025=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·漳州三模)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,Sn+1-2Sn=n,则a10=(　　) A.1 024 B.1 023 C.513 D.256 6.(2025·马鞍山一监)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 7.(2025·安阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2n(n+2)Sn+1=(n+1)(n+2)Sn+n(n+1)·Sn+2,若a3=5,S2 025=2 025,则a508=(　　) A.3 B.6 C.1 015 D.2 030 8.(2025·潍坊模拟)设函数f(x)=,数列{xn}满足x1=,xn+1=f(xn),则下列结论不正确的是(　　) A.x2= B.f(xn)+f为定值 C.数列为等比数列 D.xn<1+ 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.(2025·云南模拟)定义数列{an}的“差分数列”{bn}:bn=an+1-an.若数列{an}的“差分数列”{bn}是公差为2的等差数列,且b1=3,a2=4,则(　　) A.a1=1 B.b2=5 C.an=n2 D.数列{an}的前n项和Sn= 10.(2025·济宁一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+2,{bn}为等差数列,且b2=a1,b8=a3,记集合A={x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn,数列{cn}的前n项和为Tn,则下列结论正确的是(　　) A.an=2n B.bn=n C.cn=2n-n D.Tn=2n+1--2 11.(2025·大连三校模拟)设数列{an}满足an+1=-5an+9,a1=5,记数列的前n项和为Sn,则(　　) A.an+1>an B.< C.a2 025≤+ D.Sn< 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2025·陕西适考)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an-1,求a7=　　　　.  13.(2025·芜湖一模)已知数列{an}满足a3=-,an+an+1=n2cos,则a4=　　　　,a64=　　　　.  14.(2025·焦作二模)记[x]表示不超过x的最大整数.若正项数列{an}满足+2·an-3n=0,bn=,则数列{bn}的前101项和为　　　　.  第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第8天 数列的通项公式与递推关系 1.答案　B 解析　由-=2可知为等差数列,且公差为2,首项为-5, 因此=2(n-1)-5=2n-7,则an=, 由于a2=-,a3=-1且∀n≥4,an>0, 故{an}中的最小项为a3,故选B. 2.答案　D 解析　因为Sn+nan=1,所以a1=, 当n≥2时,Sn+nan=Sn-1+(n-1)an-1=1, 所以(n+1)an=(n-1)an-1, 即=, 此时an=×××…×××a1 =×××…××××=,n=1时也满足该式, 故an=,Sn=1-nan=1-, 若Sn=1->0.99,解得n>99,故n的最小值为100.故选D. 3.答案　C 解析　在数列{an}中,a1=4,an+1=, 则a2===-, a3===, a4===4,…, 以此类推可知,对任意的n∈N*,an+3=an, 因为37=3×12+1, 所以S37=12(a1+a2+a3)+a1 =12+4=57. 故选C. 4.答案　A 解析　因为an+2=an+an+1(n∈N*),a1=a2=1,所以数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…, 此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,是以8为周期的周期数列, 所以b2 024+b2 025=0+1=1.故选A. 5.答案　B 解析　由Sn+1-2Sn=n, 得Sn+1+n+2=2(Sn+n+1), 因为a1=2,所以S1+1+1=4, 所以Sn+n+1≠0, 所以{Sn+n+1}是首项为4,公比为2的等比数列,所以Sn+n+1=4×2n-1, 所以Sn=2n+1-n-1, 所以a10=S10-S9=1 023.故选B. 6.答案　C 解析　令an=≥0,解得:n≤3或n>, 当n≤3时,an≥0,故当n=1,2时,Sn递增,且S3=S2; 当4≤n≤8时,an<0,故当n=4,5,6,7,8时,Sn递减; 当n≥9时,an>0,Sn递增. 且a1=,a2=,a3=0,a4=-,…,a8=-5, 故S8<S1,所以Sn取得最小值时n的值为8.故选C. 7.答案　A 解析　由2n(n+2)Sn+1=(n+1)(n+2)Sn+n(n+1)Sn+2,变形得到=+, 即=+, 故为等差数列,设公差为d, 则=+(n-1)d=a1+(n-1)d, 故Sn=na1+n(n-1)d, ① 则Sn+1=(n+1)a1+n(n+1)d, ② 式子②-①得an+1=a1+2nd, 则an=a1+(2n-2)d,an+1-an=2d, 所以{an}为等差数列,则 S5===5a3=25, =+2 020d, 即5+2 020d=1,解得d=-, 所以=-(n-5)=-n, 则=-×1 015=3, S1 015=3 045, 又S1 015==1 015a508, 故a508===3.故选A. 8.答案　B 解析　由xn+1=f(xn)=,x1=,则x2===,故A正确; 由f(xn)+f=+==,显然f(xn)+f非常数,故B错误; 由= ==5, 又=5,则=5, 则数列是以5为首项,以5为公比的等比数列,故C正确; 由选项C得=5n, 即xn=+1,或xn=1-, 由1+-xn=1+-=>0,或1+-xn=1+-1+=>0,则xn<1+,故D正确. 故选B. 9.答案　ABC 解析　A.由题意得,b1=a2-a1,即3=4-a1,故a1=1,选项A正确. B.∵数列{bn}是公差为2的等差数列,b1=3, ∴bn=3+2(n-1)=2n+1,故b2=5,选项B正确. C.由bn=an+1-an得,an+1-an=2n+1, ∴当n≥2时,an-an-1=2n-1, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+(2n-1)==n2, 当n=1时,a1=1满足上式,故an=n2,选项C正确. D.当n=1时,S1==2≠a1,选项D错误.故选ABC. 10.答案　ABD 解析　对于A,设等比数列{an}的公比为q,由an+1=Sn+2,得an=Sn-1+2(n≥2), 两式相减得an+1-an=Sn-Sn-1=an, 即an+1=2an,所以q=2, 又a2=S1+2=a1+2,a2=2a1,解得a1=2,所以an=2×2n-1=2n,正确; 对于B,设等差数列{bn}的公差为d, 由b2=a1=2,b8=a3=8,得6d=b8-b2=6,解得d=1, 所以bn=b2+(n-2)d=n,正确; 对于C,由A={x∈N*|bn≤x≤an}, 得A={x∈N*|n≤x≤2n}, 则集合A中元素的个数为2n-n+1, 即cn=2n-n+1,错误; 对于D,Tn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)+n=-+n=2n+1--2,正确.故选ABD. 11.答案　ABD 解析　对于A,an+1-an=-6an+9=(an-3)2,因为a1=5, 根据二次函数的性质,所以an≥5,所以an+1-an>0,故A正确; 对于B,= =< <= =, 所以<, a1=5,a2=9,a3=45, a4=452-45×5+9=1 809, 所以<,故B正确; 对于C,an+1- =+>, ln>ln =2ln, 所以>2,累乘可得: ··…· = =>22 024, 所以ln>22 024·ln =ln, 所以a2 025>+>+,故C错误; 对于D,因为an+1=(an-2)(an-3)+3, 所以an+1-3=(an-2)(an-3), 所以= =-, 所以=-, 数列的前n项和为Sn, 所以Sn=+++…+ =-+-+-+…+- =-=-<,故D正确. 故选ABD. 12.答案　64 解析　由Sn=2an-1, 当n=1时,S1=a1=2a1-1,即a1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1, 所以数列{an}是等比数列,首项为1,公比为2, 则an=2n-1,即a7=26=64. 13.答案　　124 解析　由a3+a4=0,得a4=. 由a4k+a4k+1=k2,a4k+1+a4k+2=0, a4k+2+a4k+3=-, a4k+3+a4k+4=0, 得a4k+4-a4k=k+, 所以a64=(a64-a60)+(a60-a56)+…+(a8-a4)+a4=15++14++…+1++=+=124. 14.答案　10 101 解析　因为+2·an-3n=0, 所以(an+3)(an-)=0, 因为{an}为正项数列,所以an=, 则=+++…+, 当i≥2时,=< =2(-), 故<1+2(-1)+2(-)+…+2(-)=2(-1)+1=2n-1, 又对于i∈N*,都有=>=2(-), 故>2(-1)+2(-)+…+ 2(-)=2(-1) >2(-1)=2n-2, 所以2n-2<<2n-1, 故当n≥2时,bn==2n-2, 又b1=1,所以{bn}的前101项和为b1+b2+…+b101=1+=10 101. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $