第06讲 二次根式（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第06讲 二次根式 （新教材北师大版） 知识点一．二次根式的定义 2 知识点二．二次根式有意义的条件 2 知识点三．二次根式的性质与化简 3 知识点四．最简二次根式 3 知识点五．二次根式的乘除法 4 知识点六．二次根式的加减法 4 知识点七．二次根式的混合运算 4 知识点八．二次根式的化简求值 5 知识点九．二次根式的应用 5 【题型1 二次根式的识别】 5 【题型2 求二次根式的值】 5 【题型3 求二次根式中的参数】 6 【题型4 二次根式有意义的条件】 6 【题型5 利用二次根式的性质化简】 7 【题型6 复合二次根式的化简】 7 【题型7 二次根式的乘法】 8 【题型8 二次根式的除法】 8 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 9 【题型10 最简二次根式的判断】 10 【题型11 化简为最简二次根式】 10 【题型12 已知最简二次根式求参数】 11 【题型13 同类二次根式】 11 【题型14 二次根式的加减运算】 12 【题型15 二次根式的混合运算】 12 【题型16 分母有理化】 13 【题型17 已知字母的值，化简求值】 13 【题型18 已知条件式，化简求值】 13 【题型19 比较二次根式的大小】 14 【题型20 二次根式的应用】 14 【题型21 实数的混合运算】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 23 知识点一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点四．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点五．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点六．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点七．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点八．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点九．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 【题型1 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：；第个单项式为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 =【题型2 求二次根式的值】 【例2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【题型3 求二次根式中的参数】 【例3】若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【变式3-2】已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【题型4 二次根式有意义的条件】 【例4】为任何实数，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 【变式4-3】若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【例5】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【题型6 复合二次根式的化简】 【例6】如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【变式6-1】如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【变式6-3】满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型7 二次根式的乘法】 【例7】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型8 二次根式的除法】 【例8】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 【例9】在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【变式9-1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【变式9-3】已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【题型10 最简二次根式的判断】 【例10】在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-3】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【题型11 化简为最简二次根式】 【例11】下列二次根式为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【题型12 已知最简二次根式求参数】 【例12】最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【变式12-1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式12-3】若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【题型13 同类二次根式】 【例13】小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【变式13-1】下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式13-2】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式13-3】下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【题型14 二次根式的加减运算】 【例14】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 【变式14-1】如果是任意两个不相等的无理数，那么：（1）也是无理数；（2）也是无理数；（3）也是无理数；（4）也是无理数．以上四个判断中不正确的是（     ） A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【变式14-2】下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式14-3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型15 二次根式的混合运算】 【例15】估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式15-1】估计的计算结果应在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式15-2】估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式15-3】下列运算：①，②，③，④，其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型16 分母有理化】 【例16】下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-3】列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【题型17 已知字母的值，化简求值】 【例17】已知，，那么的值是（     ） A．4 B．3 C． D． 【变式17-1】已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【变式17-2】若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式17-3】设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【题型18 已知条件式，化简求值】 【例18】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式18-1】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式18-2】已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式18-3】若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【题型19 比较二次根式的大小】 【例19】如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式19-1】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式19-3】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【题型20 二次根式的应用】 【例20】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 【变式20-1】《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式20-2】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式20-3】如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【题型21 实数的混合运算】 【例21】若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【变式21-1】如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（     ） A． B． C． D． 【变式21-2】在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 【变式21-3】将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 2．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 3．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】 活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． 活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． (1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________； (2)1，4，9是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”． (3)结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，（，且k是整数）________（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）计算：   （     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·全国·单元测试）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D． 7．（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：___________． 9．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 10．（25-26七年级下·北京海淀·期末）如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：．如果是“差商等数对”，那么______________． 11．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 12．（25-26八年级下·北京丰台·期末）已知，，求代数式的值． 13．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第06讲 二次根式 （新教材北师大版） 知识点一．二次根式的定义 2 知识点二．二次根式有意义的条件 2 知识点三．二次根式的性质与化简 3 知识点四．最简二次根式 3 知识点五．二次根式的乘除法 4 知识点六．二次根式的加减法 4 知识点七．二次根式的混合运算 4 知识点八．二次根式的化简求值 5 知识点九．二次根式的应用 5 【题型1 二次根式的识别】 5 【题型2 求二次根式的值】 7 【题型3 求二次根式中的参数】 8 【题型4 二次根式有意义的条件】 10 【题型5 利用二次根式的性质化简】 12 【题型6 复合二次根式的化简】 14 【题型7 二次根式的乘法】 17 【题型8 二次根式的除法】 18 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 19 【题型10 最简二次根式的判断】 22 【题型11 化简为最简二次根式】 24 【题型12 已知最简二次根式求参数】 25 【题型13 同类二次根式】 27 【题型14 二次根式的加减运算】 29 【题型15 二次根式的混合运算】 30 【题型16 分母有理化】 32 【题型17 已知字母的值，化简求值】 34 【题型18 已知条件式，化简求值】 35 【题型19 比较二次根式的大小】 37 【题型20 二次根式的应用】 39 【题型21 实数的混合运算】 41 【探究式学习】 45 【课后检测】 48 【复盘笔记】 55 知识点一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点四．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点五．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点六．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点七．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点八．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点九．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 【题型1 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：；第个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出单项式的系数和字母指数的规律，即可得到第个单项式． 【详解】解：将单项式分为系数和的指数两部分分别找规律： 时，第1个单项式为； 时，第2个单项式为； 时，第3个单项式为； ... ∵系数部分根号内的数随序号变化， 第个单项式的系数部分为； 的指数为连续奇数，第个单项式中的指数为； ∴第个单项式是． 【变式1-2】下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 【变式1-3】给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 【题型2 求二次根式的值】 【例2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 【变式2-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 【变式2-3】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 【题型3 求二次根式中的参数】 【例3】若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次根式结果为整数的性质，得出需为完全平方数，即可求出正整数的最小值 【详解】解：， 又是整数， 是整数，即为完全平方数， 要找最小的正整数， 满足条件的最小正整数 【变式3-1】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 【变式3-2】已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 【变式3-3】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【例4】为任何实数，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、取，，则，故A错误； B、取，，则，但、无意义，等式不成立，故B错误； C、，且，，故C正确； D、取，，则，故D错误． 【变式4-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质与算术平方根的非负性判断各选项正误． 【详解】解：∵，仅当时结果为，∴A选项运算错误； ∵表示25的算术平方根，结果为，∴B选项运算错误； ∵，∴C选项运算正确； ∵有意义的条件为，即，此时，∴D选项运算错误． 【变式4-2】代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再结合算术平方根的性质求代数式的最小值． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足，，．解得． ∵ 被开方数越大，算术平方根越大， ∴ 当时，，，的值均随的增大而增大． ∴ 代数式的值随的增大而增大． ∴ 当时，代数式取得最小值．代入得最小值为． 【变式4-3】若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【例5】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，由图形特征得出大正方形的边长，计算大正方形面积后减去两个小正方形面积即可． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， ∴它们的边长分别为和， 由图可知，大正方形的边长为两个小正方形边长之和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴剩下部分的面积为． 【变式5-1】列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除的运算法则逐项计算，即可作答． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确． 【变式5-2】算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用算术平方根的性质将原式转化为含绝对值的式子，通过零点分段讨论得到不同的化简结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，即 原式 ， ， ， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 ∴会有3种不同的结果． 【变式5-3】实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 【题型6 复合二次根式的化简】 【例6】如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【答案】A 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：（负值舍去）． 【变式6-1】如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，， 根据对称性可得， 当点P运动至与点重合时，的值最小， 即． ， ， ． ， ． 在中，， 的最小值为． 【变式6-2】一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 【变式6-3】满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 【题型7 二次根式的乘法】 【例7】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合的值利用平方差公式简化计算． 【详解】解：， ， ， 原式 【变式7-1】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出根号内算式的结果，再把被开方数拆成平方数乘另一个数进行开方化简． 【详解】解：． 【变式7-2】）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，无法合并， ∴ A计算错误； ∵ ， ∴ B计算错误； ∵ ， ∴ C计算正确； ∵ ， ∴ D计算错误． 【变式7-3】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：∵， ∴，故C正确.； 对于选项D：，故D错误． 【题型8 二次根式的除法】 【例8】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式加减需合并同类二次根式，乘除运算为被开方数乘除后化简，据此判断各选项正误． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项，，计算错误． C选项，，计算正确． D选项，，计算错误． 【变式8-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先依据二次根式性质化简各式，再结合加减、除法运算法则逐一验算每个选项的正误． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项：，计算错误． C选项：，计算正确． D选项：，计算错误． 【变式8-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 与不能直接合并，运算错误； B. ，运算错误； C. ，运算错误； D. ，运算正确． 【变式8-3】列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 【题型9 二次根式的乘除混合运算】 【例9】在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 【变式9-1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 【变式9-2】若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 【变式9-3】已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 【题型10 最简二次根式的判断】 【例10】在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 【变式10-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义分别对A、B、C、D各选项的二次根式进行判断即可得答案. 【详解】解：A. ，可以化简，不是最简二次根式，故A选项错误. B. ，可以化简，不是最简二次根式，故B选项错误. C. ，可以化简，不是最简二次根式，故C选项错误. D. 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项正确. 【变式10-2】下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 【变式10-3】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式的两个判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不满足条件，∴A不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，∴B不是最简二次根式； C、的被开方数含分母，同时含能开得尽方的因式和，不满足条件，∴C不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴D是最简二次根式． 【题型11 化简为最简二次根式】 【例11】下列二次根式为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、无法再化简，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 【变式11-1】若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 【变式11-2】如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，中间小正方形的边长为，再根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵图中是四个全等的直角三角形， ∴， 故小正方形的边长为， 由勾股定理，得. 【变式11-3】如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体右面向前面展开，再由两点之间线段最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：将正方体右面向前面展开，如图所示： 正方体的棱长为， ， ． 【题型12 已知最简二次根式求参数】 【例12】最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 【变式12-1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式12-2】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、最简二次根式、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同，据此列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴的最简形式为，被开方数为2． 又∵是最简二次根式，且能与合并， ∴ ， 解得：． 故选：C． 【变式12-3】若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 【题型13 同类二次根式】 【例13】小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算正确． 【变式13-1】下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 【变式13-2】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 【变式13-3】下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 【题型14 二次根式的加减运算】 【例14】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】依据题意，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，则剩下的面积用大正方形的面积减去和的和即可． 【详解】解：由图知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和， 即， 则大正方形的面积为：， 故剩下部分的面积． 【变式14-1】如果是任意两个不相等的无理数，那么：（1）也是无理数；（2）也是无理数；（3）也是无理数；（4）也是无理数．以上四个判断中不正确的是（     ） A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】D 【分析】通过举反例判断各命题正误，只要存在一组不相等的无理数使运算结果为有理数，对应判断即不成立． 【详解】解：（1）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（1）错误； （2）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（2）错误； （3）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（3）错误； （4）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（4）错误； 综上所述，不正确的是（1）（2）（3）（4）． 【变式14-2】下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合同类二次根式的合并规则与运算法则，逐一验证等式，即可作答． 【详解】解：（1）与不是同类二次根式，不能直接合并，原式错误； （2），原式正确； （3），则，，原式错误； （4），原式正确； （5），，，原式错误； 综上，化简正确的有2个， 【变式14-3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 算术平方根的结果为非负数， A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、根据二次根式乘法法则，，左右相等，计算正确． 【题型15 二次根式的混合运算】 【例15】估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 【变式15-1】估计的计算结果应在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【详解】解：． ∵， ∴， ∴． 【变式15-2】估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质得到，然后再估算的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ． 【变式15-3】下列运算：①，②，③，④，其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：① 化简得，，①错误； ② 根据二次根式乘法法则计算：，②错误； ③ 根据二次根式除法法则计算：，③正确； ④ 根据完全平方公式展开计算：，④错误； 综上，错误的运算共3个. 【题型16 分母有理化】 【例16】下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质及运算法则，逐一化简各选项判断正误． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、， ∵， ∴，正确，故选项符合题意． 【变式16-1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，故选项C计算错误，不符合题意； D.∵当时，， ∴，故选项D计算错误，不符合题意． 【变式16-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，二次根式的化简法则，逐一判断选项即可； 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，，C错误； 选项D：，D计算正确． 【变式16-3】列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 【题型17 已知字母的值，化简求值】 【例17】已知，，那么的值是（     ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再将变形为含已知量的式子，代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得：，即， 解得； 又， 将，代入得：． 【变式17-1】已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 【变式17-2】若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 【变式17-3】设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先估算的范围，得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分为， ∴ ． 【题型18 已知条件式，化简求值】 【例18】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【变式18-1】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 【变式18-2】已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【变式18-3】若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 【题型19 比较二次根式的大小】 【例19】如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， 同理：,， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， ∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板. 【变式19-1】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 【变式19-2】已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 【变式19-3】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【题型20 二次根式的应用】 【例20】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 【答案】A 【分析】首先根据题目给出的三边长，，，利用公式计算半周长的值，再将计算得到的以及三边长代入海伦—秦九韶公式，计算三角形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 把、、、代入面积公式得： 因此△ABC的面积为． 【变式20-1】《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给出的公式求出三角形的面积，等积法求出的长即可. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式20-2】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 【变式20-3】如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． 【题型21 实数的混合运算】 【例21】若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先估算出m，n的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即的整数部分为3， ∴． ∵， ∴， 即的整数部分为0． ∴． ∴． 【变式21-1】如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①如图所示，将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ②如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ③如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ∵， ∴最短路线长是． 【变式21-2】在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，，然后逐项进行验证即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， ， ∵， ∴为直角三角形，， ∴，故A正确，不符合题意； 的周长为，故B正确，不符合题意； 设点A到的距离为h，则， 即， 解得：， 即点A到的距离为4，故C正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故D错误，符合题意． 【变式21-3】将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中的规律找到与表示的两数，再根据二次根式的乘法法则计算出两数之积． 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 2．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 3．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】 活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． 活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． (1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________； (2)1，4，9是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”． (3)结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，（，且k是整数）________（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【答案】(1)①是；②否；③是 (2)是 (3)是，理由如下： ，，， ，，是“漂亮数”， ，，是整数， 也是整数， ，，都是整数， ，，是“漂亮数”． 【分析】根据漂亮数的定义解题即可． 【详解】（1）解：①，，， ∴1，9，16是漂亮数； ②，不是整数， ∴3，9，12不是漂亮数； ③，，， ∴5，20，45是漂亮数； （2）解：，，， ∴2，8，18是漂亮数； （3）略 【课后检测】 1．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项，，计算错误， C选项，，计算正确， D选项，，计算错误． 2．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义和绝对值的定义可得：原式，再根据有理数的加法法则计算． 【详解】解：． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）计算：   （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． 4．（26-27八年级上·全国·单元测试）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A：，不是二次根式，不符合题意； B：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； C：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D：，是二次根式，符合题意． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可． 【详解】解：在中，， ∴． 7．（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中的近似取值范围，从而得到所求式子的取值范围． 【详解】解：， ， ， ． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：___________． 【答案】 【分析】先将原式中的两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 9．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 【答案】 【分析】将所有数据统一改写为二次根式，观察被开方数与数据序号的关系，归纳得到一般规律． 【详解】解：将所有数据改写为二次根式形式：第1个数： 第2个数： ； 第3个数： ； 第4个数： ； 第5个数： ... 由此可归纳出规律，第个数据为． 10．（25-26七年级下·北京海淀·期末）如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：．如果是“差商等数对”，那么______________． 【答案】 【分析】根据“差商等数对”的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是“差商等数对”， ∴根据定义可得， 即， 解得． 11．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）利用解答即可； （2）利用积的乘方，，解答即可； （3）利用解答即可； （4）利用积的乘方，，解答即可； （5）利用积的乘方，，解答即可； （6）根据，解答即可； （7）根据，解答即可； （8）根据，解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 12．（25-26八年级下·北京丰台·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：，， ， ∴． 13．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $